Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 517.984.44

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПРО ПОДIБНIСТЬ ВОЛЬТЕРРОВИХ ОПЕРАТОРIВ

01.01.01 - Математичний аналіз

РОМАЩЕНКО ГАЛИНА СТАНІСЛАВІВНА

Донецьк - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті.

Науковий керівник:

Маламуд Марк Михайлович, кандидат фізико-математичних наук, Інститут прикладної математики і механіки, старший науковий співробітник відділу рівнянь з частинними похідними.

Офіційні опоненти:

Золотарьов Володимир Олексійович, доктор фізико-математичних наук, Харківський інститут управління, ректор, завідуючий кафедрою вищої математики та прикладної інформатики;

Костенко Олексій Сергійович, кандидат фізико-математичних наук, Інститут прикладної математики і механіки, молодший науковий співробітник відділу нелінійного аналізу.

Захист відбудеться 8 жовтня 2008 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 5 вересня 2008 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Довгоший О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вольтеррові оператори вигляду:

(1)

відіграють значну роль в спектральній теорії несамоспряжених операторів: в обернених задачах для систем звичайних диференційних рівнянь И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, М., ``Наука'', 1967, 508 с., в питаннях повноти систем кореневих векторів різних класів несамоспряжених операторів И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., "`Наука'', 1965, 448 с., в теорії трикутної факторизації операторів, а також в теорії інваріантних підпросторів Н.К. Никольский. Лекции об операторе сдвига, М., "Наука", 1980, 384 с..

Серед вольтеррових операторів найпростішими та найбільш вивченими є оператор інтегрування та його додатні степені :

(2)

Добре відомо, що оператор є одноклітинним у просторі , тобто решітка його інваріантних підпросторів є лiнiйно впорядкованою та має вигляд:

(3)

де - характеристична функція відрізку . Також описані решітка гіперінваріантних підпросторів , комутант , бікомутант та множина циклічних векторів оператора , який діє в . Слід зауважити, що комутант оператора ще й досі є джерелом побудови контрприкладів для різноманітних гіпотез теорії операторів.

Крім того, відомо, що звуження прямої суми операторів інтегрування () на її інваріантний підпростір моделює довільний вольтерровий оператор класу з -вимірною уявною компонентою М.С. Бродский. Треугольные и жордановы представления линейных операторов, М., "Наука'', 1969, 288 с.. Аналогічний результат для , , отримано В.О. Золотарьовим В.А. Золотарев. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов, Харьков: ХНУ, 2003, 342 с.. Слід зауважити, що використання цієї моделі дозволяє оцінювати -числа та порядок росту резольвенти вольтеррових операторів різних класів, за допомогою -чисел оператора , подібність вольтерровий оператор інтегрування

, .

Один з методів дослідження вольтеррових операторів вигляду:

(4)

полягає у встановленні їх подібності до операторів , оскільки подібність зберігає (з точністю до ізоморфізму) такі спектральні характеристики як решітка інваріантних підпросторів, одноклітинність, циклічність, кратність спектру та інші.

Перші результати про подібність у просторі оператора вигляду (4) до оператору були отримані Л. А. Cахновічем та Г.К. Калішем. А саме, вони знайшли достатні умови на ядро , за яких оператор є подібним до оператора або до його цілих степенів у просторах Лебега , . Ці результати були істотно покращені та доповнені в наступних роботах І.І. Кальмушевського, Дж. М. Фрімана (дивись главу XV.15 в монографії Н. Данфорда та Дж. Т. Шварца Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. Линейные операторы (том 3). Спектральные операторы, М., ``Мир'', 1974, 663 с.), Р. Франкфурта та Дж. Ровняка, М.М. Маламуда, Г.М. Губрєєва.

Зазначимо, що найбільш повний результат про подібність операторів та в був отриманий М.М. Маламудом М.М. Маламуд. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков, Тр. Моск. мат. о-ва, т. 55, 1994, с. 73-148.. У випадку дисипативного вольтеррового оператора з ядром вигляду

,

Г.М. Губрєєв Г.М. Губреев. Об одном классе безусловных базисов гильбертовых пространств и о проблеме подобия диссипативных вольтерровых операторов, Мат. сб., 1992, 183, т. 9, с. 105--146. отримав результат про подібність до оператора інтегрування , що посилює попередній результат М.М. Маламуда. В цій роботі також знайдено зв'язок між подібністю до оператору інтегрування та властивістю системи власних та приєднаних векторів його одновимірного збурення утворювати базис Ріса.

