Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 512.628.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПРИМАРНІ РОЗКЛАДИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СКРУТІВ, ІДЕАЛІВ ТА МОДУЛІВ

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

МЕЛЬНИК ІВАННА ОРЕСТІВНА

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

Комарницький Микола Ярославович, доктор фізико-математичних наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри алгебри і логіки.

Офіційні опоненти:

Кириченко Володимир Васильович, доктор фізико-математичних наук, професор, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри геометрії;

Бондаренко Віталій Михайлович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу алгебри.

Захист відбудеться "23" грудня 2008 р. о 15 год. 00 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий "18" листопада 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Перші результати з абстрактної диференціальної алгебри отримали Дж. Ріт Ritt J.F. Integration in finite terms / J.F. Ritt. - Columbia Univ. Press, New York, 1948. Ritt J.F. Differential algebra / J.F. Ritt. - Amer. Math. Soc. Publ. Vol. 33. - Amer. Math. Soc. New York, 1950., С. Колчін Kolchin S.E. Differential Algebra and Algebraic Groups / S.E. Kolchin-Academic Press, New York, 1973. та І. Капланський Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру / И. Капланский [Перев. с англ.]. - М.: ИЛ, 1959. у 40-их роках XX-го століття. У другій половині ХХ століття диференціальна алгебра оформилась у самостійний розділ сучасної алгебри з багатою проблематикою, різноманітними методами дослідження та тісними зв'язками з різними галузями математики як власне алгебраїчними (в першу чергу, з теорією полів і теорією кілець), так і з іншими, наприклад, теорією диференціальних рівнянь, диференціальною геометрією, алгебраїчною геометрією, алгебраїчною диференціальною геометрією тощо.

Класичний примарний розклад - зображення ідеалу кільця (або підмодуля модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (підмодулів) - узагальнює розклад цілого числа у добуток степенів різних простих чисел. Існування примарного розкладу ідеалів в кільці многочленів довів Е. Ласкер Lasker E., Math. Ann. - 1905. - Bd. 60. - S. 20-116. ще в 1905 р., а в довільному комутативному нетеровому кільці Е. Нетер Noether E. Math. Ann. - 1921. - Bd. 83 - S. 24-66. 1921 р.

Роль примарних розкладів в комутативній алгебрі, а також їх некомутативних узагальнень, добре відома. В алгебраїчній геометрії примарний розклад є алгебраїчною основою для розкладу алгебраїчного многовиду на незвідні компоненти. У зв'язку з швидким розвитком у другій половині ХХ-го століття диференціальної алгебраїчної геометрії, виникла необхідність перенесення теорії примарного розкладу з класичного на диференціальний випадок.

Крім того існують інші розклади ідеалів кілець та підмодулів - у вигляді (найкоротшого) перетину скінченного числа ідеалів (підмодулів) певного типу. В комутативному нетеровому кільці Е. Нетер встановила чотири різні розклади ідеалу у вигляді (найкоротшого) перетину скінченного числа незвідних, примарних, взаємно простих нерозкладних та комаксимально нерозкладних ідеалів. Через чверть століття Л. Фукс додав до цих чотирьох нетерових розкладів ще два розклади - на перетин квазіпримарних та примальних ідеалів.

У зв'язку з швидким розвитком у другій половині ХХ-го століття диференціальної алгебраїчної геометрії, виникла необхідність перенесення теорії примарного розкладу з класичного на диференціальний випадок. Примарні розклади у диференціальних кільцях розпочав досліджувати А. Зайденберг Seidenberg A. Differential ideals in rings of finitely generated type / A. Seidenberg // Amer. J. Math. - 1967. - 89. - P. 22-42.. Він довів існування примарних розкладів в нетерових алгебрах Рітта. Цей результат узагальнили В. Браун та В. Куан Brown W.C. Ideals and higher derivations in commutative rings / W.C. Brown, W.E. Kuan // Canad. J. Math. - 1972. - 24. - P. 400-415. на випадок нетерових кілець з вищим диференціюванням нескінченного рангу. Аналог їх результату довів С. Сато Sato S. On the primary decomposition of differential ideals / S. Sato // Hiroshima Math. J. - 1976. - 6. - P. 55-59. для довільних нетерових диференціальних кілець. У 1994 році М. Фуруя Furuya M. On the primary decomposition of differential ideals of strongly Laskerian rings / M. Furuya // Hiroshima Math. J. - 1994. - 24. - P. 521-527. узагальнив результат С. Сато про примарний розклад для диференціальних ідеалів в ненетерових кільцях. А. Новіцкі Nowicki A. The primary decomposition of differential modules / A. Nowicki // Rocz. Pol. tow. mat. - 1979. - 21, № 2. - P. 341-346., користуючись методами, подібними до методів, використаних Сато, довів існування примарних розкладів для диференціальних підмодулів скінченно породжених диференціальних модулів над нетеровими диференціальними кільцями. Проте загального підходу до питання про примарні розклади диференціальних ідеалів і модулів не було розроблено.

