Властивості банахових просторів та операторів, що пов’язані з геометрією зрізок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

УДК 517.982.22

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність 01.01.01 - Математичний аналіз

Властивості банахових просторів та операторів, що пов'язані з геометрією зрізок

Івахно Євген Володимирович

Харків - 2008

Дисертація є рукописом

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фiзико-математичних наук, доцент Кадець Володимир Михайловичович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, доцент кафедри теорії функцій та функціонального аналізу.

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Попов Михайло Михайлович, Чернівецький національний університет імені Ю. Федьковича, професор кафедри математичного аналізу; доктор фізико-математичних наук, професор Золотарьов Володимир Олексійович, Харківський інститут управління, ректор, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, професор кафедри вищої математики та інформатики.

Захист відбудеться «12» вересня 2008 року о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 62.051.11 у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий «8» серпня 2008 р.

Учений секретар ссс секретар Вчений секретар Скорик В. О. спеціалізованої вченої ради.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У 70-х роках XX-го століття почалось найбільш активне вивчення взаємозв'язку топологічних та геометричних властивостей банахових просторів. Один із напрямків такого вивчення - граничні і строго висунуті точки множин та зрізки малого діаметра - складає основу сучасної теорії векторного інтегралу (властивість Радона-Нікодима). У дисертаційній роботі увага зосереждена на протилежному, менш дослідженому, але досить перспективному напрямку - зрізках ''надзвичайно великого'' розміру і пов'язаних з цим питаннях теорії операторів і геометрії банахових просторів. Цей напрямок мотивується також задачами теорії рівнянь Даугавета, що активно розвивається останнім часом.

У 1963-му році І.К. Даугавет довів, що для кожного компактного оператора , що діє в просторі , виконується рівність

, (1)

що тепер стала відома як рівність Даугавета. Аналогічний результат згодом отримав Г.Я. Лозановський для простору . Пізніше рівність Даугавета було розповсюджено на багато інших класів операторів на різних банахових просторах. Рівність Даугавета виявилась корисною в теорії апроксимації, де її було застосовано для знаходження найкращих констант у деяких нерівностях, а також у геометрії банаховых просторів.

У 2000-му році В.М. Кадець, Р.В. Швидкой, Г.Г. Сироткін і Д. Вернер довели, що за умови виконання рівності (1) для всіх 1-вимірних операторів у просторі , вона також має місце для всіх компактних операторів у цьому просторі (навіть для слабко компактних та для значно більш широких класів операторів). Ця умова на простір отримала назву властивості Даугавета. Це твердження (як і багато інших результатів) було доведено на основі критерія властивості Даугавета в термінах розмірів зрізок одиничної сфери .

Одним із відомих у функціональному аналізі банахових просторів є простір всіх числових ліпшицевих функцій на заданому компактному метричному просторі . Відомі як приклади таких просторів , для яких має властивість Даугавета, так і такі простори, що ця властивість для не виконується. Тому актуальним є з'ясування умов, які потрібно вису-нути щодо метричного компакту , за яких властивість Даугавета для має місце.

Іншим напрямком узагальнення результата Даугавета є одержання дещо слабших умов, ніж рівність Даугавета, для більш загальних класів операторів та інших банахових просторів. Так, безпосереднім узагальненням властивості Даугавета є слабша властивість - так звана альтернативна властивість Даугавета, яку запропонували в 2004-му році М. Мартін і Т. Ойкберг, і яка також має безпосереднє відношення до розмірів зрізок одиничної сфери. Для цієї властивості постає аналогічне запитання щодо критеріїв її виконання в просторі .

Іншим безпосереднім узагальненням властивості Даугавета є властивість, яка полягає у тому, що норма кожного проектора на гіперпідпростір у даному просторі є не меншою за 2. Актуальним є запитання про те, чи співпадає ця властивість із властивістю Даугавета.

Одним з найважливіших об'єктів теорії векторного інтегралу є властивість Радона-Нікодима, що, як добре відомо, має критерій у термінах розмірів зрізок опуклих замкнених обмежених множин. Актуальним є знаходження найпро-стіших критеріїв наявності або відсутності цієї властивості для даного банахового простору. Виявляється, що заперечення властивості Радона-Нікодима можна охарактеризувати як властивість, яка полягає у тому, що радіуси зрізок одиничних куль деяких еквівалентних норм на даному просторі рівномірно прямують до радіусів самих одиничних куль, тобто до 1. ''Граничним випадком'' просторів із такою властивістю є простори, для яких радіус кожної зрізки одиничної кулі дорівнює 1, або простори з радіальною властивістю великих зрізок. Аналогічна властивість в термінах діаметрів називається діаметральною властивістю великих зрізок. Ці дві властивості є безпосереднім узагальненням властивості Даугавета, хоча вони виконуються в деяких відомих банахових просторах, без властивості Даугавета, наприклад, у просторі .