Подібність вольтеррових операторів в просторах вектор-функцій вивчалася в роботах Л.А. Сахновіча Л.А. Сахнович. О приведении вольтерровых операторов к простейшему виду

в пространствах вектор-функций, Укр. мат. журнал, т. 14, 1962, с. 114-126., А.Л. Сахновіча та М.М. Маламуда М.М. Маламуд. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных

уравнений на конечном интервале, Тр. Моск. мат. о-ва, т. 60, 1999, с. 199-259..

Так, Л.А. Сахновічем для оператора вигляду (1) вказано достатні умови подібності в до для випадку:

, ().

М.М. Маламуд отримав достатні умови подібності оператора вигляду (1) до у випадку довільної невиродженої матриці

,

де найбільш істотною умовою подібності є вимога , де

, , .

Ці результати про подібність було використано в для побудови операторів перетворення та для доведення різних теорем єдиності в теорії звичайних диференційних рівнянь.

Вивченню одноклітинності оператора в просторах Соболєва присвячено роботу Е.Р. Цекановського Э.Р. Цекановский. Об описании инвариантных подпространств и одноклеточности оператора

интегрирования в пространстве , УМН, 1965, 20:6(126), с. 169-172.. Він показав, що решітка інваріантних підпросторів додатково до ``неперервного ланцюжка''

містить також ``дискретний ланцюжок''

,

(5)

.

Пізніше, І.Ю. Доманов та М.М. Маламуд I.Yu. Domanov, M.M. Malamud. Invariant and hyperinvariant subspaces of an operator and related operator algebras in Sobolev spaces, Lin. Alg. App., - 2002. - v. 348, 1-3. - p. 209-230. довели, що оператор є одноклітинним в просторі лише у випадку коли, або , або . Також, цими авторами було отримано опис решіток інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, комутанту, бікомутанту, циклічних векторів оператора в просторі Соболєва .

Широко відомо також, що резольвента звичайного диференційного оператору на скінченному відрізку з умовою Коші (задача Коші) є вольтерровим оператором. Отже резольвента довільної граничної задачі для того самого оператора (рівняння) є скінченновимірним збуренням вольтеррового оператора. Таким чином, подібність вольтеррових операторів дозволяє звести вивчення повноти системи власних та приєднаних векторів до випадку більш простих модельних операторів. (див. огляд А.П. Хромова A.P. Khromov. Finite-dimensional perturbations of Volterra operators, Journal of Mathematical Sciences, 2006, 138:5, p. 5893-6066.)

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках тем Г - 02.40 "Теорія функцій та операторів" та Г-06-1вв/06 "Спектральна теорія деяких класів сингулярно збурених операторів" (згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету).

Мета і задачі дослідження. Основна мета дослідження полягає в вивченні подібності вольтеррових операторів в просторі Соболєва та застосуванні отриманих результатів для вивчення спектральних властивостей цих операторів.

Перша задача дослідження - знайти достатні умови подібності вольтеррових операторів, які діють в просторах Лебега вектор-функцій, до тензорного добутку оператора інтегрування та невиродженої матриці.

Друга задача дослідження - отримати достатні умови та необхідні умови подібності вольтеррових операторів до оператору інтегрування та його дробових степенів в просторах Соболєва (у скалярному випадку та у випадку простора вектор-функцій), а також дослідити питання сумісної подібності операторів.

Третя задача дослідження - описати решітки інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, комутанта та бікомутанта, алгебри, що породжена дробовими степенями оператора інтегрування в просторі Соболєва.

Остання задача дослідження - дослідити питання повноти системи власних та приєднаних функцій деякого класу скінченновимірних збурень вольтеррового оператора в просторі Соболєва.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі одержано такі основні нові результати.