Оскільки дослідження примарних розкладів в диференціальному випадку обмежується вищезгаданими результатами, залишається актуальним питання про існування диференціальних аналогів примарних розкладів та перенесення класичних результатів на диференціальний випадок. Зокрема зовсім не розроблений підхід, що базується на використанні нових результатів про первинні модулі та їх диференціальні аналоги.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями кафедри алгебри та логіки Львівського національного університету імені Івана Франка в рамках науково-дослідних державних тем "Класичні проблеми та теоретико-модельні методи в лінійній і диференціальній алгебрі" (номер держреєстрації 0106U005907), що завершилася, та "Імовірнісні та теоретико-модельні методи у випадкових еволюціях, лінійній та диференціальній алгебрі" (номер держреєстрації 0108U004135), яка виконується у даний час.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є узагальнення існуючих результатів про примарні розклади ідеалів та модулів на диференціальний випадок та теоретико-скрутову ситуацію. Для досягнення цієї мети були поставлені такі задачі:

описати скрути Бленда над некомутативними диференціальними кільцями;

дослідити властивості кванталей фільтрів Бленда та скрутів Бленда;

дослідити, які з властивостей диференціальних ідеалів диференціальних кілець зберігаються при переході до (внутрішніх) ультрадобутків;

вирішити проблему про аксіоматизовність класу некомутативних диференціальних кілець Прюфера та класу некомутативних диференціальних кілець, в яких кожний диференціальний ідеал є перетином диференціально примарних ідеалів;

підтвердити гіпотезу про неаксіоматизовність класу некомутативних диференціальних кілець нормування Дубровіна;

встановити чи існують природні аналоги класичних теорем про примарні розклади для диференціальних скрутів, ідеалів та модулів.

Об'єкт та предмет дослідження. Об'єктом дослідження є диференціальні скрути в категорії лівих диференціальних модулів, диференціальні ідеали та диференціальні модулі над диференціальними кільцями.

Предметом дослідження є примарні розклади диференціальних скрутів, ідеалів та модулів та їх аналоги.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи диференціальної алгебри, теорії скрутів і фільтрів та пов'язані з ними методи теорії категорій.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові наукові результати:

введено до розгляду поняття диференціально первинного та квазіпервинного диференціального підмодуля диференціального модуля, а також -модуля, досліджено їх основні властивості;

встановлено існування розкладу диференціальних підмодулів на незвідний скінченний перетин квазіпервинних диференціальних підмодулів - "квазіпримарний диференціальний розклад";

введено до розгляду напередрадикальні диференціальні фільтри Бленда, встановлено деякі їх властивості, зокрема доведено диференціальний аналог теореми Габріеля-Маранди.

В якості застосувань доведено такі результати:

довільний НК-скрут скінченного типу над нетеровим диференціальним кільцем є незвідним перетином скінченного числа квазіпервинних скрутів;

аксіоматизовність класу некомутативних кілець Прюфера (у сенсі Гретера);

неаксіоматизовність класу некомутативних кілець нормування Дубровіна.

Практичне і теоретичне значення одержаних результатів. Результати досліджень мають теоретичний характер. Одержані в роботі результати можуть бути використані в диференціальній алгебрі, диференціальній алгебраїчній геометрії та інших галузях математики, завдяки високому ступеню загальності.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержано автором самостійно. Результати спільної статті викладено в четвертому розділі. Співавтору, професору М.Я. Комарницькому, належать постановка задач, аналіз результатів дослідження та загальна координація роботи. примарний розклад диференціальне аксіоматизовність

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались на засіданнях Львівського міського алгебраїчного семінару, на семінарах кафедри алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка (2005-2008), на алгебраїчному семінарі Інституту математики НАН України, а також на міжнародних конференціях:

П'ятій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 20-27 липня 2005 р.),

Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006 р.),

Шостій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам'янець-Подільський, 1-7 липня 2007 р.),

Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 15-17 травня 2008),

Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки та математики" (Львів, 25-29 травня 2008 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у деcяти працях, з них чотири статті у фахових наукових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України [1-4], і додатково висвітлено у шести роботах в матеріалах та тезах міжнародних наукових конференцій [5-10].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, 17 підрозділів, висновків та списку використаної літератури, який містить 137 найменувань. Повний обсяг роботи становить 123 сторінки машинописного тексту, з них 112 сторінок - основна частина і 11 сторінок використаних джерел. Результати роботи, винесені на захист, викладені в розділах 2-4.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, доктору фізико-математичних наук, професору Комарницькому Миколі Ярославовичу, за постійну увагу до результатів, отриманих в процесі роботи над дисертацією.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми дослідження, сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, охарактеризовано наукову новизну отриманих результатів, визначено особистий внесок дисертанта, викладено короткий огляд одержаних результатів, наведено відомості про їх апробацію та публікації відповідно до вимог ВАК України. У структурі дисертаційної роботи виділяється чотири розділи.

Перший розділ має допоміжний характер. У ньому викладено огляд праць, які стосуються теми дисертаційної роботи, а також означення основних понять та формулювання деяких відомих результатів, які використовуються в дисертації.

