Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія Наук України Інститут математики НАН України

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

УДК 512.552

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Невід'ємні матриці в теорії кілець та теорії динамічних систем

Плахотник Макар

Володимирович

Київ 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичниї наук, професор Кириченко Володимир Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра геометрії, професор;

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Бондаренко Віталій Михайлович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу адгебри;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Журавльов Віктор Миколайович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри геометрії.

Захист відбудеться “_14___” __жовтня_______ 2008 року о __15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою 01601, м. Київ-4, вулиця Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці інституту математики НАН України за адресою 01601 м. Київ-4, вулиця Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “_12_” _вересня 2008 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В структурній теорії кілець важливим напрямком є вивчення класів кілець, що задовольняють деякі модульні умови. Серед таких кілець є черепичні порядки. Матриці показників, запропоновані В.В. Кириченком, є потужним засобом вивчення черепичних порядків. Водночас, серед матриць показників природним чином виділяються ті, перший рядок яких нульовий. Такі матриці показників є невід'ємними і вказаний приклад є одним з найкрасивіших застосувань невід'ємних матриць в теорії кілець.

Черепичні порядки над дискретно нормованими кільцями вивчалися починаючи з 70-х років минулого сторіччя багатьма математиками, зокрема, Pогенкампом К.В., Ятегаонкаpом В.А., Сiмсоном Д., Таpсi P.Б., Дpоздом Ю.А., Завадським О.Г. та Киpиченком В.В. Скінченні прямі добутки таких порядків є нетеровими справа напівпервинними напівдосконалими напівдистрибутивними кільцями, у яких для будь-якого локального ідемпотента кільце є дискретно нормованим (не обов'язково комутативним)Кириченко В.В., Хибина М.А., Полусовершенные полудистрибутивные кольца // Бесконечные групы и примыкающие алгебраические структуры. Сборник статей. К.: Ин-т математики НАН Украины, 1993. С. 457-480.. Такі кільця під назвою ``напiвмаксимальні кільця'' були введенні у 1976 році Завадським О.Г. та Киpиченком В.В Завадский А.Г., Кириченко В.В, Модули без кручения над первичными кольцами, // Зап. науч. Семинаров Ленингр. отд. Мат. инст АН СССР, 1976, т.57 с. 100-116..

Цей клас кілець природно виникає в теорії цiлочисельних зображень. Такими кільцями є цілком розкладні порядки над повним локальним дедекіндовим кільцем, що лежать в сепарабельних алгебрах та збігаються з перетином своїх максимальних надкiлець Кириченко В.В., Порядки, все представления которых вполне разложимы // Математические заметки. 1967. Т. 2, №2. С. 139-144. .

Д. Гоpенштейн у 1952 році у зв'язку з теорією алгебраїчних кривих вперше розглядав комутативні нетерові локальні кільця, що мають скінченну ін'єктивну розмірність D. Gorenstein, An arithmetic theory of adjoint plane curves, // Trans. AMS. 1952. Vol. 72. pp. 414-436.. Ці кільця пізніше були названі гоpенштейновими.

Важливість горенштейнових кілець була усвідомлена в працях видатного американського математика Х. Басса. Він у 1963 році вивчав модулі без скруту над комутативними горенштейновими областями Bass H. On the Ubiquity of Gorenstein Rings // Math. Z. 82, №1. 1963. pp. 8-28..

Некомутативні горенштейнові порядки розглядалися Дроздом Ю.А., Кириченком В.В., Ройтером А.В. у 1967 році Дрозд Ю.А., Кириченко В.В., Ройтер А.В., О наследственных и бассовых порядках, // Известия АН СССР. Серия: математика. 1967. Т. 31, №6. С. 1415-1436. та Рогенкампом К.В. у 1970 році Roggenkamp K.W., Lattices over orders II., // Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1970.. Для випадку некомутативних порядків над дедекіндовими кільцями автори переносять з праці Х. Басса означення горенштейнових кілець. Порядок називається горенштейновим, якщо ін'єктивна розмірність його як лівого регулярного модуля дорівнює 1.

В.В. Кириченко ввів поняття сагайдака напівдосконалого нетерова справа кільця та сагайдака напівдосконалого нетерова зліва кільця. У 2000 році В.М. Журавльовим Жуpавльов В.М., Гоpенштейновi напiвмаксимальнi кiльця, сагайдаки яких мiстять не бiльше, нiж 7 веpшин // Вiсник Київського унiвеpситету. Сеpiя: фiзико-математичнi науки. 2000. №3. С. 32-41. був зроблений опис горенштейнових напiвмаксимальних кілець, сагайдаки яких містять не більше семи вершин.

