Методи барицентричного усереднення в задачах відновлення гармонічних та бігармонічних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методи барицентричного усереднення в задачах відновлення гармонічних та бігармонічних функцій

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У зв'язку з впровадженням нових інформаційних технологій актуальною є проблема розробки та використання ресурсозберігаючих методів для розв'язування задач механіки деформівного тіла, електростатики, теплотехніки, гідромеханіки, теорії пружності.

Задачі розрахунку стаціонарних фізичних полів, основних характеристик при крученні призматичних стержнів різноманітного поперечного перерізу та вигині пружних пластин мають важливе практичне значення. Точному розв'язанню існуючими математичними методами піддаються лише задачі найпростішого виду всередині геометрично тривіальних границь, у більшості ж випадків використовують наближені методи. В математичній постановці - це задачі відновлення функції в деякій області з заданими граничними умовами. Відновлення функції за її значеннями - одна з основних задач теорії апроксимації.

До розв'язування таких задач зводяться також дослідження у гірничій геомеханіці та інженерній геології, екологічному стані території та дослідження продуктивності нафтогазових пластів, коли за даними вимірювання вздовж границі необхідно відновити інформацію всередині досліджуваної області.

Існують різні методи розв'язування цієї проблеми: класичні інтерполяційні поліноми, інтерполяційні сплайни та ін. Традиційно задача відновлення функції розв'язується за допомогою методів дискретних елементів. Теорія та практика використання цих методів висвітлюється в роботах видатних вчених: О. Зенкевича, Тернера, Клафа, Р. Галлагера, Аргіріса, Бате, Вілсона, Васідзу, Мітчелла, Уейта, Одена, Д. Норрі, Ж. де Фріза, Дж. Ортега, У. Пула, Ж.-К. Сабонадьєра, Ж.-Л. Кулона, Л. Сегерлінда, Г. Стренга, Дж. Фікса, Сьярле, Л.О. Розіна, В.О. Постнова, О.С. Сахарова, І.П. Образцова, Р.Б. Рікардса, М.І. Мусхелишвілі, К. Бреббіа, В.В. Кірічевського, С.І. Гоменюка, Я.Г. Савули, Г.А. Шинкаренка, В.Г. Піскунова, Ю.І. Немчинова та ін.

Суттєвими недоліками більшості дискретних методів є складності з нанесенням сітки та проблеми, пов'язані з розв'язуванням систем алгебраїчних рівнянь.

Сучасні умови вимагають великої алгоритмічності, адаптивності та універсальності методів розв'язування таких задач. Наукові дослідження та проектно-конструкторські роботи, що здійснюються за допомогою широкого використання інформаційних технологій, потребують удосконалення існуючих та розробки нових моделей. Актуальним та мало дослідженим є створення несіткових методів. Успішне поєднання імовірнісних ідей та геометричного моделювання дозволило А.Н. Хомченку та учням його наукової школи розробити досить ефективний несітковий чисельний метод з простою структурою обчислювального алгоритму - метод барицентричного усереднення (МБУ). Основою методу є метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло), схеми блукань по колах Брауна-Мюллера та принцип барицентричного усереднення, запропонований ще Архімедом.

Геометричні моделі у поєднанні з механічними (або іншими) аналогіями дають зручний інструментарій, що дозволяє вирішувати задачі, для яких інші підходи виявляються непридатними. Тому актуальними є питання побудови, вдосконалення і дослідження геометричних моделей для розв'язування задач за допомогою процедур барицентричного усереднення та створення на їх основі відповідних обчислювальних алгоритмів. В дисертації розвинено комбінований підхід, що поєднує кращі риси методів скінченних елементів, граничних елементів, Монте-Карло. Переваги геометричного підходу над традиційним алгебраїчним підходом найбільш відчутні на скінченних елементах вищих порядків.

Вперше МБУ використовувався для розв'язування задачі Діріхлє для рівняння Лапласа. Вдосконалення запропонованих моделей дозволяє ефективно використовувати метод для розв'язування гармонічних задач, що моделюють кручення призматичних стержнів. Велике практичне значення має можливість застосування методу для задач зі складною геометрією області.

Актуальним є подальший розвиток методу барицентричного усереднення для розв'язування бігармонічних задач, що моделюють згинні деформації пружних пластин, та розробка технології відновлення функцій двох аргументів за допомогою поліномів Ерміта. Представляє інтерес дослідження можливостей нового підходу до моделювання деформацій згину пластин. Таким чином актуальною є науково-прикладна задача вдосконалення засобів математичного моделювання технічних систем шляхом розробки математичних моделей скалярних та векторних фізичних полів для розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій багатьох змінних за допомогою методу барицентричного усереднення, що дозволяє підвищити ефективність розв'язання важливих прикладних задач механіки деформівного тіла, електростатики, теплотехніки, гідромеханіки, теорії пружності.

Зв'язок проблеми з науковими програмами, планами, темами. Робота відповідає державним науково-технічним програмам, що сформульовані в Законі України «Про наукову і науково-технічну діяльність». Робота виконана в рамках наукових програм «Геометричне моделювання в алгоритмах обчислювальної математики» (реєстраційний номер 0106U011443) та «Розробка інформаційної технології геометричного моделювання скалярних полів» (реєстраційний номер 0105U002749) кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є підвищення ефективності чисельного моделювання технічних систем шляхом розробки математичних моделей скалярних та векторних фізичних полів для розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій багатьох змінних за допомогою методу барицентричного усереднення.