Достатні умови подібності вольтеррових операторів у просторах Лебега вектор-функцій.

Достатні умови, необхідні умови та критерії подібності вольтеррових операторів до оператору інтегрування та його дробових степенів в просторах Соболєва. Умови для сумісної подібності операторів в просторах Соболєва.

Опис решіток інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, комутанта та бікомутанта, алгебри, що породжена дробовими степенями оператора інтегрування в просторах Соболєва.

Умови, за яких система власних та приєднаних функцій скінченновимірного збурення вольтеррового оператора в просторі Соболєва, породжує базис Ріса.

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер, а її методи знаходять застосування у теоретичній фізиці, спектральній теорії операторів, теорії функцій.

Особистий внесок здобувача. Результати другого розділу опубліковані у роботі [7]. Результати третього розділу опубліковані у роботах [1], [4], [5]. Результати четвертого розділу опубліковані у роботах [2], [3]. Результати п'ятого розділу опубліковані у роботі [6]. Всі основні результати дисертації одержані здобувачем особисто. Науковому керівникові М.М. Маламуду належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції "20th International Conference on Operator Theory", Тімішоара, Румунія, 2004; на Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах "Спектральні та еволюційні задачі", 1997, 1999, 2003, 2004, 2006 рр., на Міжнародній Конференції молодих математиків "Operator Theory. 6th conference for young mathematicians", Краків, Польща, 2003; на Міжнародній Конференції молодих вчених механіко-математичного факультету МДУ, Москва, 2004 р.

В цілому результати дисертації неодноразово доповідались на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (кер. доц. к.ф. -м.н. М.М. Маламуд).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 7 працях у фахових виданнях України, включених у перелік ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі списку позначень та умовних скорочень, вступу, п'ятьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації - 136 сторінок. Список використаних джерел займає 8 сторінок та включає 83 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Усі теореми в авторефераті наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті дисертації.

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, а також апробація результатів роботи.

У першому розділі подається стислий огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації. Так, підрозділ 1.1 містить основні результати робіт щодо подібності вольтеррових операторів у просторі . У підрозділі 1.2 оглянуто результати щодо подібності операторів у просторі Лебега вектор-функцій. У підрозділі 1.3 наведено результати, що стосуються спектральної теорії оператора інтегрування та його степенів, а саме, описані решітки інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, циклічні вектори та підпростори, комутант та бікомутант. У підрозділі 1.4 зроблено огляд результатів щодо властивості деяких систем експонент утворювати базис Ріса в просторах . В цих підрозділах також сформульовано базові означення та твердження, на яких базуються доведення основних результатів наступних розділів.

Перші результати про подібність оператора до оператора були отримані Л.А. Сахновічем Л.А. Сахнович. Спектральный анализ операторов вида, Изв. АН СССР. Сер. мат., 22, № 2, 1958, сс. 299-308. та Г.К. Калішем G.K. Kalich. On similarity, reducing manifolds and unitary equivalence of certain Volterra operators, Ann. of Math., 66, No. 3, 1957, p. 481-494.. А саме, вони знайшли достатні умови на ядро , за яких оператор є подібним до оператору або до його цілих степенів у просторах Лебега , .

Ці результати були істотно покращені та доповнені в наступних роботах І.І. Кальмушевського, Дж. М. Фрімана, Р. Франкфурта та Дж. Ровняка, М.М. Маламуда, Г.М. Губрєєва. Найбільш повний результат про подібність операторів та в був отриманий М.М. Маламудом в [7].

В роботах Р. Франкфурта та Дж. Ровняка R. Frankfurt, J. Rovnyak. Finite convolution operators, J. Math. Anal. Appl., 49, 1975, p. 347-374., R. Frankfurt, J. Rovnyak. Recent Results and Unsolved Problems on Finite Convolution Operators, Linear Spaces and Approximation, 1978, p. 133-150. та М.М. Маламуда (див. літературу в [7]) вивчалися питання подібності оператора з ядром, що залежить від різниці аргументів (), тобто оператора згортки, до дробових степенів оператора інтегрування () в просторах . Більш того М.М. Маламуд для деяких класів операторів згортки отримав критерій подібності до оператору .

