Спектральні властивості та гіперциклічність операторів композиції на просторах аналітичних функцій банахового простору

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

01.01.01 - Математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Спектральні властивості та гіперциклічність операторів композиції на просторах аналітичних функцій банахового простору

Можировська Зоряна Гориславівна

Львів - 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у відділі функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної академії наук України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Загороднюк Андрій Васильович,

завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу

Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Сторож Олег Георгійович,

професор кафедри математичного і функціонального аналізу

Львівського національного університету імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук

Теско Володимир Анатолійович,

науковий співробітник відділу функціонального аналізу

Інституту математики НАН України

Захист відбудеться ''27'' листопада 2008 р. о 15,00 год. на засіданні вченої ради Д. 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м.Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано 22 жовтня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертаційній роботі досліджуються властивості операторів композиції у просторах аналітичних функцій на банахових просторах. Під оператором композиції розуміють відображення , де аналітична функція на банаховому просторі , а деяке аналітичне відображення цього простору в себе. Оператори композиції на просторах аналітичних функцій однієї та багатьох комплексних змінних розглядались, зокрема, в працях Й. Рифа, Е. Нордгрена, Б. Макклуер та Г. Шварца. Вивчення аналітичних відображень від нескінченної кількості змінних почалось у роботах М. Фреше, Р. Гато, Р.С. Мартіна, М. Цорна, C. Мазура, В. Орліча та інших. Аналітичні функції на нескінченновимірнихбанахових просторах є безпосереднім аналогом аналітичних функцій багатьох змінних. Проте властивості аналітичних функцій пов'язані з геометричними властивостями відповідних банахових просторів (див. монографії Ш. Дініна, Х. Мухіки, М. Ерве). У дисертаційній роботі розглянуто аналітичні відображення на гільбертовому просторі і вивчено відповідні лінійні оператори на тензорних степенях даного простору.

Замкненість, компактність, неперервність та спектральні властивості лінійних операторів добре описані у відомих працях У. Рудіна, Н. Данфорда й Дж. Т. Шварца, а також Н.І. Ахієзера, І.М. Глазмана. В даній роботі досліджено ці ж властивості для операторів композиції на просторах аналітичних функцій нескінченної кількості змінних. Крім цього, в дисертації розвинено новий напрямок у дослідженнях властивостей операторів композиції: встановлення умов гіперциклічності таких операторів.

Перший результат з теорії гіперциклічних операторів був сформульований Г.Д. Біркгофом у 1929 році, який стверджує, що оператор композиції зі зсувом , , є гіперциклічним в просторі цілих функцій на комплексній площині . Г. Годфруа і Дж. Шапіро узагальнили теорему Біркгофа для випадку простору . Р. Арон і Х. Бес показали гіперциклічність оператора зсуву в просторі слабко неперервних аналітичних функцій, обмежених на обмежених підмножинах сепарабельного банахового простору .

Відомо, що гіперциклічний оператор на просторі Фреше існує тоді і тільки тоді, коли цей простір нескінченновимірний і сепарабельний. Дослідження гіперциклічних операторів пов'язане з відомою проблемою інваріантних підпросторів і більш загально - інваріантних підмножин. Легко перевірити, що кожний ненульовий вектор з є гіперциклічним для тоді і тільки тоді, коли не має замкнених інваріантних підмножин. У своїй роботі С. Рід показав, що існує лінійний неперервний оператор на для якого кожний ненульовий вектор є гіперциклічним. Все ще залишається відкритим питання: “Чи існує лінійний неперервний оператор на сепарабельному гільбертовому просторі без замкнених інваріантних підпросторів?”

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась в рамках науково-дослідних тем відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України ВБ 17/264 “Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень,” номер державної реєстрації 0198U002533 та “Дослідження аналітичних функцій і ультрагладких векторів в банахових просторах та їх застосування в спектральній теорії операторів,” номер державної реєстрації 0107U000363. Також дослідження, які увійшли в цю роботу, підтримані грантом: спільний науковий проект з Технологічним університетом Ліля (Франція) і МОН України “Нескінченновимірні та неінтегровані структури комплексного аналізу та геометрії,” № М-101/2007 за 2007-2008 рр., грантом Президії НАН України для молодих науковців “Дослідження крайових задач для ультрапараболічних рівнянь і збурень абстрактних параболічних рівнянь, дробово-раціональних апроксимацій функцій багатьох змінних та операторів композиції на просторах аналітичних функцій,” номер державної реєстрації 0107U007278 в 2007-2008 роках.