Для досягнення мети дослідження у роботі поставлені і розв'язані наступні задачі:

- проаналізувати існуючі методи розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій;

- побудувати математичні моделі для розв'язування задач дослідження температурних полів та теорії потенціалів у вигляді трикутних та серендипових дискретних елементів вищих порядків для методу барицентричного усереднення, розповсюдити геометричний підхід на тривимірні елементи та плоскі серендипові елементи з криволінійною границею у полярних координатах;

- побудувати однокрокові багатомаршрутні схеми випадкових блукань методу Монте-Карло на мультиплексі з поглинаючими, відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами для розв'язування двовимірних еліптичних задач удосконаленим методом барицентричного усереднення;

- розробити модель згладжування фізичного поля в квадратній пластині за допомогою білінійної інтерполяції;

- сконструювати базисні функції для двовимірних дискретних елементів лагранжева та ермітова типу способом геометричного моделювання;

- розробити метод барицентричного усереднення для відновлення гармонічних функцій на прикладі розв'язування задачі кручення призматичних стержнів з довільною формою поперечного перерізу та бігармонічних функцій на прикладі розв'язування рівняння Софі Жермен, що моделює деформації згину пружних пластин; показати ефективність запропонованого методу барицентричного усереднення по відношенню до сіткових методів;

- здійснити практичне впровадження результатів дослідження.

Об'єктом дослідження є задачі механіки деформівного тіла, електростатики, теплотехніки, теорії пружності, які зводяться до крайових задач математичної фізики для рівнянь Лапласа, Пуассона та Софі Жермен.

Предмет дослідження - геометричні моделі та побудовані на їх основі математичні методи дослідження температурних полів, полів деформацій кручення та згину.

Методи дослідження. В ході дослідження в роботі використовуються метод барицентричного усереднення, методи інтерполяції та апроксимації функцій двох та трьох змінних, методи скінченних різниць, скінченних елементів, математичний апарат теорії імовірностей, метод геометричного моделювання для побудови базисних функцій скінченних елементів, ідеї методу Монте-Карло та закон великих чисел у формі Я. Бернуллі, методи алгоритмізації та комп'ютерного експерименту, методи математичної фізики, методи крайових задач теплопровідності та метод найменших квадратів.

Наукова новизна одержаних результатів.

Вперше:

- геометричним методом побудовано базисні функції для трикутного скінченного елементу ермітова типу, що моделює згинні деформації пружних пластин, що дає можливість вилучити із обчислювального алгоритму громіздкі процедури складання та розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

- розроблено метод барицентричного усереднення для відновлення бігармонічних функцій на прикладі розв'язування рівняння Софі Жермен, що моделює деформації згину пружних пластин довільної форми, що дозволяє суттєво зменшити обсяг обчислень;

- розроблено геометричний метод моделювання згинних деформацій пружних пластин за допомогою трикутника Морлі, у якому на відміну від традиційного підходу не використовуються варіаційні принципи.

Удосконалено процедуру згладжування інтерполяційного полінома за допомогою білінійної інтерполяції для покращення властивостей та зменшення хвилеутворень функцій форми побудованих моделей з квадратним обчислювальним шаблоном.

Дістали подальшого розвитку:

- геометричний метод моделювання двовимірних та тривимірних елементів серендипової сім'ї; метод геометричного моделювання двовимірних скінченних елементів серендипової сім'ї розповсюджено на елементи в полярних координатах;

- метод барицентричного усереднення для розв'язування задач відновлення гармонічних функцій за допомогою шаблонів, що враховують вузли суперзбіжності, зокрема для розв'язування задачі кручення призматичних стержнів.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені моделі та запропоновані алгоритми методу барицентричного усереднення є простим та зручним інструментарієм для розв'язування задач дослідження температурних полів, теорії потенціалів, кручення призматичних стержнів та згину пружних пластин.

Побудовані моделі та алгоритми швидких обчислень можуть бути застосовані у науково-дослідницьких, конструкторських та проектних організаціях при розрахунках споруд, конструкцій, теплонавантажених елементів машин, а також у навчальному процесі.

Практичне значення результатів підтверджується впровадженням в ОАО «Херсонський завод карданних валів», м. Херсон (акт про впровадження від 15.05.2008 р.) та Старосамбірський льонокомбінат, м. Старий Самбір Львівської обл. для проектних розрахунків температурних полів пластинчастих елементів різноманітної конфігурації в деталях механізмів, а також для розрахунків характеристик при крученні стержневих елементів різноманітних поперечних перерізів та згинних деформаціях пружних пластин.

Отримані в роботі результати використовуються в навчальному процесі в Херсонському державному університеті (акт про впровадження від 09.04.2008 р.) та Херсонському національному технічному університеті (акт про впровадження від 18.03.2008 р.) при вивченні курсів «Обчислювальні методи», «Обчислювальна математика», «Прикладна математика», «Математичне моделювання» та «Програмування», що підтверджено відповідними актами впровадження.

