Аналітичні методи розв'язання екстремальних задач про полiноми Чебишова, Золотарьова та функцiї Бесселя

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналітичні методи розв'язання екстремальних задач про полiноми Чебишова, Золотарьова та функцiї Бесселя

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертація присвячена одержанню аналога для просторiв нерiвностi В.А. Маркова для другої похідної алгебраїчних поліномів, вивченню аналітичних властивостей поліномів Золотарьова, а також розв'язанню проблеми знаходження оптимальних параметрів у задачі про дифузію у подвійному тиглі.

Першою з задач, які розглядаються в дисертаційній роботі, є задача одержання нових нерiвностей для алгебраїчних поліномiв. Відомі російські математики А.А. Марков і В.А. Марков у своїх дослідженнях розглядали множину алгебраїчних поліномів степеня не вище , рівномірна норма яких на [1, - 1] не перевищує одиниці. У 1890 році А.А. Марков і у 1892 році В.А. Марков довели, що для будь-якого поліному з такої множини рівномірна норма на [1, - 1] його похідної першого і довільного порядку, відповідно, не перевищує цієї ж самої норми похідної того ж порядку поліному Чебишова степеня .

У 1912 році С.М. Бернштейн довів аналог нерiвностей братiв Маркових для тригонометричних поліномів. Замість множини вiн розглядав множину тригонометричних поліномів степеня не вище , рівномірна норма яких на [1, - 1] не перевищує одиниці, а замість - поліном . У 1951 році Кальдерон і Клейн узагальнили нерівності Бернштейна шляхом замiни рівномірної норми на множинi на норму простору , .

У 1982 році болгарський математик Б.Д. Боянов довів справедливість узагальненої нерівності А.А. Маркова, коли рівномірна норма на множинi замiнюється на норму простору при довiльному . Інакше кажучи, Б.Д. Боянов встановив аналог нерiвностей Кальдерона-Клейна для першої похiдної алгебраїчних поліномiв. Цього ж року Б.Д. Боянов висловив припущення, що нерівностi В.А. Маркова також будуть вірними, якщо рівномірну норму на множинi замінити на інтегральну норму простору , , тобто аналоги для алгебраїчних поліномiв нерiвностей Кальдерона-Клейна будуть вiрними не тiльки для першої похiдної, але i для похiдних довiльного порядку. Ця гіпотеза залишається недоведеною і досі.

У 1995 році Б.Д. Боянов і К.I. Рахман довели ці нерівності, але лише на множині тих поліномів із , які мають всі свої нулі на [1, - 1]. Тому розповсюдження цього результату Боянова-Рахмана на ширшу полiномiальну множину є актуальною задачею.

Основний результат роботи полягає в доведенні цiєї гіпотези для другої похідної всіх тих поліномів із , перша похідна яких має всі свої нулі на [1, - 1], за винятком принаймні одного. Таке збільшення множини поліномів у порівнянні з результатом Боянова-Рахмана стало можливим завдяки дослідженню поліномів Золотарьова, які вже належать до розглядуваної множини поліномів. Поліноми Золотарьова були вперше описані російським математиком Є. Золотарьовим у 1877 році і головна трудність їх дослідження в дисертації полягала в тому, що в явному вигляді ці поліноми виражаються тільки через еліптичні функції, використання яких для одержання конструктивних оцiнок є проблематичним.

Друга задача, яку розглянуто в дисертації, є екстремальна задача про дифузію у подвійному тиглі. Ця задача вперше досліджувалась Дж.Мідвінтером у 1983 році, де питання теоретичного обчислення показника заломлення вирішувалось на базі диференціального рівняння дифузії у нерухомому середовищі. У 1989 році С. Белоносов, В. Овсієнко і В. Карачун у зв'язку з істотно неспівпадаючими значеннями показника заломлення з результатом експерименту замінили це рівняння на рівняння дифузії у рухомому середовищі (так зване рівняння «газової атаки»), показали збіг обчисленного показника заломлення з результатами експерименту і відмітили важливість для інженерної практики задачі вибору параметрів таким чином, щоб показник заломлення мав найменше відхилення від заданої функції у просторі . Саме ця екстремальна задача оптимального вибору параметрів розв'язана у роботі за рахунок одержання нового інтегрального зображення показника заломлення як наслідок застосування інтегральних рівностей функцій Бесселя, відкритих Е.Тітчмаршем у 1927 році.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є складовою частиною наукових робіт, що ведуться на кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка і виконана в рамках держбюджетних тем №01БФ015-01 «Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті» (№ держ. реєстр. 0101U002173) та №06БФ015-02 «Проблема теорії прийняття рішень та її застосування в системному аналізі соціально-економічних та екологічних процесів» (№ держ. реєстр. 0106U005859), що виконувались на факультеті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є одержання у просторах , , аналогiв нерiвностей В.А. Маркова для другої похідної алгебраїчних поліномів, рівномірна норма яких на відрізку [1, - 1] не перевищує одиниці, а перша похідна має там всі свої нулі за винятком принаймні одного, і розв'язання проблеми оптимального вибору параметрів у задачі про дифузію у подвійному тиглі.