Мета і задачі дослідження.

Метою даної роботи є вивчення властивостей операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій та опис спектру нормальних і самоспряжених операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій банахового простору; опис нових класів гіперциклічних операторів композиції, які визначені на просторах аналітичних функцій і не комутують з оператором зсуву; гіперциклічність оператора симетричного зсуву на просторі симетричних аналітичних функцій на .

Об'єктом дослідження є простори аналітичних функцій на банахових просторах, симетричні тензорні добутки гільбертових просторів, оператори композиції на просторах аналітичних функцій, гіперциклічні оператори, симетричні поліноми в .

Предметом дослідження є спектральні властивості та умови гіперциклічності операторів композиції на просторах аналітичних функцій.

Методи досліджень. Дослідження використовують методи спектральної теорії лінійних операторів, метод глобальної лінеаризації поліноміальних і аналітичних відображень за допомогою топологічних тензорних добутків, методи теорії симетричних поліномів на банахових просторах із симетричною базою. Зокрема, використовуються ідеї та методи, які розроблені у працях Р. Арона, Х. Мухіки, Дж. Шапіро у поєднанні з технікою тензорних добутків та класичною теорією лінійних операторів.

Наукова новизна одержаних результатів.

Всі отримані в дисертації наукові результати є новими. У роботі вперше:

встановлено умови неперервності операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій гільбертового простору;

описано спектр самоспряжених і нормальних операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій;

доведено гіперциклічність оператора зсуву на гільбертовому просторі цілих функцій від нескінченної кількості змінних;

побудовано нові класи гіперциклічних операторів на просторах аналітичних функцій від багатьох комплексних змінних;

описано загальний вигляд гіперциклічного оператора композиції з афінним автоморфізмом на просторі цілих функцій в ;

доведено гіперциклічність оператора симетричного зсуву на просторі симетричних аналітичних функцій на .

Практичне значення одержаних результатів.

Отримані у дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування у дослідженнях з теорії операторів над банаховими просторами, в математичній фізиці, при дослідженні геометрії банахових просторів. Ці результати можуть бути використані в наукових дослідженнях, які проводяться в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Інституті математики НАН України, Львівському національному університеті імені Івана Франка, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна, Прикарпатському національному університеті імені Василя Стефаника та інших наукових установах та ВУЗах України.

Особистий внесок здобувача. аналітичний функція банаховий оператор

Всі основні результати, що викладені у дисертації, отримані самостійно. У спільних роботах з науковим керівником, співавтору належить постановка задачі та обговорення отриманих результатів. Також А.В. Загороднюку належить теорема 1, яка доведена у спільній роботі [5].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

І-ій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу, Львів-Козева (22-31 липня 2003);

конференціях молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів (24-26 травня 2004, 24-27 травня 2005);

міжнародній конференції присвяченій 125-ій річниці від дня народження Ганса Гана, Чернівці (27 червня - 3 липня 2004);

ІІ-ій літній школі з алгебри і топології, Долина (2-14 серпня 2004);

ІІI-ій літній школі з алгебри, аналізу і топології, Львів-Козева (9-20 серпня 2005);

International conference ``Analysis and related topics,'' Lviv ( November, 17-20, 2005);

ІV-ій літній школі з алгебри, топології, функціонального та стохастичного аналізу, Львів-Козева (17-29 липня 2006);

конференціях ІППММ НАН України ``Наукові читання, присвячені пам'яті Ярослава Степановича Підстригача,'' Львів (травень 2006, 2007 роки);

конференції НТШ, Львів (березень 2007);

V-ій літній школі з алгебри, топології і аналізу, Львів-Козева (6-18 серпня 2007);

