Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1. Свертка сигналов

1.1 Линейная и циклическая свертки

Дискретным эквивалентом линейного аналогового фильтра (согласованного, полосового и т.п.), выходной сигнал которого определяется интегралом свертки

является дискретный фильтр, формирующий весовую сумму (линейную свертку):

, (k-n)0. (99)

Здесь x[n]=x(nt), n=0,1,2,…, - сигнал на входе фильтра, h[k-n] - весовые коэффициенты, определяющие импульсную характеристику аналогового фильтра h(t), N- объем выборки. Для реализации цифрового фильтра необходимы устройства, выполняющие операции сложения, умножения и задержку.

В более общем виде можно рассмотреть класс линейных инвариантных к сдвигу (ЛИС) систем, который включает много полезных, широко используемых методов обработки сигналов, в том числе и фильтрацию сигналов. Соотношение вход-выход для ЛИС систем задается в виде свертки

,

где - входной сигнал; - множество отсчетов выходного сигнала; - импульсный отклик ЛИС системы; символ звездочка как двучленный оператор означает свертку.

Система ЛИС полностью определяется своим импульсным откликом . Считается, что система является каузальной тогда и только тогда, когда при n < 0.

Если импульсная реакция имеет конечную длительность , то бесконечная сумма сводится к конечной сумме

.

Предположим, что обрабатываются два каузальных цифровых сигнала длиной L и длиной M. Тогда линейная (апериодическая) свертка этих сигналов имеет длину (L + M -1) и определяется как

. (100)

Если L = M, то выражение для линейной свертки можно записать в матричном виде

. (101)

В большинстве алгоритмов вычисления свертки входная последовательность делится на последовательные блоки по L отсчетов и вычисляется как сумма линейных сверток каждого из этих блоков с M точечной последовательностью .

Используя понятия алгебры полиномов, процесс вычисления линейных сверток y() можно представить в виде произведения двух полиномов x() и h():

, ,

. (102)

Рассмотрим поведение свертки относительно дискретных преобразований. Начнем с дискретного преобразования Лапласа. Z-преобразование дискретной последовательности имеет вид

.

Фундаментальным свойством ЛИС является соотношение, согласно которому операция свертки во временной области, соответствует операции умножения в области Z-преобразований:

. (103)

Важным классом ЛИС систем являются системы, имеющие z - преобразование в виде рациональных функций. В этом случае H(z) = B(z)/A(z), где и - полиномы конечной степени. Так как Y(z) = H(z) X(z), то получаем A(z) Y(z) = B(z) X(z). Во временной области отклик системы и входное воздействие связаны между собой разностным уравнением

.

Без потери общности можно положить a₀ = 1.Тогда отклик системы на заданное входное воздействие при известных начальных условиях запишется как следующее рекуррентное соотношение

.

Заметим, что в рекуррентном соотношении каждая сумма представляет собой оператор свертки. Импульсный отклик такой системы имеет бесконечную длительность. Такие системы называют системами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) или рекурсивными системами.

Важный подкласс множества рациональных Z-преобразований имеет знаменатель A(z) =1. В этом случае рекуррентное соотношение не содержит членов обратной связи, а отклик y[n] представляет собой просто свертку входного воздействия x[n] с коэффициентами b_k полинома B(z). Такие системы часто называют системами с конечной импульсной характеристикой (КИХ) или нерекурсивными системами.

Определим ДПФ для входного воздействия и импульсной характеристики ЛИС:

и .

Рассмотрим обратное ДПФ произведения двух ДПФ X(k) H(k):

.

Подставив сюда определение X(k) и изменив порядок суммирования, получаем

,

откуда следует

.

Для того чтобы полученное выражение имело смысл, необходимо периодически продолжить сигнал h[n-l] с периодом N. С учетом периодического продолжения выражение для y[n] можно переписать как

. (104)

В силу периодичности последовательностей номера отсчетов берутся по модулю N, поэтому x[-n] = x[N-n] и h[-n] = h[N-n]. Полученная сумма называется N-точечной циклической сверткой. В матричном виде циклическая свертка записывается как

(105)

Матрица вида относится к классу ганкелевых, а матрицу вида часто называют циркулянтной, или теплицевой. Циркулянтные матрицы занимают особое место в области математики, связанной с разработкой эффективных алгоритмов [5].