Киpиченко В.В. у 1978 році досліджував зв'язки між горенштейновими порядками та квазіфробеніусовими кільцямиКириченко В.В., О квазифробениусовых кольцах и горенштейновых порядках // Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. Т. 148. 1978. Стр. 168-174.. В.В. Киpиченко отримав зручний критерій того, що зведений черепичний порядок є горенштейновим. Виявилося, що з горенштейновим порядком пов'язана підстановка та цілочислова матриця, яку пізніше було названо горенштейновою матрицею. Горенштейнова матриця - це матриця, для елементів якої виконано деякі рівності, а також деякі строгі та нестрогі нерівності. Нестрогі нерівності називаються кільцеві нерівності. Таким чином дослідження горенштейнових порядків було зведено до дослідження цілочислових матриць з певними властивостями.

Для горенштейнових матриць можна вести відношення еквівалентності, узгоджене з ізоморфізмом відповідних кілець Zh.T. Chernousova, M.A. Dokuchaev, M.A. Khibina, V.V. Kirichenko, S.G. Mirishnichenko, N.V. Zhuravlev, Tiled orders over diskrete valuation rings, finite Markov chains and partially orded sets I, // Sao Paulo, Brasil, 2004 (preprint). З означення цих класів видно, що кожен з них містить і при тому єдину матрицю, всі елементи першого рядка якої дорівнюють нулю. Тому не обмежуючи загальності, розглядаючи горенштейнову матрицю можна вважати, що всі елементи її першого рядка дорівнюють нулю. Також легко бачити, що за цієї умови з виконання кільцевих нерівностей негайно випливає невід'ємність елементів матриці.

Журавльовом та Чорноусовою показаноЖуравльов В.М., Черноусова Ж.Т., Циклічні горенштейнові порядки з малим числом вершин // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. 2002. №2. С. 33-40., що якщо перестановка є циклом, то умова виконання кільцевих нерівностей для матриці з нульовим першим рядком рівносильна умові невід'ємності елементів цієї матриці.

В роботі M.A. Dokuchaev, V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev, Gorenstein Matrices, // Algebra and diskrete mathematics N1, Jan/Mar 2005 pp. 8-29} за матрицею показників було побудовано сагайдак і показано, що цей сагайдак є сагайдаком відповідного кільця. Таким чином, дослідження сагайдака кільця також було зведено до дослідження властивостей матриці показників цього кільця.

Невід'ємні матриці (т.то. -матриці показників) виникають в задачі опису класів топологічної еквівалентності неперервних відображень інтервалу. Динамічна система, кожна орбіта якої скінченна, може мати періодичні точки як завгодно великого періоду, а, отже, потужності її орбіт можуть не бути обмеженими у сукупності. Така динамічна система породжується, зокрема, поточково періодичним відображенням, тобто таким, для якого кожна точка є періодичною. Поточково періодичні відображення є взаємно-однозначними і досліджувались Вибурном G. T. Whyburn, Analytic topology, New York: American mathematical society, Colloquim publications, v. XXVIII, 1942.. О. М. Шарковський в 1965 році побудовав А. Н. Шарковский, О циклах и структуре непрерывного отображе-ния, Укр. матем. журн., т. 17, № 3, 1965. приклад неперервного відображення інтервалу в себе, кожна орбіта якого скінченна, відображення має періодичні точки як завгодно великого періоду, а також неперіодичні орбіти. Романенко О.Ю. E. Yu. Romanenko, Limit properties of the semigroup generated by a continuous map of an intervals, Доповіді НАН України, № 3, 1998. досліджувала властивості напівгруп ітерацій неперервних відображень інтервалу дійсної прямої, які задовольняють умові для кожного з інтервалу. Властивості неперервних відображень інтервалу, кожна омега гранична множина яких є циклом, описані в A. N. Sharkovsky, S. F. Kolyada, A. G. Sivak, V. V. Fedorenko, Dyna-mics of One-Dimensional Maps. Kluwer Academic Publishers, 1997, 272 P.. Напівгрупові властивості відображення інтервалу, ітерації якого утворюють скінченну напівгрупу досліджені дисертантом в М.В. Плахотник, В.В. Федоренко, Ю.В. Федоренко, Одновимірні динамічні системи з обмеженими у сукупності потужностями орбіт, // Вісник Київського Університету; серія Фізико-математичні науки; № 4, 2006р., стор. 119-128., а графік такого відображення описаний в М. Плахотник, Зображення скінченної циклічної напівгрупи неперервними відображеннями інтервалу, // Вісник Київського Університету; серія Фізико-математичні науки; № 3, 2006р., стор 116-124.. Останні два згадані результати стосуються динамічних систем, породжених відображенням, ітерації якого утворюють скінченну напівгрупу, і не стосуються невід'ємних матриць. Зважаючи на це, дисертант не вважає ці результати результатами даної дисертаційної роботи.

Задача опису топологічно еквівалентних відображень, ітерації яких утворюють скінченну групу актуальна як така, що вказує на наявність відкритих проблем в теорії одновимірних динамічних систем, породжених відображенням інтервалу в себе. Розв'язання задачі опису топологічно еквівалентних відображень, ітерації яких утворюють скінченну групу може бути використано при подальшому дослідженні як матриць показників, при якому ставитиметься питання про можливість інтерпретувати матриці показників як деякі, більш складні динамічні об'єкти, та і в теорії динамічних систем - в питанні використання матриця показників в задачі опису напівгруп ітерацій більш відображень, динаміка яких більш складна за динаміку відображень, досліджених в даній дисертаційній роботі.

