Геометрія підмноговидів в нільпотентних групах Лі і групах Лі з біінваріантною метрикою

Размещено на http://www.allbest.ru

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

Петров Євген В'ячеславович

УДК 514.764.27

Геометрія підмноговидів в нільпотентних групах Лі і групах Лі з біінваріантною метрикою

01.01.04 - геометрія і топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фiзико-математичних наук, доцент Масальцев Леонід Олександрович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, професор кафедри геометрії.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Пришляк Олександр Олегович, Київський національний університет імені Т.Г. Шевченка, професор кафедри геометрії;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Болотов Дмитро Валерійович, Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б.І. Вєркіна, старший науковий співробітник відділу геометрії.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ріманова геометрія груп Лі з лівоінваріантною метрикою та їх узагальнень - однорідних і симетричних просторів - є однією з найбільш розвинених областей сучасної диференціальної геометрії, у якій одержували результати такі математики, як Е. Картан і Дж. Мілнор. Разом з тим, геометрія підмноговидів у таких просторах розвинена недостатньо в порівнянні з геометрією підмноговидів просторів постійної секційної кривини. Це пов'язано, насамперед, з тим, що для груп Лі не з'ясовано, до якої міри можливо застосовувати класичні аналітичні та геометричні методи, що використовуються в просторах постійної кривини.

Одним з найбільш розвинених методів вивчення підмноговидів, зокрема, мінімальних і підмноговидів з паралельним векторним полем середньої кривини, є застосування грасманового відображення. Це відображення, яке є природним для підмноговидів евклідового простору, різними способами узагальнювалося на простори постійної секційної кривини (М. Обата, О.А. Борисенко та ін.) і на підмноговиди груп Лі. Його властивості використовуються для доведення умов стійкості поверхонь (Х. Барбоса та М. до Кармо), опису класів поверхонь з гаусовим образом у півсфері (Д. Хоффман, Р. Оссерман та Р. Шоен), опису класів стійких поверхонь і гіперповерхонь (Х. Барбоса, М. до Кармо, І. Ешенбург). Однозначна визначеність підмноговидів за грасмановим образом вивчалася в роботах Ю.А. Амінова та О.А. Борисенка, питаннями кривини грасманового образу займалися О.А. Борисенко і Ю.А. Ніколаєвський. Дуже корисною в ряді випадків є еквівалентність між гармонійністю грасманового відображення та паралельністю векторного поля середньої кривини, доведена в роботі Е. Ру і Я. Вільмса для евклідового простору та розповсюджена згодом на ряд інших випадків (Т. Ісіхара, М. Ріголі, Л.О. Масальцев та ін.), у тому числі, на гіперповерхні в групі Лі з біінваріантною метрикою (Н. до Еспіріто-Санто та ін.).

Актуальною задачею є знаходження критеріїв гармонійності грасманового відображення для підмноговидів довільної ковимірності в довільних групах Лі. У цьому напрямку цікавим є клас груп Лі з біінваріантною метрикою, тому що такі групи мають добре описану алгебраїчну структуру і, крім того, для них встановлено згадуване вище часткове узагальнення теореми Ру-Вільмса. Цікавим також є клас нільпотентних ступеня 2 груп Лі. Такі групи мають досить просту геометричну структуру, основні властивості якої були вивчені А. Капланом, П. Еберлейном, М. Маст, Р. Горнет, К. Гордон та іншими дослідниками. Зокрема, був даний опис множини геодезичних, лапласіана, отримані важливі результати про структуру цілком геодезичних підмноговидів, що може виявитися корисним при вивченні геометрії підмноговидів у таких групах Лі.

Також має сенс встановити деякі пов'язані з грасмановим відображенням властивості підмноговидів у групах Гейзенберга, які є окремими випадками нільпотентних ступеня 2 груп Лі, зокрема, поверхонь у тривимірній групі Гейзенберга. У цьому зв'язку цікавим є питання про знаходження аналогів теореми М.В. Єфімова про неіснування в тривимірному евклідовому просторі повної поверхні з зовнішньою кривиною, обмеженою зверху негативною константою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі геометрії механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в рамках наступних проектів:

· держбюджетна науково-дослідна тема “Зовнішня геометрія багатовимірних підмноговидів” (номер держреєстрації 0103U004232);

· науково-дослідна тема “Геометрія підмноговидів. Геометричні і топологічні методи в теорії динамічних систем і алгебрі” (грант Державного фонду фундаментальних досліджень 01.07/00132, номер держреєстрації 0103U007812);

· держбюджетна науково-дослідна тема “Геометрія многовидів і підмноговидів” (номер держреєстрації 0106U001538);

· науково-дослідна тема “Геометрія і топологія багатовимірних підмноговидів” (грант Державного фонду фундаментальних досліджень GP/F13/0019, номер держреєстрації 0107U011249).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вивчення зовнішньогеометричних характеристик підмноговидів у групах Лі з лівоінваріантною метрикою, зокрема, аналітичних властивостей грасманового відображення та кривини.