Відзначимо також роботу Г.М. Губрєєва [8], в якій встановлено зв'язок між подібністю дисипативного вольтеррового оператора до оператора та властивістю системи власних та приєднаних векторів його одновимірного збурення утворювати базис Ріса. Зауважимо, що результат Г.М. Губрєєва про подібність до оператора вольтеррового дисипативного оператора зі скінченновимірною уявною компонентою посилює попередній результат М.М. Маламуда.

Не менш важливою є задача про подібність вольтеррового оператора вигляду:

(6)

з -матричним ядром до оператору у просторах , де, як і раніше, - оператор інтегрування, а - невироджена -матриця.

Так, перші результати про подібність вольтеррового оператора вигляду (1) до оператору отримані Л.А. Сахновічем в [9]. Він вказав достатні умови подібності в у випадку

, де .

М.М. Маламуд в [10]отримав достатні умови подібності оператора до оператору у випадку довільної невиродженої матриці

.

Нагадаємо, що оператор у банаховому просторi називають одноклiтинним, якщо його решiтка iнварiантних пiдпросторiв є лiнiйно впорядкованою.

Дослідження одноклітинності вольтеррових операторів у просторах та розпочалося з дослідження оператора інтегрування . Одноклітинність цього оператора було встановлено в 1949 году С. Агмоном, а також незалежно М.С. Лівшицем, М.Г. Крейном, В.Ф. Донохью, М.С. Бродським та Л.А. Сахновічем.

Вперше оператор інтегрування у просторі Соболєва розглянув Е.Р. Цекановський (див. [11]). Він показав, що оператор , який діє в соболєвському просторi , також є одноклітинним та решітка має вигляд:

(позначення див. в (5)).

Пізніше І.Ю. Доманов та М.М. Маламуд [12]отримали більш загальний результат: на відміну від простору Лебега оператор є одноклітинним у просторі лише у випадку, коли або . Також цими авторами отримано опис решіток інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, комутанту, бікомутанту, циклічних векторів оператора у просторі Соболєва .

У випадку просторів вектор-функцій М.М. Маламудом було проведено повний спектральний аналіз оператора:

.

Пізніше І.Ю. Домановим та М.М. Маламудом було досліджено цей оператор у просторі Соболєва .

Одновимірне збурення оператора інтегрування

вивчалося в роботах багатьох авторів. Так, І.І. Кальмушевський встановив повноту системи власних та приєднаних векторів (СВПВ) оператора в термінах функцій та . Пізніше М.М. Маламуд вказав умови за яких СВПВ утворює базис Ріса в . Цей результат був істотно покращений Г.М. Губрєєвим Губреев Г.М. Спектральный анализ биортогональных разложений функций в ряды экспонент,

Изв. РАН. Сер. матем., 1989, т. 53, № 6, с. 1236-1268.. Зауважимо, що він встановив також, що кожна повна та мінімальна система експонент у просторі співпадає з системою власних функцій деякого оператора диференціювання з відповідними узагальненими крайовими умовами.

Дослідженню спектральних властивостей -вимірного збурення вольтеррового оператору вигляду:

(7)

присвячені роботи Г.М. Губрєєва, М.М. Маламуда, Л.Л. Орідороги, А.П. Хромова та інших (див. огляд [13]).

Другий розділ присвячено питанням подібності оператора вигляду:

(8)

з -матричним ядром до оператору у просторах та , де як і раніше - оператор інтегрування, а - невироджена -матриця.

Підрозділ 2.1 присвячений доведенню теореми 2.2 про достатні умови подібності у просторах Лебега вектор-функцій:

Теорема 2.2. Нехай -матричне ядро оператора вигляду (8) задовольняє наступним умовам:

1) - постійна невироджена матриця з власними значеннями та різних знаків, тобто ;

2) функція - абсолютно неперервна по при майже всіх ;

3) оператор з ядром

є слабо компактним у просторі , та ;

4) функція - абсолютно неперервна по для майже всіх , та , де .

Тоді оператор є подібним до оператору у просторі , .