Виходячи з міркувань стосовно зв'язку властивостей великих зрізок із властивістю Радона-Нікодима, виникає запитання про те, якими повинні бути простори з властивостями великих зрізок, наприклад, у контексті зв'язку між наявністю цих властивостей у даному просторі з їх наявністю в його підпросторів. З іншого боку, з огляду відомих теорем про зв'язок між виконанням властивості Даугавета для безумовної суми послідовності просторів та її виконанням для відповідних доданків, актуальним є запитання про справедливість аналогічних тверджень для властивостей великих зрізок. Крім того, як і у випадку властивості Даугавета, актуальним є запитання про форму метричних просторів , для яких вказані властивості мають місце в просторі . Оскільки відомо, що властивість Даугавета не змінюється при переході в її геометричному варіанті від зрізок до слабких околів в одиничній кулі, також постає запитання про зв'язок між властивостями великих зрізок та їх модифікаціями в термінах слабких околів.

У 2002-му році Ш. Бу і Р. Чіл запропонували та застосували геометричну властивість банахових просторів, що відноситься до виконання леми Рімана-Лебега в просторах слабко інтегровних функцій (властивість Рімана-Лебега). Ця властивість має місце для кожного простору, в якому виконується властивість повної неперервності. Актуальним є запитання про те, чи є ці властивості еквівалентними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі теорії функцій та функціонального аналізу механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н.?Каразіна. Результати дисертації є складовою частиною держбюджетних науково-дослідних робіт ''Аналітичні та алгебраїчні методи дослідження функціональних просторів, напівгруп, ймовірносних законів'' (номер державної реєстрації 0103U004224) та ''Алгебраїчні та аналітичні методи дослідження груп, класів функцій, операторів та пов'язаних з ними об'єктів'' (номер державної реєстрації 0106U003141).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розв'язання відкритих запитань теорії рівнянь Даугавета та теорії властивості Радона-Нікодима.

Задачі дослідження:

- вивчення властивості Даугавета та інших геометричних властивостей, що пов'язані з геометрією зрізок, у просторах функцій Ліпшиця;

- знаходження критеріїв виконання властивості Радона-Нікодима в термінах розмірів зрізок одиничних куль еквівалентних норм;

- знаходження прикладів просторів, що не мають властивості Даугавета, але в котрих норма кожного проектора на гіперпідпростір є не меншою за 2;

- вивчення взаємозв'язку між властивістю Рімана-Лебега та властивістю повної неперервності з огляду на можливість їх еквівалентності.

Об'єктом дослідження є рівність Даугавета, векторна міра та інтеграл і пов'язані з ними питання теорії операторів і геометрії банахових просторів. Предметом дослідження є властивості Даугавета, Радона-Нікодима, Рімана-Лебега та інші властивості банахових просторів і операторів, що пов'язані з геометрією зрізок опуклих множин.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються загальні методи функціонального аналізу, а також методи геометрії банахових просторів.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі вперше:

- знайдено характеризацію компактних метричних просторів , для яких банахів простір всіх функцій Ліпшиця має властивість Даугавета;

- знайдено характеризацію скінченних метричних просторів , для яких простір має альтернативну властивість Даугавета; доведено, що для простору , ізометричного підмножині , простір має альтернативну властивість Даугавета;

- надано геометричну характеризацію просторів, у яких кожен проектор на гіперпідпростір має норму не меншу за 2; доведено, що безумовна сума послідовності просторів є таким простором тоді й тільки тоді, коли таким простором є кожен доданок суми; встановлено, що такі простори можуть не мати властивості Даугавета;

- доведено, що у просторі не виконується властивість Радона-Нікодима тоді й тільки тоді, коли для будь-якого існує еквівалентна норма на , в якій радіус кожної зрізки одиничної кулі є більшим за ;

- для радіальної властивості великих зрізок описано взаємозв'язок між наявністю цієї властивості в безумовній сумі послідовності просторів з її наявністю в доданках; доведено, що якщо в просторі існує доповнювальний підпростір, ізоморфний простору з радіальною властивістю великих зрізок, то простір також буде ізоморфним простору з цією ж властивістю;

- для діаметральної властивості великих зрізок отримано результати, аналогічні вказаним результатам для радіальної властивості великих зрізок; до того ж, доведено, що простір, в якому є підпростір, ізоморфний простору , є ізоморфним простору з діаметральною властивістю великих зрізок; для розповсюдження діаметральної властивості великих зрізок на випадок слабких околів в одиничній кулі замість зрізок доведено, що ця властивість еквівалентна виконанню діаметральної властивості великих зрізок для кожного підпростору скінченної ковимірності;

- знайдено необхідні та достатні умови на метричний простір , за яких простір набуває діаметральної властивості великих зрізок; у випадку, коли - компакт, критерієм цієї властивості для є нескінченність множини ;

- доведено, що з наявності для банахового простору властивості Рімана-Лебега випливає наявність у ньому властивості повної неперервності, тобто встановлено, що ці властивості є еквівалентними.

Практичне значення отриманих результатів. У дисертації проведено фундаментальні теоретичні дослідження, які можуть бути використані в теорії операторів, у теорії векторної міри та інтегралу, в геометрії банахових просторів та в інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач належать науковому керівнику. Усі результати дисертації отримані автором самостійно. В статті [1], яку опубліковано в співавторстві з Бойком К.С., автору дисертації належать результати розділів 2-6.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на міжнародній конференції ''Entire and Subharmonic Functions and Related Topics'' (Харків, 2006 р.), на міжнародній конференції ''Modern Analysis and Applications'' (Одеса, 2007 р.), на двох студентських конференціях у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна, на семінарі з функціонального аналізу Вільного університету Берліна та на семінарі з функціонального аналізу в Чернівецькому національному університеті імені Ю. Федьковича.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 7 наукових публікаціях, у тому числі в 5 статтях у журналах з переліку ВАК України і 2 тезах виступів на конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновку та списку використаних джерел, який містить 82 найменування та займає 7 сторінок. Загальний об'єм роботи складає 141 сторінку.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику кандидату фізико-математичних наук, доценту Кадецю Володимиру Михайловичу за підтримку, уболювання за результат та приклад високого професіоналізму.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета та задачі, об'єкт та предмет дослідження, розкрита наукова новизна отриманих результатів.

