Локальні часи самоперетину для гауссівських випадкових полів та перенормування

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.21

01.01.05 - теорiя ймовiрностей i математична статистика

А в т о р е ф е р а т

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата

фiзико-математичних наук.

Локальні часи самоперетину для гауссівських випадкових полів та перенормування.

РУДЕНКО

Олексій Володимирович

Київ

2008

ДИСЕРТАЦIЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана в Iнститутi математики НАН України

Науковий керiвник:

доктор фiзико-математичних наук, професор

ДОРОГОВЦЕВ Андрій Анатолійович,

Iнститут математики НАН України,

завідувач відділу теорії випадкових процесів.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор

КУКУШ Олександр Георгійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математичного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор

ІВАНОВ Олександр Володимирович,

Національний технічний університет України "КПІ",

професор кафедри математичного аналізу

та теорії ймовірностей.

Захист відбудеться 23 вересня 2008 р. о 15 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02

в Інституті математики НАН України за адресою:

01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий "22" серпня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з напрямів теорії випадкових процесів є дослідження траєкторій процесів. Траєкторії випадкового процесу, який задається простими співвідношеннями, можуть бути досить складними. При цьому апарат математичного аналізу, який використовується для вивчення функцій дійсної змінної, часто виявляється непридатним. Прикладом, який ілюструє таку поведінку траєкторій, може служити броунівський рух. Наприклад, відомо що у траєкторій броунівського руху немає похідної, а отже, поняття швидкості руху втрачає сенс. Виникає природне питання: які властивості або характеристики траєкторій дозволяють описати поведінку процесу? Однією з таких характеристик може бути локальний час.

Неформальним означенням локального часу часто служить наступне: локальний час в заданій точці -- це кількість часу, проведеного частинкою в цій точці. Проте, якщо спробувати оцінити цей час в заданій точці стандартним чином, за допомогою інтегралу, то для частинки, що здійснює броунівський рух, отримаємо очевидну відповідь: час дорівнює нулеві. Тому, щоб отримати більш змістовне означення, потрібно акуратніше підійти до розуміння "кількості часу в точці".

Одним з можливих визначень є таке: локальний час в заданій точці -- це границя кількості часу, проведеного процесом в деякій кулі з центром в цій точці, поділеної на об'єм кулі, коли радіус кулі прямує до нуля. Взагалі кажучи, границя, яка бере участь в означенні, є границею випадкових величин і її можна розуміти по-різному (найприродніше розглядати границю майже напевно, тобто з вірогідністю одиниця). Якщо розглянута границя існує, то ми кажемо, що локальний час існує.

Інше поширене означення локального часу використовує поняття міри відвідування. Мірою відвідування називається міра на фазовому просторі, значення якої -- це час перебування процесу в множині. Локальним часом у точці ми називаємо значення щільності міри відвідування відносно міри Лебега у цій точці, якщо ця міра є абсолютно неперервною відносно міри Лебега. При виконанні певних умов обидва наведені підходи до означення локального часу приводять до однакового результату, тобто отримані набори випадкових величин співпадають.

Існування і неперервність локального часу для одновимірного броунівського руху -- це давно відомий факт, який довів H.F.Trotter. Трохи пізніше S.Berman дослідив існування і властивості локальних часів (як щільності мір відвідування) для деяких класів гауссівських процесів, зокрема для гауссівських процесів, що задовольняють властивість локального нондетермінізма (local nondeterminism). Виявилось, що цей підхід може бути застосований до широкого класу випадкових процесів (випадкових полів), причому не тільки до гауссівських, як було відмічено пізніше тим же автором.

Крім звичайного локального часу в точці можна також розглядати локальний час перетину двох випадкових процесів (самоперетину, якщо ці два процеси співпадають), який є характеристикою перетину процесів (так само, як звичайний локальний час є характеристикою перетину процесу з деякою точкою у просторі, тобто його перебування у цій точці). Визначити локальний час самоперетину можна шляхом узагальнення початкового означення локального часу на випадкові процеси з довільною множиною параметрів (випадкові поля). Розглянувши випадкове поле, яке є різницею значень початкового процесу у двох різних точках (таким чином, це поле має двовимірну множину параметрів, якщо початковий процес мав одновимірну), ми отримаємо локальний час самоперетину для початкового процесу як локальний час для нового випадкового поля.