У підрозділі 1.1 "Огляд літератури" наведено огляд наукових праць, присвячених теорії розкладів ідеалів та підмодулів. У підрозділі 1.2 "Попередні відомості з диференціальної алгебри" подано необхідні теоретичні відомості з диференціальної алгебри - основні твердження і означення, які знайшли своє застосування у дисертації. У підрозділі 1.3 розглядаються відомі конструкції напередрадикалів, радикалів, радикальних та напередрадикальних фільтрів, скрутів і напередскрутів і т. п.

Нехай R - асоціативне кільце з ненульовою одиницею. Одинарним диференціальним кільцем (коротко, -кільцем) називають пару , де R - кільце та - диференціювання кільця R. Нехай , причому

для кожного , . Кільце R разом з множиною диференціювань називається частинним диференціальним кільцем (-кільцем). Ідеал I кільця R називається -ідеалом (диференціальним ідеалом), якщо для кожного .

Нехай , - диференціальні кільця. Гомоморфізм -кілець називається диференціальним гомоморфізмом (-гомоморфізмом), якщо

для всіх , .

Лівим частинним диференціальним R-модулем (D-модулем) над -кільцем називають пару , де - R-модуль, а

- множина попарно комутуючих диференціювань модуля M, узгоджених з диференціюваннями кільця R.

Нехай - диференціальне кільце та - диференціальний модуль над . Підмодуль D -модуля M називається D-підмодулем (диференціальним підмодулем), якщо для кожного . Якщо - -ідеал -кільця , то є D -підмодулем D -модуля M. Якщо та - D -підмодулі D -модуля M, то

- -ідеал -кільця R. Подібним чином, якщо I - -ідеал та - D -підмодуль, то

- D -підмодуль в M.

Другий розділ дисертації присвячено дослідженню квазіпримарних розкладів диференціальних підмодулів. Тут введено нове природне поняття Sdm-системи диференціального модуля як узагальнення відомого поняття -мультиплікативно замкненої підмножини кільця. На цій основі узагальнено поняття первинного та примарного модулів на диференціальний випадок.

У підрозділі 2.1 досліджується оператор , який узагальнює аналогічний оператор, відомий для комутативних диференціальних кілець. Основні технічні конструкції наступних пунктів другого розділу базуються на використанні цього оператора.

Нехай R - асоціативне кільце з ненульовою одиницею і множиною попарно комутуючих диференціювань кільця R. Диференціалом підмножини -модуля M назвемо множину

.

У підрозділі 2.2 вводиться до розгляду нове поняття диференціально первинного підмодуля, яке є природним узагальненням поняття диференціально первинного ідеалу та узгоджується з відомими результатами про первинні та диференціально первинні ідеали. Встановлено ряд властивостей таких підмодулів.

Непорожню підмножину диференціального модуля M називатимемо Sdm-системою модуля M, якщо для будь-яких та існують такі і , що .

Диференціальний модуль M називатимемо диференціально первинним, якщо лівий анулятор кожного його ненульового диференціального підмодуля співпадає з анулятором модуля:

.

Диференціальний підмодуль N лівого диференціального модуля M називатимемо диференціально первинним, якщо є диференціально первинним модулем. Якщо в кільці R всі структурні диференціювання є тривіальними, то ці означення дають відомі поняття первинного модуля та первинного підмодуля заданого модуля.

Основні результати підрозділу сформульовано у вигляді ряду тверджень та теорем.

Твердження 2.3 Диференціальний підмодуль N диференціального модуля M є диференціально первинним тоді і тільки тоді, коли його доповнення є -системою в M для деякої -системи кільця R.

Твердження 2.4 Для диференціального підмодуля диференціального модуля , , наступні твердження еквівалентні:

- диференціально первинний;

Для будь-якого диференціального ідеалу та будь-якого диференціального підмодуля диференціального модуля M з включення випливає, що або ;

Для будь-яких і з випливає, що або ;

Для будь-яких , і , з випливає, що або ;

Для будь-яких , і , з випливає, що або .

Теорема 2.5 Нехай - диференціальне кільце з ненульовою одиницею, M - лівий диференціальний R-модуль, - такий диференціальний підмодуль в M, що , де - деяка Sdm-система. Тоді існує максимальний диференціальний підмодуль , , модуля M серед тих диференціальних підмодулів, що . Цей підмодуль є диференціально первинним.

Теорема 2.6 Нехай N - такий диференціальний підмодуль в M, що , де - деяка Sdm-система. Тоді міститься в деякій максимальній Sdm-системі , причому .

З цих тверджень випливає наступна теорема і наслідок.

Теорема 2.7 Непорожня підмножина диференціального R-модуля M є мінімальним первинним підмодулем над диференціальним підмодулем тоді і тільки тоді, коли її доповнення є Sdm-системою, максимальною серед тих, що не перетинаються з .

Наслідок 2.8 Кожний диференціально первинний підмодуль в M, який містить диференціальний підмодуль , містить деякий мінімальний первинний підмодуль, який міститься в .