IV Sympozjum Matematycznych i Informatycznych Kol Naukowych. Zastosowania matematyki (Krakow, Polska, 11-14 wrzesnia 2007 r.);

Summer school on “Complex Analysis and Geometry”, International Center for Mathematical Meetings (CIRM), Luminy, Marseille, France (September, 24-28, 2007);

семінарі математичної секції Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів);

Львівському семінарі з функціонального аналізу ім. В. Е. Лянце Львівського національного університету імені Івана Франка (керівник О. Г. Сторож);

семінарах відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 17 наукових працях, 6 з яких у журнальних статтях у фахових українських і міжнародних виданнях та 11 у матеріалах наукових математичних конференцій.

Структура та об'єм роботи.

Дисертація складається з вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновку та списку використаних джерел. Повний об'єм роботи 116 сторінок. Список використаних джерел включає 86 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи подано загальну характеристику роботи, обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та теоретичне значення проведених досліджень.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою проведених досліджень, викладено основні допоміжні поняття та теореми, пов'язані з темою дисертації. Також сформульовано основні напрямки і результати досліджень.

Одним з напрямків дисертаційної роботи є дослідження просторів цілих функцій і спектральних властивостей операторів композиції на просторах аналітичних функцій на банаховому просторі.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії операторів композиції на банахових просторах аналітичних функцій. Зокрема, в роботі досліджуються такі властивості операторів композиції як щільність області визначення, замкненість, неперервність, компактність, нормальність, самоспряженість та гіперциклічність.

В працях А.В. Загороднюка та О.В. Лопушанського описано простір аналітичних функцій , який є спряженим простором до симетричного простору Фока. В дисертації встановлено умови, при яких даний простір є простором цілих функцій.

В працях багатьох авторів розглядались оператори композиції на просторах Харді аналітичних функцій на кулі в . Відомо низку прикладів необмежених операторів композиції при . В дисертації розглянуті умови неперервності операторів композиції для досить загального класу гільбертових просторів аналітичних функцій, які включають класичні простори Харді. Крім того, досліджено щільність області визначення, замкненість та неперервність оператора композиції в просторі Дрюрі-Арвесона-Харді на гільбертовій кулі . Також в дисертації досліджено оператори композиції на гільбертових просторах цілих аналітичних функцій гільбертового простору, зокрема, на просторі .

Б. Макклуер, Х. Бродський-Гаммонд досліджували компактність та спектр операторів композиції, які діють в різних гільбертових просторах аналітичних функцій. В дисертації продовжується дослідження таких властивостей. Зокрема, показано, що оператор композиції , , є самоспряженим тоді і тільки тоді, коли - лінійний самоспряжений оператор. Досліджено коли цей оператор на просторі є компактним і для нього існує спектральний розклад.

У підрозділі 2.4 отримано спектральне зображення для нормального оператора композиції, який діє на просторі .

В третьому розділі досліджено нові класи гіперциклічних операторів на просторах функцій. В підрозділі 3.1 розвинуто ідеї Р. Арона та Х. Беса і доведено гіперциклічність оператора зсуву на просторі аналітичних функцій .

Г. Біркгофф довів гіперциклічність оператора зсуву на просторі цілих функцій . Г. Годфруа і Дж. Шапіро узагальнили цей результат на випадок простору . Більш того, вони описали всі гіперциклічні оператори на , які комутують із зсувом. В дисертаційній роботі побудовано гіперциклічний оператор композиції на просторі , який не комутує з оператором зсуву. Для досягнення цього результату використовуються поліноміальні автоморфізми на й розвинуто метод, який використовує теорію симетричних аналітичних функцій на банахових просторах.

Л. Бернал-Гонзалез встановив деякі необхідні та достатні умови гіперциклічності оператора композиції з афінним відображенням. В підрозділі 3.2 встановлено взаємозв'язок між поліноміальними автоморфізмами на і операцією заміни поліноміальних баз в алгебрі симетричних аналітичних функцій на банаховому просторі сумовних послідовностей . Також в роботі доведено, що якщо - гіперциклічний оператор композиції з афінним відображенням , то має вигляд для деякого поліноміального автоморфізму і констант .