Используя алгебру полиномов, циклическую свертку можно записать в виде произведения двух многочленов свертываемых последовательностей по модулю полинома (^N-1):

. (106)

В матричном виде, через матрицы Ганкеля и Теплица циклическая свертка запишется как

Если обозначить значения линейной и циклической сверток соответственно как и , при L=M=N можно выразить одни значения свертки через другие следующим образом:

Таким образом, если положить равными нулю значения , , , то линейную свертку можно вычислить через циклическую.

Полином линейной свертки имеет степень L+M-2 и он совпадает со своим вычетом по модулю полинома p(), имеющего степень L+M-1:

.

Предположим, что полином модуля разлагается на взаимно простые линейные множители над полем коэффициентов F

,

где a_i-есть L+M-1 различных корней p() в поле F.

Согласно алгоритму Тоома-Кука линейная свертка может быть вычислена за L+M-1 операций умножения. При этом x[i], h[i] - рассматриваются как переменные, через которые выражаются значения y[i]. Для этого следует выбрать L+M-1 различных чисел (интерполяционных узлов) _i и подставить их вместо в выражение для свертки. Получим произведения линейных выражений. Затем применим интерполяционную формулу Лагранжа для однозначного определения полинома степени L+M-2:

. (107)

С другой стороны, полиномы x(_i=a_i), h(_i=a_i) можно рассматривать как вычеты полиномов h_i() x_i() по модулю (-a_i):

.

Полином свертки может быть восстановлен по формуле

,

где , ,

. (108)

Так как поле коэффициентов F и интерполяционные узлы могут быть выбраны произвольно, то в качестве a_i - выберем набор из L+M-1 последовательных степеней числа W, считая их попарно различными в поле F. В этом случае и приведение по модулю ( - a_i) выражается следующим образом:

.

Аналогичное выражение получается и для . Таким образом, в результате специального набора a_i алгоритм Тоома-Кука сводится к вычислению циклических сверток с помощью преобразований, имеющих структуру ДПФ.

Если , то алгоритм Тоома-Кука можно рассматривать как вычисление апериодической свертки с помощью ДПФ. В этом случае полином p() имеет вид

.

Следовательно, если узлы интерполяции выбираются комплексными корнями из единицы, то алгоритм Тоома-Кука эквивалентен вычислению с помощью ДПФ циклической свертки двух входных последовательностей длиной L+M-1, получающихся добавлением (L - 1) нулей к h и (M - 1) нулей к x.

1.2 Алгоритмы свертки квазибесконечной последовательности

На практике при цифровой фильтрации приходится иметь дело с линейной сверткой y[k], ограниченной последовательностью h[k] (импульсной характеристикой цифрового фильтра) с квазибесконечной последовательностью данных x[n]. Для эффективного вычисления линейной свертки нужно уметь преобразовывать ее в серию циклических сверток. Это можно сделать двумя методами. Первый называется методом перекрытия с суммированием, второй - перекрытием с накоплением.

Алгоритм перекрытия с суммированием. Алгоритм на первом шаге разбивает входную последовательность x[n] на v смежных блоков длиной N₂, m=u+vN₂, u=0,1,…N₂-1 и v=0,1,2,… для последовательных блоков. Линейная свертка каждого из этих блоков с последовательностью h[n] длиной N₁ дает выходную последовательность из N₁+N₂-1 членов. В полиномиальных обозначениях вычисление этой свертки равносильно нахождению коэффициентов полинома

,

Где

, , . (109)

Так как y_v() - полином степени N₁+N₂-2, то он может быть представлен вычетом по модулю полинома степени N N₁+N₂-1 и, в частности, по модулю ^N-1. В этом случае последовательные линейные свертки y_v[l] вычисляются как N-точечные циклические, в которых входные блоки получаются добавлением (N-N₁) нулей в конце последовательности h и (N-N₂) нулей в конце последовательности .

Смежные блоки перекрываются в (N-N₂) позициях. Соответствующие этим перекрытиям выходные отсчеты суммируються и дают в результате истинный результат. Таким образом, если N = N₁+N₂-1, то при цифровой фильтрации вычисляется одна циклическая N-точечная свертка на каждые N₂ выходные отсчета плюс (N₁-1)/(N-N₁+1) сложений на каждый отсчет.