Для досягнення зазначеної мети необхідно вирішити наступні задачі:

1. Знайти критерій гармонійності грасманового відображення підмноговиду в групі Лі в термінах другої фундаментальної форми підмноговиду та алгебраїчних характеристик даної групи.

2. Розглянути окремий випадок груп Лі з біінваріантною метрикою і дати критерії гармонійності грасманового відображення в цьому випадку. З'ясувати, чи має місце зв'язок між характеристиками другої фундаментальної форми та гармонійністю. Розглянути випадок цілком геодезичних підмноговидів і дати відповідь на питання, чи завжди їх грасманове відображення гармонійне. З'ясувати зв'язок з алгебраїчною структурою групи.

3. Розглянути нільпотентні ступеня 2 групи Лі. Дати критерій гармонійності гаусового відображення для випадку гіперповерхні і одержати аналоги результатів про властивості гіперповерхонь із гармонійним гаусовим відображенням, встановлених іншими авторами для евклідового простору та груп Лі з біінваріантною метрикою. Розглянути питання про умови гармонійності грасманового відображення геодезичної.

4. У випадку груп Гейзенберга отримати критерій гармонійності грасманового відображення підмноговиду довільної ковимірності. За допомогою отриманого критерію розглянути приклади та з'ясувати, чи існують у групах Гейзенберга підмноговиди з паралельним векторним полем середньої кривини та негармонійним грасмановим відображенням. Встановити критерій гармонійності гаусового відображення гіперповерхні в термінах другої фундаментальної форми.

5. Для випадку тривимірної групи Гейзенберга розглянути умови гармонійності гаусового відображення поверхні та з'ясувати, до яких обмежень на геометрію даної поверхні вони призводять. Знайти змістовні приклади мінімальних поверхонь.

6. Встановити для тривимірної групи Гейзенберга аналоги класичної теореми М.В. Єфімова про неіснування в тривимірному евклідовому просторі повної поверхні з обмеженою зверху негативною константою зовнішньою кривиною.

Об'єкт дослідження. Підмноговиди в групах Лі з лівоінваріантними рімановими метриками.

Предмет дослідження. Гармонійність грасманового та гаусового відображення, паралельність або рівність нулю векторного поля середньої кривини, обмеженість кривин, повнота підмноговидів, алгебраїчні властивості груп Лі. грасмановий відображення лівоінваріантний метрика

Методи дослідження. У роботі були використані методи ріманової геометрії та геометрії підмноговидів, теорії груп і алгебр Лі, теорії мінімальних поверхонь, гармонійного аналізу.

Для одержання критеріїв гармонійності грасманового відображення використовувалися методи теорії Лі, теорії симетричних просторів (структура многовиду Грассмана, існування вкладення симетричного простору в евклідів), теорії гармонійних відображень ріманових многовидів (рівняння Ейлера-Лагранжа).

У випадку груп Лі з біінваріантною метрикою використовувалися елементи теорії напівпростих і компактних алгебр Лі (розклад на прості ідеали, форма Кіллінга), потрійних систем Лі.

Для нільпотентних ступеня 2 груп Лі використовувалася теорія таких груп, розвинена в роботах П. Еберлейна, зокрема, опис множини геодезичних ліній і цілком геодезичних підмноговидів. Також використовувалися елементи теорії субгармонійних функцій і гіперповерхонь постійної середньої кривини.

Для вивчення підмноговидів у групах Гейзенберга, зокрема, поверхонь у тривимірній групі Гейзенберга, використовувалися, крім теорії Лі, методи диференціальної геометрії підмноговидів (рівняння Гаусса-Кодацці-Річчі), мінімальних підмноговидів і підмноговидів з паралельним векторним полем середньої кривини, метод форм Картана, елементи комплексного аналізу. Також були використані розвинені М.В. Єфімовим методи вивчення поверхонь з обмеженнями на кривину.

Наукова новизна отриманих результатів. Всі отримані в роботі результати з властивостей грасманового відображення та кривини підмноговидів у групах Лі є новими. Основними є наступні:

1. Знайдено корисні аналітичні критерії гармонійності грасманового відображення підмноговидів у групах Лі для загального та ряду окремих випадків: для цілком геодезичних підмноговидів, підмноговидів у групах Лі з біінваріантною метрикою, гіперповерхонь у нільпотентних ступеня 2 групах, підмноговидів у групах Гейзенберга.

2. Встановлено умови гармонійності грасманового відображення цілком геодезичного підмноговиду в групі Лі з біінваріантною метрикою. З'ясовано, що ці умови носять алгебраїчний характер. Показано, що гармонійність навіть для таких підмноговидів має місце не завжди та істотно залежить від алгебраїчної будови групи, що суттєво відрізняється від вивченого раніше випадку гіперповерхні. Побудовано конкретний приклад групи Лі з біінваріантною метрикою та цілком геодезичного підмноговиду в ній з негармонійним грасмановим відображенням.