У підрозділі 3.3 доведено гіперциклічність оператора симетричного зсуву на просторі .

В наступному підрозділі побудовано гіперциклічні оператори композиції на просторах аналітичних функцій, які визначені на алгебраїчних многовидах.

Відомо багато прикладів лінійних гіперциклічних операторів на банахових просторах. В підрозділі 3.5 впроваджено новий метод побудови нелінійних гіперциклічних операторів композиції на просторах Фреше і банахових просторах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Новосад З. Г. (Можировська) Оператори композиції на просторах аналітичних функцій гільбертового простору / З. Г. Новосад (Можировська) // Мат. методи і фіз. мех. поля. 2004. 47, №2. С. 7883.

[2] Можировська З. Г. Гіперциклічні оператори на просторах функцій на алгебраїчних многовидах / З. Г. Можировська // Науковий збірник “Прикладні проблеми механіки і математики.” 2007. 5. С. 5255.

[3] Novosad Z. H. (Mozhyrovska) A hypercyclic composition operator on a Hilbert space of entire functions / Z. H. Novosad (Mozhyrovska), A. V. Zagorodnyuk // Matematychni Studii. 2005. 23, No. 1. P. 108112.

[4] Novosad Z. H. (Mozhyrovska) Гіперциклічні оператори композиції на просторах аналітичних функцій / З. Г. Новосад (Можировська), А. В. Загороднюк // Мат. методи і фіз. мех. поля. 2006. 49, №2. С. 4851.

[5] Можировська З. Гільбертові простори цілих функцій від нескінченної кількості змінних / Зоряна Можировська, Андрій Загороднюк // Математичний вісник НТШ. 2006. 3. С. 4455.

[6] Novosad Z. (Mozhyrovska) Polynomial automorphisms and hypercyclic operators on spaces of analytic functions / Zoryana Novosad (Mozhyrovska), Andriy Zagorodnyuk // Archiv der Mathematik. 2007. 89, No. 2. P. 157166.

[7] Novosad Z. (Mozhyrovska) Spectral theorem on a space of analytic functions on the Hilbert space / Zoryana Novosad (Mozhyrovska) // І-ша літня школа з топологічної алгебри і функціонального аналізу, 2231 липня 2003 р. : тези доп. Львів-Козева, 2003. С. 31.

[8] Novosad Z. (Mozhyrovska) Hypercyclic composition operator in the space of analytic functions on a Hilbert space / Zoryana Novosad (Mozhyrovska) // Конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С.Підстригача, 2426 травня 2004 р. : тези доп. Львів, 2004. С. 182184.

[9] Novosad Z. H. (Mozhyrovska) Composition operators on a space of analytic functions on a Hilbert space / Z. H. Novosad (Mozhyrovska) // Міжн. конф. присвяченій 125-й річниці від дня народження Ганса Гана, 27 червня 3 липня 2004 р. : тези доп. Чернівці, 2004. С. 145146.

[10] Novosad Z. (Mozhyrovska) Spectral properties of composition operators in a Hilbert space / Zoryana Novosad (Mozhyrovska) // ІІ-а літня школа з алгебри і топології, 214 серпня 2004 р. : тези доп. Долина, 2004. С. 2728.

[11] Novosad Z. H. (Mozhyrovska) Hilbert spaces of analytic functions of infinitely many variables / Z. H. Novosad (Mozhyrovska) // Конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С.Підстригача, 2427 травня 2005 р. : тези доп. Львів, 2005. С. 229230.

[12] Novosad Z. (Mozhyrovska) Analytic functions and symmetric Fock space / Zoryana Novosad (Mozhyrovska) // Third Summer School in Algebra, Analysis and Topology, August 920, 2005: abstracts. Lviv-Kozyova, 2005. P. 143144.

[13] Novosad Z. H. (Mozhyrovska) Hypercyclic operator of symmetric translation / Z. H. Novosad (Mozhyrovska) // International Conference Analysis and Related Topics, November 1720, 2005: abstracts. Lviv, 2005. P. 7778.