Завдання дослідження:

1. Для просторiв , , довести аналоги нерiвностей В.А. Маркова для другої похідної алгебраїчних поліномів, рівномірна норма яких на відрізку [1, - 1] не перевищує одиниці, а перша похідна має там всі свої нулі за винятком принаймні одного.

2. Для довільного натурального порівняти значення деяких інтегральних функціоналів від поліномів Чебишова і , а також від поліномів Золотарьова і Чебишова .

3. Знайти достатні умови існування оптимальних параметрів у екстремальній задачі про дифузію у подвійному тиглі за рахунок отримання нового інтегрального зображення розв'язку рівняння дифузії у рухомому середовищі.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи, що виносяться на захист, є новими і полягають у наступному.

1. Для просторiв , , доведені аналоги нерiвностей В.А. Маркова для другої похідної алгебраїчних поліномів, рівномірна норма яких на відрізку [1, - 1] не перевищує одиниці, а перша похідна має там всі свої нулі за винятком принаймні одного.

2. Для довільного натурального зроблено порівняння значень інтегральних функціоналів від поліномів Чебишова і , а також від поліномів Золотарьова і Чебишова .

3. Знайдені достатні умови існування оптимальних параметрів у екстремальній задачі про дифузію у подвійному тиглі і отримано нове інтегральне зображення розв'язку рівняння дифузії у рухомому середовищі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Встановлені у роботі властивості поліномів Золотарьова можуть бути корисними всім фахівцям зі спеціальних функцій. Отримані у роботі достатні умови розв'язуваності екстремальної задачі про оптимальний вибір параметрів у рівнянні дифузії у подвійному тиглі можуть бути використані для обчислень оптимальних параметрів у практичних задачах цього типу.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку досліджень належить науковому керівникові Ю.К. Подлипенко. Всі результати отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

міжнародній конференції «Моделювання та оптимізація складних систем», Київ, 25-28 січня 2001 року;

семінарі по аналізу в Софійському Інституті математики, Болгарія, 28 червня 2000 року, керівник семінару: професор Б.Д. Боянов;

семінарі кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, керівник семінару: доктор фіз-мат. наук, професор О.Г. Наконечний;

семінарі кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, керівники семінару: доктор фіз-мат. наук, професор Ю.Г. Кондратьєв, доктор фіз-мат. наук, професор І.О. Шевчук;

семінарі кафедри загальних проблем керування механіко-математичного факультету Московського державного університету ім. М.В. Ломоносова, керівник семінару: доктор фіз-мат. наук, професор В.М. Тихомиров, 5 жовтня 2007 року;

семiнарi вiддiлу теорії функцій Інституту математики НАН України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук А.С. Романюк, 18 січня 2008 року;

третій міжнародній конференції «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», присвяченій 85-річчю члена-кореспондента РАН, академіка Європейскої академії наук, професора

[4] Л.Д. Кудрявцева», Москва, 25-28 березня 2008 року.

Публікації. Основні результати дисертації, опубліковано у роботах [1-6].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 52 найменувань. Повний обсяг роботи складає 127 сторінок друкованого тексту.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Юрію Костянтиновичу Подлипенку за постійну увагу і підтримку під час виконання роботи.

Основний зміст дисертації

математичний дифузія інтегральний

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою.

Другий та третій розділи дисертаційної роботи присвячені одержанню у просторах , , аналогiв нерiвностей В.А. Маркова для другої похідної алгебраїчних поліномів, рівномірна норма яких на відрізку [1, - 1] не перевищує одиниці, а перша похідна має там всі свої нулі за винятком принаймні одного.