3. Доведено, що геодезичні в нільпотентних ступеня 2 групах Лі, що проходять через одиницю групи, мають гармонійне грасманове відображення тоді й тільки тоді, коли вони є однопараметричними підгрупами.

4. Вперше розглянуті деякі важливі класи інваріантних підмноговидів у групах Гейзенберга різних вимірностей. За їхньою допомогою, зокрема, показано, що гармонійність грасманового відображення не еквівалентна паралельності векторного поля середньої кривини навіть для мінімальних підмноговидів.

5. Доведено, що поверхні постійної середньої кривини з гармонійним гаусовим відображенням у тривимірній групі Гейзенберга вичерпуються інваріантними “циліндрами”.

6. Доведене неіснування в тривимірній групі Гейзенберга явно заданої над горизонтальною площиною поверхні з обмеженим знизу позитивною константою модулем якобіана гаусового відображення.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані для подальших досліджень підмноговидів у групах Лі, однорідних і симетричних просторах, зокрема, для вивчення підмноговидів з паралельним векторним полем середньої кривини, мінімальних підмноговидів, доведення теорем єдиності та стійкості таких підмноговидів, побудови контрприкладів. Також результати роботи можуть бути використані для читання спеціальних курсів з геометрії підмноговидів, геометрії груп Лі і однорідних просторів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати отримані автором дисертації самостійно. У підрозділах 5.1 та 5.2 дисертації постановка задач належить науковому керівнику, а ідеї та реалізації доведень - автору дисертації. У підрозділі 5.3 дисертації постановка задачі та ідея доведення належить О.А. Борисенку, а реалізація - автору дисертації. У статті [1] автору належить розділ 4, а в статті [2] - розділ 2.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися та обговорювалися на П'ятій і Сьомий міжнародних конференціях з геометрії та топології (2003 і 2007 рр., Черкаси), на Міжнародному семінарі “Геометрія в цілому”, присвяченому 85-річчю від дня народження О.В. Погорєлова (2004 р., Харків), на науковій конференції “Каразінські читання”, присвяченій 200-річчю Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (2004 р., Харків), на Міжнародній школі-конференції з аналізу та геометрії, присвяченій 75-річчю академіка Ю.Г. Решетняка (2004 р., Новосибірськ), на Третій російсько-німецькій геометричній конференції, присвяченій 95-річчю від дня народження О.Д. Александрова (2007 р., Санкт-Петербург), на Харківському міському геометричному семінарі (керівники - член-кореспондент НАН України О.А. Борисенко та професор Ю.А. Амінов).

Публікації. Результати роботи опубліковані в 9 роботах: у 4 статтях [1] - [4] у журналах, що входять у перелік ВАК України, з них 2 статті без співавторів, і в 5 збірках тез доповідей міжнародних наукових конференцій [5] - [9], з них 3 без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел, що складається з 84 найменувань і займає 8 сторінок. Повний об'єм дисертації становить 114 сторінок. Робота містить 2 ілюстрації, з яких жодна не займає окремої сторінки. Основні результати, що виносяться на захист, викладені в розділах 2 - 5.

Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук Л.О. Масальцеву та завідувачу кафедри геометрії Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна, доктору фізико-математичних наук, професору, члену-кореспонденту НАН України О.А. Борисенку за постійну увагу до роботи та підтримку. Також дякую учасникам Харківського міського геометричного семінару, співробітникам кафедри геометрії ХНУ та відділу геометрії Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України за професійну підтримку та конструктивну критику отриманих результатів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, зроблено огляд існуючого стану проблеми, формулюються мета, задача, об'єкт, предмет і методи дослідження, розкривається зв'язок з науковими планами та темами, характеризується наукова новизна результатів, їхнє практичне значення, описується особистий вклад здобувача, наведено інформацію про апробацію результатів дисертації та публікації за темою роботи.

У першому розділі повідомляються основні необхідні відомості, що стосуються груп Лі з лівоінваріантною і біінваріантною метрикою, нільпотентних ступеня 2 груп Лі, гармонійних відображень, середньої кривини підмноговидів, грасманового відображення підмноговидів у групах Лі, обмежень на кривину поверхонь тривимірного евклідового простору.

У другому розділі викладені результати, що стосуються грасманового відображення підмноговидів у загальних групах Лі та групах Лі з біінваріантною метрикою.