Підрозділ 2.3 присвячений дослідженню введеного дисертантом поняття квазіпервинного диференціального підмодуля.

Диференціальний підмодуль N лівого диференціального модуля M називатимемо квазіпервинним, якщо він є максимальним серед диференціальних підмодулів модуля M, що не перетинаються з деякою Sm-системою модуля M.

Наступні результати описують властивості квазіпервинних модулів.

Лема 2.9 Кожний максимальний серед диференціальних підмодулів довільного диференціального модуля є квазіпервинним.

Теорема 2.10 Для кожного диференціального підмодуля диференціально нетерового модуля M наступні умови еквівалентні:

N - диференціально первинний підмодуль;

N - квазіпервинний підмодуль;

для деякого первинного підмодуля диференціального модуля M.

Твердження 2.11 Кожний власний диференціальний підмодуль диференціального скінчено породженого лівого диференціального модуля має максимальний підмодуль. Зокрема, кожний підмодуль такого модуля має свій диференціально первинний радикал.

В скінчено породженому модулі кожний мінімальний диференціально первинний підмодуль над міститься в деякому лівому диференціальному максимальному підмодулі в M, який лежить над .

Теорема 2.12 Наступні умови еквівалентні:

Кожний квазіпервинний підмодуль N диференціального R-модуля M є первинним;

Кожний квазіпервинний підмодуль N диференціального R-модуля M є радикальним;

Для кожного первинного підмодуля N диференціального модуля M підмодуль є первинним.

Кожний первинний підмодуль N, мінімальний над деяким диференціальним підмодулем, є диференціальним підмодулем;

Радикал будь-якого диференціального підмодуля є диференціальним підмодулем.

Диференціальний модуль M називатимемо -модулем, якщо він задовольняє одну з еквівалентних умов Теореми 2.12.

У підрозділі 2.4 доведено існування нескоротного квазіпримарного розкладу диференціальних підмодулів, що є основним результатом цього розділу. Для точнішого його формулювання нагадаємо деякі необхідні означення.

Квазіпервинним диференціальним радикалом диференціального підмодуля N диференціального модуля M назвемо перетин всіх квазіпервинних підмодулів в M, які містять N.

Лівий диференціальний підмодуль N називається квазіпримарним, якщо його радикал є квазіпервинним підмодулем в M.

Теорема 2.13 Нехай R - нетерове диференціальне кільце, M - лівий диференціальний скінченно породжений модуль над . Тоді кожний лівий диференціальний підмодуль N в M можна розкласти в незвідний перетин вигляду

,

де - квазіпримарний підмодуль в M для кожного .

У третьому розділі досліджуються диференціальні скрути Бленда, НК-скрути та зв'язки між ними.

У пункті 3.1 подано основні означення та властивості напередрадикальних фільтрів Бленда та НК-фільтрів. Для подальшого викладу необхідно їх нагадати.

Непорожня множина лівих диференціальних ідеалів диференціального кільця R називається диференціальним напередрадикальним фільтром цього кільця R, якщо виконуються наступні умови:

ДФ 1. Якщо і , де - лівий диференціальний ідеал кільця, то ;

ДФ 2. Якщо та , то ;

ДФ 3. Якщо , то для кожного .

Диференціальний напередрадикальний фільтр , який задовольняє ще одну умову.

ДФ 4. Якщо - лівий диференціальний ідеал -кільця , , і для кожного лівий диференціальний ідеал , то називається диференціальним радикальним фільтром.

Далі називатимемо такі фільтри напередрадикальними (радикальними) НК-фільтрами (диференціальними напередрадикальними (радикальними) фільтрами у сенсі Горбачука-Комарницького).

Система лівих диференціальних ідеалів -кільця R називається базою НК-фільтру , якщо кожний диференціальний ідеал з містить деякий диференціальний ідеал з . Фільтр Габріеля, який має базу з двосторонніх ідеалів, називається симетричним (або обмеженим).

Напередрадикальний фільтр лівих ідеалів диференціального кільця називатимемо диференціальним напередрадикальним фільтром Бленда, якщо виконується наступна умова:

БЛ. Для кожного існує такий , що для кожного .

Тоді фільтр Габріеля лівих ідеалів диференціального кільця називається радикальним фільтром Бленда, якщо він є фільтром Бленда як напередрадикальний фільтр.

Твердження 3.1 Будь-який симетричний напередрадикальний фільтр (фільтр Габріеля) довільного диференціального кільця є напередрадикальним (радикальним) фільтром Бленда.

Якщо напередрадикальний фільтр (фільтр Габріеля) лівих диференціальних ідеалів диференціального кільця, не обов'язково симетричний, має базу з лівих диференціальних ідеалів, то він є напередрадикальним (радикальним) фільтром Бленда.

Твердження 3.2 Кожний диференціальний НК-фільтр -кільця R є базою для деякого звичайного фільтру Габріеля кільця R, який є радикальним фільтром Бленда; назвемо його фільтром Бленда, породженим НК-фільтром .