В дисертаційній роботі проводиться дослідження означених В.В. Кириченком матриць показників та горенштейнових матриць. Вона присвячена вивченню цілочислових матриць, для чиїх елементів виконуються рівності для всіх . Оскільки для фіксованої перестановки ці матриці утворюють лінійний простір, то в дисертації поставлено та розв'язано задачу про знаходження розмірності цього простору.

Попутно отримано спосіб подання матриць з вказаною властивістю, який полегшує її подальше дослідження шляхом вираження всіх елементів матриці через деякі фіксовані її елементи.

Користуючись вказаними формулами досліджено задачу про достатність умови невід'ємності елементів матриці для виконання кільцевих нерівностей, зокрема описано всі перестановки, для яких ця умова дійсно є достатньою. Також запропоновано некомутативну бінарну операцію, подібну до конструкції кронекерівського добутку, яка визначена на множині всіх квадратних матриць. Показано що якщо обидві матриці є горенштейновими матрицями, то результат застосування цієї операції до них також дає горенштейнову матрицю, причому відповідна їй перестановка буде кронекерівським добутком перестановок вихідних матриць.

Показано, що матриця показників, як самостійний алгебраїчний об'єкт виникає в задачі опису класів топологічно еквівалентних відображень замкненого інтервалу, напівгрупа ітерацій яких є скінченною групою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань підрозділу "Геометричні структури та їх застосування" держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є вивчення матриць показників як алгебраїчного об'єкту, що виникає в задачі вивчення матриць Кириченка, задачі опису класів топологічної еквівалентності відображень інтервалу в себе, ітерації яких утворюють скінченну групу, а також вивчення конструкції квазікронекерівського добутку горенштейнових матриць та розв'язок задачі про опис в термінах матриць показників класів топологічно еквівалентних відображень інтервалу в себе, ітерації яких утворюють скінченну групу.

Об'єктом дослідження є горенштейнові матриці показників та задачі, що приводять до цього об'єкту. Предметом дослідження є -матриці показників, Горенштейнові матриці, матриці Кириченка, неперервні відображення інтервалу в себе, та конструкції над цими об'єктами.

Методами дослідження є стандартні методи доведення, що використовуються при доведені математичних тверджень.

В дисертації поставлено наступні задачі:

-- підрахувати в термінах циклового типу кількість параметрів, через які можна виразити всі елементи матриці Кириченка, якій відповідає довільна перестановка без нерухомих точок;

-- отримати формули для елементів матриці Кириченка, якій відповідає довільна перестановка без нерухомих точок;

-- дослідити складність використання отриманих в попередній задачі формул в задачі опису матриць показників, зокрема описати перестановки, для яких невід'ємності елементів матриці Кириченка достатньо для виконання кільцевих нерівностей;

-- довести, що квазікронекерівський добуток горенштейнових матриць є горенштейновою матрицею;

-- знайти цикловий тип відповідної перестановки горенштейнової матриці, яка є квазікронекерівським добутком горенштейнових матриць, для яки цикловий тип відповідних перестановок відомий;

-- за двічі впорядкованою скінченною множиною побудувати матрицю показників та описати її сагайдак;

-- за двічі впорядкованою множиною екстремумів неперервного відображенням інтервалу в себе, ітерації якого утворюють скінченну групу, побудувати матрицю показників, та, користуючись цим, описати класи топологічно еквівалентних відображень напівгрупа ітерацій яких є скінченною групою;

-- описати разом з відповідними перестановками горенштейнові матриці, які є матрицями показників деякої двічі впорядкованої множини.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше отримано такі нові теоретичні результати:

-- для елементів матриці Кириченка виписано формули, які виражають ці елементи через невелику кількість параметрів, що має самостійну теоретичну цінність в тому, що дозволяє розв'язувати задачі про дослідження властивостей матриць показників;

підраховано розмірність простору Кириченка, т.то. доведено, що кількість параметрів, через які виражаються елементи матриці Кириченка, якій відповідає перестановка з цикловим типом дорівнює

,

де позначає найбільший спільний дільник чисел та ;

- повністю описано перестановки, для яких невід'ємність елементів відповідної матриці Кириченка рівносильна виконанню кільцевих нерівностей;

- для матриць Кириченка розмірності 8, що відповідають всім перестановкам за вийнятком циклічної виписано всі кільцеві нерівності, які не є наслідком невід'ємності елементів цих матриць;

-- запропоновано конструкцію квазікронекерівського добутку матриць, яка не виводить за межі класу горенштейнових матриць та узгоджена з дією кронекерівського добутку перестановок;

-- запропоновано конструкцію двічі впорядкованої множини та за такою множиною побудовано -матрицю показників;

-- описано матриці показників, які відповідають двічі впорядкованим множинам та описано горенштейнові матриці показників, які відповідають двічі впорядкованим множинам;

-- описано в термінах матриць показників класи топологічно еквівалентних неперервних відображень інтервалу в себе, напівгрупа яких є скінченною групою.

