Математичне моделювання і чисельний аналіз адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах

Размещено на http://www.allbest.ru/

національна академія наук україни

інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Математичне моделювання і чисельний аналіз адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

МАНДЗАК Тарас Іванович

Львів - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Савула Ярема Григорович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Чапля Євген Ярославович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів, директор Центру математичного моделювання.

Захист відбудеться “26” вересня 2008 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35. 195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано “22” серпня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук, професор О. В. Максимук

АНОТАЦІЯ

Мандзак Т.І. Математичне моделювання і чисельний аналіз адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2008.

У дисертаційній роботі узагальнено і розвинено методику врахування впливу тонких включень на процеси перенесення в частині адекватного трактування домінуючої адвективної складової потоку та конфігурації тонкого включеного шару. Сформульовано нову різновимірну крайової задачі адвекції-дифузії у середовищі з повністю або частково включеним тонким криволінійним шаром. Досліджено коректність процедури зниження просторової вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонких включеннях, запропоновано апроксимацію шуканого поля за товщиною, оцінено похибку різновимірного підходу. Проведено числові експерименти, які підтверджують теоретичні результати і дають підстави робити важливі висновки.

Ключові слова: адвекція-дифузія, тонке включення, зниження вимірності, різновимірна задача, експоненційна апроксимація.

Аннотация

Мандзак Т.И. Математическое моделирование и численный анализ адвекции-диффузии в неоднородных средах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2008.

В диссертационной роботе обобщена и развита методика моделирования влияния тонких включений на процессы переноса в части адекватного учета доминирующей адвективной составляющей потока и конфигурации тонкого включенного слоя. Сформулирована новая разномерная краевая задача адвекции-диффузии в среде с полностью либо частично включенным тонким криволинейным слоем. Исследована корректность процедуры снижения пространственной мерности соотношений адвекции-диффузии в тонких включениях, предложена аппроксимация искомого поля за толщиной, оценена погрешность разномерного подхода.

В первом разделе рассмотрено текущее состояние проблемы по тематике диссертации. Кратко изложена суть подходов к математическому моделированию влияния тонких включений на процессы переноса. Второй раздел посвящен построению краевых задач математических моделей адвекции-диффузии в средах с тонкими включениями, а также обоснованию корректности вариационных формулировок и исследованию последствий процедуры снижения пространственной мерности для операторов краевых задач адвекции-диффузии в тонком включении. В третьем разделе исследовано свойства используемых в роботе конечноэлементных аппроксимаций. Четвертый раздел посвящен численному исследованию эффективности использования разномерного подхода на примере ряда задач о миграции примеси в квадратных областях с включениями различной толщины и кривизны. Проведенные численные эксперименты подтверждают теоретические результаты и дают основания для важных выводов.

Ключевые слова: адвекция-диффузия, тонкое включение, снижение мерности, разномерная задача, экспоненциальная аппроксимация.

ABSTRACT

Mandzak T.I. Mathematical modeling and numerical analysis of advection-diffusion in nonhomogeneous media. - Manuscript.

Dissertation for the scientific candidate degree of physical and mathematical sciences by specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - Pidstryhach institute for applied problems of mechanics and mathematics, L'viv, 2008.

In the thesis methodology of modeling the influence of thin inclusions on transport processes has been generalized and developed in area of adequate consideration of the dominant advective flux component and configuration of thin inclusion. New polydimensional advection-diffusion boundary value problem in media with included curvilinear layer has been formulated. Correctness of the dimensional reduction procedure has been investigated. The approximation of thought field by the thickness of the inclusion has been proposed. Error bounds that concerns polydimensional approach have been presented. Numerical experiments that have been carried out in present work confirm theoretical results and let make important conclusions.