Особистий внесок здобувача. Основні положення та результати дисертаційної роботи отримано автором самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: побудова математичних моделей, що спираються на обчислювальні шаблони МБУ у вигляді трикутних дискретних елементів лагранжева та ермітова типу, а також серендипових дискретних елементів вищого порядку, отримання на їх основі обчислювальних формул та алгоритмів розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій [1, 14]; побудова базисних функцій для елемента з криволінійною границею у полярних координатах [12]; розробка обчислювальних формул для багатомаршрутної однокрокової схеми випадкових блукань броунівської частинки у мультиплексі [2, 3]; моделювання блукань броунівської частинки у дискретному елементі зі штрафними маршрутами [5, 15]; доведення доцільності заміни у методах типу Монте-Карло апостеріорних перехідних імовірностей апріорними за допомогою серії комп'ютерних експериментів [3]; побудова моделі двовимірних дискретних елементів з ідеально відбиваючими, неідеально відбиваючими та поглинаючими вузлами [5]; розробка процедури згладжування інтерполяційного полінома за допомогою білінійної та квадратичної інтерполяції для моделей з квадратним обчислювальним шаблоном з 8, 12 та 16 вузлами [7, 17]; розробка алгоритмів і програм реалізації методу барицентричного усереднення для розв'язування задач знаходження температурного та електростатичного поля, кручення призматичних стержнів та згину пружних пластин [6, 13]; побудова базису трикутного елемента Морлі, що моделює згинні деформації пружних пластин, інтегруванням повних диференціалів [9, 10]; побудова узагальненого базису кусково-лінійної інтерполяції та тестування моделі за Айронсом-Раззаком [11].

Апробація результатів дисертації. Основні ідеї, положення і результати дослідження, що включені до дисертації, доповідались на наступних конференціях:

- Міжнародній науковій конференції «Інформаційна інфраструктура вищих закладів освіти» (м. Херсон, 2000 р.);

- The 10-th International Conference on Geometry and Graphics (м. Київ, 2002 р.);

- V Міжнародній конференції з математичного моделювання (м. Херсон, 2002 р.);

- VІ Міжнародній конференції з математичного моделювання (м. Херсон, 2003 р.);

- Всеукраїнській науково-практичній конференції «Інформатика та комп'ютерна підтримка навчальних дисциплін у середній і вищий школі» (м. Бердянськ, 2004 р.);

- VІІ Міжнародній конференції з математичного моделювання (м. Феодосія, 2005 р.);

- ІІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Дні науки - 2007» (Дніпропетровськ, 2007 р.);

- ХIII Міжнародному симпозіумі «Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики» (МДОЗМФ) (м. Херсон, 2007);

- IX Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 2007);

- X Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 2008).

Також результати дисертації доповідались і обговорювались на семінарах кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету.

В цілому дисертація доповідалась на об'єднаному семінарі кафедри прикладної математики та математичного моделювання, кафедри вищої математики, кафедри інформатики і комп'ютерних технологій та кафедри основ конструювання Херсонського національного технічного університету (м. Херсон, 2006 р.); на семінарі кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу Херсонського державного університету (м. Херсон, 2006 р.); на семінарі кафедри інформатики Херсонського державного університету (м. Херсон, 2007 р.), на регіональному науковому семінарі «Математичне моделювання, проблеми прикладної інформатики і управління» Національної металургійної академії України (м. Дніпропетровськ, 2007 р.), на міжнародному семінарі «Чисельне моделювання методами дискретних особливостей у математичній фізиці» Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (м. Харків, 2007 р.).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 17 робіт, з них 11 статей у виданнях, які включено до переліку фахових видань ВАК України.

Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел з 216 найменувань. Загальний обсяг роботи 136 с., вона містить 34 рис. та 14 таблиць.

Основний зміст роботи

інтерполяція дискретний геометричний

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми та її значущість. Обґрунтовано актуальність роботи, зазначено її зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Сформульовано мету та задачі, визначено об'єкт та предмет дослідження, перераховано використані методи. Показано наукову новизну одержаних результатів та їх практичне значення, відзначено особистий внесок здобувача. Наведено відомості про публікації з теми дисертації та апробацію її результатів.

Перший розділ присвячено огляду літератури. Окреслені основні етапи розвитку наукової думки за проблемою. Зроблено аналітичний огляд стану наукових досліджень із застосування чисельних методів для розв'язування задачі відновлення функції. Зазначено зв'язок роботи з іншими дослідженнями. Аналіз робіт попередників дозволив виявити коло проблем, що залишилися невирішеними: розвиток несіткових методів, удосконалення алгоритмів відновлення функції особливо для областей довільної конфігурації, модифікація методів та створення нових геометричних моделей для розв'язування нових класів задач, зокрема, для задач кручення стержнів та згину пружних пластин.

Аналіз досліджень показав, що барицентричне усереднення є ключовою ідеєю практично всіх методів дискретизації, орієнтованих на використання ЕОМ. Показано тісний зв'язок метода барицентричного усереднення (МБУ) з методом скінченних різниць, методом скінченних елементів (МСЕ), методом граничних елементів та методом Монте-Карло. Обчислювальні шаблони дискретних методів використовують властивості барицентра, а обчислювальні формули спираються на схеми випадкових блукань та монте-карлівські оцінки.

Основні наукові результати даного розділу опубліковані в роботах [3,5,15].