Зробимо деякі необхідні позначення. Нехай , - гладкі ріманові многовиди вимірностей і відповідно, відображення . Енергією називається інтеграл

де - ортонормований базис дотичного до простору у відповідній точці, - форма об'єму метрики . Критичні точки функціонала на просторі називаються гармонійними відображеннями з в . Рівняння Ейлера-Лагранжа для даної варіаційної задачі записують у вигляді рівності нулю деякого перерізу розшарування , що називається полем напруг відображення . Позначимо через оператор Лапласа метрики . Якщо в деяких локальних координатах на і на відображення має запис , то локально

де - коефіцієнти матриці, оберненої до матриці метричного тензора , - символи Крістоффеля ріманової (Леві-Чівіта) зв'язності метрики . Далі ми будемо називати відображення гармонійним в деякій точці, якщо в цій точці .

Нехай - гладкий многовид, - група Лі з лівоінваріантною метрикою , - її алгебра Лі з дужкою Лі , - занурення, , . Нехай - деяка точка , і - ортонормовані базиси дотичного простору і нормального простору відповідно. Тут і далі ми будемо позначати через як вектори дотичного простору , так і відповідні їм елементи алгебри Лі . Скалярний добуток, що індукується метрикою на дотичних просторах, будемо позначати через , ріманову зв'язність метрики - через , нормальну зв'язність занурення в - через , тензор кривини зв'язності - через , тензор Річчі зв'язності - через . Векторне поле середньої кривини занурення будемо позначати через , а коефіцієнти другої фундаментальної форми у введеному базисі - через , , .

Позначимо через многовид Грассмана -вимірних векторних підпросторів -вимірного векторного простору. Грасманове відображення підмноговиду визначається як результат переносу в дотичного простору у відповідній точці диференціалом лівого зсуву:

(1)

Тут точка ототожнюється з її образом під дією занурення.

У підрозділі 2.1 встановлено наступний критерій гармонійності грасманового відображення.

Теорема 2.1. Відображення , визначене формулою (1), у точці гармонійне тоді й тільки тоді, коли

(2)

для всіх , .

Тут вирази, що включають коваріантне диференціювання інваріантних полів, визначаються структурою алгебри Лі даної групи. Відзначимо, що грасманове відображення підгрупи Лі постійне, отже, гармонійне. У підрозділі 2.2 отримано деякі наслідки з основного критерію (2).

Наслідок 2.1. Цілком геодезичний підмноговид у групі Лі з лівоінваріантною метрикою має гармонійне грасманове відображення в точці тоді й тільки тоді, коли

(3)

для всіх .

Наслідок 2.2. Гладка орієнтовна гіперповерхня у групі Лі з лівоінваріантною метрикою має гармонійне гаусове відображення в точці тоді й тільки тоді, коли

(4)

для .

Тут - функція середньої кривини гіперповерхні. У підрозділі 2.3 розглянуто випадок, коли є групою Лі з біінваріантною метрикою.

Лема 2.1. Грасманове відображення гладкого підмноговиду у групі Лі з біінваріантною метрикою гармонійне в точці тоді й тільки тоді, коли

для , .

Алгебра Лі компактна, тобто , де пряма сума ортогональна, абелева та напівпроста. Нехай - цілком геодезичний підмноговид , - деяка точка . Не обмежуючи загальність, можна вважати, що (для цього достатньо скористатися лівим зсувом). Дотичний простір є потрійною системою Лі в . Підпростір - компактна підалгебра Лі, отже, має ортогональний прямий розклад , де абелева, а напівпроста. Позначимо через ортогональну проекцію на . Це потрійна система Лі в . Перетин є ідеалом (тут і далі під ідеалами ми розуміємо ідеали в ). Алгебра Лі напівпроста, отже, ортогональне доповнення до також є ідеалом і дорівнює ортогональній прямій сумі простих ідеалів .

Теорема 2.2. Нехай - гладкий занурений цілком геодезичний підмноговид в групі Лі з біінваріантною метрикою. Тоді:

1. Якщо обмеження метрики на є негативним кратним форми Кіллінга (зокрема, якщо проста), то грасманове відображення у цій метриці гармонійне;

2. Якщо , де - власна потрійна система Лі в , тобто і для кожного (зокрема, якщо ), то грасманове відображення гармонійне в будь-який біінваріантній метриці на ;

3. Якщо умова твердження 2 не виконується, то на існує біінваріантна метрика така, що грасманове відображення негармонійне.

Розглянемо приклад. Нехай - алгебра Лі з ортогональним базисом, що складається з векторів з ненульовими дужками Лі

Оберемо метрику так, що і , де . Нехай - підпростір, що породжується , і . Нехай , тоді .

Пропозиція 2.1. Підмноговид у зв'язній однозв'язній групі Лі з алгеброю Лі і обраною зазначеним чином біінваріантною метрикою є цілком геодезичним і має негармонійне грасманове відображення.

У третьому розділі розглянутий випадок нільпотентних ступеня 2 груп Лі. Розглянемо групу Лі і її алгебру Лі . Введемо деякі додаткові позначення. Нехай - центр . Група Лі нільпотентна ступеня 2, якщо . Нехай - скалярний добуток на і відповідна лівоінваріантна метрика на . Нехай - ортогональне доповнення до в відносно даного скалярного добутку. Для будь-якого однозначно визначений лінійний оператор такий, що для будь-яких .