Key words: advection-diffusion, thin inclusion, dimensional reduction, polydimensional problem, exponential approximation.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Числове моделювання явищ переносу активно застосовують у гідрології, інженерії довкілля, хімічній інженерії, нафтовидобувній промисловості, інженерії тканин, медицині. Числові розрахунки здійснюють, зокрема, через складність вимірювань. Ці розрахунки проводять у великій різноманітності просторових областей складної геометрії і в часових масштабах понад кілька місяців. На особливу увагу заслуговує числове моделювання процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах, які характеризуються включеннями з малою товщиною та відмінними від навколишнього середовища фізико-хімічними характеристиками. З відносно тонкими включеннями маємо справу в процесі дослідження середовищ ґрунтів з чужорідними відкладеннями, гірських порід з тріщинами, гідротехнічних та нафтовидобувних споруд, різноманітних тканин людського організму та в інших споріднених випадках, які розглянуто в роботах В. В. Гафійчука, В. С. Дейнеки, Я. С. Підстригача, В. Г. Руминіна, І. В. Сергієнка та ін. Розривність коефіцієнтів вихідних фізичних співвідношень роблять відповідні задачі складними для розв'язування. Огляд сучасного стану досліджень у цьому напрямі здійснено в працях В. С. Дейнеки, І. В. Сергієнка, В. В. Скопецького, Г. Т. Cулима. У числовому аналізі класичних початково-крайових задач адвекції-дифузії у таких середовищах виникають значні труднощі дискретизації через неспівмірність товщини та інших характерних розмірів включення, а також адекватної апроксимації для випадку великих чисел Пекле. У роботі, щоб подолати такі труднощі, розвинено підхід, започаткований у працях Я. Г. Савули, І. М. Сипи, І. В. Струтинського, Л. М. Дяконюк, В. М. Кухарського, який полягає у різному трактуванні просторової вимірності складових об'єктів неоднорідного середовища з погляду числової дискретизації. Особливу увагу зосереджено на адекватному врахуванні домінуючої адвективної складової перенесення та обґрунтуванні коректності співвідношень різновимірних крайових задач.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках планів наукових досліджень, держбюджетної та міжнародної тематики кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, а саме плану робіт за темою Пп-84Б «Розробка математичних моделей і чисельних схем для дослідження процесів у неоднорідних середовищах», (ДР 0101U001433); Пп-231Ф «Розробка математичних методів та програмно-алгоритмічних засобів для гетерогенного моделювання процесів у неоднорідних середовищах», (ДР 0104U002136); Пп-209М (2М/271-2000) «Моделювання процесів забруднення ґрунтів засобами захисту рослин з використанням сучасних комп'ютерних технологій» (ДР 0103U007811); ПП-106Ф «Розробка числових методів та програмно-алгоритмічних засобів для гетерогенного моделювання процесів у неоднорідних середовищах з різномасштабними включеннями» (ДР 0104U002136).

У виконанні робіт за цими науково-дослідними темами авторові належить побудова математичних моделей адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах, розробка та реалізація відповідних числових схем модифікацій методу скінченних елементів та скінченних різниць, проведення обчислювальних експериментів.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова коректної різновимірної крайової задачі адвекції-дифузії у середовищі з включеним тонким проникним шаром і теоретично обґрунтованої та відтестованої числової схеми знаходження її наближеного розв'язку. Щоб досягнути поставленої мети виконано такі дослідні завдання:

- побудовано нові співвідношення пониженої просторової вимірності для процесів адвективно-дифузійного перенесення субстанції у тонкому шарі для узагальненого вигляду вихідних рівнянь адвекції-дифузії та подання шуканого поля за товщиною шару;

- сформульовано нову різновимірну крайову задачу адвекції-дифузії у середовищі з повністю або частково включеним тонким криволінійним шаром;

- досліджено властивості білінійних форм слабкого варіаційного формулювання різновимірної крайової задачі, щоб встановити її коректність та довести адекватність процедури зниження просторової вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонких включеннях;

- здійснено порівняльний аналіз стабілізуючих апроксимацій для тестових задач адвекції-дифузії;

- розроблено числові схеми методу скінченних елементів для аналізу різновимірних крайових задач на основі застосування поліноміальних і експоненційних стабілізуючих апроксимацій та тріангуляцій Делоне, побудовано та налагоджено відповідний програмний комплекс;

- оцінено точність розроблених числових схем, проаналізовано їх ефективність для випадку домінуючої адвективної складової, різних товщин та кривин включення шляхом порівняння з числовими результатами, одержаними на основі класичних підходів.

Об'єктом дослідження є математичне моделювання та числовий аналіз процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах з тонкими включеними шарами.

