Найкращі тригонометричні наближення та поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Найкращі тригонометричні наближення та поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних

01.01.01 -- математичний аналіз

Конограй Андрій Федорович

Київ 2008

Загальна характеристика роботи

Робота присвячена дослідженню апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних. Зокрема, вивчаються наближення класів функцій M-членними тригонометричними поліномами, а також колмогоровські, тригонометричні та лінійні поперечники класів у просторі Lq.

Актуальність теми. Починаючи з 60-х років минулого століття важливе місце в теорії наближення посідає напрям, пов'язаний з дослідженням апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних. В роботах К.І. Бабенка, в яких вивчаються найкращі наближення періодичних функцій багатьох змінних з класів Соболєва, було встановлено, що для оптимального наближення функцій з цих класів слід використовувати тригонометричні поліноми, "номери" гармонік яких знаходяться в так званих гіперболічних хрестах. Іншими словами, при наближенні функцій з класів Соболєва тригонометричні поліноми з "номерами" гармонік з гіперболічних хрестів відіграють таку ж роль, як і звичайні тригонометричні поліноми в одновимірному випадку. З появою гіперболічних хрестів розпочалося інтенсивне дослідження класів періодичних функцій багатьох змінних.

Подальші дослідження проводилися в двох паралельних напрямах. З одного боку, розглядалися більш загальні класи функцій, а з іншого -- вводилися і досліджувалися нові апроксимативні характеристики.

В останні кілька десятиріч було отримано низку важливих результатів наближення періодичних функцій багатьох змінних з класів Соболєва, а також добре відомих класів Нікольського і Бєсова. Завдяки роботам В.М. Темлякова, Е.М. Галєєва, Е.С. Белінського, В.Ф. Бабенка, А.С. Романюка, Liu Yongping і Xiao Weiwei та інших на сьогоднiшній день в теорії наближення згаданих класів функцій досягнуто практично такого ж рівня завершеності, як і в одновимірному випадку.

В 1994 р. в роботі М.М. Пустовойтова і згодом, в 1997 р., в роботі Sun Yongsheng і Wang Heping було розглянуто класи періодичних функцій багатьох змінних та відповідно, і досліджено їх деякі апроксимативні характеристики. Важливо зауважити, що при певному виборі функції Щ(·) класи і співпадають з класами Нікольського і Бєсова, відповідно. В подальшому при дослідженні тригонометричних наближень, а також різного роду поперечників (колмогоровський, лінійний, тригонометричний, ортопроекційний) класів і у просторі Lq низку результатів було отримано в роботах С.А. Стасюка та О.В. Федуник. При цьому виявилося, що в багатьох випадках тригонометричні поліноми з "номерами" гармонік зі "східчасто-гіперболічних хрестів" відіграють таку ж роль, як і при наближенні класів Соболєва, Нікольського та Бєсова, тобто є оптимальними апаратами наближення. Слід зазначити, що при дослідженні питань апроксимації класів і у просторі Lq основна увага була зосереджена на тих випадках, коли параметри p і q не приймають граничних значень 1 та ?. З іншого боку, саме в цих випадках отримання оцінок деяких апроксимативних характеристик цікаве, як з точки зору практичних застосувань, так і з точки зору нових методів, які при цьому необхідно використовувати. Таким чином, з огляду на сказане вище актуальним є дослідження найкращих тригонометричних наближень, а також колмогоровських, тригонометричних та лінійних поперечників класів та у просторі Lq, особливо у тих випадках, де параметри p або q набувають граничних значень 1 або ?.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою: "Теорія наближень в лінійних просторах", номер державної реєстрації 0106 U 000406.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розповсюдження відомих результатів щодо найкращих тригонометричних наближень, колмогоровських, лінійних та тригонометричних поперечників класів періодичних функцій багатьох змінних і , розглянутих відповідно О.В. Бєсовим і С.М. Нікольським, на класи і , які визначаються функцією Щ(·) типу мішаного модуля неперервності порядку l деякого спеціального вигляду і які співпадають з класами і при певному виборі функції Щ(·).