Більше цього, множина всіх диференціальних лівих ідеалів, які належать до деякого фіксованого радикального фільтра Бленда , є базою для деякого НК-фільтру лівих ідеалів -кільця R. При цьому різні фільтри Бленда можуть визначати різні НК-фільтри.

У пункті 3.2 введено поняття напередрадикального фільтру Бленда. Встановлено, що будь-який симетричний напередрадикальний фільтр (фільтр Габріеля) довільного диференціального кільця є напередрадикальним (радикальним) фільтром Бленда. Якщо напередрадикальний фільтр (фільтр Габріеля) лівих диференціальних ідеалів диференціального кільця, не обов'язково симетричний, має базу з лівих диференціальних ідеалів, то він є напередрадикальним (радикальним) фільтром Бленда.

Напередрадикалом в категорії лівих диференціальних R-модулів , або диференціальним напередрадикалом, називають підфунктор тотожного функтора в , тобто такий функтор , що для будь-яких диференціальних модулів M і виконується наступне:

є диференціальним підмодулем в M для кожного лівого диференціального -модуля

;

для кожного диференціального гомоморфізму .

Диференціальним ядерним функтором в категорії називають спадковий диференціальний напередрадикал в категорії .

Диференціальний лівий модуль M назвемо диференціально однорідним, якщо кожний його циклічний підмодуль є диференціальним. Кожний диференціальний модуль M містить найбільший диференціально однорідний підмодуль .

Диференціальний ядерний функтор називатимемо ядерним НК-функтором, якщо для кожного диференціального модуля справедливе включення .

Теорема 3.8 1. Множина всіх (ідемпотентних) ядерних функторів на категорії , які є продовженнями деяких диференціальних ядерних функторів визначених на , є повною граткою.

Множина всіх (ідемпотентних) ядерних НК-функторів утворює повну гратку.

У пункті 3.3 доведена теорема про відповідність, яка є своєрідним диференціальним аналогом відомої теореми Габріеля-Маранди про відповідність між фільтрами та скрутами.

Твердження 3.13 Для кожного НК-фільтра диференціальний ядерний функтор є НК-функтором.

Наступна теорема встановлює істинність оберненої імплікації.

Теорема 3.14 Існує взаємно однозначна відповідність між (ідемпотентними) ядерними функторами на категорії , які є продовженнями деяких диференціальних ядерних функторів, визначених на , і напередрадикальними (радикальними) фільтрами Бленда кільця .

Теорема 3.15 Існує взаємно однозначна відповідність між (ідемпотентними) ядерними НК-функторами на категорії і (радикальними) НК-фільтрами кільця .

Пункт 3.4 присвячений дослідженню гратки диференціальних напередскрутів та скрутів Бленда, а в пункті 3.5 отримані результати застосовуються до дослідження кванталі фільтрів Бленда та НК-фільтрів.

Твердження 3.16 Перетин та об'єднання довільної сім'ї напередрадикальних (радикальних) фільтрів Бленда лівих ідеалів диференціального кільця є напередрадикальним (радикальним) фільтром Бленда лівих ідеалів кільця .

Твердження 3.17 Якщо та напередрадикальні (радикальні) фільтри Бленда лівих ідеалів диференціального кільця , то їх добуток є напередрадикальним (радикальним) фільтром Бленда лівих ідеалів диференціального кільця .

Поняття кванталі походить ще з 20-х рр. ХХ-го століття, коли В. Круль, а за ним Р. Ділворт та М. Ворд, розглядали гратку ідеалів із заданим най ній множенням. Сам термін "кванталь" запропонував К. Малвей, розглядаючи її як узагальнення поняття локалі для дослідження некомутативних -алгебр з допомогою ґраток ідеалів та інших підструктур.

Кванталлю називають повну гратку Q із заданою на ній асоціативною бінарною операцією , яка задовольняє закони дистрибутивності:

для всіх .

Морфізмом кванталей називають морфізм повних граток , який зберігає множення, тобто:

для всіх .

Підкванталлю кванталі Q називають її підмножину, замкнену стосовно об'єднань та множення.

Основні результати сформульовані у вигляді тверджень і теорем.

Твердження 3.18 Множина всіх НК-фільтрів диференціального кільця утворює кванталь стосовно перетинів.

Теорема 3.19 Множина всі напередрадикальних фільтрів Бленда лівих ідеалів диференціального кільця є кванталлю стосовно перетинів, причому вона є підкванталлю кванталі всіх напередрадикальних фільтрів диференціального кільця .

У пункті 3.6 досліджуються примарні розклади напередскрутів в категорії диференціальних модулів.

Квазіпервинним НК-скрутом називатимемо квазіпервинний напередскрут, який є скрутом.

Квазіпервинним радикалом НК-скруту називатимемо перетин всіх таких квазіпервинних НК-скрутів , що , тобто

.

Квазіпримарним НК-скрутом називатимемо такий НК-скрут, квазіпервинний радикал якого є квазіпервинним НК-скрутом.

Теорема 3.22 В диференціальному нетеровому цілком обмеженому кільці кожний НК-скрут володіє квазіпримарним розкладом (тобто, є перетином скінченного числа квазіпримарних НК-скрутів, які насправді є незвідними).