У розділі 1 дисертаційної роботи подано огляд літератури за темою дисертації та визначено напрямок досліджень; результати дисертаційної роботи наводяться в розділах 2-7.

Означення 1.1. Зрізкою обмеженої підмножини дійсного нормованого простору , визначеною функціоналом і числом , називається множина вигляду

.

Для зрізок (замкненої) одиничної кулі та сфери функціоналом використовуються, відповідно, позначення

і

.

Означення 1.2. Банахів простір має властивість Даугавета, якщо для кожного одновимірного оператора виконується рівність Даугавета

.

Лема 1.1. Банахів простір має властивість Даугавета тоді й тільки тоді, коли для будь-яких , і існує такий елемент , що .

Зазначимо, що ця лема залишається вірною, якщо нерівність замінити на , та якщо замість зрізок кулі роз-глядати зрізки одиничної сфери .

Дійсний банахів простір має альтернативну властивість Даугавета (alternative Daugavet property, X ADP), якщо для кожного одновимірного оператора виконується альтернативна рівність Даугавета:

.

Простір має альтернативну властивість Даугавета тоді й тільки тоді, коли для будь-яких , і існує такий елемент , що .

Означення 1.3. Банахів простір має властивість Радона-Нікодима (Radon-Nikodym property, X RNP), якщо для будь-якого імовірнісного простору та будь-якої -значної векторної міри на якщо величина є обмеженою, то існує така функція , що

.

Теорема 1.1. Банахів простір має властивість Радона-Нікодима тоді й тільки тоді, коли для кожної опуклої замкненої обмеженої підмножини існує її зрізка довільно малого діаметра.

У розділі 2 - ''1-безумовні суми просторів з поганими проекторами'' - вводиться до розгляду поняття простору з поганими проекторами, яке вже виникало в літературі, але не було формалізовано. Доводиться, що властивість, яка полягає в тому, що даний простір є простором з поганими проекторами, має безпосереднє відношення до геометрії зрізок одиничної сфери простору . Доводиться, що будь-яка 1-безумовна сума послідовності просторів з поганими проекторами - також простір з поганими проекторами (та навпаки). В якості наслідку отримано приклад простору з поганими проекторами, що не задовольняє властивості Даугавета.

Означення 2.1. Будемо казати, що банахів простір є простором з поганими проекторами, якщо для кожного 1-вимірного проектора виконується нерівність

,

тобто, для кожного проектора , в котрого ковимірність образу дорівнює 1, .

Очевидно, кожен простір із властивістю Даугавета є простором з поганими проекторами.

Наступна теорема 2.1, яка встановлює геометричний критерій того, що X - простір з поганими проекторами, дуже нагадує аналогічний критерій для властивості Даугавета - лему 1.1.

Теорема 2.1. є простором з поганими проекторами тоді й тільки тоді, коли для кожної зрізки сфери , кожного та знайдеться такий , що .

Величина називається радіусом множини на елементі .

Фактично, вказані в лемі 1.1 і теоремі 2.1 геометричні властивості полягають у тому, що для кожної зрізки сфери її радіус дорівнює 2 на всіх елементах у випадку простору з поганими проекторами і на всіх елементах у випадку простору із властивістю Даугавета.

На перший погляд здається, що радіус зрізки на її власних елементах не може бути більшим за її радіус на інших елементах сфери, тобто, що простори з поганими проекторами повинні також мати властивість Даугавета.

Тим не менше, як свідчать наступні результати, ці властивості все ж таки не співпадають.

Нехай - банахів простір з 1-безумовним нормованим базисом Шаудера (скінченновимірний чи нескінченновимірний). Це означає, що елементи простору можна ототожнити з числовими послідовностями , які задовольняють умові .

Розглянемо послідовність банахових просторів , , …. Їх -сума (сума за простором ) визначається як простір всіх послідовностей , де и . Норма його элементів визначається як .

Теорема 2.3. Нехай - простір з 1-безумовним базисом. Сума є простором з поганими проекторами тоді й тільки тоді, коли просторами з поганими проекторами є всі її доданки , , ….

Відомо, що сума двох просторів із властивістю Даугавета тоді й тільки тоді сама має цю властивість, коли просторм є або , або .

Наслідок 2.1. Простір з поганими проекторами може не мати властивості Даугавета. Прикладом є будь-яка сума двох просторів з властивістю Даугавета за простором , який не співпадає ані з , ані з .

У розділі 3 - ''Властивість Даугавета в просторах функцій Ліпшиця'' - отримано характеризацію таких метричних компактів , для яких банахів простір всіх дійсних функцій Ліпшиця має властивість Даугавета.

Означення 3.1. Нехай - метричний простір, що складається більше ніж з однієї точки. Для будь-якої пари точок в нахилом функції поміж точками і називається величина

.