Об'єктом дослідження є класи і, зокрема, періодичних функцій багатьох змінних.

Предметом дослідження є наступні величини: найкращі M-членні тригонометричні наближення, найкращі M-членні ортогональні тригонометричні наближенням, колмогоровські поперечники, тригонометричні поперечники, а також лінійні поперечники.

Задачі дослідження:

1. Знайти точнi за порядком оцiнки найкращих M-членних ортогональних тригонометричних наближень класiв у просторi Lq, 1<q<?.

2. Дослiдити поведiнку найкращих M-членних тригонометричних наближень класiв у просторi Lq при певних співвідношеннях між параметрами p і q та порівняти одержані результати з вiдповiдними результатами для найкращих M-членних ортогональних тригонометричних наближень.

3. Знайти порядкові оцінки колмогоровських поперечників класів , 1<p??, у рівномірній метриці.

4. Встановити точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників класів , p=1,? , у просторі Lq, 1<q<?.

5. Дослідити поведінку тригонометричних та лінійних поперечників класів у просторi Lq, 1<q<?. Порівняти встановлені результати з відповідними оцінками колмогоровських поперечників цих же класів функцій.

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи теорії функцій в поєднанні з методами, які були розроблені в роботах В.М. Темлякова, Б.С. Кашина, Е.С. Белінського, А.С. Романюка, Sun Yongsheng, Wang Heping та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають в наступному:

1. Одержано точнi за порядком оцiнки найкращих M-членних ортогональних тригонометричних наближень класiв у просторi Lq, 1<q<?. Виявлено, що оцiнки величин , при певних значеннях параметра и , кращi за порядком, ніж оцiнки наближень класiв тригонометричними полiномами з відповідною кількістю гармонік з "номерами" iз "східчастих гiперболiчних хрестiв".

2. Знайдено порядковi оцiнки найкращих M-членних тригонометричних наближень класiв , у просторi Lq, при певних співвідношеннях між параметрами p та q. Встановлено, що в деяких випадках величини мають кращі за порядком оцiнки, нiж величини .

3. Встановлено порядкові оцінки колмогоровських поперечників класів , 1<p??, у рівномірній метриці.

4. Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників при p=1,? та 1<q<?.

5. Одержано точні за порядком оцінки тригонометричних та лінійних поперечників класів у просторi Lq, 1<q<?, і таким чином встановлено, що в цьому випадку тригонометричний та лінійний поперечники мають однакові порядки.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи та методика їх отримання можуть бути використані при подальшому вивченні питань наближення періодичних функцій багатьох змінних. Зокрема, результати, що стосуються найкращого M-членного тригонометричного наближення класiв , можна застосувати при дослiдженнi так званих білінійних наближень функцiй з цих класiв. тригонометричний наближення періодичний функція

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівнику -- доктору фіз.-мат. наук А.С. Романюку. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

-- семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України; керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України О.І. Степанець);

-- семінарі "теорія функцій" (механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка; керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, професор І.О. Шевчук);

-- міжнародній науковій конференції "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування", Ужгород, 18-23 вересня 2006 року;

-- міжнародній конференції, присвяченій 150-річчю з дня народження О.М. Ляпунова, Харків, 24-30 червня 2007 року;

-- міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька, Дрогобич, 24-28 вересня 2007 року;

-- дванадцятій міжнародній науковій конференції ім. М.П. Кравчука, Київ, 15-17 травня 2008 року;

-- міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки та математики", Львів, 25-29 травня 2008 року;

-- міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування" з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка, Мелітополь, 16-21 червня 2008 року.

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1 - 10].

В статтях [2] та [4], які написані у співавторстві зі С.А. Стасюком, теореми 2 належать С.А. Стасюку, всі інші результати -- дисертанту.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 105 найменувань.