Позначимо через множину всіх алгебраїчних поліномів з дійсними коефіцієнтами степеня не вище . Нехай

Якщо і позначає клас дійснозначних неперервних на функцій, тоді

У 1890 році A.A. Марков довів, що для будь-якого має місце нерівність:

(1)

У 1892 році В.А. Марков узагальнив цей результат, довівши, що

(2)

для кожного і довільного .

Доведення В.А. Маркова нерівностей (2) спрощувалось і модифіковувалось неодноразово. Спочатку С.М. Бернштейн у 1938 році надав коротше доведення нерівностей (2). Потім, у тому ж, 1938 році R.J. Duffin та A.C. Schaeffer знайшли інше коротке доведення нерівностей (2), а у 1941 році вони отримали суттєве поліпшення цих нерівностей, яке полягає у тому, що нерівності (2) справедливі при слабших обмеженнях на поліном . Саме, для довільного , який задовільняє , , має місце нерівність

для довільних , і . Накінець, В.М. Тихомиров у 1976 році показав, що нерівності В.А. Маркова (2) можуть бути доведені шляхом використання стандартних методів варіаційного обчислення.

Слід зазначити, що аналогічні (2) нерівності для тригонометричних поліномів були доведені набагато пізніше ніж нерівності В.А. Маркова. У 1912 році С.Н. Бернштейн довів так звані «перші нерівності Бернштейна»:

де позначає множину всіх тригонометричних поліномів з дійсними коефіцієнтами степені не вище n. Перші нерівності Бернштейна у 1932 році були узагальнені Зігмундом для інтегральних метрик

Справедливість цих нерівностей при 0<r<1 довгий час залишалась відкритою проблемою, яка була розв'язана В.В. Арестовим у 1982 році.

Друге узагальнення перших нерівностей Бернштейна було зроблено у 1951 році Кальдероном і Клейном,

Ці нерівності були також доведені у 1965 році Л.В. Тайковим і у 1979 році Крістіансом.

У 1982 році Б.Д. Боянов висловив гіпотезу про те, що

(3)

для кожного і . Зауважимо при цьому, що для k=r=1 або k=n і довільного (3) є простим наслідком відомих теорем Чебишова. У тій же статті Б.Д. Боянов довів справедливість (3) для k=1 і будь-якого . У 1983 році Б.Д. Боянов довів суттєво загальніше твердження.

Позначимо через клас всіх неперервно диференційовних строго зростаючих опуклих функцій на .

1 (Теорема Б.Д. Боянова) Нехай та . Тоді для довільного такого , що , має місце нерівність

У 1995 році Б.Д. Боянов і К.I. Рахман довели, що нерівності (3) справедливі для довільних , і всіх тих поліномів з , які мають всі свої нулі на [1, - 1]. Решта випадків нерівностей (3) залишались недоведеними.

Головний результат цієї роботи полягає в доведенні нерівностей (3) при k=2 і довільному для всіх поліномів з , перша похідна яких має всі свої нулі на відрізку [1, - 1], за винятком принаймні одного. Такий клас поліномів істотно ширше класу поліномів з теореми Боянова-Рахмана, оскільки перша похідна довільного поліному, всі нулі котрого лежать на [1, - 1], також має всі свої нулі на відрізку [1, - 1] (але не навпаки).

Спочатку справедливість нерівностей (3) з k=2 і довільним доводиться для всіх поліномів з , перша похідна яких має всі свої нулі на [1, - 1]. Вже такий клас поліномів ширше класу, який був розглянутий в теоремі Боянова-Рахмана.

У підрозділі 1 розділу 2 доведена така теорема:

2 (Теорема 2.1) Для кожного натурального введемо клас поліномів

всі нулі лежать на [-1,1]}, (4)

i покладемо . Припустимо, що дійснозначна функція F(x) на така, що відповідна функція є додатньою і зростаючою. Тоді для m=2 величина

(5)

досягається тоді і тільки тоді, коли .

Ця теорема була сформульована Крістіансом у 1983 році для всіх , але було доведено тільки те, що будь-який екстремальний поліном у задачі (5) належить множині . У теоремі 2.1 доведено, що є єдиним (з точністю до множення на -1) екстремальним поліномом задачі (5) з m=2. Це було зроблено за допомогою такої теореми.