На лінійному просторі всіх функцій Ліпшиця визначимо напівнорму

.

Факторпростір цього простору за ядром даної напівнорми (тобто за підпростором всіх сталих функцій) є банаховим простором, що позначається як і норму якого ми також будемо позначати як .

Зазначимо, що для поповнення простору відповідні простори і є ізометричними один до одного, тобто їх можна ототожнити.

Серед просторів вигляду відомі як такі, що мають властивість Даугавета (), так і такі, для яких ця властивість не виконується ().

Означення 3.2. Метричний простір - локальний, якщо для кожної функції і для кожного існує така пара точок , що і .

Означення 3.3. Метричний простір - метрично опуклий, якщо для кожної пари точок існує така інша точка , що

.

Наприклад, метрично опуклими є всі лінійно опуклі підмножини лінійних нормованих просторів.

Означення 3.3. Метричний простір має властивість (Z), якщо для кожної пари точок і кожного існує така інша точка , що

. (2)

Очевидно, кожен метрично опуклий простір також має властивість (Z). З іншого боку, простір , що задовольняє (2) з , є метрично опуклим. Таким чином, властивість (Z) є ''-наближенням'' метричної опуклості.

Теорема 3.1. Для компактного метричного простору наступні умови є взаємно еквівалентними:

1. має властивість Даугавета.

2. є простором з поганими проекторами.

3. Простір має властивість (Z).

4. Простір є локальним.

Наслідок 3.1. Властивість Даугавета виконується для кожного простору на опуклій компактній підмножині лінійного нормованого простору.

Наслідок 3.2. Якщо на компакті має властивість Даугавета, то простір - зв'язний.

У розділі 4 - ''Альтернативна властивість Даугавета в просторах функцій Ліпшиця'' - знайдено критерії виконання властивості ADP в просторі для випадку, коли - скінченний метричний простір, а для нескінченно-вимірного випадку знайдено достатню умову виконання цієї властивості.

У підрозділі 4.1 доведено таку теорему.

Теорема 4.1. Якщо метричний простір можна ізометрично вкласти в простір (зі звичайною метрикою), то має властивість ADP.

У підрозділі 4.2, починаючи з якого увага зосереждується на випадку скінченновимірих просторів , доведено теорему 4.3, що встановлює критерій виконання властивості ADP у просторі в термінах властивостей граничних точок кулі B().

Означення 4.2. Точка лежить поміж точок і , якщо виконується рівність .

Означення 4.3. Невпорядкована пара неоднакових точок в називається проміжком, якщо не містить інших точок поміж і .

Теорема 4.3. Нехай - скінченний метричний простір. Простір тоді й тільки тоді має альтернативну властивість Даугавета, коли для кожної граничної точки кулі та для кожного проміжка в має місце рівність .

При використанні цієї теореми зручно застосовувати наступний критерій того, що даний елемент кулі є її граничною точкою:

Теорема 4.2. Нехай - скінченний метричний простір. Функція є граничною точкою кулі тоді й тільки тоді, коли для кожної пари точок існує така послідовність (), що для всіх .

Для того, щоб встановити основний критерій виконання альтернативної властивості Даугавета в скінченновимірному просторі , у підрозділі 4.3. попередньо розглядаються наступні допоміжні поняття.

Означення 4.4. Розглянемо проміжок в . Точка лежить з боку точки відносно проміжка , якщо лежить поміж і . (відповідно, лежить з боку відносно , якщо лежить поміж і ).

Означення 4.5. Метричний простір має роз'єднувальну властивість, якщо для кожного проміжка в кожна точка лежить відносно або з боку , або з боку (еквівалентно, якщо для кожного проміжка та точки виконується рівність ).

Наприклад, роз'єднувальну властивість має кожен метричний простір, який можна ізометрично вкласти в простір .

Означення 4.8. Многокутником в метричному просторі називається скінченна циклічна послідовність вигляду (), для якої виконуються наступні умови:

1) всі елементи , …, є різними;

2) ;

3) пари послідовних елементів , , …, , є про-міжками.

При цьому многокутники вважаються рівними, якщо вони співпадають як послідовності при обранні відповідних напрямків обходу та початкових елементів . Периметр многокутника - це величина .

Означення 4.10. Многокутник - мінімальний, якщо для кожної пари його точок, що не є сусідніми в послідовності , існує інша точка многокутника , яка лежить поміж цими двома. (Вибір такого терміна пов'язаний з тим, що в скінченних просторах , як доводиться в твердженні 4.4, немінімальний многокутник можна ''розділити'' деякою послідовністю точок на два многокутники, кожен з яких має менший периметр, ніж многокутник ).

У підрозділі 4.4 доведено основний критерій виконання альтернативної властивості Даугавета для скінченновимірних просторів .

Заради скорочення будемо називати многокутники з парною кількістю вершин парними многокутниками.

Теорема 4.4. Для скінченного метричного простору наступні умови є взаємно еквівалентними:

1) має альтернативну властивість Даугавета;

2) кожен многокутник в - рівносторонній і парний;

3) кожен мінімальний многокутник в - рівносторонній і парний;

4) кожен мінімальний многокутник в - рівносторонній і має роз'єд-нувальну властивість.

Наприклад, розглянемо ''трикутник'' ,. Оскільки не має роз'єднувальної властивості, простір не має властивості ADP. Нехай - ''квадрат'', а саме

, .