У другому розділі проаналізовано основні переваги та недоліки різних підходів до моделювання базисних функцій скінченних елементів. На відміну від традиційного алгебраїчного підходу геометричним методом побудовано систему базисних функцій плоского трикутного елемента та об'ємного елемента у вигляді тетраедра, це дозволило уникнути розв'язування системи лінійних рівнянь, наведено схему методу барицентричного усереднення розв'язування задачі Діріхлє для рівняння Лапласа.

Основний принцип МБУ - це усереднення на деякому шаблоні. Шаблони мають бути простої геометричної форми (у вигляді дискретного елемента): трикутник, квадрат, правильний шестикутник. Взагалі, сам шаблон не є головним. Для обчислень потрібні його вузлові точки та значення в цих точках. Дискретизації піддаємо лише границю досліджуваної області, причому таким чином, щоб граничні точки були вершинами обраного шаблону. Трикутник, тобто двовимірний симплекс, є одним з найбільш розповсюджених скінченних елементів. Основна причина цього - можливість апроксимації будь-якої області у двовимірному просторі многокутниками, які можна розбити на скінченну кількість трикутників. Відновлення функції в будь-якій точці всередині шаблону здійснюється таким чином, що поточна точка є центром мас системи, у якій відомі значення функції у вузлових точках шаблону:

(1)

де - вагові коефіцієнти усереднення; - значення функції у вузлових точках шаблону , - кількість вузлів.

Базисні функції на симплексі - це барицентричні координати. Статистичні експерименти за класичним методом Монте-Карло виявляють закономірність, що траєкторія випадкового блукання кожної частинки з досліджуваної точки області (точки старту) до відповідних граничних вузлів (точок фінішу, які надалі будемо називати поглинаючими вузлами) хоча і має зигзагоподібну геометричну форму, але начебто навивається на пряму, що з'єднує точку старту і точку фінішу. Отже, можна замінити зигзагоподібні траєкторії блукаючої частинки прямолінійними. Нова схема дозволяє ігнорувати історію блукань. Двовимірний симплекс-шаблон реалізує тримаршрутну однокрокову схему випадкових переходів броунівської частинки. Такий алгоритм відновлення гармонічної функції називається схемою «блукань по симплексах». На його основі були зроблені узагальнення для відновлення функції в k-вимірному симплексі та в мультиплексі.

Розроблено алгоритм методу Монте-Карло для моделювання руху броунівської частинки на мультиплексах, що покриваються решітками з квадратними комірками. Досліджено схему, запропоновану А.Н. Колмогоровим. Встановлено стійку збіжність апостеріорних ймовірностей до апріорних. Вперше побудовано нові обчислювальні формули для розв'язування двовимірних та просторових еліптичних задач відновлення гармонічних функцій багатьох змінних з використанням мультиплексу з поглинаючими, ідеально відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами, які дають можливість розглядати різноманітні граничні умови.

За допомогою серії комп'ютерних експериментів зроблено порівняння апріорних перехідних ймовірностей з апостеріорними, що дозволило зробити висновок

,

де - кількість частинок, що фінішували в -тому вузлі, - загальна кількість частинок, - значення базисної функції для -го вузла.

У класичній літературі з МСЕ автори обмежуються розглядом лінійних, квадратичних та кубічних 6-гранних елементів. На відміну від традиційного алгебраїчного підходу геометричний підхід до моделювання тривимірних серендипових скінченних елементів дає можливість отримання нових альтернативних моделей серендипових базисів. Так для конструювання базисних функцій на серендиповому скінченному елементі з 44 вузлами використовувались композиції площин і поверхонь 2-го порядку та процедури зважування базисних функцій.

Розв'язано задачу відновлення температурного поля в кубі. Розроблено програму для візуалізації тривимірного температурного поля за допомогою кольору (рис. 1).

Метод геометричного моделювання базисних функцій розповсюджено на елементи в криволінійних координатах, що усуває недоліки традиційного алгебраїчного підходу, пов'язані зі складанням і розв'язуванням великих систем рівнянь. Виконано тест повузлового розподілу рівномірної масової сили. Відзначена нерівномірність при збільшенні полярного радіуса.

У третьому розділі вперше сформульована та розв'язана задача згладжування фізичного поля в квадратній пластині. Дискретні елементи серендипової сім'ї набули широкого розповсюдження в наукових дослідженнях. Їх використання дозволяє суттєво зменшити обсяг обчислень у порівнянні з елементами Лагранжа завдяки відсутності внутрішніх вузлів. Разом з тим збільшення кількості вузлів на границі елемента спричиняє утворення осциляцій на поверхні.

Один із способів побудови згладженого базису полягає у використанні інтегрального варіанта методу найменших квадратів. При цьому із інтерполяційного полінома вилучається дуже обмежена кількість членів найвищого порядку. Але решта членів, нажаль, зберігає спроможність утворювати хвилі на поверхні.

Згладжування поверхні за допомогою білінійної інтерполяції, використовуючи лише 4 вузли, що розташовані у вершинах квадрата суттєво обмежує хвилеутворення за рахунок використання поліномів не вище другого степеня (незалежно від кількості вузлів на границі). Кількість квадратів-носіїв білінійного базису дорівнює , де - кількість вузлів на границі елемента.