Іноді з'ясовується, що для процесу, який нас цікавить, визначити локальний час за допомогою наведеної конструкції неможливо, оскільки не існує відповідна границя. В цьому випадку виникає необхідність модифікувати означення так, щоб забезпечити існування локального часу або його аналогу. Однією з таких модифікацій є "перенормування". Суть її полягає в тому що замість описаних нами вище наближень локального часу, розглядають їх перенормування, в якості якого використовується, наприклад, результат віднімання від наближень їх математичного сподівання. Границю отриманого виразу, якщо вона існує, називають "перенормованим" локальним часом. Виявляється, що перенормований локальний час може існувати, навіть якщо не існує звичайний локальний час. Прикладом, з якого, власне, бере початок таке перенормування, є локальний час самоперетину для броунівського руху на площині.

У 70-80-ті рр. багато результатів про локальні часи перетину та самоперетину (частково з використанням перенормування) отримав J.Rosen. Перенормуванням для локальних часів самоперетину також успішно займався Є.Б.Динкін. Зокрема, він довів, що локальні часи багатократного самоперетину для броунівського руху можуть бути перенормовані за допомогою додавання до наближень локального часу багатократного самоперетину лінійної комбінації наближень локальних часів самоперетину меншої кратності.

Інша можливість модифікації означення полягає в тому, що ми можемо трактувати поняття збіжності для наближень локального часу у ширшому сенсі, тобто в певному просторі, що складається не тільки з випадкових величин. Для гауссівських процесів є кілька конструкцій відповідних просторів, наприклад: простори Хіда і простори Соболєва (нескінченновимірне узагальнення класичних просторів Соболєва, яке іноді ще називають просторами Ватанабе або Соболєва-Ватанабе).

В останні роки вийшло досить багато робіт, в яких досліджувалось існування локального часу для конкретних процесів у деякому функціональному просторі (просторі Соболєва, Хіда та їх аналоги). Наприклад у роботі P.Imkeller, V.Perez-Abreu, J.Vives та у кількох роботах D.Nualart, Y.Hu вивчався локальний час самоперетину для броунівського руху і дробового броунівського руху з використанням соболєвських просторів. А.А.Дороговцев і В.В.Бакун на основі просторів Соболєва ввели узагальнені адитивні функціонали від вінерівського процесу, створивши розширення теорії невід'ємних однорідних адфункціоналів (локальний час в одновимірному випадку є таким функціоналом, в багатовимірному випадку вже потрібне узагальнення).

У всіх цих досліджень в основі лежить розклад Іто-Вінера як інструмент для оцінки та встановлення збіжності наближень локального часу. Цей підхід використано у дисертації для дослідження існування локального часу для гауссівських випадкових полів у досить загальному випадку.

Інший підхід до цієї проблеми, запропонований в дисертації, заснований на вивченні збіжності деякої послідовності функцій в нескінченновимірному (гільбертовом) просторі. Визначається дія набору операторів, у якості яких береться півгрупа Орнштейна-Уленбека, пов'язана з деякою гауссівською мірою на гільбертовому просторі, на задану імовірнісну міру на тому ж просторі. Досліджується збіжність щільності абсолютно неперервної компоненти перетвореної міри відносно ?, коли параметр півгрупи збігається до нуля. Ідея полягає в тому, що при такому граничному переході природною границею є щільність абсолютно неперервної компоненти відносно і таким чином вдається виділити абсолютно неперервну компоненту відносно ?. Оскільки півгрупа Орнштейна-Уленбека має згладжуючий ефект, то можна чекати, що в деяких випадках перетворена міра буде абсолютна неперервною відносно ?, і ми зможемо отримати формулу для відповідної щільності. Ідея використання такого граничного переходу була успішно застосована А.А.Дороговцевим та А.М.Гомілко для дослідження властивості локальності розширеного стохастичного інтеграла. Нам вдається зв'язати існування досліджуваної границі з існуванням границі наближень спеціального вигляду для локального часу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі теорії випадкових процесів згідно з загальним планом дослiдження у рамках держбюджетної теми “Аналітичні та асимптотичні методи дослідження складних стохастичних систем”, державний реєстраційний номер № 0106 U 001121.

Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є отримання нових результатів щодо існування локального часу для гауссівських випадкових полів.

Основні питання, які досліджуються в даній роботі:

* Поведінка щільності абсолютно неперервної частини мір згладжених півгрупою Орнштейна-Уленбека, коли параметр півгрупи прямує до нуля, і можливість застосування отриманих результатів до проблеми існування локального часу.

* Встановлення існування локального часу для гауссівських випадкових полів за допомогою розкладу Іто-Вінера і соболєвських просторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну роботи:

* Збіжність щільності абсолютно неперервної частини мір згладжених півгрупою Орнштейна-Уленбека, коли параметр півгрупи сходиться до нуля: майже напевно у скінченновимірному випадку і за ймовірністю -- у нескінченновимірному.