У четвертому розділі викладено застосування диференціально примарних розкладів до деяких логічних проблем алгебри. Встановлено аксіоматизовність класу некомутативних кілець Прюфера (у сенсі Гретера), а також неаксіоматизовність класу некомутативних кілець нормування Дубровіна.

Нехай I - довільна нескінченна множина та множина її підмножин. Нехай - сім'я кілець, заіндексованих множиною I. Якщо ультрафільтр над , то ультрадобуток кілець стосовно ультрафільтру позначимо через

.

Елементами з є класи еквівалентності елементів добутку , причому тоді і тільки тоді, коли . Припустимо, що - правий ідеал кільця , для кожного . Тоді можна побудувати правий ідеал фільтрованого добутку сім'ї кілець стосовно фільтру . Цей ідеал також називається фільтрованим добутком лівих ідеалів стосовно фільтру . У випадку, коли є ультрафільтром, відповідні фільтровані добутки називаються ультрадобутками. Фільтри неголовні, а якщо фільтр є ультрафільтром, вважатимемо його зліченно неповним і позначатимемо через .

Нехай I - множина індексів, - ультрафільтр над I, а - сім'я деяких підмножин множини , заіндексована елементами . Тоді за означенням

.

Називатимемо цю множину внутрішнім фільтрованим добутком сім'ї множин . Коли є ультрафільтром, то називається внутрішнім ультрадобутком множин . Зазначимо ще, що

.

Якщо - лівий (правий) ідеал кільця при будь-якому , а - фільтр над I, то внутрішній фільтрований добуток є лівим (правим) ідеалом в . Більше цього, якщо всі є радикальними в комутативному кільці , то також радикальний. Якщо ж всі первинні (максимальні ліві, цілком первинні) і є ультрафільтром, то також є первинним (максимальним лівим, цілком первинним) ідеалом кільця R.

Лема 4.8 Ультрастепінь будь-якого правого непрюферового кільця є правим непрюферовим кільцем (або по-іншому, якщо кільце R не є прюферовим, то і будь-який його ультрастепінь не може бути прюферовим кільцем).

Теорема 4.9Клас правих кілець Прюфера аксіоматизовний.

Твердження 4.10 Ультрадобуток будь-якої сім'ї кілець нормування Шілінга є кільцем нормування Шілінга.

Теорема 4.11. Нехай - сім'я H-кілець нормування. Тоді для будь-якого неголовного ультрафільтра над I ультрадобуток

є H-кільцем тоді і тільки тоді, коли існує така множина , що для кожного ідеал є нільпотентним фіксованого індексу нільпотентності .

Теорема 4.12 Нехай - сім'я кілець нормування Дубровіна. Припустимо, що для кожного , де є центральною простою артіновою алгеброю над полем , причом

у .

Крім того, нехай для кожного - такий максимальний ідеал в , що:

.

Якщо - довільний неголовний ультрафільтр над I, то кільце є кільцем нормування Дубровіна в центральній простій алгебрі:

тоді і тільки тоді, коли існує така множина , що для кожного виконується рівність для деякого .

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню примарних (квазіпримарних) розкладів та їх аналогів у диференціальних кільцях і модулях та узагальненню результатів на теоретико-скрутову ситуацію.

Теорія примарних розкладів та їх аналогів в недиференціальних кільцях добре розвинута. Дослідження примарних розкладів в диференціальному випадку обмежується результатами Зайденберга, Брауна, Куана, Сато, Фуруя та Новіцкого, але загального підходу до питання про примарні розклади диференціальних ідеалів і модулів не було розроблено. Зокрема, зовсім не розроблений підхід, що базується на використанні нових результатів про первинні модулі та їх диференціальні аналоги.

У дисертації введено поняття диференціально первинного та квазіпервинного диференціального підмодулів диференціального модуля, які узагальнюють аналогічні поняття в кільцях, зокрема поняття Sdm-системи диференціального кільця узагальнює поняття dm-системи, яке ввели Хаджієв і Ціальп. На цій основі узагальнено поняття первинного та примарного модулів на диференціальний випадок. Встановлено існування розкладу диференціальних підмодулів на незвідний скінченний перетин квазіпервинних диференціальних підмодулів - "квазіпримарний диференціальний розклад": якщо R - нетерове диференціальне кільце, M - лівий диференціальний скінченно породжений модуль над R, то кожний лівий диференціальних підмодуль N в M можна розкласти в незвідний перетин квазіпримарних підмодулів. Більш загально, показано, що довільний НК-скрут над цілком обмеженим нетеровим диференціальним кільцем є перетином скінченного числа квазіпримарних скрутів, причому цей розклад незвідний.

Введено до розгляду напередрадикальні диференціальні фільтри Бленда, встановлено деякі їх властивості. Доведена теорема про відповідність, яка є своєрідним диференціальним аналогом відомої теореми Габріеля-Маранди про відповідність між фільтрами та скрутами. Існує взаємно однозначна відповідність між (ідемпотентними) ядерними функторами на категорії , які є продовженнями деяких диференціальних ядерних функторів, визначених на , і напередрадикальними (радикальними) фільтрами Бленда кільця . Існує взаємно однозначна відповідність між (ідемпотентними) ядерними НК-функторами на категорії і (радикальними) НК-фільтрами диференціального кільця R.