Для конструювання згладженого білінійного поля використовується система із 4-х функцій, що асоціюються з вершинами квадрата. Якщо сторони квадрата паралельні осям координат, базис білінійної інтерполяції має вигляд:

(2)

Функції (2) відповідають кутовим вузлам на всіх моделях (рис. 2). Тепер на першій моделі треба скористатися квадратом 5-6-7-8 і побудувати ще 4 функції білінійної інтерполяції:

Результуючий поліном має вигляд:

,

де - вузлові значення функції, де - ваговий коефіцієнт обчислювального шаблону .

Аналогічно будуються інтерполяційні поліноми для 12 та 16 вузлових елементів.

Побудовані моделі серендипових елементів з 8, 12 та 16 вузлами для розкладання фізичного поля в квадратній пластині на білінійні компоненти, що суттєво обмежує хвилеутворення. На відміну від традиційної техніки скінченних елементів, серендипів елемент розглядається не в ансамблі, а як самостійний обчислювальний шаблон з базисом білінійної інтерполяції. Всі функції базису гармонічні, що дуже важливо для моделювання стаціонарних фізичних полів. Ефективність зваженого усереднення білінійних складових фізичного поля перевірено на прикладі визначення температурного поля пластини.

Запропонована процедура моделювання адекватного фізичній природі стаціонарного поля за допомогою трикутних дискретних елементів другого порядку. Удосконалено МБУ з трикутним обчислювальним шаблоном включенням в шаблон трьох додаткових вузлів на сторонах трикутника, що забезпечує квадратичну інтерполяцію функції. Визначено метод зносу інформації з границі області у додаткові вузли дискретного елемента за архімедовим «правилом важеля».

Виявлено, що коефіцієнти барицентричного усереднення (базисні функції) для шаблонів з нелінійною інтерполяцією можна знайти імовірнісно-геометричним моделюванням, що відрізняє цей підхід від традиційних способів своєю простотою та наочністю.

Удосконалено МБУ для тривимірної задачі відновлення стаціонарного фізичного поля за рахунок використання більш точного обчислювального шаблона у вигляді тетраедра другого порядку з 10-ма вузлами.

Основні наукові результати даного розділу опубліковані в роботах [6,7,17].

Четвертий розділ присвячено розробці спрощеного методу визначення геометричної жорсткості при крученні призматичних стержнів довільного перерізу.

Математичною моделлю задачі кручення пружних стержнів є рівняння Пуассона:



з однорідною граничною умовою І роду на контурі Г поперечного перерізу 

.

Жорсткість при крученні призматичного стержня визначається формулою:

,

де - модуль зсуву матеріалу стержня; - геометрична жорсткість:

(3)

де - область поперечного перерізу.

Проведений аналіз формули (3) з урахуванням «холма» напруг Прандтля дозволяє виключити операцію двократного інтегрування по області і запропонувати спрощену формулу для обчислення геометричної жорсткості.

(4)

де - максимальне значення функції Прандтля, що відповідає центру кручення; - площа перерізу стержня (площа області ).

Перевірка точності формули (4) показує, що у випадку круга та еліпса похибка практично відсутня. Для інших перерізів фактична похибка залежить від збурень форми границі. В ідеальному випадку (для кругової області ) поверхня Прандтля - це параболоїд обертання (вершиною догори).

Пошуки аналітичного виразу функції для стержнів з поперечним перерізом відмінним від кругового та еліптичного пов'язані зі значними математичними складностями. Тому в більшості випадків крутильні характеристики для профілів різноманітної геометричної форми знайдені наближеними методами завдяки аналогіям та апроксимаціям або експериментально.

За допомогою заміни

можна перейти від рівняння Пуассона до рівняння Лапласа

з неоднорідною умовою Діріхлє на границі

.

Використано мембранну аналогію для моделювання геометричної жорсткості стержня при крученні, яку можна виразити через функцію напруг Прандтля. Застосовано геометричний аналог принципа Сен-Венана в задачах кручення призматичних стержнів, що дозволило побудувати поверхню напруг, обчисливши значення функції Прандтля тільки в одній точці (максимальне значення функції Прандтля), це значно підвищує ефективність по відношенню до використання сіткових методів, у яких здійснюється збереження і обробка надлишкової інформації.

Розроблено математичну модель та алгоритм методу барицентричного усереднення для розв'язування задачі Діріхлє для рівняння Пуассона, що дозволяє знаходити розв'язки для областей складної геометрії. На основі використання гіпотези дифузійної плями на границі області визначено вузли суперзбіжності, що дозволяють використовувати метод барицентричного усереднення для розв'язування задачі кручення за допомогою лише одного стоп-кадра.

Для ілюстрації явища «суперзбіжності» описано спеціальний випадок: задачу про кручення призматичного стержня з еліптичним поперечним перерізом. Існування супервузлів на еліпсі та інших контурах вперше було з'ясовано експериментально. Максимальне значення функції Прандтля можна отримати точно гармонічним усередненням двох екстремальних граничних значень гармонічної функції у вершинах еліпса. З цього випливає, що кожна чверть еліптичної границі містить точку (вузол «суперзбіжності»), у якій граничне значення точно дорівнює гармонічному середньому екстремальних граничних значень. Встановлено, що у серії обчислювальних шаблонів (прямокутників, вписаних в еліпс) тільки один шаблон (квадрат, вписаний в еліпс) дає точний результат. Цікаво, що квадрат радіуса кола, описаного навколо квадратного шаблона, дорівнює середньому гармонічному квадратів радіусів вписаного та описаного навколо еліпса кіл. Таким чином, «середньогармонічне» у сенсі площі коло і визначає вузли «суперзбіжності», що дозволяють реалізовувати просту процедуру гармонічного усереднення граничних значень. Важливо, що додавання нових розрахункових вузлів на контурі не покращує результат. Таким чином, використання «супервузлів» різко скорочує об'єм обчислень, забезпечуючи при цьому високу точність результатів.