Повний обсяг роботи складає 129 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за темою дослідження. В підрозділі 1.1 проведено огляд робіт, присвячених дослідженню деяких апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних та наведено кілька відомих результатів. У підрозділі 1.2 висвiтлюються основнi аспекти розвитку найкращого M-членного тригонометричного наближення рiзних функцiональних класiв. Для класів функцій Соболєва, Нікольського і Бєсова однієї та багатьох змінних проведено огляд літератури з досягнень в цьому напрямку. У підрозділі 1.3 сформульовано задачі про колмогоровські, тригонометричні та лінійні поперечники і зроблено короткий огляд історії розвитку даної тематики.

У другому розділі знайдено порядкові оцінки найкращих M-членних тригонометричних наближень класів у просторі Lq при деяких співвідношеннях між параметрами p та q.

Підрозділ 2.1 носить допоміжний характер. В ньому формулюються задачі дослідження, наводяться необхідні позначення та твердження, які використовуються при доведенні відповідних результатів.

У підрозділі 2.2 одержано точні за порядком оцінки величин при 1<q<?.

Наприкінці підрозділу проводиться порівняння одержаного результату даної теореми з відповідними оцінками найкращих наближень класів тригонометричними поліномами з "номерами" гармонік із "східчасто-гіперболічних хрестів".

У підрозділі 2.3 встановлено точні за порядком оцінки величин при 2<q<?.

Крім того, у підрозділі 2.4 знайдено порядкові оцінки найкращих M-членних тригонометричних наближень класів при p=1,?, у рівномірній метриці.

Третій розділ роботи присвячено дослідженню колмогоровських, тригонометричних та лінійних поперечників класів у просторі Lq.

Підрозділ 3.1 носить допоміжний характер. В ньому формулюються задачі дослідження і наводяться необхідні позначення.

В підрозділі 3.2 одержано порядкові оцінки величин при 1<p??.

У підрозділі 3.3 встановлено точні за порядком оцінки величин при p=1,? , 1<q<?.

В підрозділі 3.4 знайдено точні за порядком оцінки величин при 1<q<?.

В підрозділі 3.5 знайдено точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів у просторі Lq для деяких співвідношень між параметрами p та q.

Висновки

1. Одержано точнi за порядком оцiнки найкращих M-членних ортогональних тригонометричних наближень класiв у просторi Lq, 1<q<?. Виявлено, що існують співвідношення між параметрами q та и, при яких оцiнки величин кращi за порядком, ніж вiдповiднi оцiнки найкращих наближень класiв тригонометричними полiномами з "номерами" гармонiк iз "східчастих гiперболiчних хрестiв".

2. Знайдено порядковi оцiнки найкращих M-членних тригонометричних наближень класiв у просторi Lq при певних співвідношеннях між параметрами p та q. Якщо 2<q<?, 1?и??, то оцінки величини кращi за порядком, нiж оцінки величин та з відповідною кількістю гармонік.

3. Встановлено порядкові оцінки колмогоровських поперечників класів , 1<p??, 1?и??, у рівномірній метриці.

4. Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників класів при p=1,? та 1<q<?. Встановлено, що при 2<q<?, 1?и??, оцінка поперечника є кращою за порядком, ніж оцінка величини , якщо ж 1<q?2, 1?и?q, то оцінки згаданих величин співпадають за порядком.

5. Одержано точні за порядком оцінки тригонометричних та лінійних поперечників класів у просторi Lq, 1<q<?. Виявлено, що в усіх розглянутих випадках оцінки тригонометричних, лінійних та колмогоровських поперечників рівні між собою за порядком. Зокрема, якщо 1<q?2, 1?и?q, то екстремальним підпростором для вказаних поперечників є підпростір тригонометричних поліномів з "номерами" гармонік зі східчасто-гіперболічних хрестів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Конограй А.Ф. Колмогоровські поперечники класів в просторі L? / А.Ф. Конограй // Комплексний аналіз і течії з вільними границями : Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2006. -- Т. 3, № 4. -- C. 181 -197.

