Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

• 
• Содержание
• Введение
• 1. Непрерывное преобразование
• 1.1 Материнские функции
• 1.2 Шкалирование (масштабирование)
• 1.3 Детализация сигнала
• 2. Анализ с переменой разрешающей способностью
• 2.1 Ортогональные вейвлет функции
• 2.2 Формирование вейвлетных функций (ВФ) через масштабирующие функции (МФ)
• 2.3 Каскадный алгоритм формирования масштабных функций
• 2.4 Анализ с переменной разрешающей способностью
• 2.5 Вейвлет-подпространства
• 2.6 Быстрое вейвлет-преобразование
• 2.7 Пирамидальный алгоритм Малата
• 2.8 Алгоритм Малата в интерпретации фильтровой обработки
• Литература

• Введение
• WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют
• Рис. 1. Вейвлет-функции Добечи
• вейвлет функция масштабный малат



1. Непрерывное преобразование

Общее Wavelet преобразование. Пусть имеется функция и некоторая функция - материнская функция. Рассмотрим выражение вида

(1)

Если

,

то в результате получаем обычное преобразование Фурье (параметр не используется).

Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию.

Основной смысл преобразования (1). Функция

не зависит от параметров.

Вектор, заданный функцией

,



имеет постоянную длину в пространстве .

Приближение исходной функции. Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых

достигает локального максимума.

Тогда проекция функции на соответствующую функцию имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны.

Положив

,

получим невязку, для которой решается такая же задача.

В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций .

Это дает альтернативное описание исходной функции.

1.1 Материнские функции

В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции.

При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование.

В общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

Пример. На практике, в качестве материнской функции при указанном подходе часто используют функцию

( мексиканская шляпа).

Константу определяют из условия нормировки

1.2 Шкалирование (масштабирование)

Рассмотрим множество функций на вещественной оси. Пусть , причем функции

образуют ортонормированную систему. Это означает, что

(2)

Такую функцию назовем шкалирующей (масштабирующей).

Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2).

Обозначим её интегральное преобразование через



Предположим, что имеет место формула

(3).

Тогда из (3) следует (2)

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

1.3 Детализация сигнала

Введем обозначение:

для любой функции .

Положим

.

Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном функции

образуют ортонормированную систему.

Обозначим через линейное пространство, порожденное функциями

.

Потребуем, чтобы имело место включение

.

Например, для .

Для произвольной функции определим проекцию на пространство следующим образом.

.

Коэффициенты разложения являются коэффициентами дискретного wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем получается более точное приближение исходной функции с помощью .

Эта процедура и называется детализацией.

Наложим на еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы

.



Последнее выражение означает, что каждую функцию из можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из .

Заметим, что это выполнено для функции , поскольку каждую функцию из можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале , с помощью которой можно приблизить функцию .

Положим

,

где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь

-

прямая сумма попарно ортогональных пространств.

Для таким образом получается базис Хаара.



2. Анализ с переменой разрешающей способностью

Вейвлет-функции (ВФ) определены на конечном интервале

Среднее значение ВФ равно нулю

Основная идея ВП - представить произвольную функцию f(t) через суперпозицию множества, так называемых, вейвлетов или базисных функций.

Базисные функции или дочерние вейвлеты получаются из одного прототипа, который носит название материнский вейвлет, путем его расширения или масштабирования, а также сдвига.

Основная идея анализа с переменной разрешающей способностью с помощью дискретного ВП состоит в декомпозиции основного сигнального пространства V₀ в ортогональные подпространства

,

где -прямая сумма однотипных алгебраических систем

и

;

V_J - масштабирующее пространство



2.1 Ортогональные вейвлет функции

Функция является ортогональным вейвлетом, если функции

, для j, k Z,

образуют ортонормальный базис в пространстве Гильберта .

Пример ортогональных функций приведен на рис. 2.

Рис.2

2.2 Формирование вейвлетных функций (ВФ) через масштабирующие функции (МФ)

Определим уравнения масштабных преобразований

,

где h_k - вещественные коэффициенты фильтра, коэффициенты в выражении (2x - k) определяют масштаб и сдвиг функции.

Проведем следующую нормировку. Определим ненулевой интеграл

,

при этом

.

Тогда из условия

следует, что условия, распространяющиеся на функцию (x) соответствуют условиям, распространяющиеся на коэффициенты h_k.

Например, соотношений условий для функций Хаара и весовых коэффициентов имеют следующий вид (рис.3)

Рис. 3

Для hat - функций (функций типа «шляпа») имеем (рис.4)



Рис. 4

2.3 Каскадный алгоритм формирования масштабных функций

Определим множество коэффициентов {h₀, h₁, …, h_N}

Выберем в качестве исходной функции функцию в виде прямоугольного импульса на интервале [0,1].