* Інтегральне представлення розкладу Іто-Вінера для випадкових величин, які наближають локальний час, що дозволяє оцінити асимптотику членів розкладу.

* Необхідна і достатня умова в термінах коваріації для існування локального часу центрованого гауссівського випадкового поля загального вигляду у соболєвському просторі.

* Умова на параметри, необхідна і достатня для існування локального часу самоперетину дробового броунівського руху.

* Існування локального часу для гауссівських випадкових полів у сенсі збіжності наближень за ймовірністю за слабкими умовами на випадкове поле (застосування результатів для півгрупи Орнштейна-Уленбека).

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в роботі, можуть бути застосовані в теорії стохастичних диференціальних рівнянь (де часто виникає необхідність розглядати локальний час), а також при дослідженні властивостей траєкторій випадкових процесів, і тому мають теоретичний інтерес.

Особистий внесок здобувача. Робота виконана під керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора А.А.Дороговцева. Ним поставлено задачу та намічено загальний план дослідження. Усі нові результати роботи, що виносяться на захист, отримано пошукувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:

1. X Міжнародній конференції ім. М.П.Кравчука(Київ, 13-15 травня 2004 р.);

2. Конференції “Сучасні проблеми теорії ймовірностей та перспективи її розвитку” (Чернівці, 19-26 червня 2005 р.);

3. Міжнародній конференції “9-th Vilnius conference on Probability Theory and Mathematical Statistics” (Vilnius, Lithuania, 25-30 червня 2006 р.)

4. Міжнародній конференції “Skorohod Space, 50 years on” (Київ, 17-22 червня 2007 р.)

5. Семінарі відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівники -- доктор фіз.-мат.наук, член-кореспондент НАН України М.І.Портенко та доктор фіз.-мат.наук, професор А.А.Дороговцев).

6. Семінарі “Числення Маллявена та його застосування” відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівник -- доктор фіз.-мат.наук, професор А.А.Дороговцев).

7. Семінарі у рамках програми “Stochastic partial differential equations and application”, яка проводилась у інституті Міттаг-Леффлера (Швеція, 1 вересня - 15 грудня 2007 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в статтях [1-3], та тезах конференцій [4-7].

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 56 найменувань. Загальний об'єм дисертації становить 141 сторінку.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У першому розділі вводиться дія півгрупи Орнштейна-Уленбека на функції і міри та доводяться результати про збіжність щільності абсолютно неперервної компоненти міри, на яку подіяли півгрупою Орнштейна-Уленбека, якщо параметр півгрупи прямує до нуля.

Нехай (H(Ч,Ч)) -- дійсний сепарабельний гільбертів простір B(H) -- борелівські множини на H, {ek}kОN -- ортонормований базис в H. Нехай -- гауссівська міра в (H,B(H)), що має нульове середнє і коваріаційний оператор S. Ми припускаємо, що

Sek=lkek,kОN,

де {lk kОN} -- послідовність додатних чисел таких, що еn=1Ґln<+Ґ. Позначимо через Ln=л.о.{e1,e2…,en} -- лінійний підпростір H, побудований на n перших векторах базису в H. Нехай міра mn -- проекція гауссівської міри на B(Ln).

Півгрупа Орнштейна-Уленбека -- це набір лінійних операторів, які діють наступним чином

Означення 1.4 Дією півгрупи Орнштейна-Уленбека {Tt}t?0, яка пов'язана з мірою, на довільну вимірну обмежену функцію є наступна функція:

Ttf(x)=тHf(e-tx+Ц((1-e-2t))y)m(dy).

Ми визначаємо дію півгрупи на міри в такий спосіб.

Означення 1.5 Дією півгрупи Орнштейна-Уленбека {Tt}t?0, яка пов'язана з мірою

, на довільну скінченну міру

задану на B(H), є наступна міра на B(H):

Ttn(A)=ттH21A(e-tx+Ц((1-e-2t))y)n(dx)m(dy).

Таким чином, насправді на міри діє оператор, спряжений до Tt у просторі Cb(H) (з рівномірною нормою). Ми позначаємо його так само, як оператор на функціях, оскільки це не вносить невизначенності та спрощує позначення. Крім того, позначимо аналогічну півгрупу на Ln, яка пов'язана з mn, через nTt (нам це потрібно для того, щоб мати можливість розглядати скінченновимірний випадок).

Розглянемо щільність абсолютно неперервної частини міри Ttn відносно m, та позначимо її через d(Ttn)a.c./dmn . Має місце збіжність майже усюди цієї щільності у скінченновимірном випадку.