Оскільки єдиним многокутником у такому просторі є сам простір , то, очевидно, має альтернативну властивість Даугавета.

Якщо для доведення за теоремою 4.4 того, що ADP, достатньо знайти в один непарний або нерівносторонній многокутник, то для доведення наявності властивості ADP треба встановити парність та рівносторонність всіх многокутників в . У підрозділі 4.5 приводиться більш простий метод доведення того, що ADP. Цей метод має вигляд алгоритму побудови будь-якого скінченного простору , для якого ADP.

Нехай - множина всіх проміжків метричного простору , а - (додатно) зважений граф, де кожне ребро має вагу . Очевидно, якщо простір - скінченний, для Означення відстаней між будь-якими його елементами достатньо знати довжини всіх його проміжків , а саме:

.

Означення 4.11. Довільний додатно зважений граф визначає мет-рику на множині , якщо для деякої метрики на :

1. множина всіх проміжків простору співпадає з множиною ;

2. довжина кожного проміжка дорівнює його вазі як ребра.

У цьому випадку метричний простір (визначений з точністю до ізометрії) будемо при необхідності позначати як .

Визначимо класи перетворень і графа (або простору ), до послідовного застосування яких і зводиться згаданий алгоритм.

Означення 4.13. Нехай , та . Через позначимо таке перетворення графа : , , .

Означення 4.14. Розглянемо число та неоднакові несуміжні . Нехай до того ж граф містить шлях (послідовність точок, де кожна наступна точка утворює з попередньою точкою ребро; еквівалентно, послідовність відповідних ребер), що починається з точки , закінчується точкою та складається з непарної кількості ребер . Тоді символом позначимо наступне перетворення графа: , , .

Твердження 4.7. Якщо граф визначає метрику, то граф також визначає метрику, а граф визначає метрику за додаткової умови, що він є зв'язним підграфом іншого графа, що визначає метрику.

Якщо визначає метрику, відповідний простір позначимо .

Теорема 4.5. Якщо ADP, то ADP і ADP у випадку, коли визначає метрику.

Алгоритм полягає в наступному. Нехай є скінченний простір та відповідний граф і треба перевірити, що ADP. Починаючи з довільного проміжка, послідовністю перетворень вигляду можна отримати граф, множина точок якого співпадає з множиною , причому цей граф буде зв'язним. Позначимо його . Цей граф визначає метрику, а відповідний простір має властивість ADP за теоремою 4.5. Тому, якщо , алгоритм завершено. Якщо , то виконаємо наступну індуктивну процедуру.

Нехай для множини виконується включення (де ). В якості візьмемо . - зв'язний підграф зв'язного графа , і тому він визначає метрику. Покажемо, що при цьому або , або ADP. Дійсно, в зв'язному графі є шлях , що поєднує кінці ребра . Відкинувши всі замкнені підпослідовності ребер в та додавши ребро , отримаємо многокутник в . Якщо він не є водночас парним і рівностороннім, то ADP за теоремою 4.4, і алгоритм завершено. У супротивному випадку , і тому ADP.

Якщо ADP, то ця процедура на деякому кроці дістанеться мно-жини , і тоді буде доведено, що ADP.

У розділі 5 - ''Множини із надзвичайно великими зрізками'' - доводиться критерій виконання властивості Радона-Нікодима в термінах розмірів зрізок одиничних куль еквівалентних норм та вивчаються властивості просторів, де всі зрізки одиничних куль мають надзвичайно великий розмір.

Розглянемо спочатку деякі попередні міркування, що приведені в розділі 1. Із теореми 1.1 випливає, що для простору без властивості Радона-Нікодима існує опукла замкнена обмежена множина , діаметри всіх зрізок якої обмежені знизу деяким числом . Це тверждення підсилює теорема 1.5, згідно з якою при правильному виборі такої множини діаметри всіх її зрізок будуть як завгодно близькими до діаметра самої множини . А в теоремі 1.6 ствер-джується, що перехід до деякої еквівалентної норми даного простору без вла-стивості Радона-Нікодима дозволяє обрати в якості такої множини з надзвичайно великими зрізками саму одиничну кулю нової норми.

Теорема 1.6. Нехай простір не має властивості Радона-Нікодима. Тоді для будь-якого існує така еквівалентна норма на , що кожна зрізка кулі має діаметр .

Недоліком цієї теореми є те, що діаметри зрізок кулі оціюнюються величиною, що наближається не до діаметра самої кулі, а лише до його половини (тоді як, наприклад, у просторах із властивістю Даугавета діаметри всіх зрізок одиничної кулі дорівнюють двом). У підрозділі 5.1 доводиться теорема 5.1, де, використовуючи в якості критерія розміру зрізки не діаметр, а радіус (означення 5.1), вдається виправити цей недолік.

Означення 5.1. Радіусом обмеженої множини називається величина для деякого , або, еквівалентно, . Із нерівності (твердження 5.1) випливає, що в означенні властивості Радона-Нікодима замість діаметра можна застосовувати радіус.

Теорема 5.1. Простір не має властивості Радона-Нікодима тоді й тільки тоді, коли для будь-якого існує така еквівалентна норма на , що кожна зрізка кулі має радіус .