Підтверджено працездатність та ефективність запропонованих математичних моделей та обчислювальних схем за допомогою спеціально розроблених тестів, що дозволили порівняти отримані розв'язки на основі МБУ та метода скінченних різниць.

За допомогою розробленої програми проведено серію експериментів та виконано візуалізацію поверхні Прандтля для дослідження кручення призматичних стержнів різного поперечного перерізу: еліпса; правильного трикутника; трикутника Релло; квадрата; правильного шестикутника; правильного восьмикутника.

Основні наукові результати даного розділу опубліковані у роботі [13].

У п'ятому розділі запропоновано новий підхід до розв'язування класичної бігармонічної задачі - рівняння Софі Жермен, що моделює згинні деформації пружних пластин. Рівняння Софі Жермен має вигляд:

де - прогин пластинки,  - навантаження на одиницю площі, - жорсткість на згин.

де - модуль пружності матеріалу І роду, - коефіцієнт Пуассона,  - товщина пластинки.

Необхідно визначити прогин пружної пластинки при згині. Деформований стан пластини повністю описується однією величиною - прогином серединної поверхні пластини. При жорсткому защемленні отримуємо граничні умови:

, .

Вперше МБУ було застосовано для дослідження згинних деформацій пластин у роботі Б.А. Хомченка, як метод, що використовує симплекс-елемент (лагранжевої інтерполяції) для розв'язування системи рівнянь, отриманих редукцією рівняння Софі Жермен. При відмові від редукції шаблон з одним ступенем волі у кожному вузлі виявився непрацездатним, тому виникла необхідність у моделюванні нових дискретних елементів ермітової інтерполяції. Функції форми та матриці жорсткості для трикутних елементів були побудовані Зенкевичем, Морлі, Сіє, Клафом, Точером, Айронсом, Аргірісом, Беллом, Боссардом, Мітчелом, Уейтом. Побудова функцій форми цих елементів пов'язана зі значними складностями, так як вимоги міжелементної неперервності функції та її похідних, які пред'являються до розв'язку, задовольнити важко. Тому значний інтерес проявляється до нових підходів, які спрощують побудову придатних моделей пластин, що згинаються. У роботі показано, що оригінальну систему базисних функцій трикутного ермітова елемента з 9 ступенями волі (по 3 степені волі у кожному вузлі: переміщення і два кути повороту) можна змоделювати за допомогою геометричного підходу.

Розглянемо стандартний трикутник. Для відновлення координатних функцій у вузлі 1 складемо добуток нормованих у вузлі 1 рівнянь наступних ліній: рівняння прямої 2-3 і кривої другого порядку - кола, яке проходить через вузли 2, 3, і . Ці вузли пов'язані з критичними точками кубічних поліномів Ерміта.

де - барицентричні координати. Доданок отримуємо, враховуючи, що сума функцій у кожній точці дорівнює одиниці.

Щоб побудувати похідну , використаємо прямі і .

 (5)

Проінтегрувавши вираз (5) по від вузла 1 до поточної точки і переходячи до барицентричних координат, дістанемо базисну функцію (що відповідає за кут повороту )

.

Аналогічно отримуємо базисні функції для інших вузлів.

Розроблено алгоритм МБУ для розв'язування рівняння Софі Жермен. Розв'язки бігармонічної задачі з використанням МБУ порівнювались з точними та з розв'язками, отриманими із застосуванням базисних функцій, запропонованих Мітчелом і Уейтом. Похибка отриманих результатів не перевищує 5%. Перевагою МБУ є можливість розв'язувати задачі зі складною геометрією області.

Скінченний елемент Морлі (Morley L.S.D) (розглядається квадратна комірка сіткової дискретизації у вигляді об'єднання двох прямокутних трикутників Т1 і Т2) (рис. 9) моделює деформації згину пластини за допомогою повного квадратичного поліному з двома аргументами (на відміну від кубічного поліному у класичному випадку).

Базисні функції мають вигляд:

(6)

де .

У роботі запропоновано геометричний метод моделювання згинних деформацій пружних пластин за допомогою трикутного дискретного елемента Морлі. Побудова базису Морлі зведена до розв'язання рівняння першого порядку у повних диференціалах та на відміну від традиційного підходу не використовує варіаційних принципів.

Аналіз властивостей базисної функції та її похідних показує, що кожна базисна функція в околі критичної точки задовольняє рівнянню (7), а також умові Коші (8)

(7)

(8)

Для функцій (6) має місце ознака повного диференціалу, знаходимо загальний інтеграл рівняння (7) за формулою

(9)

де С визначається з умови (8).

Таким чином, базис Морлі складається з функцій:

Розглянутий скінченний елемент Морлі добре ілюструє вплив, котрий спричиняють на розвиток МСЕ геометричні методи запропоновані Уачспресом, Маклеодом, Мітчелом, Грегорі та ін. Нова модель згинних деформацій пластини відрізняється від традиційних алгебраїчних способів наочністю і простотою.