Зауважимо, що у випадку умова 4) в теоремі 2.2 посилює відповідну умову з теореми 1.1 в [10]. Відмітимо також, що у випадку

подібність операторів та за умови встановлена раніше Л.А. Сахновічем в [9].

У підрозділі 2.2 доведено теорему про подібність операторів та у просторі Соболєва вектор-функцій .

Теорема 2.3. Нехай -матричне ядро оператора задовольняє наступним умовам:

1) - постійна невироджена матриця з дійсним спектром та простими елементарними дільниками;

2) - абсолютно неперервна по для майже всіх ;

3) функція

- абсолютно неперервна по при майже всіх , а також та , де .

Тоді оператор є подібним до оператору у просторах ().

Наступний, третій розділ дисертації присвячено питанням подібності вольтеррових операторів вигляду (4) до операторів інтегрування та його додатніх степенів () у випадку проcторів Соболєва . Зазначимо, що ми окремо розглядаємо випадки цілого та дійсного показника .

Підрозділ 3.1 присвячено дослідженню достатніх умов подібності вольтеррових операторів до оператору у просторах , . Отримано наступний результат:

Теорема 3.3. Нехай ядро задовольняє наступним умовам:

1) ;

2) , де , та .

Тоді оператор вигляду (4) є подібним до оператору інтегрування в , .

Позначимо через та - банахові простори, що містять вимірні на функції, для яких:

відповідно.

Теорема 3.18. Нехай , та - оператор згортки вигляду (9) з ядром , . Тоді є подібним до оператору інтегрування в просторах тоді і тільки тоді, коли .

Наслідок 3.19. Нехай . Тоді для довільного оператор є подібним до оператору в просторі в тому та тільки тому випадку, коли .

Для просторів та ми маємо наступний результат:

Теорема 3.20. Нехай ядро задовольняє наступним умовам:

1) ;

2) ;

3) , для всіх ;

4) та не зростає на відрізку .

Для того щоб оператор вигляду

був подібним до оператору в просторі () при деяких необхідно та достатньо, щоб .

Теорема 3.41. Нехай та ядро оператора вигляду (9) задовольняє наступним умовам: , де або .

Тоді оператор є подібним до оператору в просторах Соболєва , .

Зауважимо, що для випадку , тобто для простору Лебега, подібний результат належить М.М. Маламуду М.М. Маламуд. Спектральный анализ вольтерровых операторов с ядром, зависящим от разности аргументов, УМЖ, 1980, т.32, N 5, с. 601-609..

П'ятий розділ присвячено дослідженню базисних властивостей системи власних та приєднаних векторів -вимірного збурення вольтеррового оператора вигляду (7). А саме, ми розповсюджуємо на випадок простору Соболєва з натуральним показником деякі результати А.П. Хромова, М.М. Маламуда та інших.

В підрозділі 5.1 досліджено питання про кількість власних чисел оператора . Одержано наступний результат:

Теорема 5.1. Нехай ядро задовольняє наступним умовам:

1) ;

2) , де та .

Нехай також , , .

Тоді оператор вигляду (7) або має нескінченно багато власних чисел, або не має їх взагалі.

В підрозділі 5.2 досліджено спектральні властивості одновимірного збурення оператора згортки , який є подібним до оператора в просторі , .

Теорема 5.3. Нехай при деякому дійсному , що задовольняє нерівності або , , . , , . Тоді оператор:

(20)

має в просторі нескінченно багато власних чисел, якщо .

В підрозділі 5.3 досліджені одновимірні збурення оператора . Знайдено умови, за яких система власних та приєднаних функцій такого оператора утворює базис Ріса в в замиканні своє лінійної оболонки в , :

Теорема 5.4. Нехай , , причому , , та функцію визначено рівністю:

(21)

Тоді: (i) система власних та приєднаних векторів оператора

(22)

утворює базис Ріса в замиканні своє лінійної оболонки в . Її дефект дорівнює .

(ii) після додавання до СВПВ оператора деякої сукупності з векторів, отримана сукупність утворює базис Ріса в просторі .

В підрозділі 5.4 для оператора

(23)

використовуючи теорему 3.3 про подібність та попередню теорему, досліджено питання про властивість системи власних та приєднаних векторів утворювати базис Ріса в замиканні своє лінійної оболонки в , .