Всі ці результати мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичних характер. Результати та методи можуть бути використаними в теорії кілець та теорії динамічних систем та можуть використовуватися при читанні спецкурсів з алгебри та теорії динамічних систем.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівнику належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Результати розділів 2 та 3 отримані дисертантом особисто. Науковому керівникові належить конструкція квазікронекерівського добутку та гіпотеза про те, що квазікронекерівський добуток Горенштейнових матриць є горенштейновою матрицею. Результати розділу 5 містять опис відображень інтервалу в себе, напівгрупа ітерацій яких є скінченною групою. Цей опис отриманий автором у співавторстві з В.В. Федоренком та Ю.В. Федоренко. Цей опис використовується в доведенні результатів дисертації але не включений до переліку результатів дисертації. Постановка задачі розділу 5, зокрема доведення можливості використання матриць показників в задачі опису класів топологічно спряжених відображень належить дисертанту. Результати розділу 5 опубліковані дисертантом у співавторстві з науковим керівником та В.В. Федоренком.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на:

-- V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Одеса, 22-27 липня 2005 року).

-- Міжнародній конференції радикалів ICOR-2006 (м. Київ, 30 липня - 5 серпня 2006 року).

-- VI міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Кам'янець Подільський, 1-7 липня 2007 року).

-- науковому семінарі відділу алгебри Інституту математики НАН України в Києві 18 грудня 2007 року.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 8 роботах, яких 5 -- це статті у виданнях переліку, затвердженого ВАК України, та 3 надруковані в матеріалах міжнародних математичних конференцій. Тема дисертації затверджена на засіданні вченої ради механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (протокол № 4 від 13 листопада 2006 року) та уточнена на засіданні вченої ради механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (протокол № 9 від 12 березня 2007 року).

Структура та обсяг роботи. Дисертація обсягом 160 сторінок складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку літератури, що містить 35 найменування. Кожен з розділів складається з підрозділів. Перша цифра в нумерації підрозділів відповідає номеру відповідного розділу, а друга - номеру підрозділу в межах цього розділу. Наприклад, запис ``Приклад 2.1.3)'' означає другий приклад першого підрозділу другого розділу. При цьому теореми, леми, приклади, означення, наслідки, твердження та зауваження мають єдину нумерацію, спільну для всіх цих типів формулювань.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, наведено стислий огляд робіт за проблематикою дисертації сформульовано мету і задачі дослідження, викладено основні результати роботи, охарактеризовано зміст дисертації.

У першому розділі сформульовано основні поняття та результати, що необхідні для розуміння суті поставлених перед дисертантом задач та суті техніки, запропонованої дисертантом для розв'язання цих задач.

У першому підрозділі наведено відомості про черепичні порядки, дане означення черепичного порядку, горенштейнової матриці, означення еквівалентних матриць горенштейнових матриць. Також в цьому підрозділі наведено структурну теорему про будову горенштейнових матриць. Цей підрозділ підводить читача до поняття матриці та простору Кириченка, яке є одним з ключових об'єктів дисертаційного дослідження. Поняття, введені в цьому підрозділі, є головними в розділах 2 та 3 дисертаційної роботи.

В другому підрозділі подано відомості про кронекерівські добутки матриць, перестановок та сагайдаків. Наведено теореми про зв'язок цих конструкцій. Цей підрозділ підводить читача до поняття, квазікронекерівського добутку матриць - конструкції, яка запропонована В.В. Кириченком, науковим керівником дисертанта, для вивчення горенштейнових матриць різних розмірностей. Ця конструкція вивчається в четвертому розділі дисертації.

В третьому підрозділі введено до розгляду термінологію теорії динамічних систем, зокрема поняття динамічної системи, ітерації, траєкторії, орбіти, періоду точки відносно дій динамічної системи. Наведено відомості про відображення інтервалу в себе, зокрема відомості про властивості відображення інтервалу в себе, напівгрупа ітерацій якого є скінченною групою. Введені поняття використовуються при доведення проміжних результатів, потрібних для доведення результатів останнього - п'ятого розділу дисертаційної роботи.

В другому розділі введено до розгляду матриці Кириченка. Відомо M. Hazewinkel, N.Gubareni and V. V. Kirichenko, Algebras, Rings and Modules, V.I, Mathematics and Its Applications, // V.575, Kluwer Academic Publishers, 2004, 380 p., що кожен черепичний порядок ізоморфний черепичному порядку вигляду , де - кільце дискретного нормування з простим елементом , - матриці з одиницею на місці та нулями а решті місць, - цілочислова матриця розміру з одиницями на діагоналі, для елементів якої нерівності виконуються для всіх . Ці нерівності називаються кільцевими, а матриця називається матрицею показників.

Черепичний порядок можна розглядати як пару . Напівдосконале кільце з радикалом Джекобсона називається зведеним, якщо фактор кільце є прямим добутком тіл. Черепичний порядок є зведеним тоді і лише тоді, коли його матриця показників не має симетричних нулів. Така матриця показників називається зведеною.