3 (Теорема 2.2) Нехай і дійснозначна функція F(x) на задовольняє умовам теореми 2.1. Тоді справедливі такі нерівності:

Третiй розділ даної роботи присвячений доведенню основної теореми роботи.

4 (Теорема 3.1) Нехай для кожного натурального :

всі нулі за винятком принаймні одного лежать на [-1,1]}

і .

Припустимо, що зростаюча на інтервалі функція F(x) має сумовну і невід'ємну на другу похідну , яка задовольняє:

Тоді величина

досягається тоді і тільки тоді, коли .

Iз теореми 3.1 виводяться два наслідки, в першому з яких доводяться нерівності (3) при для всіх поліномів з множини .

5 (Наслідок 3.1) Нехай і . Тоді

для кожного . Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли .

6 (Наслідок 3.2) Нехай . Перша похідна полінома Чебишова має максимальну довжину дуги серед усіх поліномів із множини

У третьому розділі роботи для доведення теореми 3.1 відомі в опуклому аналізі необхідні умови екстремуму в задачі математичного програмування з континуумом обмежень конкретизуються для екстремальної задачі (6). При цьому отримані такі дві леми.

При позначимо

де позначає степінь полінома , а - число нулів полінома , які лежать на сегменті , з урахуванням їх кратності.

7 (Лема 3.5) Нехай , і . Припустимо, що величина (6) досягається на поліномі . Тоді і для довільного значення .

8 (Лема 3.9) Нехай , , і величина (6) досягається на поліномі . Тоді, якщо для деякого : , то |p(z)|=1.

Якщо доведення леми 3.5 є відносно простим, то доведення леми 3.9 вимагає подолання чималих аналітичних труднощів. Доведення леми 3.9 спирається на таке тверждення.

9 (Лема 3.8) Нехай , , і Тоді



Зауважимо, що нерівність (7) у випадку, коли , де число є нулем знаменника дробу лівої частини (7), означає, що границя при , лівої частини (7) існує і дорівнює .

Леми 3.5 і 3.9 показують, що для остаточного доведення теореми 3.1 необхідно порівняти значення інтегрального функціоналу з (6) на поліномі Чебишова з його значеннями на поліномах, які задовольняють обом умовам лем 3.5 і 3.9, але не належать до вже розглянутого у теоремі 2.1 класу . Такi поліноми вивчаються у другому i третьому підрозділах розділу 2.

Для кожного позначимо . Нехай поліном має степінь , і . Припустимо, що задовольняє обом умовам лем 3.5 і 3.9. Це означає, що . Оскільки кожна точка із множини повинна бути нулем першої похідної полінома , то , де позначає число різних елементів деякої скінченної множини . Якщо card K(p)=m+1, то, як добре відомо, , що неможливо. Залишається випадок card K(p)=m, коли ми будемо обов'язково мати рівно один нуль першої похідної полінома поза відрізком [1, - 1].

Має місце також і зворотнє твердження. А саме, кожний поліном з множини

(8)

задовольняє обом умовам лем 3.5 і 3.9. Насправді, оскільки кожна точка із множини повинна бути нулем першої похідної полінома , то з належності цього полінома до множини (8) випливає, що . Тому властивість card K(p)=deg p тягне одразу і , що, у свою чергу, означає виконання умов лем 3.5 і 3.9.

Підсумовуючи сказане, можна зробити висновок, що довільний поліном із множини (8) має один нуль першої похідної поза відрізком [1, - 1], тобто в множині , а решту - на інтервалі (-1,1). Окрім того, кожний нуль , який лежить на (-1,1), є елементом K(p) так само, як і обидві точки і -1. Всі поліноми з такою властивістю були описані у 1877 році Є. Золотарьовим і звуться поліномами Золотарьова.

Є. Золотарьов отримав свої поліноми як розв'язок такої екстремальної задачі. Серед усіх поліномів виду , де - задане дійсне число, яке задовольняє нерівності: , знайти той, що на сегменті має найменше відхилення від нуля. Оскільки заміна змінної типу для довільних не змінює значення інтегрального функціонала з (6), то без обмеження загальності можемо розглядати тільки ті поліноми з множини (8), перша похідна яких додатня на . Тому з результатів Золоторьова випливає, що з точністю до заміни знаків кожен поліном із множини (8) є поліномом Золотарьова для деяких і b>1, де і .