Теорема 1.4 Для будь-якої скінченної міри на B(Ln) виконується:

"t>0:nTtn=mn

d(nTtn)/dmn ® dna.c./dmn ,t®0+ м.в. mn.

У нескінченновимірному випадку має місце збіжність за ймовірністю

Теорема 1.5

d(Ttn)a.c./dm ® dna.c./dm ,t®0+ поміріm.

У другому розділі вводиться означення локального часу в загальній постановці і доводяться результати про існування локального часу як елементу соболєвського простору, а також про існування перенормованого локального часу. Основним інструментом при цьому є оцінки коваріації елементів розкладу Іто-Вінера для наближень локального часу. Для цих елементів розкладу Іто-Вінера отримано інтегральне представлення, що дозволяє зробити потрібні оцінки.

Нехай T -- сепарабельний метричний простір. Припустимо, що на ньому задано випадковий процес зі значеннями у скінченновимірному просторі x(t)ОRd,tОT. Нехай цей процес є вимірним по парі змінних (t,w)ОTґW. Розглянемо деяку ймовірнісну міру на B(T) і набір невід'ємних функцій fe:Rd®[0,+Ґ),e>0, що наближають дельта-міру в нулі - d0, якщо e®0+. Останню умову можна розуміти по-різному, ми обмежимося таким видом наближень для дельта-міри в нулі:

fe(x)=e-df( x/e ),f?0,тRdf(x)dx=1

Нехай

Le=тTfe(x(t))n(dt).

Локальний час визначаємо в такий спосіб:

Означення 2.1 Випадкова величина L є локальним часом для випадкового процесу x (відносно міри і набору наближень f?), якщо має місце збіжність за ймовірністю

Le®L,e®0+.

Якщо границя існує, то кажемо, що локальний час існує в сенсі збіжності за ймовірністю.

У даній роботі розглядається випадок, коли x - стохастично неперервний центрований гауссівський процес. Позначимо через K(s,t) коваріацію x(s) і x(t) та додатково припустимо, що detK(t,t)>0 виконується ?-п.в. В цьому випадку, крім збіжності за ймовірністю, є можливість також розглянути збіжність Le у деяких спеціальних просторах. Спочатку опишемо абстрактну конструкцію, пов'язану з певним виглядом імовірнісного простору.

Нехай B -- банахів простір з центрованою гауссівською мірою m, заданою на його борелівській ?-алгебрі. Припустимо, що міра ймовірнісна і, отже, ми задали ймовірнісний простір (з борелівськими множинами в якості ?-алгебри). Під скінченновимірними многочленами на B ми розуміємо многочлени від скінченного числа лінійних неперервних функціоналів на B, тобто множину функцій на B вигляду

P(l1(x),…,ln(x)), xОB; l1,…,lnОB*,

де P - многочлен від n дійсних змінних. Нехай {Kn,n=0,1,…} -- мінімальні підпростори L2(B,m), які містять усі скінченновимірні многочлени на B степеня, не вищого n. Нехай Gn -- ортогональне доповнення Kn-1 у Kn для всіх nОN, і нехай Pn -- проектор на Gn. При цьому маємо

Еn=0ҐGn=L2(B,m)

(оскільки скінченновимірні многочлени щільні в L2(B,m)). Відповідний розклад

h=еn=0ҐPnh,hОL2(B,m)

будемо називати розкладом Іто-Вінера. Ми можемо визначити такі норми на кожному Kn:

h2,a2=еn=0Ґ(1+n)ah22

де |Ч|2 -- норма в L2(B,m). Тоді D2,a -- замикання Иn=0ҐKn по нормі Ч2,a.

Простір

D2,a називають соболєвським за аналогією зі скінченновимірним випадком. Елементи простору

D2,a при від'ємних a називатимемо узагальненими функціоналами (ці простори ширші ніж

D2,0=L2(B,m)

за рахунок елементів, що взагалі кажучи не є випадковими величинами).

Нам необхідно пов'язати конструкцію соболєвських просторів із заданим гауссівським випадковим полем. Наступна теорема є природним наслідком відомого факту про ізоморфність гауссівських просторів однакової вимірності.

Теорема 2.2 Нехай процес x є стохастично неперервним та нехай задано довільний нескінченновимірний банахів простір B з центрованою гауссівською мірою на його борелівській s-алгебрі, причому suppm=B. Тоді існує такий набір випадкових величин {x^~k(t)ОG1,tОT,k=1,…,d} на ймовірнісному просторі (B,B0,m), де B0 -- це s-алгебра борелівських множин в B, поповнена по мірі m, що розподіл цього набору співпадає з розподілом набору {xk(t),tОT,k=1,…,d} на початковому ймовірнісному просторі. Крім того, можна вибрати певний гільбертовий простір B та задати x^~ таким чином, щоб замикання лінійної оболонки {x^~k(t),tОT,k=1,…,d} співпало з G1.