У подальших підрозділах 5.2 і 5.3 вивчається ''граничний випадок'' норм, в яких розміри всіх зрізок одиничної кулі наближаються до розміру цієї кулі:

Означення 5.2. Будемо казати, що простір має радіальну властивість великих зрізок (rBSP), якщо кожна зрізка його одиничної кулі має радіус 1, та що має діаметральну властивість великих зрізок (dBSP), якщо діаметр кожної зрізки одиничної кулі дорівнює 2.

Очевидно, діаметральна властивість великих зрізок є сильнішою за радіальну. Питання про виконання зворотного твердження на даний момент залишається відкритим. В якості прикладів просторів з цими властивостями можна навести простір та всі простори з властивістю Даугавета.

У підрозділі 5.2 досліджується взаємозв'язок між виконанням властивості rBSP в безумовній сумі послідовності просторів з її виконанням в доданках.

Теорема 5.2. Якщо , , … rBSP, то також і rBSP.

Теореми 5.3 та 5.4 відносяться до запитання про зв'язок між виконанням властивості великих зрізок для суми та для конкретного доданка.

Зафіксуємо номер доданка та розглянемо наступне відображення : .

Теорема 5.3. Припустимо, що для кожної зрізки кулі має місце рівність . Тоді з виконання властивості rBSP для просторів , …, , , … випливає також її виконання для суми незалежно від властивостей простору .

Теорема 5.4. Нехай, навпаки, існує така зрізка кулі , що . Тоді якщо сума має властивість rBSP, то й rBSP.

Наприклад, єдиним 2-вимірним простором з 1-безумовним базисом (і для якого ), що задовольняє умові теореми 5.3, є простір .

Наслідок 5.3. Якщо деякий доповнювальний підпростір простору є ізоморфним простору із властивістю rBSP, то простору з властивістю rBSP буде ізоморфним і сам простір .

Зауважимо, що всі тверждення в підрозділі 5.2 про властивість rBSP можна перенести також на випадок властивості dBSP. У підрозділі 5.3 доводяться два результати, що відносяться до властивості dBSP. Наступна теорема 5.5 встановлює, що якщо в наслідку 5.3 в якості виступає простір , то в умові доповнювальності потреби немає.

Теорема 5.5. Якщо деякий підпростір простору є ізоморфним простору , то простір є ізоморфним простору з властивістю dBSP.

Другий результат підрозділу 5.3 відноситься до узагальнення властивості dBSP на випадок, коли замість зрізок одиничної кулі розглядаються довільні слабкі околи її елементів:

Теорема 5.6. Наступні умови взаємно еквівалентні:

1) кожен слабкий окіл будь-якого елемента кулі (у перетині з ) має діаметр 2;

2) кожен підпростір скінченної ковимірності в має властивість dBSP. зірка даугавет еквівалентність нікодим

У розділі 6 - ''Діаметральна властивість великих зрізок у просторах функцій Ліпшиця'' - розглядається запитання про наявність чи відсутність влас-тивості dBSP у просторах . У підрозділі 6.1 доведено наступні достатні умови того, що dBSP.

Теорема 6.1. Якщо , то dBSP.

Теорема 6.2. Якщо, то dBSP.

Теореми 6.1 і 6.2 не дають повної відповіді на запитання цього розділу, бо, наприклад, якщо - нескінченна послідовність із для всіх неоднакових і в , то простір має властивість dBSP. Тим не менше, для основного випадку, коли простір є компактом, теорема 6.1 одразу дає відповідь на це запитання, а саме:

Наслідок 6.1. Якщо - компакт, то має властивість dBSP тоді й тільки тоді, коли - нескінченна множина.

У підрозділі 6.2 - ''Необхідні умови діаметральної властивості великих зрізок в '' - доведено таку теорему.

Теорема 6.3. За наступної умови простір не має властивості dBSP: існують такі , скінченна підмножина і гранична точка кулі , що кожна пара ,, для якої , задоволь-няє нерівності .

Приклад 6.2. Нехай , та для всіх , , .

Тоді dBSP. Це твердження доводиться за допомогою теореми 6.3 при використанні такої функції : , .

У розділі 7 - ''Властивість Рімана-Лебега та властивість повної неперер-вності'' - доводиться теорема про еквівалентність вказаних двох властивостей. Нагадаємо Означення цих властивостей. Функція називається -вимірною, якщо для будь-якого вимірною є скалярна функ-ція. У цьому випадку в просторі всіх скалярних вимірних функцій існує порядковий супремум .

Нехай - простір всіх (класів еквівалентності) -вимірних функцій , для яких належить . Цей простір з нормою є банаховим простором.

Якщо належить , то для будь-якої існує -інтеграл у тому сенсі, що для будь-якого функція є інтегровною на та існує такий елемент , що для всіх . Перетворення Фур'є функції визначається за формулою

для всіх . Нарешті, визначимо простір

для всіх .

Означення 7.1. Комплексний банахів простір має властивість Рімана-Лебега (RLP), якщо лема Рімана-Лебега виконується в просторі, тобто для всіх існує .

Означення 7.2. Банахів простір має властивість повної неперервності (CCP), якщо кожен обмежений оператор відображає слабко збіжні послідовності в послідовності, що збігаються за нормою.

Відомо, що для комплексного простору мають місце імплікації: RNPCCPRLP. У цьому розділі одержано наступний результат.