Отже, тверждення теореми 3.1 вимагає зробити порівняння значення інтегрального функціонала з (6) на поліномі Чебишова з його значеннями на поліномах Золотарьова . Це зроблено у розділі 2 §§ 2.3, де доведена така теорема.

10 (Теорема 2.3) Нехай , і - поліном Золотарьова -ого степеня. Тоді для функції , яка задовольняє умовам теореми 2.1, справедлива така нерівність:

Для доведення теореми 2.3 в §§ 2.2-2.3 розділу 2 були встановлені нові аналітичні властивості поліномів Золотарьова. Є. Золотарьов знайшов явний вигляд поліномів , використовуючи еліптичні функції. Але застосування цих виразів для знаходження оцінок поліномів Золотарьова та їх похідних виявляється проблематичним. Тому в даній роботі використовується диференціальний вираз для поліномів , встановлений Є. Золотарьовим:

(9)

де для фіксованого ми позначили , і

У § 2.3 розділу 2 з виразу (9) виведене таке аналітичне представлення поліномів Золотарьова:

і диференціальне рівняння для них:

Це дозволило встановити, що при будь-якому і нулі поліномів і чергуються, а також отримати у § 2.2 розділу 2 оцінки значень других похідних від через значення других похідних від . Окрім того, в § 2.3 розділу 2 підраховані перші два поліноми Золотарьова:

Все це дозволило в § 2.3 розділу 2 завершити доведення теореми 2.3.

У розділі 4 розглядається екстремальна задача про дифузію у подвійному тиглі. Фізичний зміст цієї проблеми полягає в наступному.

Гнучкий волоконний світловод - це тонка нитка з оптично прозорого матеріалу, серцевина якої радіусом (для простоти можемо вважати ) має показник заломлення , а зовнішня оболонка радіусом має показник заломлення . Для виготовлення волоконних світловодів із плавним профілем показника заломлення , , була використана установка з подвійним тиглем, де на ділянці 0<z<l під час руху скломаси серцевини зі швидкістю відбувається дифузія іонів талію. Утворюється показник заломлення скла n(r), що залежить від відносної концетрації u (r, z) іонів талію за допомогою формули: . На межі ділянки [0, l] дифузія припиняється швидким охолодженням скломаси, і утворений показник заломлення співпадає з n (r, l).

Дж.Мідвінтер у 1983 році розглядав питання теоретичного обчислення показника заломлення n (r, l) на базі диференціального рівняння дифузії у нерухомому середовищі для u (r, z):

(10)

де - коефіцієнт дифузії, а змінна - час проходження скломасою шляху від початкового положення до положення . Він зазначав, що практичний інтерес мають значення параметра , і що розв'язок (10): , де

(11)

, а - функція Бесселя першого роду індексу , дає істотно неспівпадаючі з результатом експерименту значення показника заломлення n (r, l). Тому у 1989 році С. Белоносов, В. Овсієнко і В. Карачун рівняння (10) для визначення u (r, z) замінили рівнянням дифузії в рухомому середовищі (так зване рівняння «газової атаки»):

яке було розв'язане методом відокремлення змінних:

(12)

Там же був показаний збіг обчисленого за допомогою (12) показника заломлення n (r, l) з результатами експерименту при l=6,2, c=87,5 і відзначена важливість для інженерної практики задачі добору параметрів l і таким чином, щоб функція (12) якнайменше відхилялася від даної функції у просторі .

У теоремі 4.1 для функцій (12): u (r, z, c):=u (r, z), знайдені такі нові інтегральні зображення.

11 (Теорема 4.1) Нехай для всіх функція u (r, z, c) визначена інтегралом (12), функція w (r, a) - формулою (11) і

Тоді мають місце такі інтегральні зображення:

де z, c, r - довільні додатні числа.

Одержані в цій теоремі інтегральні зображення дозволили встановити (Наслідок 4.1) монотонність залежності розв'язку u (r, z, c) від параметрів z і c нарізно, а в практично важливій області , , виявити монотонність зміни u (r, z, c), коли точка (z, c) рухається вздовж прямої при довільному фіксованому .