Предметом дослідження є розвиток підходу до побудови різновимірних крайових задач адвекції-дифузії з урахуванням малої товщини включеного шару та домінуючої адвективної складової потоку і аналіз можливості застосування стабілізуючих скінченноелементних апроксимацій у побудові та числовому дослідженні таких моделей.

Методи дослідження. Загальна методика досліджень полягає у застосуванні варіаційних методів математичної фізики в побудові та розв'язуванні різновимірної крайової задачі; теорії диференціальної геометрії для врахування криволінійної геометрії шару; функціонального аналізу для обґрунтування єдиності розв'язку крайових задач, оцінки точності апроксимацій, встановлення збіжності числових схем; апарату числового аналізу, зокрема методу скінченних елементів; об'єктно-зорієнтованого підходу до програмної реалізації алгоритмів числових схем.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:

- розвинуто підхід зниження просторової вимірності крайових задач процесів перенесення в тонких криволінійних включених шарах у частині апроксимації шуканого розподілу за товщиною шару і поширено його на клас задач із домінуючою адвективною складовою потоку та вперше застосовано метод штрафу в контексті цього підходу;

- вперше сформульовано різновимірну крайову задачу адвекції-дифузії у середовищі з тонким повністю включеним шаром у диференціальній та варіаційній формі на основі симетричних форм вихідних співвідношень;

- досліджено властивості білінійних форм варіаційного формулювання різновимірної крайової задачі адвекції-дифузії і встановлено умови, за яких оператори різновимірної крайової задачі зберігають важливі властивості операторів вихідної тривимірної задачі;

- здійснено порівняльний аналіз ефективності застосування поліноміальних та експоненційних апроксимацій у скінченноелементному аналізі різновимірних крайових задач адвекції-дифузії з погляду збіжності числової схеми, точності результатів та ресурсоємкості розрахунків;

- на основі об'єктно-зорієнтованого підходу розроблено новий програмний комплекс для числового дослідження різновимірних крайових задач адвекції-дифузії, здійснено низку обчислювальних експериментів для тестових задач, для порівняння паралельно наведено результати розрахунків на основі класичних підходів.

Практичне значення отриманих результатів. Сформульовані та досліджені в цій роботі різновимірні крайові задачі та відповідні числові схеми можуть бути застосовані до дослідження широкого класу процесів перенесення в середовищах з включеннями та шаруватих середовищах, зокрема масоперенесення, теплоперенесення, поширення заряджених частинок у напівпровідниках. Застосування спеціальних апроксимацій у поєднанні з простотою дискретизації для побудови числових схем дає змогу ефективно враховувати домінуючу адвективну складову перенесення субстанції, яка суттєво обмежує застосовність багатьох комплексів загального призначення. Розроблене програмне забезпечення може відігравати роль ядра систем кількісного аналізу та прогнозу процесів перенесення в багатокомпонентних, зокрема ґрунтових середовищах, складних неоднорідних інженерних об'єктах.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації автор одержав самостійно. У дослідженнях, результати яких представлені в публікаціях у співавторстві з науковим керівником [5-8, 17-21, 23], Я. Г. Савулі належить загальний підхід до моделювання процесів перенесення в неоднорідних середовищах з включеннями через побудову різновимірних крайових задач, формулювання вихідних завдань, аналіз результатів, особистий внесок здобувача полягає в участі у формулюванні задач, розробленні та реалізації числових схем, здійсненні числових експериментів, проведенні математичних викладок та доведенні лем і теорем, участь в аналізі числових результатів. В роботах у співавторстві з О. В. Блажиєвською, Л. М. Дяконюк, М. Ф. Копитко, В. М. Кухарським, Н. Я. Савулою [1-4, 9-11, 15, 16] авторові належать участь в математичних викладках, обґрунтування тестових прикладів, всі представлені числові результати та їх аналіз.

