Квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных

Размещено на http://allbest.ru

Квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных

Введение

дифференциальный уравнение производное

Математическое моделирование экономических и природных процессов приводит к необходимости решения уравнений, которые кроме независимых переменных и зависимых от них искомых функций, содержат также производные или дифференциалы от неизвестных функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса - установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

В настоящее время теория дифференциальных уравнений с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата - теории псевдодифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений.

В последние десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными - теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов.

Таким образом, дифференциальные уравнения в настоящее время представляют собой труднообозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения.

1. Теоретическая часть

1.1 Основные определения

Определение: Уравнение, связывающее неизвестную функцию u(x₁ , ..., x_n) независимые переменные x₁ , x₂ ,.., x_n и частные производные от искомой функции называется дифференциальным уравнением в частных производных. Оно имеет вид:

Определение: Порядок старшей производной, входящей в уравнение называется порядком уравнения в частных производных. (в уравнении (1) порядок k).

Определение: Уравнение с частными производными называется линейным , если оно линейно относительно неизвестной функции и всех её частных производных Определение: Уравнение с частными производными называется квазилинейным , если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции.

В квазилинейном уравнении коэффициенты при старшей k производной зависят от независимых переменных функции u и её производных до (k-1) порядка.

Определение: Если в уравнении f 0, то уравнение называется однородным . В противном случае -неоднородным .

Определение: Решением дифференциального уравнения в частных производных называется функция u = u (x₁ ,..., x_n ), имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество по независимым переменным.

Введем обозначения: :

Примеры: 1) Рассмотрим u = u( x , y )- функция 2 ^x переменных и уравнение:

Интегрируем по y , получаем общее решение:

2)

Интегрируем по x:

Интегрируем по y: или .

Приведенные примеры наводят на мысль, что д.у. в ч.пр. имеет бесчисленное множество решений и что

- общее решение д.у в ч.пр. 1^го порядка зависит от одной произвольной функции.

- общее решение д.у в ч.пр. 2^го порядка зависит от двух произвольных функций.

- общее решение д.у в ч.пр. к^го порядка зависит от к произвольных функций.

То есть общее решение д.у. в ч.пр. задает целый класс (семейство) функций. Для выделения из этого класса единственного решения необходимы дополнительные условия. В качестве таких условий выступают обычно начальные условия (относящиеся к одному какому-то моменту времени) и граничные условия (условия, заданные на границе изучаемой области).

Определение: Задача об определении функции u (x₁,.., x_n), удовлетворяющей д.у. в ч.пр. порядка к и некоторым начальным условиям, заданным на гиперповерхности

называется задачей Коши для д.у. в ч.пр.

В частности задачу Коши можно переформулировать следующим образом:

при фиксированном значении некоторой переменной искомая функция и ее производные являются заданными функциями оставшихся переменных.

1.2 Характеристики квазилинейиных уравнений

Рассмотрим теперь квазилинейные уравнения, т.е. такие, которые линейны относительно производных искомой функции, однако сама функция может входить в коэффициенты уравнения. Одним из таких уравнений является простейшее квазилинейное уравнение переноса:

(1)

Это однородное уравнение, т.е. его правая часть равна нулю, что указывает на отсутствие поглощения или источников частиц (энергии). Пусть в начальный момент времени (t= 0) решение уравнения (1) задано в виде

(2)

В уравнении (1) роль скорости переноса играет само решение U(x,t). Знак этой функции может быть произвольным, в том числе разным в различных частях расчетной области. Для простоты будем считать, U(x,t) > 0.

Представим уравнение (1) в ином виде. Рассмотрим на плоскости (х, t) семейство кривых, определяемых соотношениями

x=x(t), dx/dt= U(x,t). (3)

Вдоль каждой такой кривой функция U(x, t) является сложной функцией одной переменной t: U = U(x(t),t). Полная производная этой функции по t с учетом (1), (3)

Таким образом, функция U остается постоянной вдоль каждой кривой (3). Значение U определяется начальным условием (2), взятым в некоторой точке (х0,0), через которую проходит кривая:

(4)

Найдем теперь уравнение кривой (3), проходящей через точку (х0,0). С учетом (4) получаем уравнение , которое легко интегрируется:

(5)

Полученное соотношение определяет семейство прямых на плоскости. Функция U не меняется вдоль каждой прямой этого семейства.