Особливість моделі Морлі полягає ще й у тому, що в загальному випадку порушуються вимоги міжелементної неперервності, хоча всі умови рівноваги виконуються. Такі елементи називають неузгодженими, або узгодженими для варіаційного принципу додаткової енергії. Скінченний елемент Морлі успішно витримує кускове тестування за Айронсом-Раззаком. У роботі також визначені умови, при яких неузгоджені скінченні елементи кусково-лінійної інтерполяції витримують тестування за Айронсом-Раззаком, що, на думку О. Зенкевича, Р. Галлагера та ін. забезпечує можливість їх використання, отримуючи навіть точніші результати, ніж при використанні узгоджених елементів.

Розроблено метод барицентричного усереднення для відновлення бігармонічних функцій на прикладі розв'язування рівняння Софі Жермен, що моделює деформації згину пружних пластин. Головна перевага запропонованого методу в тому, що він дає можливість досліджувати напружено-деформований стан пластин довільної форми.

Висновки

У дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в області математичного моделювання та обчислювальних методів, що в сукупності вирішують важливу науково-прикладну задачу - удосконалення засобів математичного моделювання технічних систем шляхом розробки математичних моделей для розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій багатьох змінних за допомогою методу барицентричного усереднення, що дозволяє підвищити ефективність розв'язання важливих прикладних задач.

У процесі виконання роботи отримано наукові і практичні результати, які полягають у наступному.

1. Проведено аналіз існуючих методів для розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій. Виявлено коло проблем, що залишилися невирішеними: розвиток несіткових методів, удосконалення алгоритмів відновлення функції особливо для областей довільної конфігурації, модифікація методів та створення нових геометричних моделей для розв'язування нових класів задач, зокрема, для задач кручення стержнів та згину пружних пластин. Аналіз досліджень показав тісний зв'язок метода барицентричного усереднення з методами скінченних різниць, скінченних елементів, граничних елементів та методом Монте-Карло.

2. Розроблено математичні моделі для розв'язування задач дослідження температурних полів та теорії потенціалів. Дістав подальшого розвитку геометричний метод моделювання двовимірних та тривимірних елементів серендипової сім'ї. В роботі вперше побудовані геометричні моделі у вигляді трикутних та серендипових дискретних елементів вищих порядків для методу барицентричного усереднення, розповсюджено геометричний підхід на тривимірні елементи та плоскі елементи з криволінійною границею у полярних координатах. Запропонований підхід моделювання серендипових скінченних елементів усуває недоліки традиційного алгебраїчного підходу, пов'язані зі складанням та розв'язуванням великих систем рівнянь і дозволяє отримувати альтернативні базиси на серендипових елементах.

3. Вперше побудовані однокрокові багатомаршрутні схеми випадкових блукань методу Монте-Карло на мультиплексі з поглинаючими, відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами для розв'язування двовимірних еліптичних задач удосконаленим методом барицентричного усереднення. Використання таких моделей дозволяє розв'язувати задачі з різними типами граничних умов.

4. Запропоновано метод згладжування фізичного поля в квадратній пластині за допомогою білінійної інтерполяції, що на відміну від традиційного методу найменших квадратів, суттєво обмежує хвилеутворення за рахунок використання поліномів не вище другого степеня (незалежно від кількості вузлів на границі). Ефективність зваженого усереднення білінійних складових фізичного поля перевірено на прикладі розв'язування задачі визначення температурного поля пластини.

5. Вперше запропоновано метод моделювання деформацій згину пластин на основі узагальнення геометричного методу побудови базисних функцій скінченних елементів та геометричним методом побудовано базисні функції трикутного скінченного елемента ермітова типу з 9 ступенями волі. Геометричний підхід дозволяє уникнути перетворень матриць 9 порядку. Запропоновано новий підхід до моделювання трикутного дискретного елемента Морлі, який зведено до розв'язування оберненої задачі на дотичні площини.

6. Розроблено варіанти метода барицентричного усереднення для відновлення гармонічних функцій на прикладі розв'язування задачі кручення призматичних стержнів з довільною формою поперечного перерізу та бігармонічних функцій на прикладі розв'язування рівняння Софі Жермен, що моделює деформації згину пружних пластин. Для спеціальних випадків досліджено наявність та розташування точок суперзбіжності, використання яких суттєво скорочує об'єм обчислень. Показано ефективність запропонованого методу барицентричного усереднення по відношенню до сіткових методів, у яких здійснюється обробка та збереження надлишкової, а головне непотрібної інформації.

7. Практичне значення результатів дисертаційної роботи підтверджено впровадженням запропонованих методів і обчислювальних алгоритмів в ОАО «Херсонський завод карданних валів» (м. Херсон) та Старосамбірський льонокомбінат (м. Старий Самбір Львівської обл.) для проектних розрахунків температурних полів пластинчастих елементів різноманітної конфігурації в деталях механізмів, а також для розрахунків характеристик при крученні стержневих елементів різноманітних поперечних перерізів та при згинних деформаціях пружних пластин. Отримані результати використовуються в навчальному процесі в ХНТУ та ХДУ, що підтверджено відповідними актами впровадження.