2. Конограй А.Ф. Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй, С.А. Стасюк // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання : Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2007. -- Т. 4, № 1. -- C. 151-171.

3. Конограй А.Ф. Поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй // Математичні Cтудії. -- 2008. -- Т.29, №2. -- С. 192 - 206.

4. Конограй А.Ф. Найкращі М-членні тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq / А.Ф. Конограй, С.А. Стасюк // Укр. мат. журн. -- 2008. -- Т. 60, № 9. -- C. 1206 - 1224.

5. Конограй А.Ф. Найкращі M-членні тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй // Міжнародна наукова конференція "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування": Тези доповідей. -- Ужгород, 2006. -- C.~52.

6. Конограй А.Ф. Колмогоровські поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька : Тези доповідей. -- Дрогобич, 2007. -- С. 147.

7. Konogray A.F. Kolmogorov widths of the classes in the space L? / A.F. Konogray // International conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov: Book of abstracts. -- Kharkiv, 2007. -- P. -79.

8. Конограй А.Ф. Тригонометричні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй // Дванадцята міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука: Матеріали конф. -- К.: Національний технічний університет України "КПІ", 2008. -- С. - 660.

9. Конограй А.Ф. Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй // ІІ міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми механіки та математики": Збірник тез. -- Львів, 2008. -- Т.3. -- С. 67.

10. Конограй А.Ф. Лінійні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних / А.Ф. Конограй // Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування" з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка : Тези доповідей. -- Мелітополь, 2008. -- С. 64.

Анотація

Конограй А.Ф. Найкращі тригонометричні наближення та поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних.-- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

В дисертації проведено дослідження апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних.

Одержано точні за порядком оцінки найкращих M-членних ортогональних тригонометричних наближень, колмогоровських, тригонометричних та лінійних поперечників класів в просторi Lq, 1<q<?. Встановлено також порядкові оцінки найкращих M-членних тригонометричних наближень та колмогоровських поперечників класів у просторі Lq для деяких значень параметрів p і q.

Ключові слова: найкраще M-членне тригонометричне наближення, найкраще M-членне ортогональне тригонометричне наближення, колмогоровський поперечник, тригонометричний поперечник, лінійний поперечник.

Аннотация

Конограй А.Ф. Наилучшие тригонометрические приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

В диссертации проведено исследование аппроксимативных характеристик классов периодических функций многих переменных.

Получены точные по порядку оценки наилучших M-членных ортогональных тригонометрических приближений, колмогоровских, тригонометрических и линейных поперечников классов в пространстве Lq,1<q<?. Установлены также порядковые оценки наилучших M-членных тригонометрических приближений и колмогоровских поперечников классов в пространстве Lq для некоторых значений параметров p и q.

Ключевые слова: наилучшее M-членное тригонометрическое приближение, наилучшее M-членное ортогональное тригонометрическое приближение, колмогоровский поперечник, тригонометрический поперечник, линейный поперечник

Summary

Konogray A.F. Best trigonometric approximations and widths of classes of periodic functions of several variables. -- Manuscript.

Dissertation for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01. -- mathematical analysis. -- Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

Dissertation is devoted to the investigation of approximative characteristics of classes of periodic functions of several variables.

We find exact order estimates for the best M-term orthogonal trigonometric approximations, Kolmogorov, trigonometric and linear widths of the classes in the space Lq, 1<q<?. Order estimates for the best M-term trigonometric approximations and Kolmogorov widths of the classes in the space Lq for some values of parameters p and q are obtained also.

Key words: best M-term trigonometric approximations, best M-term orthogonal trigonometric approximations, Kolmogorov width, trigonometric width, linear width.

Размещено на Allbest.ru