Итеративный алгоритм определится следующим образом

.

Например, для h₀ = h₂ =1/2, h₁ = 1, получаем функции, изображенные на рис. 5 .

Рис.5



Условие ортонормальности масштабирующих функций записывается как

Из уравнения масштабных преобразований следует, что должно выполняться условие

для четных значений N.

Например, для N =3 получаем следующие необходимые условия ортонормальности

,

.

Пример. Вейвлет-функции могут быть получены в результате преобразования (рис. 6 )



Рис.6

2.4 Анализ с переменной разрешающей способностью

Положим, что (x) является масштабной функцией, а множество

-

ортонормально.

Определим пространство функций

,

полученное с помощью базисных функций { _j,k } , k Z .

Для возможности анализа с разной разрешающей способностью определим следующие соотношения между пространствами

,

,

и .

Пример функций показан на рис. 7.

Пространства V_j и функции (x) являются основой анализа с переменной разрешающей способностью.

2.5 Вейвлет-подпространства

Положим как и раньше, что , причем существует ортогональное дополнение W_j, удовлетворяющее соотношению

и .

Очевидно, что W_j можно рассматривать как разность между V_j+1 и V_j.

Ортогональное подпространство W_j включает в себя сигналы, полученные как линейные комбинации базисных вейвлетных функций

.

Функции V_j называют «аппроксимирующими», а функции W_j - «детализирующими» (рис. 8 ).

2.6 Быстрое вейвлет-преобразование

Определим базисы и определим пространство сигналов V_j в следующей конструкции

Для любой функции зададим коэффициенты аппроксимирующей и детализирующей функций спектрального разложения как

и

Каждый сигнал f в пространстве V_J может быть представлен как

,

или

.

2.7 Пирамидальный алгоритм Малата

Алгоритм быстрого вейвлет преобразования позволяет рекурсивно вычислять коэффициенты разложения a_j-1,k и d_j-1,k.

Определим масштабирующие и вейвлет функции Хаара:

,

Коэффициенты и могут быть вычислены следующим образом

Структурная схема алгоритма вычисления приведена на рис. 9.

Напомним, что для алгоритма справедливы соотношения

и .

Пример. Для системы функций Хаара

и .

Можно построить следующую схему вычислений

Быстрое вейвлет преобразование (БВП) дает результат

[1,3; 1; -1; -1,3] БВП [a₀, d₀, d₁] = [0; 2,3; 0,2121; -0,2121]

Пример. Рассмотрим возможность сжатия информации. В предыдущем примере используем только существенные коэффициенты. Коэффициенты с малым значением приравняем нулю, т.е. используем ряд

[0; 2,3; 0; 0].

Используя обратное быстрое вейвлет преобразование получаем ряд

[1,15; 1,15; -1,15; -1,15].

2.8 Алгоритм Малата в интерпретации фильтровой обработки

Рекурсивные уравнения для вычисления коэффициентов можно рассматривать как уравнения сверток, а следовательно как одну из разновидностей фильтрации. Полиномиальное представление рекурсивных соотношений имеет вид

{g_-k}, {h_-k} - импульсные характеристики фильтров; результат на выходе фильтра - децимирован с коэффициентом 2

Импульсная характеристика h ( z -¹ ) соответствует фильтру нижних частот. Импульсная характеристика g ( z -¹ ) соответствует фильтру высоких частот.

Вейвлет преобразования удобно интерпретировать с помощью ветвящегося набора фильтров (рис. 10 ).

Обобщенная структура фильтровой модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10



Пример. Преобразование Хаара

Вектор масштабных коэффициентов ,

Вектор вейвлетных коэффициентов

Матрица преобразования Хаара имеет вид

Набор вейвлет функций Хаара с полным расширением дает функции Уолша

Пример. Sinc- вейвлет

Пример. Добечи-вейвлет (рис.1).

Определяются коэффициенты C_n, n =0,1,…,N-1

Условия существования:



1.

2. , m =0,1,2,…,p-1; p = N/2

3. ;

Импульсная характеристика НЧ фильтра

h[n] = C_n / 2.

Импульсная характеристика ВЧ фильтра

g[n] = (-1)ⁿ⁺¹ h[n - N - 1].

Для L = 4 имеем

.



Литература

1.Чуи Ч Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. - М.: Мир, 2001.- 412 с.

2. Уэлфтид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. Учебное пособие.- М.: Издательство Триумф, 2003.- 320 с.

Размещено на Allbest.ru

...