В подальшому вважаємо, що умови цієї теореми виконані та випадковий процес x заданий на ймовірнісному просторі (B,B(B),m) вказаним вище чином. Тоді можемо визначити локальний час x як границю Le у D2,a. Якщо границя існує, то будемо казати, що локальний час існує в D2,a.

Відмітимо, що простори D2,a, які ми побудували, взагалі кажучи, залежать від вибору банахового простору B. Але якщо забезпечити, як вказано у теоремі, що простір G1 породжується, як замикання лінійної оболонки, процесом x^~ (це фактично фіксує простір G1, заважаючи його збільшенню за межу необхідного), то отримані таким чином простори Gn та D2,a будуть завжди однаковими(ізоморфними).

Перший крок у бік дослідження існування локального часу в D2,a -- це інтегральне представлення для розкладу Іто-Вінера наближень Le, яке дозволяє зробити потрібні нам оцінки. Для кожної вимірної обмеженої функції h і невід'ємного цілого n позначимо

an(h)=Pn(тTh(x(t))n(dt)).

Тобто an(h)ОGn - це n-й член розкладу Іто-Вінера для виразу тTh(x(t)n(dt).

Теорема 2.4

an(h)=

=тRdh(x)тTe|K-1/2(t,t)x(t)|2/2 1/n! (detK(t,t))-1/2тRdтRd(-еk=0dukvk)nЧ

Чei(K-1/2(t,t)x,u)ei(K-1/2(t,t)x(t),v)(2p)-3d/2e-|u|2/2-|v|2/2dudvn(dt)dx

При цьому для довільних обмежених вимірних функцій h1,h2 має місце співвідношення:

Man(h1)an(h2)=

=тRdтRdh1(x)h2(y)тTтT (-1)n/n! (detK(t,t))-1/2(detK(s,s))-1/2Ч

ЧтRdтRd(G(s,t)u,v)nei(K-1/2(s,s)x,u)ei(K-1/2(t,t)y,v)Ч

Ч(2p)-2de-|u|2/2-|v|2/2dudvn(ds)n(dt)dxdy,

де G(s,t) коваріація двох випадкових векторів

G(s,t)=cov(K-1/2(s,s)x(s),K-1/2(t,t)x(t))

яку можна записати у вигляді:

G(s,t)=K-1/2(s,s)K(s,t)K-1/2(t,t)

Якщо

k<n, то

Mak(h1)an(h2)=0

Цей розклад

дозволяє отримати такий результат. Для будь-якого невід'ємного цілого m введемо позначення:

Le,m=еn=mҐan(fe).

Таким чином, ми визначаємо перенормовані наближення для локального часу (частковий випадок m=0 відповідає звичайним наближенням). Визначимо при zО[0,1] наступну функцію:

pb(z)=zb,b<0;1-lnz,b=0;1,b>0

і нехай наближення для дельта-міри задаються гауссівською щільністю:

fe(x)=(2pe2)-d/2e- x2/2e2 .

Нехай Sd -- сфера радіуса 1 у Rd та s -- поверхнева міра на Sd, яка задається рівністю:

тRdg(x)dx=т0+ҐтSdg(ry)s(dy)rd-1dr,gОL1(Rd).

Тоді виконується така теорема.

Теорема 2.11 Нехай m -- парне невід'ємне ціле. Послідовність Le,m збігається в D2,a при e®0+ тоді і тільки тоді, коли

тTтTтRdG(s,t)xmЧ

Чp-a-d/2(1-G(s,t)x)s(dx) n(ds)/Ц(detK(s,s)) n(dt)/Ц(detK(t,t)) <+Ґ.

Для непарних m

вірне те ж саме тверждення, якщо в умові замінити m на m+1.

Цей результат є основним в другому розділі. Він дозволяє звести доведення існування локального часу у D2,a а також існування ренормалізованого локального часу (тобто збіжність Le,m при m>0) до перевірки властивостей коваріації.

У третьому розділі результати другого розділу застосовуються до дослідження існування локального часу як елементу соболєвського простору, для деяких гауссівських випадкових процесів (зокрема, для локального часу самоперетину дробового броунівського руху), а також використані результати першого розділу для доведення існування локального часу у сенсі збіжності за ймовірністю.

Найцікавішим є випадок локального часу самоперетину для дробового броунівського руху X в Rd з показником Хьорста HО(0,1). Візьмемо в якості T деяку підмножину та покладемо

n(dt)=dt1dt2 і x(t)=X(t1)-X(t2).