Нехай - гладка орієнтовна занурена гіперповерхня в , , , . У деякій точці оберемо базис наступним спеціальним чином:

, де , .

У випадку (відповідно,), для () беремо , де () - ортонормований відносно базис .

Аналогічно, у випадку (), для () беремо , де () - ортонормований базис . Тут - стандартна норма евклідового простору.

Нарешті, у випадку, коли і , покладемо , де колінеарний і співнаправлений з ним, колінеарний і співнаправлений з ним, , .

У підрозділі 3.1 з формул (4) отримані наступні критерії гармонійності гаусового відображення.

Теорема 3.1. Гаусове відображення у точці гармонійне тоді й тільки тоді, коли

для всіх і для .

Теорема 3.2. Гаусове відображення у точці гармонійне тоді й тільки тоді, коли

Розглянемо в дотичному розшаруванні розподіл, утворений лівоінваріантними векторними полями з центра алгебри Лі . Оскільки ідеал абелевий, даний розподіл інтегровний і утворює шарування. Позначимо це шарування через.

Наслідок 3.1. Якщо гаусове відображення гармонійне, то на перетині з кожним із аркушів шарування середня кривина занурення постійна.

У підрозділі 3.2 за допомогою отриманих критеріїв доведено деякі факти про гіперповерхні постійної середньої кривини. Нехай - поле одиничних нормалей гіперповерхні, а - векторне поле на , що визначається умовою для . Іншими словами, одержано обертанням одиничного вектора нормалі на кут у двовимірній площині, що містить і породжується проекціями на і на (якщо одна із цих проекцій дорівнює нулю, то її можна замінити довільним вектором з відповідного простору). Через позначимо квадрат норми другої фундаментальної форми гіперповерхні.

Теорема 3.3. Нехай - компактна гладка орієнтовна гіперповерхня в нільпотентній ступеня 2 групі Лі . Припустимо, що:

1. Середня кривина постійна на інтегральних кривих поля ;

2. Гаусове відображення гармонійне;

3. на і у деякій точці гіперповерхні ;

4. Множина точок таких, що , є щільною в гіперповерхні .

Тоді міститься в замкнутій півсфері тоді й тільки тоді, коли міститься в екваторі (великій гіперсфері) .

Теорема 3.4. Нехай гладка орієнтовна гіперповерхня у нільпотентній ступеня 2 групі Лі має постійну середню кривину, гармонійне гаусове відображення, для всіх з деякої щільної підмножини виконане співвідношення , і міститься у відкритій півсфері . Тоді стійка.

У підрозділі 3.3 за допомогою критерію (3) з'ясоване питання про гармонійність грасманового відображення геодезичної в нільпотентній ступеня 2 групі.

Теорема 3.5. Гладка геодезична в нільпотентній ступеня 2 однозв'язній групі Лі має гармонійне грасманове відображення тоді й тільки тоді, коли є образом під дією лівого зсуву деякої однопараметричної підгрупи.

У четвертому розділі розглянуто випадок -вимірної групи Гейзенберга . Вона являє собою простір з глобальними координатами , , , , , , і ортонормованим базисом лівоінваріантних векторних полів

елементи якого зв'язані структурними співвідношеннями

(5)

У підрозділі 4.1 встановлено критерій гармонійності грасманового відображення підмноговиду в групі Гейзенберга. Як і раніше, розглянуто занурений в підмноговид , причому базис в точці має вигляд

(6)

де - ортонормована система векторів в , і ортогональні до , , де , .

Теорема 4.1. Грасманове відображення гладкого вкладеного підмноговиду у групі Гейзенберга з обраною зазначеним способом лівоінваріантною метрикою гармонійне в точці тоді й тільки тоді, коли

 (7)

для і ;

(8)

для ;

(9)

для ; і

(10)

У підрозділі 4.2 розглянуті конкретні приклади підмноговидів у групах Гейзенберга. Нехай - деякі натуральні числа, , і , - деякі підмножини множини , причому , , і при . Розглянемо -вимірний розподіл в , породжений векторними полями

(11)

Очевидно, що це ортонормована система векторних полів на . Формули (7) - (10) дозволяють встановити наступне.

Пропозиція 4.1. Розподіл (11) інтегровний, тобто породжує деяке шарування. Кожний аркуш цього шарування мінімальний. При цьому існують аркуші з негармонійним грасмановим відображенням.

Нехай - “циліндричний” підмноговид, тобто нехай у дотичному просторі кожної його точки присутній вектор . Інтегральні траєкторії поля мають вигляд , тому , де - гладкий підмноговид в підпросторі . Розглянемо на цьому вимірному підпросторі природну евклідову метрику з ортонормованим базисом, що складається з полів і для .