Апробація результатів дисертації. Основні положення роботи були висвітлені в доповідях і виступах на таких міжнародних та всеукраїнських конференціях: «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях» (Львів, 1999), «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики» (Львів, 2000-2007), «An Euro Conference on Numerical Methods and Computational Mechanics NMCM2002» (Miskolc, Hungary, 2002), «Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики» (Львів, 2004), «Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача» (Львів, 2005), «Математичні проблеми механіки неоднорідних структур» (Львів, 2006), «IV International Symposium on Trend in Continuum Physics» (L'viv / Briukhovichi, 2007), «Міжнародна конференція студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики ЕВРИКА-2007» (Львів, 2007).

Окрім того, апробація результатів дослідження відбувалась на щорічних науково-звітних конференціях та наукових семінарах кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, науковому семінарі кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету ім. Т. Шевченка, науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Публікації. Основні положення, окремі ідеї та обґрунтовані висновки дисертації викладено в 23 працях, з них 8 - у фахових виданнях з переліку ВАК України, 1 - збірнику матеріалів міжнародної конференції, 13 - у тезах доповідей на конференціях.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу і чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, який містить 195 найменувань на 20 сторінках. Повний обсяг дисертації 151 сторінка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми, що досліджується у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів. Подано стислу характеристику результатів дослідження, ступеня їх апробації та опублікування.

У першому розділі зроблено огляд стану проблем за тематикою дисертації. Коротко розглянуто суть підходів до математичного моделювання впливу тонких включень на процеси тепло- та масоперенесення, запропонованих у роботах В. С. Дейнеки, Я. С. Підстригача, І. В. Сергієнка, В. В. Скопецького, відзначено праці багатьох вітчизняних та зарубіжних науковців. Стисло схарактеризовано підходи до числового аналізу задач адвекції-дифузії, відзначено модифікації методів скінченних різниць, граничних елементів, скінченних об'ємів, скінченних елементів для адекватного врахування домінуючої адвекції. Обґрунтовано вибір методу скінченних елементів для виконання поставлених в роботі завдань.

Другий розділ присвячений побудові крайових задач математичних моделей адвекції-дифузії у середовищах з включеннями, побудові та обґрунтуванню коректності варіаційних формулювань, вивченню наслідків для операторів крайових задач процедури пониження вимірності рівнянь адвекції-дифузії у тонкому включенні. У підрозділі 2.1 сформульовано основні положення і допущення, які стосуються розглядуваних в даній роботі неоднорідних середовищ та процесів, що в них протікають. У підрозділі 2.2 наведено основні співвідношення адвекції-дифузії, що відповідають концептуальній моделі, відзначено симетричну форму основного рівняння масоперенесення. У підрозділі 2.3 визначено геометрію тонкого криволінійного включення та відповідну систему криволінійних координат, здійснено наближене пониження вимірності за просторовими координатами співвідношень адвекції-дифузії у включенні, зокрема для симетричної форми вихідних рівнянь, на основі застосування деякої апроксимації поля концентрації забруднення за товщиною. Внаслідок процедури пониження вимірності від крайової задачі у тривимірному шарі переходимо до нової крайової задачі на серединній поверхні . У підрозділі 2.4 сформульовано в диференціальній формі різновимірну крайову задачу для середовища з включенням, яке наближено представлене своєю серединною поверхнею . Розрізняємо нижню та верхню сторони поверхні з нормалями відповідно.

- заданий набір m лінійно незалежних базових функцій [7], - коефіцієнти Ляме серединної поверхні включення, - позначення часткової похідної, - німий індекс,

- матричні величини розміру m Ч m, які визначаються через відповідні коефіцієнти вихідних рівнянь адвекції-дифузії у включенні, товщину включення h, кривини серединної поверхні , матриці розміру m Ч m, , , ;

- векторна величина розміру m, яка визначається через нормальні складники адвективно-дифузійних потоків на поверхнях відповідно, вектор розміру m з елементами [7].

Співвідношення (1), (2) зв'язуємо спеціальними умовами спряження. Природні умови спряження на , які реалізують неперервність адвективно-дифузійного потоку мають вигляд

На контурі , що обмежує поверхню , також формулюємо умови спряження на неперервність потоку і шуканого поля концентрації, які одержано внаслідок процедури зниження вимірності:

Головні умови спряження на неперервність поля концентрації подано тут у вигляді природних (4) за допомогою застосування методу штрафу з огляду на малу товщину включення.