Алгоритм перекрытия с накоплением. Алгоритм разбивает входную последовательность на v перекрывающихся блоков длиной N при m=u+vN, u = 0,1,…N-1 и v = 0,1,2,… для последовательных блоков. При этом каждый входной блок имеет длину N, а не N₂, как для перекрытия с суммированием, и перекрывается с предшествующим блоком в N- N₂ отсчетах. Выход цифрового фильтра представляет собой последовательные циклические N-точечные свертки блоков с блоками длиной N, получающиеся в результате добавления N- N₁ нулей к h. Следовательно, выход каждой циклической свертки можно записать как

,

. (110)

Предположим, что N = N₁+N₂-1, тогда для l₁ N₁-1 разность всегда равна , так как все отсчеты последовательности h нулевые при n > N₁-1. Следовательно, последние (N - N₁ + 1) выходные члены каждой циклической свертки являются действительными выходными значениями цифрового фильтра, тогда как первые (N₁ - 1) выходные члены циклической свертки должны игнорироваться, поскольку они соответствуют перекрывающимся интервалам.

Можно показать, что алгоритм перекрытия с накоплением формирует N - N₁ + 1 выходных отсчетов цифрового фильтра без добавочного суммирования. Таким образом, этот алгоритм предпочтительнее алгоритма перекрытия с суммированием.

Контрольные вопросы и задачи

Написать алгоритм вычисления линейной свертки с помощью ТЧПФ для задачи согласованной фильтрации кода Баркера.

Показать на примере вычисления свертки двух последовательностей, состоящих соответственно из 4 и 15 отсчетов, что алгоритм перекрытия с накоплением более эффективен алгоритма перекрытия с суммированием.

Синтезировать полиномиальный алгоритм трехточечной циклической свертки.

Вычислить линейную свертку последовательностей x=[1,2,-1]^T и h=[1,-1,1,1]^T.

Используя интерполяционную формулу Лагранжа, вычислить произведение двух полиномов, используя следующие точки интерполяции: 0, 1, -1, 2, -2.

Синтезировать алгоритм вычисления корреляционной функции сигнала с помощью циклической свертки, используя понятия теплицевой и ганкелевой матриц.



2. Цифровая фильтрация

Модели рекурсивных и нерекурсивных фильтров. Цифровая фильтрация может осуществляться с помощью цифровых фильтров, описываемых во временной области линейными разностными уравнениями вида

, (111)

, (112)

где x[i] - отсчеты воздействия, y[n] - отсчеты реакции; {b[i], a[i]} - коэффициенты, определяющие свойства фильтра; M, N - константы, задающие сложность фильтра; x[n-i], y[n-k] - отсчеты воздействия и реакции, задержанные на i и k периодов дискретизации T_. Фильтр, описываемый выражением (111), называют нерекурсивным, или КИХ-фильтром (фильтр с конечной импульсной характеристикой). Фильтр, описываемый выражением (112), называется рекурсивным, или БИХ-фильтром (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой. Передаточные функции КИХ- и БИХ-фильтров определяются с помощью Z-преобразования и имеют вид соответственно

, ,

откуда после подстановки получают комплексные частотные характеристики:

и . (113)

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики задаются соответственно выражениями

. (114)

Заметим, что любой линейный фильтр можно выполнить с помощью оператора линейной свертки.

2.1 Нерекурсивное винеровское оценивание

На рис. 12 приведена структурная схема нерекурсивного фильтра Винера

Рис. 12

На вход фильтра поступает аддитивная смесь полезного сигнала s[n] и шума v[n]. Фильтр имеет нерекурсивную структуру с импульсной характеристикой . Задача заключается в создании такого фильтра, чтобы математическое ожидание среднеквадратичного отклонения было минимальным.

Определим n-ю реализацию входного сигнала в виде вектора и значение ошибки как .

Критерий оптимальности имеет вид

,

где M{} - оператор математического ожидания.

Математическое ожидание квадрата ошибки можно записать в виде

.

Обозначим корреляционную матрицу как ,а вектор-строку взаимно корреляционных значений как . Тогда выражение для математического ожидания квадрата ошибки примет вид

.