Теорема 7.3. Якщо простір має властивість Рімана-Лебега, то він також має властивість повної неперервності, тобто ці властивості є еквівалентними.

Висновки

У дисертації отримано нові результати про властивості Даугавета, Радона-Нікодима, Рімана-Лебега та альтернативну властивість Даугавета. У роботі розв'язано наступні актуальні запитання.

Охарактеризовано всі компактні метричні простори , для яких банахів простір всіх дійсних функцій Ліпшиця має властивість Даугавета.

Охарактеризовано всі скінченні метричні простори , для яких простір має альтернативну властивість Даугавета; доведено, що для простору , ізометричного підмножині , простір має альтернативну власти-вість Даугавета.

Надано геометричну характеризацію просторів, у яких кожен проектор на гіперпідпростір має норму не меншу за 2; доведено, що безумовна сума послідовності просторів є таким простором тоді й тільки тоді, коли таким простором є кожен доданок суми. Встановлено, що такі простори можуть не мати властивості Даугавета.

Доведено, що в просторі не виконується властивість Радона-Нікодима тоді й тільки тоді, коли для будь-якого існує еквівалентна норма на , в якій радіус кожної зрізки одиничної кулі є більшим за .

Для радіальної властивості великих зрізок описано взаємозв'язок між наяв-ністю цієї властивості в безумовній сумі послідовності просторів з її наявністю в доданках, а саме: 1) доведено, що якщо у кожному доданку вико-нується радіальна властивість великих зрізок, то вона виконується також і в сумі; 2) знайдено необхідну і достатню умову на простір, за яким розглядається сума, для того, щоб із наявності радіальної властивості великих зрізок для суми випливала наявність цієї властивості для окремого доданка. Доведено, що якщо в просторі існує доповнювальний підпростір, ізоморфний простору з радіаль-ною властивістю великих зрізок, то простір також буде ізоморфним простору з цією властивістю.

Для діаметральної властивості великих зрізок отримано результати, анало-гічні вказаним результатам для радіальної властивості великих зрізок; до того ж, доведено, що простір, в якому є підпростір, ізоморфний простору , є ізо-морфним простору з діаметральною властивістю великих зрізок. Для розпов-сюдження діаметральної властивості великих зрізок на випадок слабких околів в одиничній кулі замість зрізок доведено, що ця властивість еквівалентна виконанню діаметральної властивості великих зрізок для кожного підпростора скінченної ковимірності.

Знайдено необхідні та достатні умови на метричний простір , за яких простір набуває діаметральної властивості великих зрізок; у випадку, коли - компакт, критерієм цієї властивості для є нескінченність мно-жини .

Доведено, що з наявності для банахового простору властивості Рімана-Лебега випливає наявність у ньому властивості повної неперервності, тобто вста-новлено, що ці властивості є еквівалентними.

Публікації

1. Boyko K., Ivakhno Y. When on a finite metric space satisfies the alternative Daugavet property or is isometric to // Вісник Храківського націона-льного університету, серія ''Математика, прикладна математика і механіка''. - 2007. - № 790. - С. 158-181.

2. Ивахно Е., Кадец В. Unconditional sums of spaces with bad projections // Вісник Храківського національного університету, серія ''Математика, прикладна математика і механіка''. - 2004. - № 645, вип. 54. - С. 30-35.

3. Ивахно Е. Big slice property in the spaces of Lipschitz functions // Вісник Храківського національного університету, серія ''Математика, прикладна математика і механіка'' - 2006. - № 749, вип. 56. - С. 109-118.

4. Ивахно Е. On sets with extremely big slices // Журнал математической физики, анализа, геометрии. - 2006. - Т. 2, № 1. - С. 94-103.

5. Ivakhno Y. The Riemann-Lebesgue property is equivalent to the complete continuity property // Bull. Lond. Math. Soc. - 2007. - Vol. 39, No. 4. - P. 583-585.

6. Ivakhno Y. The Daugavet property for spaces of Lipschitz functions // International conference dedicated to the centennial of B.Ya.Levin ''Entire and Subharmonic Functions and Related Topics'', Book of abstracts. - Kharkiv. - 2006. - P. 17.

7. Ivakhno Y. Big slice property in the spaces of Lipschitz functions // International Conference ''Modern Analysis and Applications'' (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein, Book of abstracts. - Kyiv. - 2007. - P. 62-63.

Анотація

Івахно Є.В. Властивості банахових просторів та операторів, що пов'язані з геометрією зрізок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Харківський націо-нальний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2008.

У дисертації отримано нові результати про властивості Даугавета, Радона-Нікодима, Рімана-Лебега та альтернативну властивість Даугавета. Доведено, що в просторах, в яких не виконується властивість Радона-Нікодима, для кожного можна побудувати таку еквівалентну норму, що радіус кожної зрізки одиничної кулі буде більшим за . Надано геометричну характеризацію просторів, в яких кожен проектор на гіперпідпростір має норму не меншу за 2; досліджено властивості цих просторів та доведено, що такі простори можуть не мати властивості Даугавета. Знайдено характеризацію всіх компактних метри-чних просторів , для яких банахів простір всіх дійсних функцій Ліпшиця має властивість Даугавета. Знайдено характеризацію всіх скінченних метричних просторів , для яких має альтернативну властивість Дауга-вета. Доведено, що для компактного простору діаметр кожної зрізки одинич-ної кулі дорівнює двом тоді й тільки тоді, коли - нескінченна множина. Встановлено, що властивість Рімана-Лебега еквівалентна властивості повної неперервності.