Значення T в наступній теоремі підібрані так, щоб продемонструвати сингулярність на діагоналі, тобто при t1=t2 (відмітимо, що при цьому x(t)=0).

Теорема 3.2 Нехай

T=[0,1]2;n(dt)=dt1dt2;x(t)=X(t1)-X(t2).

Границя наближен

ь Le,m

існує в D2,a тоді і тільки тоді, коли виконуються нерівності

a< 1/H - d/2 ,d< 3/2H ,m> dH-1/(1-H) .

Нехай

T=[0,1/3]ґ[2/3,1];n(dt)=dt1dt2;x(t)=X(t1)-X(t2).

Границя наближень Le,m існує в D2,a тоді і тількі тоді, коли a< 1/H - d/2 .

Відмітимо, що перенормування в цьому випадку є істотним (якщо T=[0,1]2) при dО[ 1/H , 3/2H ) (тобто чим менше H, тим більше можливих значень d; при H? 1/2 підходить лише d=2). При цьому, якщо H< 1/2 , то завжди достатньо віднімати лише математичне сподівання. Дійсно, при вказаних d та H< 1/2 :

dH-1/(1-H) < 3/2H H-1/(1-H) = 1/2(1-H) <1.

Якщо H? 1/2 , то d=2, тобто перенормування старшого порядку необхідні лише при d=2.

У першому розділі ми доводили збіжність деяких функцій по мірі на гільбертовому просторі з мірою. Виявляється ці функції можуть бути наближеннями локального часу спеціального вигляду. Використання результатів першого розділу дозволяє нам отримати такий результат. Нехай

L^~e=тTfe(K-1/2(t,t)x(t)) n(dt)/Ц(detK(t,t)) ,

Де

fe(x)=(2pe)-d/2e- x2/2e .

Теорема 3.5 Послідовність L^~e збігається за ймовірністю при e®0+. Якщо локальний час L в нулі для процесу x у просторі

D2,0=L2

існує, то він співпадає з границею L^~e.

Крім цього мaємо представлення границі як щільності абсолютно неперервної компоненти міри, яка відповідає локальному часу, відносно заданої гауссівської.



ВИСНОВКИ

У роботі досліджується існування локального часу для гауссівських процесів з використанням соболєвських просторів і розкладу Іто-Вінера.

У першому розділі доведено, що щільність абсолютно неперервної компоненти міри відносно деякої гауссівської можна представити у вигляді границі (по мірі) деяких усереднень за допомогою півгрупи Орнштейна-Уленбека. Такий результат може бути корисним при вивченні властивостей початкової міри. У третьому розділі ми використовуємо його для міри, яка відповідає локальному часу.

У другому розділі пропонується систематичний підхід для вивчення локального часу для гауссівських випадкових полів. Знайдено розклади Іто-Вінера для наближень локального часу (а також для локального часу), записані у вигляді, що дозволяє провести повне дослідження збіжності цих наближень в соболєвських просторах. За допомогою цих розкладів отримана необхідна і достатня умова в термінах коваріації процесу для існування локального часу в нулі для центрованого гауссівського випадкового поля в деякому соболєвському просторі. Додатково досліджено випадок, коли до локального часу застосовується перенормування, під яким розуміється віднімання кількох перших членів розкладу Іто-Вінера від наближень. Тут також наведена необхідна і достатня умова для збіжності перенормованих наближень в соболєвських просторах.

У третьому розділі загальні результати з другого розділу застосовуються для деяких гауссівських процесів. Найбільш важливим є результат для локального часу самоперетину дробового броунівського руху: для цього випадку фактично проведено повне дослідження існування локального часу в деякому класі соболєвських просторів (до теперішнього часу існували тільки результати щодо достатніх умов, в роботі наведені необхідні і достатні).

Крім того, в третьому розділі вказана відповідність між локальним часом і деякою мірою в банаховому просторі. Це дозволяє, застосувавши результати першого розділу, отримати загальний результат про збіжність за ймовірністю наближень локального часу спеціального вигляду. Також ми отримуємо нове розуміння локального часу: як щільність деякої міри щодо гауссівської, що дозволяє сподіватися отримати нові результати щодо властивостей локальних часів.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Руденко А.В. Приближение плотностей абсолютно непрерывных компонент мер в гильбертовом пространстве с помощью полугруппы Орнштейна-Уленбека // Укр. Мат. Журн. - 2004. - Т. 56, 12. - С. 1654-1664.

2. Rudenko A.V. Existence of generalized local times for Gaussian random fields. // Theory of Stochastic Processes. - 2006. - Vol. 12(28), no. 1-2. - Pp. 142-153.