Прямые линии (5) называются характеристиками. Вдоль характеристик уравнения вырождаются в некоторые соотношения между дифференциалами функции, называемые соотношениями на характеристиках и имеющими в данном случае вид

Характеристики (5) квазилинейного уравнения (1), вообще говоря, не являются параллельными прямыми, как это было в случае линейного уравнения. Если переписать (5) в виде , то заметим, что тангенс угла наклона характеристик равен 1/U0(x0). Таким образом, наклон характеристик может меняться в разных точках при t= 0. Поэтому, если функция U0 (х) монотонно возрастает, то наклон характеристик слева направо монотонно убывает (веер характеристик). В этом случае решение задачи (1), (2) однозначно определено, поскольку через каждую точку полуплоскости t > 0 проходит одна характеристика, которая переносит в эту точку начальное значение. Такой случай показан на рис. 6.

Рис. 6. Характеристики квазилинейного уравнения при монотонном возрастании функции U0(x)

Рассмотрим теперь другой случай. Пусть функция U0(x) монотонно убывает (или является такой хотя бы на небольшом участке). Тогда наклон характеристик при движении слева направо увеличивается (рис. 7), что приведет к их пересечению. В точке пересечения решение не будет однозначным, поскольку каждая характеристика «принесет» в эту точку свое начальное значение. Поэтому в таких точках решение считается разрывным. Точки разрыва образуют линию разрыва в рассматриваемой области решения.

Рис. 7. Характеристики квазилинейного уравнения при монотонном убывании функции U0(x)

Различают два вида разрывов: слабые разрывы, когда терпят разрыв производные, и сильные разрывы - разрывы самого решения. Слабые разрывы в квазилинейном уравнении распространяются по характеристикам, сильные разрывы (в механике сплошных сред это обычно ударные волны) распространяются не по характеристикам. В точках разрыва производные не определены, поэтому уравнение теряет смысл. Следовательно, задачу нужно как-то доопределить, заменив в точках разрыва дифференциальные уравнения некоторыми конечными соотношениями.

Пусть x=ц(t) - уравнение линии разрыва, U- и U+ - значения решения соответственно слева и справа от точки разрыва, причем U- > U+(только в этом случае происходит пересечение характеристик). Тогда значения производной dx/dt=цў(t) на линии разрыва определяют по формуле

(8)

Это соотношение на линии разрыва заменяет дифференциальное уравнение. Таким образом, решение задачи (1), (2), (8) надо искать в классе разрывных функций.

1.3 Общее решение Квазилинейного уравнения в частных производных

A_i и R - определены и непрерывно-дифференцируемы в Щ в окрестности точки (x ₁⁰ ,.., x_n⁰, u⁰).

Пусть .

Решение уравнения (1) будем искать в неявном виде:

(2) (x₁,.., x_n, u) = 0; ( - непрерывно-дифференцируемая функция своих аргументов). Предполагаем, что [ при этом условии по теореме о неявной функции функцию u можно выразить явно из (2)].

Продифференцируем (2) по произвольной переменной x_к (считая u = u ( x₁ ,.., x_n )).

Подставим (3) в (1), умножим на

Получили для функции V (x₁ ,.., x_n , u) = 0 - однородное линейное уравнение;

- соответствующая (4) характеристическая система.

В нормальном виде - n - уравнений. Система (5) имеет n интегралов (1^ых интегралов).

Общее решение уравнения (4) V (x₁,.., x_n , u) = Ц (ш₁ ,.., ш_n), подстановка в (2) дает общее решение уравнения (1) в неявном виде:

(7) Ц (ш₁ ,.., ш_n) = 0;

Если u входит только в один из общих интегралов ш_i, то соотношение ( 7 ) удается разрешить относительно u, и тогда решение уравнения (1) можно выписать в явном виде: u = F(x₁,.., x_n).

2. Практическая часть

Задание

Найти общее решение уравнения

и найти интегральную поверхность, проходящую через линию

Решение

(1)

Найдём первый интеграл системы (1)

- первый интеграл (2)

Найдём второй интеграл системы (1)

- второй интеграл (3)

Из полученных интегралов можно составить общее решение квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка

- общее решение

Найдём частное решение при заданных линиях. Для этого составим систему из полученных интегралов (2), (3) и условий

(вместо y в (2), (3) подставим 1, а вместо x подставим z)

- полученная завязка и является частным решением уравнения

Вывод

В данной курсовой работе описано квазилинейное уравнение первого порядка в частных производных, а так же его многомерный случай и методы нахождения общего решения этого уравнения.

Список использованной литературы

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-6 изд.-1950.- 473 с.

2.Филиппов Алексей Федорович Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. - 240 с. ISBN 978-5-484-00786-8.

3.Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. -- 2-е изд. -- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с

4.Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -- 2-е изд., перераб. и доц.---М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-- 448 с.

Размещено на Allbest.ru