Пропозиція 4.2. Нехай у кожній точці підмноговиду вектор є дотичним. Тоді:

1. мінімальне в тоді й тільки тоді, коли мінімальне в ;

2. Векторне поле середньої кривини паралельне тоді й тільки тоді, коли векторне поле середньої кривини як підмноговиду евклідового простору паралельне й ;

3. Грасманове відображення гармонійне тоді й тільки тоді, коли паралельне.

Наслідок 4.1. Нехай - гіперповерхня, у кожній точці якої вектор є дотичним. Тоді наступні твердження еквівалентні:

1. Гаусове відображення гармонійне;

2. має постійну середню кривину;

3. є добутком гіперповерхні постійної середньої кривини в на дійсну пряму .

У підрозділі 4.3 розглянуті гіперповерхні в групі Гейзенберга. Нехай, як і у розділі 3.2, - поле одиничних нормалей гіперповерхні, а - векторне поле на , визначене при як обертання одиничного вектора нормалі на кут у двовимірній площині, що містить і породжена вектором і проекцією на (якщо проекція на дорівнює нулю, її можна замінити на довільний вектор із цього простору). Позначимо через векторне поле, визначене в кожній точці як дія на нормовану ортогональну -проекцію вектора (або на нормовану ортогональну -проекцію вектора , якщо відповідна проекція дорівнює нулю). Зрозуміло, що з базису (6). Через позначимо ортогональне доповнення до розподілу, породженого і в , через - кут між і розподілом, породженим , тоді . Нехай - друга фундаментальна форма .

Теорема 4.2. Нехай - гладка оріентовна -вимірна гіперповерхня, занурена в -вимірну групу Гейзенберга. Кожні два з наступних трьох тверджень при їхньому одночасному виконанні спричиняють третє:

1. - гіперповерхня постійної середньої кривини;

2. Гаусове відображення гармонійне;

3. Для кожної точки або є “циліндричним” в деякому околі цієї точки, або виконані наступні умови:



У п'ятому розділі розглянутий випадок тривимірної групи Гейзенберга. У підрозділі 5.1 розглянуте питання про опис поверхонь постійної середньої кривини з гармонійним гаусовим відображенням.

Теорема 5.1. Нехай - гладка орієнтовна поверхня постійної середньої кривини в тривимірній групі Гейзенберга, гаусове відображення якої гармонійне. Тоді є “циліндром”.

У підрозділі 5.2 вивчаються інваріантні мінімальні поверхні в тривимірній групі Гейзенберга. Позначимо . Розглянемо перетворення вигляду

де , і поверхні, інваріантні відносно дії групи , ізоморфної (поверхні обертання). Їх можна задати кривими у площині . Нехай - деяка така крива з натуральним параметром .

Теорема 5.2. Інваріантні мінімальні поверхні в тривимірній групі Гейзенберга задаються кривими

(12)

де C - константа .

Позначимо поверхню зазначеного вище вигляду, що відповідає кривій (12) із параметром , через .

Теорема 5.3. Нехай . Тоді:

1. Поверхні при нестійкі;

2. Поверхня стійка.

У підрозділі 5.3 розглянуте питання про поверхні з обмеженням на якобіан гаусового відображення.

Теорема 5.4. У тривимірній групі Гейзенберга на всякій регулярній явно заданій над всією площиною поверхні нижня границя модуля якобіана гаусового відображення дорівнює нулю.

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчені підмноговиди в нільпотентних групах Лі з лівоінваріантною метрикою та в групах Лі з біінваріантною метрикою. Розглянуті питання, пов'язані з гармонійними властивостями грасманового відображення та властивостями середньої кривини таких підмноговидів, зокрема, зв'язок паралельності векторного поля середньої кривини підмноговиду та гармонійності грасманового відображення, стійкість гіперповерхонь постійної середньої кривини, існування поверхонь із обмеженнями на кривину або на якобіан гаусового відображення. У процесі дослідження отримані наступні нові результати:

1. Встановлено критерії гармонійності грасманового відображення підмноговиду в групі Лі з лівоінваріантною метрикою.

2. За допомогою загальних критеріїв отримані порівняно прості умови гармонійності грасманового відображення цілком геодезичного підмноговиду в групі Лі з лівоінваріантною метрикою, підмноговиду в групі Лі з біінваріантною метрикою, підмноговиду в групі Гейзенберга, гаусового відображення гіперповерхні в загальній групі Лі та нільпотентній ступеня 2 групі Лі.

3. Наведені алгебраїчні критерії гармонійності цілком геодезичного підмноговиду в групі Лі з біінваріантною метрикою в термінах дотичного простору до підмноговиду. Побудовано приклад цілком геодезичного підмноговиду з негармонійним грасмановим відображенням.