Определим градиент. Решение уравнения =0 даст значения весовых коэффициентов импульсной характеристики фильтра:

. (115)

Полученное выражение называется уравнением Винера-Хопфа.

Подставив полученное выражение в формулу для среднего квадрата ошибки, получим его минимальное значение:

. (116)

Пример. Предположим, что требуется синтезировать фильтр Винера для обработки входного сигнала . Полезный сигнал имеет вид . Импульсная характеристика фильтра имеет два весовых коэффициента N=2.

Корреляционная матрица входного сигнала имеет вид

,

вектор взаимно корреляционных значений равен

.

Обратная корреляционная матрица равна

.

Весовые коэффициенты оптимального фильтра Винера равны

,

минимальное значение среднеквадратичной ошибки определится из выражения

.

Отметим, что фильтр Винера обладает важным свойством декорреляции сигнала ошибки и отсчетов входного сигнала .

2.2 Обобщенная винеровская фильтрация

Обобщенная модель винеровской фильтрации предполагает матричную обработку сигналов (рис. 13 )

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 13

Винеровский фильтр A представлен в виде матрицы размером (NN). Ортогональное преобразование T и обратное ему преобразование T^-1 также записываются в виде (NN) матрицы. Основная задача состоит в создании такого фильтра А, чтобы математическое ожидание квадрата ошибки было бы минимальным. В частном случае, когда Т является единичной матрицей, рассматриваемая модель соответствует фильтру, первоначально предложенному Винером. В этом смысле рассматриваемая структура является более общей.

Предположим, что сигнал и шум имеют нулевые математические ожидания. Откуда следует, что ковариационные матрицы полезного сигнала и шума соответственно равны

и .

Применяя изложенную выше методику оптимизации в матричной интерпретации, можно получить следующие выражения для матрицы фильтра:

1)через ковариационные матрицы, относящиеся к области исходных данных

,

где - матрица отклика.

2) через ковариационные матрицы, относящиеся к области изображений

,

где , .

Определим условия, которые позволят получить матрицу A в диагональном виде и построить диагональный фильтр. Основным предположением, лежащим в основе определения этих условий, является то, что собственные значения действительной симметричной матрицы A_r являются различными действительными числами.

Теорема. Если _i и _i, i=1,2,…,N соответственно собственные значения и собственные векторы действительной симметричной матрицы G, то

, (117)

где такая (NN) матрица собственных векторов, при которой и - матрица собственных значений.

Из теоремы следует, что если в качестве T выбрать матрицу собственных векторов матрицы отклика A_r, то A_0d=TA_rT^T представляет собой требуемый оптимальный диагональный фильтр.

Ортогональное преобразование, базисные векторы которого являются собственными векторами заданных ковариационных матриц, называется дискретным преобразованием Карунена-Лоэва (ПКЛ).

Пример. Пусть ковариационные матрицы имеют следующий вид:

.

Тогда матрица отклика равна

.

Для нахождения собственных значений составим матричное уравнение , которое приводит к характеристическому многочлену

.

Решая последнее уравнение, находим . Выполнив вычисления, можно получить, что нормированные собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, имеют вид

.

Матрица искомого ортогонального преобразования имеет вид

.

Матрица оптимального винеровского фильтра в этом случае имеет вид

.

Фильтры с диагональными элементами иногда называются скалярными; векторные фильтры относятся к более общему классу, который определяется матрицами, содержащими внедиагональные элементы.

К сожалению, дискретное ПКЛ нельзя вычислить с помощью быстрых преобразований. В этой связи представляют интерес так называемые субоптимальные диагональные фильтры, которые допускают применение быстрых преобразований. Сравнительный анализ известных преобразований показывает, что при оценивании марковских процессов на фоне белого шума среднеквадратичная ошибка дискретного косинусного преобразования (ДКП) очень близка к ошибке при ПКЛ. Качество работы фильтра с ДПФ асимптотически стремится к соответствующему качеству работы ПКЛ. Этот результат является частным случаем теоремы Теплица, которая утверждает, что

, (118)

где - ковариационная матрица стационарного в широком смысле случайного процесса и - матрица собственных значений .

Дискретное косинусное преобразование.ДКП последовательности входных значений x[n], n=0,1,…,N-1 запишется как

(119)

Множество базисных векторов ДКП образует класс дискретных многочленов Чебышева. Обратное ДКП записывается в виде

.