12 (Наслідок 4.1) Для функції u (r, z, c) з теореми 4.1 справедливі такі нерівності:

причому

Одержані в цьому наслідку властивості разом із відомими необхідними умовами екстремуму в опуклому програмуванні дозволили встановити (Теорема 4.2) достатні умови існування скінченного розв'язку згаданої вище екстремальної задачі:

де - фіксоване число з інтервалу .

13 (Теорема 4.2) Нехай , , функція неперервна на [0,1] і задовольняє нерівностям

(14)

Тоді існує точка , де досягається

(15)

і вона задовольняє одній з трьох умов:

1) і

2) і

3) і

Зауважимо, що завдяки теоремі 4.1 достатня умова (14) існування скінченного розв'язку задачі (15) може бути замінена на більш просту для перевірки достатню умову

Висновки

1. У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою. У першому підрозділі даного розділу проведено огляд робіт, присвячених вивченню нерівностей типу Маркова для алгебраїчних і тригонометричних поліномів. У другому підрозділі розглянуті означення і властивості поліномів Золотарьова. У третьому підрозділі висвітлено питання про умови існування оптимальних параметрів в екстремальній задачі про дифузію в подвійному тиглі.

2. У другому розділі дисертаційної роботи зроблено порівняння (теорема 2.3) інтегральних функціоналів, що залежать від других похідних поліномів Чебишова і Золотарьова, що дозволили у доведених в 1995 році Б.Д. Бояновим і К.I. Рахманом нерівностях (3) розширити при їх клас справедливості (, всі нулі лежать на [1, - 1]) до класу поліномів , перша похідна яких має всі свої нулі на [1, - 1]. Це порівняння було зроблено за рахунок встановлення нових аналітичних властивостей поліномів Золотарьова: нове аналітичне представлення і оцінки значень їх перших і других похідних.

3. У третьому розділі встановлені необхідні умови екстремуму для екстремальної задачі (6). Це досягнуто за рахунок встановлення невід'ємності досить складних алгебраїчних дробів. Завдяки цим умовам та теоремі 2.3 вдалося в теоремі 3.1 встановити головний результат другого та третього розділів, який полягає у розширенні класу справедливості нерівностей (3) при k=2 з класу поліномів, всі нулі яких лежать на [1, - 1], до класу , який є істотно ширшим, тому що містить всі поліноми Золотарьова степеня не вище n.

4. У четвертому розділі знайдені нові інтегральні зображення відносної концетрації іонів талію, яка з'являється в дифузійному процесі виготовлення оптичного скловолокна на установці з подвійним тиглем. Доведені в Наслідку 4.1 властивості монотонної залежності u (r, z, c) від параметрів l і c, дозволили встановити достатні умови розв'язуваності екстремальної задачі (13), а також в теоремі 4.2 виписати рівняння, з яких визначаються значення оптимальних параметрів.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Аввакумова Л.С. Аналитическое преобразование системы определения оптимальных параметров в задаче о диффузии в двойном тигле // Кибернетика и вычисл. техника. - 1994. - Вып.103. - С. 83-89.

2. Avvakumova L.S. An extension of V.A. Markov's inequality for second derivative // East J. of Approximation. - 1997. - Vol.3, №2. - P. 187-201.

3. Avvakumova L.S. Comparison of integral functionals depending on the second derivative of Chebyshev and Zolotarev polynomials // East J. of Approximation. - 1999. - Vol.5, №2, - P. 151-182.

4. Avvakumova L.S. An extension of V.A. Markov's inequality for second derivative to a wider polynomial class // East J. of Approximation. - 2000. - Vol.6, №4. - P. 493-519.

5. Аввакумова Л.С. Аналитическое преобразование и достаточные условия разрешимости системы определения оптимальных параметров в задаче о диффузии в двойном тигле // Праці Міжнарод. конф. «Моделювання та оптимізація складних систем» (МОСС-2001), 25-28 січня 2001. - Том 2. - Видавничо-поліграф. центр «Київський університет». - 2001. - С. 54-56.

6. Подвысоцкая А.И. Неравенство В.А. Маркова для второй производной в интегральной метрике // Тезисы докладов третьей международной конференции, посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева. - М.: МФТИ, 2008. - C. 169-170.

Размещено на Allbest.ru

...