Детальному дослідженню піддані логічні властивості класів диференціальних кілець, які тісно зв'язані з примарними розкладами. Встановлено аксіоматизовність класу некомутативних кілець Прюфера (у сенсі Гретера), та неаксіоматизовність класу некомутативних кілець нормування Дубровіна. Ці результати мають в якості наслідків відомі твердження про аксіоматизовність комутативних кілець Прюфера, доведені Ламом, Ольбердінгом і Шапіро іншими методами.

Одержані в роботі результати можуть бути використані в диференціальній алгебрі, диференціальній алгебраїчній геометрії, абстрактній теорії диференціальних рівнянь над диференціальними кільцями та інших галузях математики, завдяки високому ступеню загальності.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Комарницький М.Я. Про аксіоматизовність класу некомутативних прюферових кілець / М.Я. Комарницький, І.О. Мельник // Мат. методи та фіз. -мех. поля. - 2005. - Т. 48, № 4. - С. 30-37.

2. Melnyk I. On quantales of preradical Bland filters and differential preradical filters / I. Melnyk // Algebra and discrete mathematics. - 2007. - № 4. - P. 108-122.

3. Мельник І.О. Sdm-системи, диференціально первинні та диференціально примарні модулі / І.О. Мельник // Наук. вісник Ужгородського університету. - 2008. - Вип. 16. - С. 110-118. - (Серія "Математика і інформатика").

4. Melnyk I. Differentially prime and quasi-prime submodules / I. Melnyk // Buletinul A.S.R.M. Matematica. - 2008. - Т. 58, № 3. - С. 92-96.

5. Komarnytsky M.Ya. On ultraclosedness of a class of noncommutative Prьfer rings / M.Ya. Komarnytsky, I.O. Melnyk // 5^th international algebraic conference in Ukraine, July 20-27, 2005, Odessa: Conference abstracts. - Odessa, 2005. - P. 101-102.

6. Мельник І.О. Ультрадобутки кілець нормування Дубровіна / І.О. Мельник // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18-20 травня 2006 р., Київ: Матеріали конференції. - Київ: ТОВ "Задруга, 2006. - Т. 1. - С. 518.

7. Komarnitskyi M.Ya. On quantale of Bland filters over differential rings / M. Ya. Komarnitskyi, I.O. Melnyk // 6^th international algebraic conference in Ukraine, July 1-7, 2007, Kamyanets-Podilsky: Conference abstracts. - Kamyanets-Podilsky, 2007. - P. 104-105.

8. Мельник І.О. Квазіпервинні диференціальні ідеали та кільця / І.О. Мельник // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ: Матеріали конференції. - Київ: ТОВ "Задруга", 2008. - Т. 1. - С. 728.

9. Мельник І.О. Квазіпервинні диференціальні підмодулі та квазіпримарні розклади / І.О. Мельник // Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми механіки та математики", 25-29 травня 2008 р., Львів: Матеріали конференції. - Львів, 2008. - Т. 3. - С. 191-193.

10. Комарницький М.Я. Про аксіоматизовність класу некомутативних диференціально-прюферових кілець / М.Я. Комарницький, І.О. Мельник// Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми механіки та математики", 25-29 травня 2008 р., Львів: Матеріали конференції. - Львів, 2008. - Т. 3. - С. 189-190.

АНОТАЦІЇ

Мельник І.О. Примарні розклади диференціальних скрутів, ідеалів та модулів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра та теорія чисел. - Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню примарних розкладів та їх аналогів у диференціальних кільцях та модулях та узагальненню результатів на теоретико-скрутову ситуацію.

У дисертації введено поняття диференціально первинного та квазіпервинного диференціального підмодуля диференціального модуля, а також Sdm-системи. Встановлено існування розкладу диференціальних підмодулів скінченно породженого диференціального модуля над нетеровим диференціальним кільцем на незвідний скінченний перетин квазіпервинних диференціальних підмодулів - "квазіпримарний диференціальний розклад". Показано, що довільний НК-скрут над цілком обмеженим нетеровим диференціальним кільцем є перетином скінченного числа квазіпримарних скрутів, причому цей розклад незвідний.

Введено до розгляду напередрадикальні диференціальні фільтри Бленда. Доведена теорема про відповідність - диференціальний аналог теореми Габріеля-Маранди про відповідність між фільтрами та скрутами.

Детальному дослідженню піддані логічні властивості класів диференціальних кілець, які визначаються за допомогою примарних розкладів. Встановлено аксіоматизовність класу некомутативних кілець Прюфера (у сенсі Гретера) та неаксіоматизовність класу некомутативних кілець нормування Дубровіна.

Ключові слова: примарний розклад, квазіпримарний розклад, диференціальне кільце, диференціальний модуль, диференціальний ідеал, диференціально первинний підмодуль, квазіпервинний підмодуль, квазіпримарний підмодуль, НК-скрут, скрут Бленда.