Черепичний порядок називається горенштейновим, якщо він є бієктивним модулем. Відомо, що черепичний порядок є горенштейновим тоді і лише тоді, коли існує перестановка без нерухомих точок, така що для всіх чисел виконується рівність . Зведена матриця показників, для якої виконуються вказані рівності, називається горенштейновою матрицею, та рівності називаються горенштейновими співвідношеннями.

Дисертантом запропоновано до розгляду цілочисельні матриці, для всіх елементів яких виконано горенштейнові співвідношення та перший рядок яких нульовий. Ці матриці названі дисертантом матрицями Кириченка. Їх вивчення дозволяє відмежуватись від досить складної задачі про розв'язання системи кільцевих нерівностей, заданої означенням матриці показників, та обмежитись вивченням матриць, для яких виконуються горенштейнові рівності.

Перед дисертантом було поставлено задачу відшукання кількості незалежних параметрів, через які можна виразити всі елементи матриці. Розв'язуючи цю задачу, деякі елементи матриці Кириченка дисертантом запропоновано розглядати як параметри і виразити через них всі інші елементи матриці.

Нехай перестановка розкладається в добуток незалежних циклів довжиною . Не обмежуючи загальності можемо вважати, що . Позначимо . Нехай - матриця Кириченка, що відповідає цій перестановці Позначимо для всіх . Для довільного , і для кожного , позначимо також . Змінні та називатимемо параметрами. Втім, введені параметри не є незалежними, т.то між ними існують деякі співвідношення. Ці співвідношення є значно простішими за рівності з означення матриці Кириченка, принаймні вони дозволяють порахувати кількість незалежних параметрів, через які виражають всі іні елементи матриці. Рівності, що виражають кожен елемент матриці через запропоновану множину параметрів сформульовані в твердженні 2.2.1, рівності, що описують зв'язок між запропонованими параметрами сформульовані в твердженні 2.3.2, а кількості незалежних параметрів стосується теорема 2.6.5, яка є основною теоремою другого розділу.

Твердження 2.2.1. Для елементів матриці Кириченка наступні співвідношення мають місце:

;

Для кожного , кожного та кожного або запишемо

та

Виписуючи формули для решти елементів матриці , записуватимемо індекси цих елементів як та , де при для деякого . В цьому разі для кожного , мають місце співвідношення

;

Для довільного , мають місце рівності

Для кожного кожного та кожного або мають місце співвідношення

Твердження 2.3.2. Між параметрами мають місце наступні співвідношення: для довільного , мають місце рівності ; для довільного , мають місце рівності

,

,

В підрозділі 2.4. (леми 2.4.1 - 2.4.4.) доводиться, що горенштейнові співвідношення є наслідками виписаних формул, що виражають елементи матриці через введені параметри та встановлюють зв'язок між параметрами. Використання виписаних співвідношень між введеними параметрами дозволяє порахувати кількість незалежних параметрів через які можна виразити елементи матриці Кириченка.

Теорема 2.6.5 Нехай - перестановка, що є добутком циклів довжин . Тоді розмірність відповідного простору Кириченка обчислюється за формулою , де позначає найбільший спільний дільник чисел та .

В третьому розділі запропоновано вивчення кільцевих нерівностей для матриць Кириченка. Оскільки є відомою теорема про рівносильність кільцевих нерівностей та невід'ємності елементів матриці Кириченка, якій відповідає циклічна перестановка, то перед дисертантом поставлено задачу дослідження узагальнення цієї теореми для матриць, відповідні перестановки для яких мають складнішу будову. Цю задачу розв'язано і отримано, що список гарних перестановок скінченний. Всі ці перестановки перераховані в такій теоремі.

Теорема 3.3.5 Нехай - матриця Кириченка. Нехай для цієї матриці умова невід'ємності елементів рівносильна виконанню кільцевих нерівностей. Тоді відповідна матриці Кириченка перестановка або циклічна, або її цикловий тип (з точністю до перестановки входжень чисел) належить до множини .

З теореми, зокрема, випливає, що кожна не циклічна перестановка множини потужності більшої а 7 не є гарною.

В розділі 3.4, користуючись формулами, отриманими в теоремах 2.2.1, 2.3.2 дисертації виписано всі матриці Кириченка розміру 8 і для цих матриць виписано кільцеві нерівності, які не є наслідками невід'ємності елементів матриці. формула матриця добуток число

В четвертому розділі розглянуто квазікронекерівські добутки матриць. Нехай задано матриці розмірності та розмірності . Тоді матриця , визначена як

називається кронекерівським добутком матриць та і позначається . Нехай та - квадратні матриці розмірності та відповідно. Нехай - матриця розмірності , кожен елемент якої дорівнює одиниці. Квазікроненекерівським добутком матриць та назвемо матрицю . Легко бачити, що в цьому разі матриця матиме вигляд

.