N-точечное ДКП может быть вычислено с помощью 2N-точечного ДПФ следующим образом:

, ,

где - последовательность, полученная из исходной путем дополнения последней до удвоенной длины нулями .



3. Спектральный анализ сигналов

Спектральный анализ заключается в разложении сигнала на его частотные или спектральные составляющие и оценке или измерении их характеристик - амплитуды, фазы, мощности, спектральной плотности мощности и др.

Основными методами спектрального анализа являются фильтровые (методы полосового анализа), бесфильтровые (основанные на ДПФ), параметрические (на основе параметрических моделей случайных процессов), текущего, скользящего и скачущего анализа.

К параметрам анализаторов спектра относятся: число каналов анализа; время наблюдения или анализа (ширина окна) и соответствующее ему число отсчетов или длина обрабатываемой реализации; полоса анализа, не превышающая для дискретных сигналов основной полосы спектра; разрешение по частоте, обратное, пропорциональное времени анализа и соответствующее разности частот двух соседних разрешаемых (разделяемых) частотных составляющих сигнала.

3.1 Спектральный анализ стационарных гармонических сигналов

Предполагается, что спектр аналогового сигнала x(t) сосредоточен в ограниченной полосе частот и, следовательно, его параметры могут быть оценены с помощью спектральных характеристик дискретного эквивалента x[n], который формируется после предварительной аналоговой фильтрации на выходе АЦП. Эффекты наложения и шумы цифрового преобразования не учитываются. Параметры гармонического сигнала, такие как, амплитуда, фаза и частота не изменяются во времени.

Для таких сигналов спектральный анализ может быть выполнен с помощью дискретного во времени преобразования Фурье (ДВПФ):

.

На практике для анализа используется последовательность , которая определяется как произведение дискретного сигнала x[n] на весовую функцию w[n] на конечном интервале N. В качестве оценки спектра берется спектр взвешенной последовательности , , который вычисляется с помощью R-точечного ДПФ (БПФ), (R N) (рис. 14).

Переход к дискретным частотам осуществляется в точках

.

Дискретные частоты связаны с номером отсчета ДПФ соотношением

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

. (100)

При этом номер k коэффициента ДПФ связан с частотой сигнала f_c и частотой дискретизации соотношением

. (101)

Выход канала ДПФ G(k) совпадает с выходом нерекурсивного фильтра с импульсной характеристикой, отвечающей условию

или .

Такой фильтр имеет частотную характеристику

,

являющуюся комплексно-сопряженной частотной характеристикой весовой функции , смещенной вправо (или влево) к частоте _k.

Для анализатора с прямоугольной весовой функцией

.

Частотная характеристика имеет главный лепесток шириной с относительным уровнем максимального бокового лепестка _бл= -13,6 дБ.

Однозначное разрешение комплексного гармонического сигнала имеет место только на частотах, совпадающих с частотами анализа ДПФ, когда в интервале анализа укладывается целое число периодов сигнала. В этом случае сигнал присутствует только на выходе одного канала (или иначе) проецируется на один бин ДПФ.

На сигналы с частотой, не равной _k, откликаются два соседних канала на уровне главных лепестков их частотных характеристик, а на уровне боковых лепестков откликаются все каналы ДПФ. Это явление называют размыванием спектра или эффектом просачивания.

Пример. Предположим, что анализируется сигнал , . Представим его в виде

Дискретное во времени преобразование Фурье дает

.

Пусть частота сигнала f_c = 10 Гц, размер ДПФ R =32, частота дискретизации f = =64 Гц. Тогда k = 1032/64 = 5. Спектр ДПФ будет содержать два отличных от нуля коэффициента X(5) и X(32-5=27).

Если частота сигнала f_c = 11 Гц, при таких же условиях получаем

.

Отсчет дискретного во времени преобразования Фурье для частоты f_c = 11 Гц будет располагаться между коэффициентами спектра ДПФ с номерами k=5 и k=6. Происходит размытие спектра сигнала на выходе спектроанализатора. При введении прямоугольного окна и

.