4. Встановлено умови належності гаусового образа гіперповерхні в нільпотентній ступеня 2 групі Лі екватору сфери та стійкості гіперповерхні постійної середньої кривини в такій групі .

5. Доведено, що геодезична в нільпотентній ступеня 2 групі Лі, що проходить через нейтральний елемент групи, має гармонійне грасманове відображення тоді й тільки тоді, коли вона є однопараметричною підгрупою.

6. Розглянуті окремі класи підмноговидів у групах Гейзенберга різних вимірностей і встановлені їх основні геометричні властивості. Зокрема, за допомогою цих класів підмноговидів показано, що гармонійність грасманового відображення підмноговиду в такій групі не еквівалентна паралельності векторного поля середньої кривини.

7. Встановлено простий зв'язок між збереженням середньої кривини гіперповерхні в групі Гейзенберга, гармонійністю її гаусового відображення та властивостями її другої фундаментальної форми.

8. З'ясовано, що поверхні постійної середньої кривини з гармонійним гаусовим відображенням у тривимірній групі Гейзенберга вичерпуються “циліндрами”.

9. Доведено, що в тривимірній групі Гейзенберга не існує явно заданої поверхні з обмеженим знизу позитивним числом модулем якобіана гаусового відображення.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в группе Гейзенберга // Вiсник Харкiвського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2003. - № 602. - С. 35-45.

2. Масальцев Л.А., Петров Е.В. О стабильности минимальных поверхностей в трехмерной группе Гейзенберга // Вiсник Харкiвського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2004. - № 645. - С. 135-141.

3. Petrov Ye.V. The Gauss map of hypersurfaces in 2-step nilpotent Lie groups // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2006. - Vol. 2, No. 2. - P. 186-206.

4. Petrov Ye.V. Submanifolds with the harmonic Gauss map in Lie groups // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2008. - Vol. 4, No. 2. - P. 278-293.

5. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в группе Гейзенберга // Тези доповідей 5-ої міжнародної конференції з геометрії та топології. - Черкаси, 2003. - С. 79-80.

6. Masaltsev L.A., Petrov E.V. On Stability of Some Minimal Surfaces in the Heisenberg Group // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка. Тезисы докладов. - Новосибирск, 2004. - С. 175.

7. Петров Е.В. О гауссовом отображении гиперповерхностей постоянной средней кривизны в нильпотентных группах Ли // Тези доповідей 6-ої міжнародної конференції з геометрії та топології. - Черкаси, 2005. - С. 71-72.

8. Петров Е.В. Подмногообразия с гармоническим грассмановым отображением в группах Гейзенберга // Тези доповідей 7-ої міжнародної конференції з геометрії та топології. - Черкаси, 2007. - С. 64-65.

9. Petrov Ye.V. Submanifolds with the harmonic Gauss map in Lie groups // Third Russian-German Geometry Meeting, Dedicated to 95th Birthday of A. D. Alexandrov. Abstracts. - Saint-Petersburg, 2007. - P. 34-35.

АНОТАЦІЇ

Петров Є.В. Геометрія підмноговидів в нільпотентних групах Лі і групах Лі з біінваріантною метрикою. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія. Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2008.

Дисертація присвячена вивченню властивостей грасманового відображення підмноговидів у різних класах груп Лі з лівоінваріантною метрикою. Отримані критерії гармонійності грасманового відображення підмноговиду для загального випадку групи Лі та ряду окремих випадків.

Показана нееквівалентність між паралельністю векторного поля середньої кривини та гармонійністю грасманового відображення для підмноговидів у групах Лі з біінваріантною метрикою та в групах Гейзенберга. Доведені умови стійкості гіперповерхні постійної середньої кривини в нільпотентній ступеня 2 групі Лі. Доведено, що геодезична в такій групі має гармонійне грасманове відображення тоді й тільки тоді, коли вона є лівим зсувом однопараметричної підгрупи. Для тривимірної групи Гейзенберга показано, що поверхня постійної середньої кривини з гармонійним гаусовим відображенням є “циліндром”. Також доведено, що в цій групі не існує явно заданої над горизонтальною площиною поверхні з обмеженим знизу позитивним числом модулем якобіана гаусового відображення.

Ключові слова: грасманове відображення, гаусове відображення, група Лі, лівоінваріантна метрика, біінваріантна метрика, гармонійне відображення, постійна середня кривина, цілком геодезичний підмноговид, мінімальна поверхня.

Петров Е.В. Геометрия подмногообразий в нильпотентных группах Ли и группах Ли с биинвариантной метрикой. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2008.