Доведено (Теорема 4.1.1), що квазікронекерівський добуток горенштейнових матриць є горенштейновою матрицею, причому відповідна їй перестановка буде кронекерівським добутком перестановок вихідних матриць.

Крім того, справедливі такі теореми.

Теорема 4.1.4. Нехай та еквівалентні горенштейнові матриці розмірності , та нехай горенштейнова матриця розмірності . Тоді матриці та еквівалентні.

Теорема 4.1.7. Горенштейнові матриці утворюють комутативну напівгрупу відносно операції .

Ці теореми дозволяють розширити дію операції квазікронекерівського добутку на класи еквівалентності горенштейнових матриць.

Втім, задача про розкладність конкретної перестановки в кронекерівський добуток перестановок менших множин не є тривіальною. Крім того в дисертації показано, що навіть якщо деяка навіть циклічна перестановка є добутком двох інших інших (циклічних меншої довжини), то існують такі горенштейнові матриці, відповідні більшій перестановці, які не можна подати як квазікронекерівський добуток (циклічних) матриць відповідних менших розмірностей з відповідними перестановками.

В розділі 5 розглядаються циклічні напівгрупи, породжені відображенням інтервалу в себе. Відомо, що якщо така напівгрупа є скінченною групою, то в цій групі не більше за 2 елементи.

В напівгрупі відображень інтервалу в себе розглядаються класи спряжених (т.то. топологічно еквівалентних) відображень, кожне з яких породжує скінченну групу. Додатково припускається, що ці відображення мають скінченну кількість екстремумів. За відображенням , яке має екстремуми будується матриця за правилом

Цю конструкцію можна розглядати не лише для відображень, а і для довільних, названих автором, двічі впорядкованих множин. Нехай - скінченна лінійно впорядкована множина з елементів. Нехай - дійснозначна функція, визначена на . Ця функція індукує ще одне відношення порядку на множині за правилом тоді і лише тоді, коли . Множину з цим відношенням називатимемо двічі впорядкованою множиною. Для двічі впорядкованої множини відповідну матрицю означаємо так само, як в стандартній конструкції для частково впорядкованої множини, тобто

Побудована матриця буде матрицею показників без симетричних одиниць, причому матриця , де - одинична матриця, а - матриця з одиниць буде зведеною матрицею показників (теорема 5.1.3). Матриця показників, що будується за двічі впорядкованою множиною, визначає цю множину однозначно.

Теорема 5.1.4. Нехай - така зведена -матриця показників, що матриця також є матрицею показників. Тоді матриці взаємно однозначно відповідає двічі впорядкована множина з чисел.

Наведена теорема дає опис всіх матриць показників таких що при інверсії нулів на одиниці в позадіагональних елементах матриця зберігає властивість бути матрицею показників.

В підрозділах 5.2 - 5.4. розглядаються матриці показників, побудовані за двічі впорядкованою множиною екстремумів відображення, напівгрупа ітерацій якого є одноелементною. Доведено, що у еквівалентних відображень інтервалу в себе побудовані матриці показників співпадають (Лема 5.2.2 та Лема 5.3.5.). Обернене твердження, сформульоване буквально, не є правильним. Відомо, що якщо відображення інтервалу в себе породжує скінченну напівгрупу, то кінці образу інтервалу, що є образом інтервалу-області визначення є екстремумами. Доведено, що для того, щоб відображення, які породжують одну й ту сам напівгрупу і мають однакові матриці показників були спряженими, необхідно і достатньо, щоб в множині екстремумів номери кінців образу вихідного інтервалу при дії відображення співпадали.

В підрозділі 5.6 розглядається сагайдак матриці показників, побудованої за двічі впорядкованою множиною. Доведено таке означення цього сагайдака, еквівалентне до стандартного означення сагайдака матриці показників: для матриці суміжності , побудований за двічі впорядкованою множиною виконуються такі властивості: тоді і лише тоді, коли , та , або та немає жодного між ними, де та розуміються в нестрогому сенсі (леми 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3). Також доведено, що сагайдак матриці показників, побудований за двічі впорядкованою множиною, завжди буде роздуттям циклу.

З цих тверджень отримано, що для кожної двічі впорядкованої множини відповідний сагайдак буде роздуттям циклу, довжина якого співпадатиме з кількістю різних елементів двічі впорядкованої множини в термінах другого порядку.

В розділі 5.6. доведено, що якщо матриця показників, побудована за двічі впорядкованою множиною буде горенштейновою, то вона буде циклічною горенштейновою матрицею. В цьому разі двічі впорядкована множина буде лінійно впорядкованою за другим відношенням порядку (Теорема 5.6.2).

ВИСНОВКИ

Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань підрозділу ``Геометричні структури та їх застосування'' держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).

В дисертації запропоновано новий спосіб дослідження Горенштейнових матриць, який полягає в тому, щоб в їх означення починати не з нерівностей, що фігурують в означенні матриць показників, а з рівностей. Це природно тому, що розгляд рівностей майже завжди простіший за розгляд нерівностей. Введено до розгляду матриці Кириченка -- матриці з цілими невід'ємними коефіцієнтами та нульовим першим рядком, для яких виконуються рівності з означення Горенштейнових матриць.