Мельник И.О. Примарные разложения дифференциальных кручений, идеалов и модулей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена исследованию примарных разложений и их аналогов в дифференциальных кольцах и модулях и обобщению результатов на ситуацию кручений.

В диссертации вводиться понятие первичного и квазипервичного дифференциального подмодуля и Sdm-системы. Установлено существование разложения дифференциальных подмодулей дифференциального конечно порожденного модуля над дифференциальным нетеровым слева кольцом на неприводимое конечное пересечение квазипримарных подмодулей. Доказано, что любое НК-кручение над вполне ограниченным нетеровым дифференциальным кольцом можно представить в виде пересечения конечного числа квазипримарных кручений, причем это разложение неприводимо.

Вводиться понятие предрадикального дифференциального фильтра Бленда. Доказана теорема о соответствии - дифференциальный аналог теоремы Габриеля-Маранды о соответствии между фильтрами и кручениями.

Исследуются логические свойства классов дифференциальных колец, которые определяются с помощью примарных разложений. Доказана аксиоматизируемость класса некоммутативных колец Прюфера и неаксиоматизируемость класса некомутативных колец нормирования Дубровина.

Ключевые слова: примарное разложение, квазипримарной разложение, дифференциальное кольцо, дифференциальный модуль, дифференциальный идеал, дифференциально-первичный подмодуль, квазипервичный подмодуль, квазипримарный подмодуль, НК-кручение, кручение Бленда.

Melnyk I.O. Primary decompositions of differential torsion theories, ideals and modules. - Manuscript.

The thesis for Candidate of Sciences Degree (PhD Thesis) of physics and mathematics in specialty 01.01.06 - algebra and number theory. - Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2008.

The thesis is devoted to investigation of primary decompositions and their analogues in differential rings and modules and to generalization of the results to torsion theoretic case.

The theory of primary decompositions and its analogues in non-differential rings is well developed. But in differential case the investigations are only restricted to the results of Seidenberg, Brow, Kuan, Sato, Furuya and Nowicky, no general approach the question on existence of primary decompositions of differential ideals and modules was developed. In particular, the approach based on new results about primary modules and their differential analogues.

In the thesis new objects of differential algebra, i. e. of differentially prime and quasi-prime differential submodule, and of Sdm-system of a differential module are introduces and studied. They generalize the well-known notions for rings in a natural way. A non-empty subset of a differential module M is an Sdm-system of a module M if for all and there exist and such that . A differential module M is differentially prime if the left annihilator of each of its nonzero differential submodule coincides with the annihilator of the whole module. A differential submodule N of the left differential module is differentially prime, if the differential module is differentially prime. The existence of the decomposition of differential submodules into irreducible finite intersection of quasi-prime differential submodules is established: if is a Noetherian differential ring, M is a left differential finitely generated module over , then every left differential submodule N of M might be decomposed into irreducible finite intersection of quasi-primary modules. It is also proven that any НК-torsion theory over a completely bounded Noetherian differential ring is an intersection of finite number of quasi-primary torsion theories, and the decomposition is irreducible. The principal technical constructions are based on the operator which generalizes the operator known for commutative differential rings.

The notion of differential preradical Bland filter is introduced and some of its properties are established. The correspondence theorem, which is an analogue of Gabriel-Maranda Theorem of correspondence between filters and torsion theories, is proven. It states that there exists a one-to-one correspondence between (idempotent) kernel functors of , which are the extensions of some differential kernel functors, defined on , and preradical (radical) Bland filters of the R. There exists a one-to-one correspondence between (idempotent) kernel НК-functors on and (radical) НК-filters of the ring R.

The quantale of preradical Bland filters is investigated. It is proved that the set of all НК-filters of the differential ring R forms a quantale. A preradical filter of left ideals of the differential ring R is a differential preradical Bland filter, if for each there exists such that for every . The set of all preradical Bland filters of left ideals of the differential ring forms a quantale, it is a subquantale of the quantale of all preradical filters of the differential ring R.

One of the central problems of module-theoretic algebra is a question on axiomatzability of a certain class of algebraic structures, because the positive answer gives a possibility to use the methods of model theory to the class. Some logical properties of the classes of differential rings defined by means of primary decompositions. It is established that the class of noncommutative Prьfer rings (in the sense of Grдter) is axiomatizable, and the class of noncommutative Dubrovin valuation rings is non-axiomatizable. The ultraproduct of any family of Shilling valuation rings is a Shilling valuation ring.

The results imply the well-known propositions on axiomatizability of commutative Prьfer rings proved by Lam, Olberding and Shapiro obtained by using other methods.

The results obtained might be utilized in differential algebra, differential algebraic geometry, abstract theory of differential equations over differential rings and in other fields of mathematics due to its generality.

Keywords: primary decomposition, quasi-primary decomposition, differential ring, differential module, differential ideal, differentially prime submodule, quasi-prime submodule, quasi-primary submodule, HK-torsion theory, Bland torsion theory.

Размещено на Allbest.ru

...