Ключові слова: зрізка, властивість Даугавета, альтернативна властивість Даугавета, властивість Радона-Нікодима, властивість Рімана-Лебега, функція Ліпшиця.

Аннотация

Ивахно Е.В. Свойства банаховых пространств и операторов, связанные с геометрией срезок. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математи-ческих наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2008.

В диссертации получены новые результаты о свойствах Даугавета, Радона-Никодима, Римана-Лебега и альтернативном свойстве Даугавета.

Основными примерами пространств, обладающих свойством Даугавета, являются пространства , и , где мера - безатомная, а компакт не имеет изолированных точек. Известны примеры таких компакт-ных метрических пространств , что банахово пространство всех веще-ственных функций Липшица на обладает свойством Даугавета, но известны также примеры обратного. В данной работе охарактеризован класс всех ком-пактных метрических пространств , для которых пространство обла-дает свойством Даугавета.

Также в работе охарактеризован класс всех конечных метрических про-странств , для которых пространство обладает альтернативным свой-ством Даугавета; найден алгоритм построения любого конечного метрического пространства , для которого обладает альтернативным свойством Даугавета. Доказано, что для пространства , изометричного подмножеству пространства , пространство обладает альтернативным свойством Даугавета.

Найдена геометрическая характеризация пространств, в которых норма каждого проектора на гиперподпространство больше или равна 2; доказано, что безусловная сумма последовательности пространств является таким простран-ством тогда и только тогда, когда таким пространством является каждое слага-емое в сумме. Установлено, что такие пространства могут не обладать свойством Даугавета.

Как известно, один из важнейших объектов теории векторного интеграла - свойство Радона-Никодима для банаховых пространств - можно охарактеризо-вать в терминах размеров срезок замкнутых выпуклых ограниченных подмно-жеств. В работе найден новый критерий свойства Радона-Никодима в терминах размеров срезок единич-ных шаров эквивалентных норм: доказано, что в прост-ранстве не выполняется свойство Радона-Никодима тогда и только тогда, когда для любого существует эквивалентная норма на , в которой радиус каждой срезки единичного шара превышает .

Впервые введено в рассмотрение радиальное свойство больших срезок, состоящее в том, что радиус каждой срезки единичного шара данного банахова пространства равен 1. Построено описание взаимосвязи между выполнением этого свойства в безусловной сумме последовательности пространств и его выполнением в слагаемых, а именно: 1) доказано, что если свойство больших срезок выполнено для каждого слагаемого, то оно выполняется и для суммы; 2) найдено необходимое и достаточное условие на пространство, по которому рассматривается сумма, того, что из выполнения радиального свойства больших срезок в сумме следует его выполнение и в отдельных слагаемых. Доказано, что если в пространстве имеется дополняемое подпространство, изоморфное пространству с радиальным свойством больших срезок, то и само пространство изоморфно пространству с этим свойством.

Введено в рассмотрение диаметральное свойство больших срезок, состо-ящее в том, что диаметр каждой срезки единичного шара данного банахова про-странства равен 2. Для этого свойства получены результаты, аналогичные ука-занным выше результатам для радиального свойства больших срезок. Доказано, что если в пространстве имеется подпространство, изоморфное , то и само пространство изоморфно пространству с диаметральным свойством больших срезок. Для распространения диаметрального свойства больших срезок на слу-чай слабых окрестностей в единичном шаре вместо его срезок доказано, что та-кое свойство эквивалентно выполнению диаметрального свойства больших сре-зок в каждом подпространстве конечной коразмерности.

Найдены необходимые и достаточные условия на метрическое простран-ство , при которых пространство обладает диаметральным свойством больших срезок; в случае, когда - компакт, критерием выполнения этого свойства для является бесконечность множества .

Доказано, что из выполнения для банахова пространства свойства Римана-Лебега следует выполнение в нём свойства полной непрерывности, то есть уста-новлено, что эти свойства эквивалентны.

Ключевые слова: срезка, свойство Даугавета, альтернативное свойство Даугавета, свойство Радона-Никодима, свойство Римана-Лебега, функция Лип-шица.

Abstract

Ivakhno Y.V. Banach spaces' and operators' properties connected to the geometry of slices. - Manuscript.

The dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences (Ph.D.) in physics and mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical analysis. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine, 2008.

In the dissertation new results on the Daugavet, Radon-Nikodym, Riemann-Lebesgue and the alternative Daugavet properties are obtained. It is proved that in the spaces without the Radon-Nikodym property for each it is possible to construct an equivalent norm such that the radius of every slice of the unit ball would be greater than . A geometrical characterization of spaces such that the norm of every projection on a hyperplane is not less than 2 is given; properties of such spaces are investigated and it is proved that that such spaces might not have the Daugavet property. A wide variety of geometrical properties of Lipschitz function spaces on compact sets is investigated. It is proved that the Riemann-Lebesgue property is equivalent to the complete continuity property.

Key words: slice, Daugavet property, alternative Daugavet property, Radon-Nikodym property, Riemann-Lebesgue property, Lipschitz function.

Размещено на Allbest.ru

...