Таким чином, була досягнута мета дослідження, яка полягає у підвищенні ефективності чисельного моделювання технічних систем шляхом розробки математичних моделей скалярних та векторних фізичних полів для розв'язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій багатьох змінних за допомогою методу барицентричного усереднення.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Манойленко О.С. Геометричне моделювання тривимірних скінченних елементів вищих порядків / О.С. Манойленко, Н.В. Колеснікова // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. - К.: КНУБА, 2001.-Вип. 68. - С. 147-150.

2. Манойленко О.С. Просторові схеми випадкових блукань у мультиплексах / О.С. Манойленко, Н.В. Колеснікова, А.Н. Хомченко // Вісник Запорізького державного університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. - Запоріжжя: Запорізький державний університет, 2001. - №1. - С. 61-64.

3. Манойленко О.С. Математична модель випадкових блукань у мультиплексі / О.С. Манойленко, Н.В. Колеснікова // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. - Херсон: ХГТУ, 2001. - №2 (9). - С. 21-27.

4. Колеснікова Н. Метод барицентричного усереднення у задачах згину пластин / Н. Колеснікова // Вестник Херсонского государственного технического университета. Вып. 2 (15). - Херсон: ХГТУ, 2002. - С. 223-226.

5. Манойленко О.С. Блукання броунівської частинки у дискретному елементі зі штрафними маршрутами / О.С. Манойленко, Н.В. Колеснікова // Вестник Херсонского государственного технического университета. Вып. 3 (19). - Херсон: ХГТУ, 2003. - С. 258-262.

6. Хомченко А.Н. Компьютерные оценки квадратичной поправки МБУ в расчетах электростатического поля / А.Н. Хомченко, О.В. Цыбуленко, Н.В. Колесникова // Геометричне та комп'ютерне моделювання: Збірник наукових праць. - Харків, 2004.-Вип. 6. - С. 9-13.

7. Хомченко А.Н. Геометричні моделі згладжування потенціального поля у квадраті / А.Н. Хомченко, О. І. Литвиненко, Н.В. Валько, Н.В. Колеснікова // Геометричне та комп'ютерне моделювання: Збірник наукових праць. - Харків, 2004.-Вип. 7. - С. 19-25.

8. Колеснікова Н.В. Геометричний метод побудови базисних функцій трикутного елемента для моделювання деформацій згину пластини / Н.В. Колеснікова // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2 (22). - Херсон: ХНТУ, 2005. - С. 148-151.

9. Хомченко А.Н. Геометрія моделі Морлі / А.Н. Хомченко, Н.В. Колеснікова, Н.О. Козуб // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Таврійська державна агротехнічна академія - Вип. 4, т. 35. - Мелітополь: ТДАТА, 2007. - С. 63-68.

10. Козуб Н.А. Построение базиса Морли интегрированием полных дифференциалов / Н.А. Козуб, Н.В. Колесникова, А.Н. Хомченко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 4 (27). - Херсон: ХНТУ, 2007. - С. 90-93.

11. Колеснікова Н.В. Про одне узагальнення лінійної інтерполяції на трикутниках Куранта / Н.В. Колеснікова, А.Н. Хомченко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Таврійський державний агротехнологічний університет - Вип. 4, т. 39. - Мелітополь: ТДАТУ, 2008. - С. 65-69.

12. Манойленко Е. Геометрическое моделирование базисных функций в полярных координатах / Е. Манойленко, Н. Колесникова, А. Хомченко // Інформаційна інфраструктура вищих закладів освіти: Зб. наук. пр. Том 2. - Херсон, 2000. - С. 187-191.

13. Anatoliy N. Khomchenko Approximated estimations of geometrical stiffness in torsion of prismatic beams / Anatoliy N. Khomchenko, Nataliya V. Kolesnikova, Pavel M. Zub // Proceedings of the 10-th international conference on geometry and graphics. - Volume 1. - KYIV, 2002. - PP. 279-282.

14. Литвиненко Е.И. Сирендиповы конечные элементы с нерегулярным расположением узлов / Е.И. Литвиненко, Н.В. Колесникова // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. - С. 132-135.

15. Олексенко О.В. Про підходи до реалізації метода Монте-Карло / О.В. Олексенко, Н.В. Колеснікова // Пошук молодих. Вип. 4. Зб. матеріалів Всеукраїнської студентської науково-практичної конференції «Компетентісний підхід до вивчення природничо-математичних дисциплін у закладах середньої ланки освіти». - Херсон: Видавництво ХДУ, 2005. - С. 163-166.

16. Колеснікова Н.В. Модель Морлі для згинних деформацій пластин / Н.В. Колеснікова // Материалы ІІІ Международной научно-практической конференции «Дни науки - 2007». - Том 9. Математика. Современные информационные технологии. Физика. Химия и химические технологии. - Днепропетровск: Наука и образование, 2007. - С. 15-18.

17. Хомченко А.Н. Ймовірнісно-геометричний підхід до моделювання елементів сирендипової сім'ї / А.Н. Хомченко, О. І. Литвиненко, Н.В. Колеснікова // Зб. наук. статей «Інформатика та комп'ютерна підтримка навчальних дисциплін у середній і вищий школі». - Бердянськ, 2004. - С. 125-127.

Размещено на Allbest.ru

...