Для матриць Кириченка підраховано кількість параметрів, через які виражаються всі елементи матриці та формули, які виражають кожен елемент матриці через інші її елементи, розглянуті як параметри. Останні отримані формули вдалося використати для дослідження і успішного розв'язання задачі про знаходження всіх перестановок, для яких невід'ємності елементів матриці Кириченка достатньо для виконання кільцевих нерівностей.

Незважаючи на те, що матриці показників виникли в задачі теорії порядків, в дисертаційній роботі показано, що ці матриці можна розглядати як незалежний алгебраїчний об'єкт, відмежувавшись від історії їх виникнення.

Так, запропоновано конструкцію квазікронекерівського добутку горенштейнових матриць та показано, що вона не виводить за межі горенштейнових матриць. Втім, вказана конструкція не може бути використана для опису всіх горенштейнових матриць, оскільки твердження, що кожна горенштейнова матриця, якій відповідає звідна перестановка в сенсі кронекерівського добутку може бути подана як квазікронекерівський добуток деяких горенштейнових матриць менших розмірностей хибна.

Крім того, матриці показників природно виникли в теорії динамічних систем, зокрема в задачі опису класів топологічно еквівалентних неперервних відображень інтервалу в себе, напівгрупа ітерацій яких є скінченною групою. Протягом розв'язання цієї дачі було запропоновано конструкцію двічі впорядкованої множини, яка має самостійну цінність.

За кожною двічі впорядкованою множиною можна ін'єктивно побудувати -матрицю показників. При цьому описано всі матриці показників, які можуть бути побудовані за двічі впорядкованою множиною. Описано сагайдаки таких матриць та повністю досліджено випадок про те, коли матриця показників двічі впорядкованої множини може бути горенштейновою.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

M. Plakhotnyk, On the dimension of Kirichenko space, // Algebra and Discrete mathematics - 2006. - №2,- P. 87-126;

М. Плахотник, Кільцеві нерівності для матриць Кириченка, цикловий тип яких складається з двох чисел // Вісник Київського Університету; серія Фізико-математичні науки - 2007.- №1, - С. 25-29;

М. В. Плахотник, Квазікронекерові добутки горенштейнових матриць, // Математичні студії - 2007. - Т. 28,- № 1, С. 3-10.

М. Плахотник, Кільцеві нерівності для матриць Кириченка, // Вісник Київського Університету. Математика. Механіка. - 2007. - Вип. 17-18, - С. 37-41;

V. Fedorenko, V. Kyrychenko, M. Plakhotnyk, Exponent Matrices and Topological Equivalence of Maps, // Algebra and Discrete mathematics -2007. - № 4, - P. 45-58;

M. Plakhotnyk, On the dimension of the space of Gorenstein matrices for some types of correspond permutations: матеріали всеукр. математ. конф. [“5th International Algebraic Conference in Ukraine”] / Одеський національний університет ім. Мечникова, С. 157;

M. Plakhotnyk, Kronecker product of permutations and Gorenstein matrices: матеріали міжнар. математ. конф. [“International Conference on Radicals ICOR-2006”] / Київський національний ніверситет ім. Тараса Шевченка, С. 53-54;

M. Plakhotnyk, Kirichenko Matrices as a Tool of Describing Gorenstein Tiled Orders: матеріали всеукр. математ. конф. [“6th International Algebraic Conference in Ukraine”] / Кам'янець-подільський Державний Університет, С. 53-54;

АНОТАЦІЇ

Плахотник М.В. Невід'ємні матриці в теорії кілець та теорії динамічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Описано невід'ємні матриці, перший рядок яких нульовий і для яких виконуються рівності з означення горенштейнової матриці. Для таких матриці пораховано кількість незалежних параметрів, через які виражаються всі елементи матриці.

Розв'язано задачу про опис всіх перестановок, для яких з невід'ємності елементів матриці з нульовим першим рядком, для якої виконуються рівності з означення горенштейнової матриці, достатньо для виконання кільцевих нерівностей.

Для всіх матриць розмірності 8 за вийнятком циклічної виписано кільцеві нерівності, які не є наслідками невід'ємності елементів матриці.

Побудовано конструкцію квазікронекерівського добутку матриць, яка за двома горенштейновими матрицями дозволяє будувати горенштейнову матрицю розміру, що є добутком розмірів вихідних матриць. Доведено, що ця конструкція задає напівгрупову дію на множині класів еквівалентності горенштейнових матриць.

Введено до розгляду множини, на яких задано лінійний порядок та деякий інший порядок. Ці множини названо двічі впорядкованими. Для такої множини побудовано матрицю показників, яка однозначно визначає цю множину. Описано класи спряженості відображень інтервалу в себе, ітерації якого утворюють скінченну групу. Для цього використано матриці показників двічі впорядкованої множини екстремумів відображення інтервалу.

Розв'язано задачу про можливість матриці показників, побудованої за двічі впорядкованою множиною бути горенштейновою матрицею.