3. Rudenko A.V. Local time as an element of the Sobolev space. // Theory of Stochastic Processes. - 2007. - Vol. 13(29), no. 3. - Pp. 65-79.

4. Руденко А.В. Об одном свойстве полугруппы Орнштейна-Уленбека. // Десята міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука, 13-15 травня 2004 року, Київ. - Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2004 - с.635

5. Rudenko A.V. Generalized local times for Gaussian random fields // International conference “Modern problems and new trends in probability theory”, Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005. - Abstracts. Vol. 2. - Kyiv: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005. - p. 87.

6. Rudenko A.V. Existence of local time as element of Sobolev space // 9th Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics, Vilnius, Lithuania, June 25-30, 2006. - Abstracts of communications. - Vilnius: Leidykla TEV, 2006 - p.280

7. Rudenko A.V. Local times for Gaussian processes and renormalization // Простір Скорохода. 50 років потому. Міжнародна конференція, 17-23 червня 2007 року, Київ. - Тези доповідей. Книга 1, секції 1-6. - Київ: Інститут математики НАН України, 2007. - p.135



AНОТАЦIЇ

Руденко О.В. Локальні часи самоперетину для гауссівських випадкових полів та перенормування.

-- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 -- теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Отримано інтегральне представлення розкладу Іто-Вінера для випадкових величин, які наближають локальний час для гауссівського випадкового поля, яке дозволяє оцінити асимптотику членів розкладу. За допомогою цієї оцінки знайдена необхідна і достатня умова в термінах коваріації для існування локального часу центрованого гауссівського випадкового поля загального вигляду (з деякими неістотними обмеженнями) у деякому соболєвському просторі, включаючи також випадок перенормованого локального часу. Ця умова використана для встановлення умови на параметри, необхідної і достатньої для існування локального часу самоперетину дробового броунівського руху.

Доведено збіжність щільності абсолютно неперервної частини мір згладжених півгрупою Орнштейна-Уленбека коли параметр півгрупи сходиться до нуля: майже напевно у скінченновимірному випадку і за ймовірністю -- у нескінченновимірному. Цей результат застосовано для доведення існування локального часу для гауссівських випадкових полів у сенсі збіжності наближень за ймовірністю за деякими слабкими умовами на випадкове поле.

Ключові слова: гауссівське випадкове поле, соболєвський простір, розклад Іто-Вінера, локальний час, півгрупа Орнштейна-Уленбека, дробовий броунівський рух. інтегральний вінер гауссівський коваріація

Руденко А.В. Локальные времена самопересечения для гауссовских случайных полей и перенормировка. -- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 -- теория вероятностей и математическая статистика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

В качестве исследуемого процесса берётся стохастически непрерывное гауссовское случайное поле, заданное на метрическом пространстве T. Определение локального времени вводится в виде предела приближений вида тTfe(x(t))n(dt) при e®0+, где

fe(x)=e-df( x/e )

и функция f удовлетворяет условиям

f?0,тRdf(x)dx=1.

Предел случайных величин можно понимать по-разному, но в качестве основного определения берётся сходимость по вероятности.

В диссертации строится структура разложения Ито-Винера, а также соболевские пространства, связанные с гауссовским случайным полем, и проводится исследование сходимости приближений в соболевских пространствах. Разложение Ито-Винера для этих приближений представляет собой набор случайных величин, зависящих от параметра приближения ? и индекса в разложении n. Мы получаем интегральное представление для этих случайных величин и их ковариаций в виде, который позволяет оценить поведение при e®0 и n®+Ґ. Таким образом, можно доказать сходимость каждого из членов разложения в L2, а также, за счёт оценки асимптотики по n, сходимость приближений в соболевской норме (которая записывается через L2-норму членов разложения Ито-Винера).

Полученные оценки дают достаточные условия для существования локального времени в соболевских пространствах. Кроме того выясняется, что если заданное гауссовское случайное поле центрировано и рассматривается локальное время в нуле, то эта оценка точная (то есть при переходе к пределу по ? ковариация сходится к этой оценке), что позволяет доказать необходимость полученного условия. Это условие удается записать в виде конечности интеграла от некоторой неотрицательной функции ковариации процесса.

Описанный подход можно легко адаптировать на случай перенормированного локального времени. Поскольку мы оценивали каждый член разложения Ито-Винера в отдельности, то естественно выбрать перенормировку в виде отнимания нескольких первых членов разложения. В этом случае, используя те же оценки, мы получаем необходимое и достаточное условие существования перенормированного локального времени, которое является обобщением условия для случая обычного локального времени и содержит дополнительный параметр: количество отнятых при перенормировке членов разложения. Для доказательства необходимости, кроме центрированности нашего случайного поля, также необходим специальный вид приближений локального времени (дельта-мера приближается при помощи гауссовской плотности).