[14] Novosad Z. (Mozhyrovska) Examples of hypercyclic composition operators on spaces of analytic functions / Zoryana Novosad (Mozhyrovska) // Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis: Fourth Summer School, July 17-29, 2006: abstracts. Lviv-Kozyova, 2006. P. 156157.

[15] Mozhyrovska Z. H. Normal composition operators on the spaces of analytic functions / Z. H. Mozhyrovska // Algebra, Topology and Analysis: Fifth Summer School, August 618, 2007: abstracts. Kozyova, Lviv Region, 2007. P. 5556.

[16] Mozhyrovska Z. Hypercyclic operators on spaces of analytic functions / Zoryana Mozhyrovska // Zastosowania matematyki: IV Sympozjum Matematycznych i Informatycznych Kol Naukowych, 1114 wrzesnia 2007 r. : streszczenia referatow. Krakow, Polska, 2007 P. 11.

[17] Mozhyrovska Z. H. Spectral properties of composition operators / Z. H. Mozhyrovska // Міжн. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, 2428 вересня 2007 р. : тези доп. Дрогобич, 2007 С. 197.

АНОТАЦІЇ

Можировська З.Г. Спектральні властивості та гіперциклічність операторів композиції на просторах аналітичних функцій банахового простору. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка Міністерства науки і освіти України, Львів, 2008.

У дисертації досліджено такі властивості операторів композиції як щільність області визначення, замкненість, неперервність. Побудовано спектральні зображення для самоспряжених і нормальних операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій. Встановлено умови гіперциклічності операторів композиції на просторах функцій.

Ключові слова: оператори композиції, гіперциклічні оператори, аналітичні функції та симетричні аналітичні функції, простори аналітичних функцій, поліноміальні автоморфізми.

Можировская З.Г. Спектральные свойства и гиперцикличность операторов композиции на пространствах аналитических функций на банаховом пространстве. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франка Министерства образования и науки Украины, Львов, 2008.

В диссертации исследованы такие свойства операторов композиции как плотность области опредиления, замыкание, непрерывность. Построены спектральные изображения для самосопряженных и нормальных операторов композиции на гильбертовых пространствах аналитических функций. Установлены условия гиперцикличности операторов композиции на пространствах функций.

Ключевые слова: операторы композиции, гиперциклические операторы, аналитические функции и симметрические аналитические функции, пространства аналитических функций, полиномиальные автоморфизмы.

Mozhyrovska Z.H. Spectral properties and hypercyclicity of composition operators on spaces of analytic functions on Banach space. Manuscript.

Thesis for the degree of Candidate of Physics and Mathematics in speciality 01.01.01 mathematical analysis. Ivan Franko Lviv National University, Lviv 2008.

Let be a separable Hilbert space. In the thesis we construct a special Hilbert spaces of entire functions on , which have the Fock space tensor structure and consider composition operators on these spaces.

We consider some properties of composition operators like the density of domain, the closeness of graph and the continuity. For example if a composition operator is continuous on the space then , where is linear operator and .

The thesis is devoted to description of the spectral properties of the composition operators on a Hilbert space of analytic functions which are defined on Hilbert space. Some versions of spectral theorems for such operators are proved.

In the thesis we investigate under which conditions the operator of composition with translation is hypercyclic in .

We consider hypercyclic composition operators on which can be obtained from the translation operator using polynomial automorphisms of . In particular we show that if is a hypercyclic operator for an affine automorphism on , then for some polynomial automorphism and vectors and , where is the identity operator.

We denote by the Frechet algebra of symmetric entire functions on which are bounded on bounded subsets. This algebra is the completion of the space of symmetric polynomials on endowed with the uniform topology on bounded subsets. It is known that the classical translation operator does not preserve the space . We consider a special, so-called symmetric translation on , which preserves the space of symmetric functions. The symmetric translation operator is hypercyclic on for every .

Some hypercyclic operators on spaces of analytic functions on some algebraic manifolds are described.

In the thesis we propose a simple method how to construct analytic hypercyclic operator on Fr\'echet spaces and Banach spaces. There are some examples.

Key words: composition operators, hypercyclic operators, functional spaces, polynomial automorphisms, symmetric functions.

Размещено на Allbest.ru