На границі ?Щ задаємо крайову умову першого роду

У підрозділі 2.5 побудовано варіаційне формулювання різновимірної крайової задачі:

Тут великими і малими буквами позначено білінійні форми, що відповідають тривимірним співвідношенням та співвідношенням пониженої вимірності відповідно. Зауважмо, що умова спряження (4) перейшла в останній доданок рівняння (5).

У підрозділі 2.6 досліджено білінійні форми в (5) і показано, що вони зберігають важливі властивості операторів вихідної тривимірної задачі (Леми 2.2-2.5). На основі Леми 2.4 зроблено висновок про перевагу симетричної форми над дивергентною та градієнтною для вихідних співвідношень адвекції-дифузії. Встановлено існування, єдиність та обмеженість розв'язку варіаційної задачі (Теорема 2.1), а також оцінено його похибку внаслідок усунення товщини включеного тонкого шару та переходу від тривимірної задачі адвекції-дифузії до різновимірної (Теорема 2.2).

Теорема 2.1. Білінійна форма неперервна:

та - еліптична:

за умови

.

Теорема 2.2. Справедлива оцінка

,

де - розв'язки задач різновимірної та тривимірної крайових задач відповідно, - модуль швидкості фільтрації вздовж товщини тонкого включення.

У цьому ж підрозділі наведено безрозмірні форми зв'язаних крайових задач. На основі аналізу безрозмірної форми різновимірної задачі зроблено висновки про вплив відносної товщини та чисел Пекле на внесок відповідних доданків у рівняння пониженої вимірності.

У третьому розділі визначено одно- та двовимірні простори експоненційних та ієрархічних поліноміальних апроксимацій методу скінченних елементів на трикутниках, вказано їх інтерполяційну точність та відповідні апріорні оцінки похибок для методу Бубнова-Гальоркіна, розглянуто специфічні властивості. Зокрема, у підрозділі 3.5 подано таку теорему

Теорема 3.8. Нехай - розв'язок різновимірної варіаційної задачі, а , - її наближені розв'язки, отримані із застосуванням експоненційних і поліноміальних апроксимацій відповідно. Існують константи , , не залежні від такі, що

- коефіцієнти пористості і дифузії для включення і оточуючого середовища відповідно.

У підрозділі 3.6 здійснено порівняльний числовий аналіз властивостей експоненційних та ієрархічних поліноміальних апроксимацій на одновимірних прикладах. Зроблено висновки про ефективність таких апроксимацій у різних діапазонах чисел Пекле з погляду точності та ресурсоємкості. Проаналізовано результати числового аналізу двовимірних тестових задач адвекції-дифузії, які дають змогу перейти до розрахунку реальних задач адвекції-дифузії у середовищах із включеннями.

У підрозділі 3.7 запропоновано набори базисних функцій залежно від коефіцієнтів вихідних рівнянь адвекції-дифузії

У підрозділі 3.8 розглянуто особливості побудови різновимірної числової схеми методу скінченних елементів, а в підрозділі 3.10 описано об'єктно-зорієнтовану структуру програмного комплексу для числового аналізу одно-, дво- та різновимірних крайових задач адвекції-дифузії у середовищах з домінуючою адвекцією та криволінійним включенням.

У четвертому розділі на прикладі задачі про міграцію домішки в квадратній області з тонким наскрізним включенням, яка має точний розв'язок, перевірено дієвість різновимірного підходу для різних швидкостей переносу та різних товщин включення (підрозділ 4.2). Підтверджено факт, що незважаючи на зведення товщини тонкого включення до нуля, різновимірна крайова задача адекватно враховує суттєвий вплив товщини включення на характер розподілу загалом, а застосування експоненційних апроксимацій дає змогу адекватно враховувати домінуючу адвективну складову перенесення. На основі порівняння числових результатів, одержаних для задачі про міграцію домішки в області з ненаскрізним тонким включенням (підрозділ 4.3) за допомогою різновимірного та класичного підходу для різних швидкостей адвективного переносу можемо зробити висновок про адекватність врахування в різновимірній крайовій задачі крайових умов спряження на бічних тонких краях включення. Суттєва відмінність у кількості ступенів вільності числового результату в різновимірному та класичному підходах (400 і 25872 відповідно) вказує на значну перевагу різновимірного формулювання задачі, яке дає змогу уникнути використання сильно згущеної сітки. Через порівняння результатів, одержаних для задач міграції домішки в областях з тонкими криволінійними включеннями на основі різновимірного та класичного підходів, проілюстровано вплив кривини включення на якість числового розв'язку різновимірної крайової задачі (підрозділ 4.4). На основі числового аналізу задач про вплив тонких включень на процес масоперенесення (підрозділ 4.5), зроблено висновок про те, що тонкий включений прошарок, залежно від своїх фізичних властивостей може і сповільнювати, і пришвидшувати процес адвективно-дифузійного масоперенесення.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі одержано результати, які є подальшим узагальненням і розвитком методики врахування впливу тонких включень на процеси перенесення в частині адекватного трактування домінуючої адвективної складової потоку та конфігурації тонкого включеного шару.