Диссертация посвящена изучению свойств грассманова отображения подмногообразий в различных классах групп Ли с левоинвариантной метрикой. Это отображение является обобщением классического грассманова отображения подмногобразия евклидова пространства, отображает это подмногообразие в многообразие Грассмана векторных подпространств соответствующей размерности алгебры Ли данной группы и определяется как результат переноса касательного пространства в точке подмногообразия в единицу группы Ли дифференциалом левого сдвига: Основное внимание уделено рассмотрению вопроса о том, когда данное отображение будет гармоническим, что мотивировано известным фактом эквивалентности гармоничности грассманова отображения и параллельности векторного поля средней кривизны подмногообразия евклидова пространства, а также наличием многих полезных приложений этой эквивалентности к изучению подмногообразий с параллельным полем средней кривизны. В работе получен критерий гармоничности грассманова отображения подмногообразия для случая общей группы Ли и частных случаев вполне геодезического подмногообразия, гиперповерхности и подмногообразия в группе Ли с биинвариантной метрикой. Критерий дан в терминах векторного поля средней кривизны, второй фундаментальной формы подмногообразия и инвариантной связности Леви-Чивита (которая, в свою очередь, определяется структурой алгебры Ли данной группы).

Рассмотрены вполне геодезические подмногообразия в группах Ли с биинвариантной метрикой и их грассманово отображение. Даны алгебраические критерии гармоничности этого отображения в терминах касательного пространства к подмногообразию и структуры данной алгебры Ли: оказалось, что существенным является то, как соотносится расположение касательного пространства в алгебре Ли данной группы и разложение этой алгебры Ли на простые идеалы. Построен конкретный пример вполне геодезического подмногообразия в группе Ли с биинвариантной метрикой (а именно, в группе с метрикой, выбранной специальным образом), имеющего негармоническое грассманово отображение. Отметим, что вполне геодезические подмногообразия являются в некотором смысле самой простой разновидностью подмногообразий с параллельным векторным полем средней кривизны.

Изучены гиперповерхности в нильпотентных ступени 2 группах Ли. Получены критерии гармоничности их гауссова отображения (в частности, установлено какую форму должен иметь оператор Лапласа от координатных функций гауссова отображения таких гиперповерхностей). С помощью полученных критериев доказаны условия принадлежности гауссова образа гиперповерхности экватору сферы и устойчивости гиперповерхности постоянной средней кривизны. Доказано, что геодезическая в такой группе Ли имеет гармоническое грассманово отображение тогда и только тогда, когда является левым сдвигом однопараметрической подгруппы.

Получены критерии гармоничности грассманова отображения подмногообразия в группе Гейзенберга (такие группы являются частным случаем нильпотентных ступени 2 групп Ли). Рассмотрены примеры подмногообразий в этой группе (в том числе минимальных поверхностей), демонстрирующие неэквивалентность между параллельностью векторного поля средней кривизны и гармоничностью грассманова отображения, в том числе любопытное семейство “цилиндров” вида - подмногообразий, содержащих в касательном пространстве каждой своей точки параллельный перенос центра алгебры Ли группы Гейзенберга (он одномерен). Доказано, что гармоничность гауссова отображения такого “цилиндра” эквивалентна параллельности векторного поля средней кривизны как подмногообразия евклидова пространства. Также получен простой критерий гармоничности гауссова отображения гиперповерхности в этой группе.

Для трехмерной группы Гейзенберга доказано, что поверхность постоянной средней кривизны с гармоническим гауссовым отображением является “цилиндром”. Найдены содержательные примеры инвариантных минимальных поверхностей. Показано, что в трехмерной группе Гейзенберга не существует явно заданных над горизонтальной плоскостью поверхностей с ограниченным снизу положительным числом модулем якобиана гауссова отображения.

Ключевые слова: грассманово отображение, гауссово отображение, группа Ли, левоинвариантная метрика, биинвариантная метрика, гармоническое отображение, постоянная средняя кривизна, вполне геодезическое подмногообразие, минимальная поверхность.

Petrov E.V. Geometry of submanifolds in nilpotent Lie groups and Lie groups with biinvariant metric. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.04 - geometry and topology. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2008.

The thesis is devoted to the study of the Gauss map of submanifolds in different classes of Lie groups with left invariant metric. The harmonicity criteria for the Gauss map of a submanifold for the general case of Lie group and for some special cases are obtained.

It is shown that the parallelism of the mean curvature field is not equivalent to the harmonicity of the Gauss map for submanifolds in Lie groups with biinvariant metric and in the Heisenberg groups. The stability conditions for a hypersurface in 2-step nilpotent Lie group are proved. It is proved that a geodesic in such a group has the harmonic Gauss map if and only if it is the left translation of an one-parameter subgroup. It is shown that a constant mean curvature surface in the three-dimensional Heisenberg group with the harmonic Gauss map is a “cylinder”. Also it is proved that in this group there is no such graph over the horizontal plane that the absolute value of the Jacobian of its Gauss map is bounded from below by the positive constant.

Key words: Gauss map, Lie group, left invariant metric, biinvariant metric, harmonic map, constant mean curvature, totally geodesic submanifold, minimal surface.

Размещено на Allbest.ru

...