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджено задачу про достатні умови подібності в просторі Лебега вектор-функцій та отримано теорему, яка підсилює попередні результати з цього питання. У випадку просторів Соболєва подібна теорема сформульована вперше.

Також розглянуто задачу про опис умов за яких вольтерровий оператор вигляду (4) є подібним до оператору інтегрування та його степенів . Знайдено достатні умови для довільних вольтеррових операторів, а для операторів згортки також сформульовано необхідні умови. Для деяких класів операторів сформульовано критерій подібності для цих операторів у просторі Соболєва. Одержано критерій сумісної подібності операторів згортки до пари операторів в просторах Соболєва.

Наведено опис решіток інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, комутанту та бікомутанту оператора в просторі Соболєва . Ці теореми є узагальненням попередніх результатів, зокрема, результатів І.Ю. Доманова та М.М. Маламуда.

Розглянуто питання про мінімальність та повноту системи власних та приєднаних векторів скінченновимірного збурення оператора інтегрування в просторі Соболєва . Виявилося, що така система має дефект, який дорівнює .

Усі вищезгадані результати є новими.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Dud'eva G.S. On similarity of Volterra operators in Sobolev spaces/G.S. Dud'eva // Methods Funct. Anal. Topology. - 1999. - v. 5, № 2. - P. 1-11.

2. Ромащенко Г.С. Инвариантные и гиперинвариантные подпространства оператора в пространствах Соболева / Г.С. Ромащенко // Матем. Заметки. - 2003. - Т. 74, №1, С. 151-153.

3. Romashchenko G.S. Spectral analysis of positive powers of integration operator in Sobolev spaces/ G.S. Romashchenko // Methods Funct. Anal. Topology. - 2004. - v. 10, № 1. - P. 63-74.

4. Romashchenko G.S. On similarity of convolution Volterra operators in Sobolev spaces/ G.S. Romashchenko// Methods Funct. Anal. Topology. - 2006. - v. 12, № 3. - P. 286-295.

5. Ромащенко Г.С. Про сумісну подібність операторів згортки в просторах Соболєва/ Г.С. Ромащенко // Доповіді НАНУ. - 2006. - № 11. - С. 23-28.

6. Ромащенко Г.С. О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева/ Г.С. Ромащенко // Український Математичний Вісник. - 2007. - т. 4, № 3. - С. 340-354.

7. Ромащенко Г.С. Подобие вольтерровых операторов в пространствах Лебега вектор-функций/ Г.С. Ромащенко // Український Математичний Вісник. - 2008. - т. 5, № 2. - С. 219-243.

АНОТАЦІЇ

Ромащенко Г.С. Про подібність вольтеррових операторів - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008 р.

В дисертації отримано опис решіток інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, комутанта та бікомутанта, алгебри, що породжена дробовими степенями оператора інтегрування в просторі Соболєва. Отримано достатні умови подібності вольтеррових операторів в просторах Лебега та Соболєва вектор-функцій. Знайдено достатні та необхідні умови, а також критерії подібності вольтеррових операторів до оператору інтегрування та його дробових степенів у просторах Соболєва. Одержано умови, за яких система власних та приєднаних функцій скінченновимірного збурення вольтеррового оператора в просторі Соболєва породжує базис Ріса.

Ключові слова: Простір Лебега, простір Соболєва, подібність операторів, оператор інтегрування, вольтерровий оператор, інваріантний підпростір, гіперінваріантний підпростір, комутант, бікомутант, циклічний вектор.

Ромащенко Г.С. О подобии вольтерровых операторов - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008 р.

Вольтерровые операторы играют значительную роль в спектральной теории несамосопряженных операторов. Наиболее простыми и наиболее изученными среди вольтерровых операторов являются оператор интегрирования и его положительные степени , (). Один из методов изучения вольтерровых операторов состоит в доказательстве их подобия операторам , поскольку подобие сохраняет с точностью до изоморфизма многие спектральные характеристики.