ДВПФ определяется в виде частотного сдвига на частотной характеристики весового окна с учетом масштабирующего множителя 0,5. В частотном диапазоне это проявляется в виде двух пиков на частотах 0,344 и 2(1-11/64)=1,656/

Влияние весовой функции. Высокий уровень боковых лепестков и обусловленное им сильное влияние каналов анализатора спектра является основным недостатком прямоугольной весовой функции. Эти недостатки преодолеваются с помощью специальных весовых функций, имеющих меньший уровень боковых лепестков. Наиболее известны весовые функции:

Хэмминга , _бл= -43 дБ, =8/N;

Блакмана , _бл= -58 дБ и др.

Однако при этом возрастает ширина главного лепестка, что приводит к ухудшению разрешающей способности. Улучшение разрешения анализатора спектра с весовыми функциями обеспечивается путем увеличения числа точек ДПФ, т. е. увеличением времени анализа сигнала.

3.2 Статистические методы спектрального анализа

Для стационарного в широком смысле случайного процесса x[n] среднее не зависит от времени, а корреляция зависит только от разности индексов.

Математическое ожидание от случайной величины x[n] (или среднее) есть

.

дискретный свертка спектральный анализ

Автокорреляционная функция определяется как

. (120)

На практике имеется последовательность ограниченной длины x[n], n=0,…,N-1, поэтому вычисление по (120) невозможно и в качестве оценки корреляционной функции принимается величина

. (121)

Это оценка называется несмещенной оценкой корреляционной функции, так как ее математическое ожидание будет равно истинной автокорреляционной оценке:

Кроме (121), на практике часто используют смещенную оценку корреляционной функции:

. (122)

Эта оценка называется смещенной оценкой корреляционной функции, так как ее математическое ожидание будет равно ортонормированной истинной автокорреляционной оценки:

Учитывая (121) и (122), можно показать, что смещенная и несмещенная автокорреляционные функции связаны соотношением

. (123)

Как смещенная, так и несмещенная оценка удовлетворяет соотношению

(124)

и сохраняет полную мощность сигнала

.

Для взаимно корреляционной функции соотношения (120), (121) и (122) выглядят следующим образом:

, (125)

, (126)

. (127)

В общем случае для взаимной корреляции соотношение (124) не выполняется , но выполняется соотношение вида

Коррелограммный метод оценки. По теореме Винера-Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность мощности (СПМ) связаны преобразование Фурье:

, (128)

где T - интервал дискретизации сигнала. На практике для вычисления СПМ используют ограниченную сумму, в которой вместо истинной оценки корреляционной функции выбирают оценку из соотношений (121) или (122). Пусть мы получили несмещенную оценку корреляционной функции из соотношения (121) для максимально возможного корреляционного сдвига L, тогда для вычисления СПМ формулу (128) перепишем в виде

. (129)

На практике L берут много меньше длины последовательности. L<<N. (), где N - длина последовательности. Используя смещенную оценку корреляции, можно получить смещенную СПМ:

. (130)

Корреляцию при положительных индексах можно получить, использую соотношения (121) и (122), отрицательные индексы должны удовлетворять соотношению (124).

Коррелограммный метод оценки СПМ можно дополнить, умножив корреляционную функцию на функцию окна:

,

где w[n] - функция весового окна. Выбор весового окна должен определяться из следующих соображений:

, (131)

где - Фурье-преобразование функции окна. Из (131) следует, что желательно выбирать такие окна, у которых во всей области частот.

Алгоритм коррелограммной оценки.

Выбрать последовательность x[n], n = 0,…, N-1.

Вычислить корреляционную функцию по соотношениям (121) или (122) для максимального корреляционного сдвига L (L << N).

Выбрать число отсчетов в частотной области. Пусть M - число отсчетов в области частот от [-F_d/2; F_d/2], где F_{d -} частота дискретизации. Должно выполняться условие 2L < M. Определить функцию корреляции из условия

.

Умножить на функцию окна.

Вычислить Фурье преобразование и разделить на мощность окна.

,

где .

Взаимная спектральная плотность мощности определяется соотношением

Дальнейшие рассуждения аналогичны СПМ, за исключением использования вместо автокорреляции взаимной корреляции.

Периодограммная оценка СПМ. Определение СПМ основывается еще на эргодичности процесса, когда усреднение по ансамблю заменяется усреднением по времени.