Ключові слова: Матриця показників, горенштейнова матриця, кільцеві нерівності, відображення інтервалу, топологічна еквівалентність, група ітерацій.

Плахотник М.В. Неотрицательные матрицы в теории колец и теории динамических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание научного степеня кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

Описано неотрицательные матрицы, первая строка которых нулевая и для которых выполняются равенства и определения горенштейновой матрицы. Для таких матриц подсчитано количество независимых параметров, через которые выражаются все элементы матрицы.

Решено задачу об описании всех перестановок, для которых из неотрицательности элементов матрицы с нулевой первой строкой, для которой выполняются равенства из определения горенштейновой матрицы, достаточно для выполнения кольцевых неравенств.

Построено конструкцию квазикронекеровского произведения матриц, которая по двум горенштейновым матрицам позволяет строить горенштейнову матрицу размера, являющегося произведением размеров исходных матриц. Доказано, что эта конструкция задает полугрупповое действие на множестве классов эквивалентных горенштейновых матриц.

Рассмотрено множества, на которых задано линейный порядок и некоторый другой порядок. Для такого множества построено матрицу показателей, которая однозначно определяет упомянутое множество. Описано классы сопряженности отображений интервала в себя, итерации которого задают конечную группу.

Решено задачу о возможности матрицы показателей, построенной по дважды упорядоченному множеству, быть горенштейновой матрицей.

Ключевые слова: Матрица показателей, горенштейнова матрица, кольцевые неравенства, отображение интервала, топологическая эквивалентность, группа итераций.

Plakhotnyk M.V. Nonnegative matrices in the rings theory and dynamical systems theory. - Manuscript.

This is a dissertation for obtaining the candidate of sciences degree in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory, Kyiv Mathematics NASU Institute, Kyiv - 2008,

Nonnegative matrices whose the first row is zero and for whose elements the equalities from the definition of Gorenstein matrices take place are described. These matrices form a linear space, i.e. sum of two Kirichenko matrices with the same permutation is Kirichenko matrix whose permutation coincide with permutations of former matrices. Kirichenko matrices where named in such a way by the author dissertation and so his task was to achieve any results about Kirichenko matrices, which can be applied somewhere outside of this class of matrices.

There is presented the set of matrix elements called parameters which gives formulas for all matrix elements in terms of these parameters and some formulas which connect parameters. It is proved that these two groups of formulas are equivalent to the set of equalities from the definition of Gorenstein matrices. The number of independent parameters, which are necessary to express all the matrix elements through, is also calculated.

The process of proving the above formulas is such that it appears possible to solve some further problems. First of all, using these formulas helps to write out matrices of high orders without so big difficulties as like without obtaining formulas. The last makes easier making conclusions about some properties of Gorenstein matrices, for example like equivalence of non negativeness of matrix elements and ring inequalities for given permutation.

As it is easy to see that all elements of Kirichenko matrix should be non negative, them if appears the problem of describing all the permutations such that non negativeness of correspond matrix elements is enough for ring inequalities take place is solved. According to this result it is obtained that all non cyclic Kirichenko matrices of degree larger than 7 contain some ring inequalities which are not corollaries of non negativeness of matrix elements.

To illustrate this, for all the matrices of degree 8 except for sure cyclic one, ring inequalities which are not corollaries from non negativeness of matrix elements are written out.

The construction of quasi Kronecker product of matrices is built. This construction makes possible with considering two Gorenstein matrices to construct the third Gorenstein matrix of the degree which is the product of degrees of former matrices. It is proved that this operation defines the semigroup action on the set of Gorenstein matrices. It is also proved that Kronecker product can be also generalized to equivalence classes of Gorenstein matrices. The imperfection of the mentioned result of that problem of understanding is any given permutation reducible in the sense of Kronecker product of not, is complicated. More then that if some permutation is Kronecker product of some two ones, then it does not mean that any big Gorenstein matrix can be found as quasi Kronecker product of Gorenstein matrices with necessary given dimensions. The correspond example is given in the dissertation.

Sets with a linear and another order are considered. These sets are called doubly ordered sets. For the doubly ordered set the exponent matrix which uniformly determines this set is constructed. Topological equivalence classes of the map interval with finite group of iterations are described. In this description exponent matrices of doubly ordered map extrema set are used.

It is studied the problem of describing of the quiver of the exponent matrix of doubly ordered set. This process of constructing of this quiver is successfully described in terms of elements of the doubly ordered set. All quivers, which can be quivers of some doubly ordered set, are also described. These are quivers, which are inflations of the cycle.

The problem about possibility of exponent matrix, constructed by the doubly ordered set, to be Gorenstein one is solved. It is proved that matrix of some doubly ordered set can be Gorenstein matrix only in the case when all elements of the set are different in terms of second order. In this case and only in it Gorenstein matrix is cyclic.

Key words: Exponent matrix, Gorenstein matrix, ring inequalities, map interval, topological equivalence, iteration group.

Размещено на Allbest.ru

...