К вопросу переопределения систем уравнений с целью использования избыточной информации
Открытие К.Ф. Гауссом основного закона погрешностей, с которым связан способ наименьших квадратов. Разнообразие методов обработки результатов эксперимента. Эффективное использование избыточной информации. Противоречивость системы линейных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.09.2015 |
| Размер файла | 42,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Южный федеральный университет, физический факультет
К вопросу переопределения систем уравнений с целью использования избыточной информации
Дуймакаев Ш.И.
Сорочинская М.А.
Галстян Т.А.
Таранцев Е.Н.
Чрезвычайно просто доказывается, что средняя арифметическая ряда чисел обладает следующим замечательным свойством: сумма квадратов отклонений данных чисел от нее
(1)
оказывается минимальной.
Как видно из выражения (1), величина представляет собой функцию от аргумента . Задача отыскания такого значения , при котором должно приобрести минимальное значение, решается следующим образом. Вычисляется производная по , которая затем приравнивается нулю:
(2)
После сокращения множителя -2 получается:
(3)
Решая уравнение (3), получаем:
(4)
Таким образом, искомая величина , приводящая к минимуму, оказывается средней арифметической.
Сказанное о средней арифметической было обобщено великим немецким математиком К.Ф. Гауссом (1777-1855). Им был открыт основной закон, с которым связан способ наименьших квадратов - закон погрешностей [1].
Метод наименьших квадратов был одним из наиболее эффективных средств, применявшихся Гауссом в его исследованиях. Впервые он возник в работе Гаусса в последние годы 18-го века; тогда Гаусс не придал ему особого значения; впоследствии Гаусс вспоминал, что был уверен в том, что его предшественник по астрономической обсерватории Геттингене Тобиас Майер старший, уже знал этот метод. Просмотрев бумаги Майера, Гаусс убедился в обратном; но и тогда он еще не мог решиться объявить себя автором метода. Таким образом, формально приоритет принадлежит Лежандру, опубликовавшему его в 1806 году, хотя Гаусс, несомненно, неоднократно применял этот метод задолго до этой даты [2].
Метод наименьших квадратов был для Гаусса необходимым теоретическим средством в экспериментальных исследованиях; он все больше и больше укреплялся в мысли, что метод этот - самое важное свидетельство связи математики с природой. Его эффективность была нагляднейшим подтверждением того факта, что природное явление можно с успехом исследовать математическими методами [2].
Было бы неправильно рассматривать огромный объем работы Гаусса с числами как трату времени, не имеющую отношения к его теоретической работе, или как досадную помеху, навязанную Гауссу нуждой и социальным положением. Работа Гаусса с числами составляла неотъемлемую часть его “теоретических” исследований и нередко служила первым толчком к открытиям и догадкам. Обработка экспериментов требовала огромных вычислений; поистине, репутация и эффективность Гаусса как ученого неотделимы от его казавшейся безграничной способности “сгущать” данные своих наблюдений и очищать их с помощью метода наименьших квадратов [2]. Теоретическая сторона работы с числами часто недооценивается, быть может, вследствие современного тяготения к «строгим» и нечисловым рассуждениям. Но само это тяготение стало возможным благодаря работе, проделанной Гауссом и последующими поколениями математиков, находившихся под его влиянием. Лишь в начале XX столетия, с развитием численного анализа, количественные соображения того рода, что применял Гаусс, получили твердую основу и стали общепринятыми. Теперь, с появлением электронных вычислительных машин, эта область снова играет большую роль внутри математики [2].
Возникает вопрос: возможен ли метод наименьших кубов? Метод наименьших кубов возможен, т.к. условие, которое мы выбираем, произвольно. Просто он хуже метода наименьших квадратов с другой точки зрения. Мы будем получать оценки коэффициентов со значительно меньшей точностью. Да и в вычислительном отношении этот путь сложнее [3].
Существует и метод, в котором минимизируется сумма модулей (абсолютных величин) невязок. Но этот путь связан с дополнительными вычислительными трудностями. В последнее время были предложены и другие подходы. Можно, например, минимизировать модуль максимальной невязки.
Итак, все постулаты, которые мы используем, произвольны. Их выбор делается на основе каких-то внешних соображений. Поэтому мы можем построить не только МНК, но и метод наименьших кубов, и любые другие методы. Они не будут равноценными с точки зрения точности полученных оценок, трудности вычислений и др.
Математики и физики разработали много разнообразных методов обработки результатов эксперимента. Но ни один из них не может конкурировать по популярности, по широте приложений с методом наименьших квадратов, который был создан гением Карла Фридриха Гаусса и Адриена Мари Лежандра (1752-1833) более 200 лет назад.
В докладе рассматриваются особенности подходов К.Ф. Гаусса и А.М. Лежандра.
Как и все великие законы, метод наименьших квадратов не «выведен» из ранее известных формул и законов, а установлен на основе интуиции, озарения, анализа на основе качественных математических и физических соображений, аналитических преобразований и многочисленных расчетов.
Когда мы ставим эксперимент, то обычно стремимся провести больше (во всяком случае, не меньше) опытов, чем число неизвестных коэффициентов. И стремимся эффективно использовать избыточную информацию. Поэтому система линейных уравнений оказывается переопределенной, а иногда противоречивой (т.е. она может иметь бесконечно много решений или может не иметь решений). Переопределенность возникает, когда число уравнений больше числа неизвестных; противоречивости - когда некоторые из уравнений несовместны друг с другом.
МНК обладает тем замечательным свойством, что он делает определенной любую, произвольную систему уравнений [3].
В докладе обсуждаются результаты исследования нами этого вопроса.
Литература
линейный уравнение погрешность гаусс
1. Ястремский Б.С. Математическая статистика. - М.: Госстатиздат, 1956. - 176 с.
2. Бюлер В. Гаусс. Биографическое исследование. Пер. с англ. А.Л. Тоома/ Под ред. С.Г. Гиндикина. - М.: Наука, 1989. - 208с.
3. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1971. - 284 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Решение системы линейных уравнений методом Якоби вручную и на Бейсике. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с помощью Excel. Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов. Построение кубического сплайна по шести точкам.
курсовая работа [304,9 K], добавлен 07.09.2012Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.
контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011Определение системы с двумя переменными, способ ее решения. Специфика преобразования линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения и замены переменных в этом виде уравнений, примеры их графиков. Алгоритм нахождения количества системы уравнений.
презентация [226,6 K], добавлен 08.12.2011Параллельные методы решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Метод "встречной прогонки". Реализация метода циклической редукции. Применение метода Гаусса к системам с пятидиагональной матрицей. Результаты численного эксперимента.
курсовая работа [661,7 K], добавлен 21.10.2013Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.
курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Характеристика и использование итерационных методов для решения систем алгебраических уравнений, способы формирования уравнений. Методы последовательных приближений, Гаусса-Зейделя, обращения и триангуляции матрицы, Халецкого, квадратного корня.
реферат [60,6 K], добавлен 15.08.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.
лабораторная работа [4,9 M], добавлен 06.12.2011Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011