В качестве приложения полученного результата рассматривается существование перенормированного локального времени самопересечения для многомерного дробного броуновского движения. Использование доказанного общего интегрального условия (для существования перенормированного локального времени в некотором соболевском пространстве) позволяет получить необходимые и достаточные ограничения на параметры, обеспечивающие существование.

Другой подход к исследованию существования локального времени основан на изучении сходимости некоторой последовательности функций в бесконечномерном (гильбертовом) пространстве. Мы определяем действие набора операторов, в качестве которого берётся полугруппа Орнштейна-Уленбека, связанная с некоторой гауссовской мерой на гильбертовом пространстве, на заданную вероятностную меру на том же пространстве. Исследуется сходимость плотности абсолютно непрерывной компоненты преобразованной меры относительно ?, когда параметр полугруппы сходится к нулю. Естественным пределом при этом является плотность абсолютно непрерывной компоненты относительно ?. Действительно, при помощи стандартных оценок удаётся доказать искомую сходимость в случае когда гильбертово пространство имеет конечную размерность, причем она имеет место ?-почти всюду. В бесконечномерном случае рассуждения, связанные с предельными свойствами полугруппы Орнштейна-Уленбека в нуле, позволяют доказать ту же сходимость в более слабой форме: по мере ?.

Как выяснилось, предельный переход для приближений локального времени некоторого специального вида является частным случаем предельного перехода из описанной выше ситуации, что позволяет напрямую применить полученные результаты к проблеме существования локального времени. Чтобы установить указанное соответствие необходимо представить локальное время в виде меры на гильбертовом пространстве. Введённая ранее структура соболевских пространств позволяет это сделать. Оказывается, что если локальное время существует в некотором соболевском пространстве, то существует мера (на гильбертовом пространстве с гауссовской мерой, на котором заданы соболевские пространства), соответствующая локальному времени. Таким образом возможно действие на локальное время полугруппой Орнштейна-Уленбека, как на меру. Оказывается, что результат этого действия -- случайные величины, равные приближениям локального времени для нормированного гауссовского случайного поля (гауссовский вектор в каждой точке приводится к вектору с единичной дисперсией), где в качестве функции f берётся стандартная гауссовская плотность. Кроме того, предельный переход при сходимости параметра полугруппы к нулю (из доказанного ранее известно, что предел существует по вероятности), соответствует сходимости указанных приближений.

При помощи полученного ранее разложения Ито-Винера для локального времени доказывается, что локальные времена в соболевских пространствах для нормированного и исходного случайных полей совпадают (при нормировке также необходимо поменять меру из определения локального времени). Это позволяет считать стандартные приближения локального времени для нормированного случайного поля приближениями локального времени (специального вида) для исходного случайного поля. В результате мы получаем сходимость по вероятности этих приближений и, кроме того, представление для предела в виде плотности абсолютно непрерывной компоненты меры соответствующей локальному времени относительно исходной гауссовской.

Ключевые слова: гауссовское случайное поле, соболевское пространство, разложение Ито-Винера, локальное время, полугруппа Орнштейна-Уленбека, дробное броуновское движение.

Rudenko O.V. Local times of self-intersection for Gaussian random fields and renormalization. -- Manuscript. Candidate of Science Thesis, Probability Theory and Mathematical Statistics -- 01.01.05. Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

In this work we obtain integral representation for Ito-Wiener expansion of random variables approximating local time for Gaussian random field, which allows us to estimate members of the expansion. Using this estimate we are able to find neccessary and sufficient condition for local time existence for centered Gaussian random field (with some additional technical restrictions) in some Sobolev space. This condition is used to derive condition on parameters, which is neccessary and sufficient for existence of self-intersection local time for fractional Brownian motion.

We prove the convergence of density of absolute continuous part with respect to some Gaussian measure of measures smoothed by Ornstein-Ulehnbeck semigroup (defined by same Gaussian measure) when the parameter of semigroup goes to zero. The convergence is almost sure with respect to Gaussian measure if space dimension is finite and in measure (with respect to same measure) if our space has infinite dimension. This result is applied to prove the existence of local time for Gaussian random field in the sense of convergence in probability (with some minor restrictions on the field).

Keywords: Gaussian random field, Sobolev space, Ito-Wiener expansion, local time, Ornstein-Ulehnbeck semigroup, fractional Brownian motion.

Размещено на Allbest.ru

...