(132)

Если не учитывать операцию математического ожидания, то можно придти к соотношению вида

.

Данная оценка получается несостоятельной и на практике редко применяется. Для получения состоятельной СПМ необходимо заменить математическое ожидание усреднением по времени.

Алгоритм СПМ имеет следующий вид.

1. Исходная реализация , содержащая отсчетов, разбивается на перекрывающихся участков , где , ; ; . Здесь - параметр (процент) перекрытия. Использование перекрытия особенно целесообразно в тех случаях, когда применяются временные окна с низким уровнем боковых лепестков.

2. На следующем шаге выполняется центрирование сигнала на каждом участке: , где - среднее значение сигнала на i-м участке реализации.

3. Осуществляется взвешивание сигнала функцией окна и рассчитывается энергия окна

; ,

где - весовая функция окна; U- энергия окна.

4. Для каждого участка реализации с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье вычисляется периодограмма и оценка СПМ формируется путем усреднения значений периодограммы

.

5. Оценка взаимного спектра периодограммным методом выглядит следующим образом:

,

где и - представляют собой преобразование Фурье на i-м участке реализации от взвешенных с окном последовательностей с нулевым средним.

3.3 Методы анализа, основанные на моделях исследуемых процессов

При моделировании обычными методами предполагается, что корреляция равна нулю за пределами интервала наблюдения. Однако такое предположение неестественно и ограничивает разрешающую способность величиной, приблизительно обратно пропорциональной объему выборки данных. Кроме того, резкий переход к нулю вызывает появление больших боковых лепестков в оценке спектра (явление Гиббса). Правильный выбор функции окна может улучшить статистическую стабильность оценки и снизить уровень боковых лепестков, но ценой дальнейшего ухудшения разрешающей способности.

В рассматриваемых методах корреляционная функция продолжается за пределы интервала наблюдения с помощью некоторых рекуррентных соотношений, определяемых параметрами модели. В общем случае в линейной системе с рациональной передаточной функцией связь между входной v и выходной y величинами описывается линейным разностным уравнением

.

Эта модель известна как модель авторегрессии скользящего среднего (АРСС).

Передаточная функция такой системы имеет вид

, .

В том случае, когда входной величиной {v[k]} является белый шум с дисперсией спектр мощности y представляет собой , где . Функция S(z) является также двухсторонним Z-преобразованием корреляционной функции y[n] в интервале от- до :

.

Если h[n]- импульсная характеристика системы, то H(z^-1) является Z-преобразованием инвертированной во времени последовательности h[-n]. Следовательно, если входное воздействие системы H(z) описывается последовательностью ²h[-n], выходная последовательность будет представлять собой корреляционную функцию r(m). Это означает, что

.

Однако, поскольку импульсная характеристика h[n] представляет собой каузальную последовательность, то h[-m+i]=0 для всех m>i. Выражение для корреляционной функции упрощается и принимает вид .

Таким образом, при линейной модели с рациональной передаточной функцией задание p последовательных значений корреляционной функции позволяет однозначно продолжить ее до бесконечности с помощью рекуррентного соотношения.

В том случае, если B(z)=1, то выходная функция формируется как линейная регрессия своих прошлых значений, и поэтому такая модель известна как модель авторегрессии. При k=0 рекуррентное соотношение для корреляционной функции имеет вид . Задавая M p значений корреляционной функции, можно оценить параметры модели авторегрессии из приведенных рекуррентных уравнений для первых p значений из k. В матричной форме они имеют вид

.

Таким образом, параметрическая оценка с использованием модели авторегрессии включает решение линейной системы с симметричной положительно определенной теплицевой матрицей, которое может быть выполнено очень эффективно с помощью алгоритма Левинсона.

Метод максимума энтропии. Основан на предположении, что корреляционная функция экстраполирована так, что энтропия данных, характеризуемая этой функцией, максимальна. Энтропия определяется как

,

где .

Для того, чтобы найти максимум H, возьмем производную от H по {r(i)}. Это приведет к уравнению

, |m|=N+1, N+2,…,

которое означает, что определяется рядом Фурье с конечным числом членов, т.е.

.

Учитывая неотрицательность , в соответствии с теоремой факторизации спектра получаем

,

при некотором коэффициенте K и множестве значений {a(m)},a(0)=1. Иными словами

.