Основні результати роботи такі :

1. Побудовано нове співвідношення пониженої просторової вимірності для процесів адвективно-дифузійного перенесення субстанції у тонкому шарі для узагальненого вигляду вихідних рівнянь адвекції-дифузії та представлення шуканого поля за товщиною шару.

2. Сформульовано нову різновимірну крайову задачу адвекції-дифузії у середовищі з повністю або частково включеним тонким криволінійним шаром.

3. Досліджено властивості білінійних форм слабкого варіаційного формулювання різновимірної крайової задачі з метою встановлення її коректності та доведення адекватності процедури зниження просторової вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонких включеннях.

4. Здійснено порівняльний аналіз стабілізуючих апроксимацій для тестових задач адвекції-дифузії.

5. Розроблено числову схему методу скінченних елементів для аналізу різновимірних крайових задач на основі застосування поліноміальних і експоненційних стабілізуючих апроксимацій та тріангуляцій Делоне, побудовано та підлагоджено відповідний програмний комплекс.

6. Оцінено точність розроблених числових схем, проаналізовано їх ефективність для випадку домінуючої адвективної складової, різних товщин та кривин включення через порівняння з числовими результатами, одержаними на основі класичних підходів.

7. Здійснено числовий аналіз задач про вплив тонких включень на процес масопереносу, зроблено відповідні висновки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

домінуючий адвективний дифузія потік

1. Блажиєвська О. В. Про ефективність методу експоненційної підгонки при розв'язуванні задач тепломасоперенесення у пористих середовищах / О. В. Блажиєвська, Т. І. Мандзак // Вісник Львівського університету. - 2000. - № 1 : Серія прикладна математика та інформатика. - С. 26-31.

2. Дяконюк Л. Моделювання процесу теплопровідності в тілі з тонким ненаскрізним включенням / Л. Дяконюк, Т. Мандзак, Я. Савула // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2007. - № 5. - С. 55-63.

3. Кухарський В. Фізико-математичне моделювання процесів тепломасоперенесення в середовищах із включеними тонкими шарами / В. Кухарський, Н. Кухарська, Я. Савула, Т. Мандзак // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2006. - № 3. - С. 145-152.

4. Мандзак Т. І. Про використання ієрархічних базисів у методі скінченних елементів / Т. І. Мандзак, Н. Я. Савула // Вісник Львівського університету. - 2003. - № 6 : Серія прикладна математика та інформатика. - С. 80-85.

5. Мандзак Т. І. Пониження вимірності математичної моделі адвекції-дифузії у тонкому включенні з використанням експоненційних апроксимацій / Т. І. Мандзак, Я. Г. Савула // Волинський математичний вісник. - 2004. - № 2 (11) : Серія прикладна математика. - С. 52-57.

6. Мандзак Т. Слабке формулювання одної крайової задачі зниженої вимірності / Т. Мандзак, Я. Савула // Вісник Львівського університету. - 2006.- № 11 : Серія прикладна математика та інформатика. - С. 69-74.

7. Савула Я. Г. Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням / Я. Г. Савула, Т. І. Мандзак // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2006. - № 3. - С. 150-158.

8. Савула Я. Г. Разномерная задача математической модели адвекции-диффузии в среде с тонким включением / Я. Г. Савула, Т. И. Мандзак // Компьютерная математика. - 2007. - № 2. - С. 59-70.