Первые результаты о подобии оператора вида:

оператору интегрирования были получены Л.А. Сахновичем и Г.К. Калишем. А именно, они нашли достаточные условия на ядро , при которых оператор подобен оператору или его целым степеням в пространствах Лебега , . Результаты Г.К. Калиша и Л.А. Сахновича были существенно улучшены и дополнены в последующих работах И.И. Кальмушевского, Дж. М. Фримана, Р. Франкфурта и Дж. Ровняка, М.М. Маламуда, Г.М. Губреева. Наиболее полный результат о подобии операторов и в получен М.М. Маламудом. Подобие вольтерровых операторов в пространствах вектор-функций изучалось в работах Л.А. Сахновича и М.М. Маламуда.

Изучение одноклеточности вольтерровых операторов в пространствах и началось с изучения оператора интегрирования . Одноклеточность этого оператора была установлена С. Агмоном, а позднее невисимо М.С. Лившицем, М.Г. Крейном, В.Ф. Донохью, М.С. Бродским, Л.А. Сахновичем. Далее, Э.Р. Цекановский показал, что оператор , определенный в пространстве Соболева , также является одноклеточным. Позднее И.Ю. Доманов и М.М. Маламуд доказали, что оператор одноклеточен в пространстве только в случае, когда либо , либо . Также этими авторами получены описания решеток инвариантных и гиперинвариантных подпространств, коммутанта, бикоммутанта, циклических векторов оператора , действующего в пространстве Соболева .

Изучению полноты системы собственных и присоединенных векторов -мерного возмущения вольтеррового оператора вида:

посвящены работы Г.М. Губреева, Л.Л. Оридороги, М.М. Маламуда, А.П. Хромова и др.

Одна из главных задач диссертации - найти достаточные условия подобия вольтерровых операторов вида:

,

действующих в пространствах Лебега вектор-функций , оператору , где

, .

Так во второй главе диссертации улучшены соответствующие результаты М.М. Маламуда и Л.А. Сахновича о подобии операторов и в . А именно, наиболее существенное условие ограниченности смешанной производной в , заменено более слабым условием . Впервые найдены достаточные условия подобия операторов и в пространстве Соболева вектор-функций.

Третья глава диссертации посвящена изучению вопроса подобия для операторов, действующих в пространстве Соболева , . Получены достаточные условия подобия оператора:

оператору интегрирования . Используя метод оценки роста резольвенты, для операторов свертки найдены необходимые условия подобия оператору . В частности, для операторов свертки получен критерий подобия в пространствах при , . Например, показано, что оператор подобен оператору в пространстве , , , в том и только том случае, когда . Используя методы банаховых алгебр, исследован вопрос о подобии операторов свертки оператору при : найдены необходимые и достаточные условия подобия. Изучены условия совместного подобия пары операторов свертки паре в , . Для этого была определена операция возведения вольтеррового оператора в дробную степень. Тем самым, результаты М.М. Маламуда и Р. Зюидвийка перенесены на случай пространств Соболева.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению спектральных свойств оператора в пространстве при вещественном, но необязательно целом . Описаны решетки инвариантных и гиперинвариантных подпросторанств, тем самым установлены условия одноклеточности оператора в . Найдены циклические вектора и циклические подпространства оператора . Указаны формулы для определения спектральной кратности оператора и его диск-характеристики. Также описаны коммутант и бикоммутант, алгебра, порожденная оператором в . При этом мы развиваем метод из работы И.Ю. Доманова и М.М. Маламуда (случай пространства Соболева с целым показателем ), а также применяем теоремы вложения Соболева.

В последней главе диссертации показано, что система собственных и присоединенных векторов одномерного возмущения оператора интегрирования образует базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки и имеет дефект в пространстве , , равный . После применения теоремы о подобии получен соответствующий результат для одномерного возмущения вольтеррового оператора. Кроме того, исследован вопрос о количестве собственных чисел -мерного возмущения вольтеррового оператора.

Ключевые слова: Пространство Лебега, пространство Соболева, подобие операторов, оператор интегрирования, вольтерровый оператор, инвариантное подпространство, гиперинвариантное подпространство, коммутант, бикоммутант, циклический вектор.

Размещено на Allbest.ru

...