Практическое вычисление коэффициентов включает решение уравнения для авторегрессии.

Метод Писаренко. Предложен для решения задачи выделения синусоидальных сигналов в белом шуме. Предположим, что имеется p комплексных экспоненциальных составляющих с амплитудами {q_i, i=1, 2,…, p} и частотами {_i, i=1, 2, …, p} в смеси с некоррелированным белым шумом. Тогда теплицева матрица, образованная точными значениями корреляционной функции, в идеальном случае должна иметь следующий вид

R=R_x +R_n=FAF^*T+²I,

где Rx - ковариационная матрица сигнала, Rn - ковариационная матрица шума, знак *Т означает транспонирование с переходом к комплексно-сопряженным величинам:

, .

Заметим, что для данной модели матрица FAF^*T имеет ранг p, и поэтому значение ² должно быть собственным значением матрицы R. Корни, связанные с собственным вектором, соответствующим ², будут равны .

Алгоритм метода Писаренко.

вычислить наименьшее собственное значение матрицы R;

вычислить соответствующий собственный вектор a;

определить местоположение спектральных линий, решая уравнение a(z)=0;

определить мощность каждой синусоидальной составляющей решая матричное уравнение

,

где получается из матрицы F исключением последней строки.

Если число синусоидальных сигналов заранее неизвестно, то исследование можно начинать с теплицевой матрицы размером NN и нахождения распределения ее собственных значений. В идеальном случае наименьшее собственное значение будет иметь кратность (N-p), а p можно оценить из распределения собственных значений. Если в окрестности наименьшего собственного значения имеется множество собственных значений, а не одно кратное наименьшее значение, то применение метода Писаренко невозможно. Тогда необходимо обращаться к таким методам, как MUSIC или методу теплицевой аппроксимации на основе сингулярного разложения. Суть последнего метода состоит в том, что для нахождения характеристик прогнозирующего фильтра определяются собственные векторы матрицы R, соответствующие наибольшим собственным значениям, а не наименьшему, и затем вычисляются частоты синусоидальных составляющих.

Метод теплицевой аппроксимации. При использовании метода первый шаг состоит в получении оценки ковариационной матрицы R, которая в общем случае имеет полный ранг. Это достигается сингулярным разложением следующего вида

,

где ₁-(pp) - матрица; ₂-(N-p) (N-p) - матрица.

В присутствии белого шума сингулярные значения изменяются, несмотря на то, что сингулярные вектора остаются неизменными. Фактически все сингулярные значения увеличиваются на величину, равную дисперсии шума, и поэтому самое малое сингулярное значение можно вычесть, чтобы скомпенсировать этот эффект, т.е.

,

где - самое малое сингулярное значение матрицы R.

Далее определяют так называемую матрицу наблюдаемости , при этом . Второй шаг включает определение параметров модели сигнала. Используя метод наименьших квадратов, получают матрицу , где знак t - означает псевдообращение матрицы, а знак -означает, что матрица получена смещением исходной матрицы на одну строку вверх.

Собственные значения матрица F определяют частоты синусоидальных сигналов.



Литература

Основная

Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки: Учебное пособие для вузов. Мн. Выш. школа, 1990.

Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применения цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. М.: Сов. радио, 1973.

Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1990.

Уидроу Б. Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов/Пер.с англ. М.: Радио и связь, 1989.

Дополнительная

Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов: Пер. с англ./Под ред. С. Гуна, Х. Уайтхауса, Т. Кайлата. М.: Радио и связь, 1989.

Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1992.

Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988 г.

Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных/Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. Радио, 1975.

Петько В.И., Куконин В.Е., Шихов Н.Б. Цифровая фильтрация и обработка сигналов: Учеб. пособие. Мн.: Унiверсiтэцкае, 1995.

Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Раков М.А. Абстрактные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов. Киев.: Наук. Думка, 1986.

Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Сов. радио, 1974.

Перов В.П. Прикладная спектральная теория оценивания. М.: Наука, 1982.

Ахмед Н. Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов/Пер. с англ. М.: Связь, 1980.

Применение цифровой обработки сигналов/ Под ред. Оппенгейма. М.: Мир, 1980.

Размещено на Allbest.ru

...