9. Савула Я. Г. Числове розв'язування проблеми переносу забруднень при великих числах Пекле / Я. Г. Савула, М. Ф. Копитко, Т. І. Мандзак // Вісник Українського державного університету водного господарства та природокористування. - Рівне, 2002. - № 5(18). - С. 183-191.

10. Числове дослідження процесів поширення субстанції у неоднорідних пористих середовищах / Я. Савула, Т. Мандзак, В. Кухарський, Л. Дяконюк // Механіка середовища, методи комп'ютерних наук та моделювання: У 2 т. - Львів, 2004. - Т. 1. - С. 55-64.

11. Блажиєвська О. В. Про ефективність методу експоненційної підгонки при розв'язуванні задач тепломасоперенесення у пористих середовищах / О. В. Блажиєвська, Т. І. Мандзак // Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях: Тези доповідей Шостої Всеукраїнської наукової конференції. - Львів, 1999. - С. 11-12.

12. Мандзак Т. І. Варіаційне формулювання гетерогенної математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з тонким шаром / Т. І. Мандзак // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача: Тези доповідей. - Львів, 2005. - C. 130.

13. Мандзак Т. І. Комп'ютерне моделювання процесів адвекції-дифузії у середовищах з тонкими включеннями / Т. І. Мандзак // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей Тринадцятої Всеукраїнської наукової конференції. - Львів, 2006. - С. 97.

14. Мандзак Т. І. Полівимірна задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з тонким включенням / Т. І. Мандзак // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей Чотирнадцятої Всеукраїнської наукової конференції. - Львів, 2007. - С. 100.

15. Мандзак Т. І. Особливості використання ієрархічних базисів у методі скінченних елементів / Т. І. Мандзак, Н. Я. Савула // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей Дев'ятої Всеукраїнської наукової конференції. - Львів, 2002. - С. 84-85.

16. Мандзак Т. І. Побудова та числове дослідження гетерогенних математичних моделей задач адвекції-дифузії та теорії пружності / Т. І. Мандзак, Н. Я. Савула // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей Десятої Всеукраїнської наукової конференції. - Львів, 2003. - С. 92.

17. Мандзак Т. Полівимірна задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з тонким включенням / Т. Мандзак, Я. Савула // Міжнародна математична конференція ім. В. Я. Скоробагатька: Тези доповідей. - Львів, 2007. - С. 179.

18. Мандзак Т. І. Пониження вимірності математичної моделі адвекції-дифузії у тонкому включенні з використанням експоненційних апроксимацій / Т. І. Мандзак, Я. Г. Савула // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей Одинадцятої Всеукраїнської наукової конференції. - Львів, 2004. - С. 91.

19. Мандзак Т. І. Числовий аналіз полівимірної математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з тонким включенням / Т. І. Мандзак, Я. Г. Савула // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей Дванадцятої Всеукраїнської наукової конференції - Львів, 2005. - С. 108-109.

20. Савула Я. Г. Числове дослідження процесів поширення субстанції у неоднорідних пористих середовищах / Я. Г. Савула, Т. І. Мандзак, В. М. Кухарський // Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики: Тези доповідей міжнародної наукової конференції. - Львів, 2004. - С. 67-68.

21. Савула Я. Числовий аналіз полівимірних крайових задач адвекції-дифузії у середовищах з тонкими включеннями / Я. Савула, Т. Мандзак, В. Кухарський // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Тези доповідей: 2 т. - Львів, 2006. - Т.1. - С. 102-103.

22. Kopytko M. Numerical solution of advection-diffusion problems at high Peclet number using regularization approach / M. Kopytko, T. Mandzak, A. Redey // An Euro Conference on Numerical Methods and Computational Mechanics NMCM 2002: Book of Abstracts. - Miskolc, Hungary, 2002. - P. 140-141.

23. Savula Ya. Multiscale modeling of deformation and convection-conduction processes in bodies with thin inclusions / Ya. Savula, T. Mandzak, L. Vynnytska // Proceedings of the IV International Symposium on Trend in Continuum Physics. - L'viv, 2007. - P. 63.

Размещено на Allbest.ru