Системы линейных алгебраических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Классификация СЛАУ

Системы линейных алгебраических уравнений составляют основной аппарат линейной алгебры, а их исследование основано на алгебре матриц.

Общий вид системы линейных уравнений с неизвестными даётся формулами алгебраический уравнение гаусс матричный

(2.1)

В этих формулах называются неизвестными, - коэффициентами при неизвестных, - свободными членами (или правыми частями). Коэффициенты порождают матрицу

,(2.2)

которая называется матрицей (или основной матрицей) СЛАУ (2.1), . Неизвестные , порождают столбец неизвестных

,(2.3)

а правые части - столбец правых частей

.(2.4)

Матрица

(2.5)

называется расширенной матрицей СЛАУ (2.1).

Арифметический вектор

.

называется решением СЛАУ (2.1), если при подстановке чисел в уравнения (2.1) соответственно вместо мы получаем систему верных числовых равенств.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотябы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если СЛАУ имеет только одно решение, она называется определённой, а если число решений больше 1 - неопределённой.

В результате мы получаем следующую классификацию СЛАУ. Пусть - множество решений СЛАУ, а - мощность (число элементов) множества . Тогда

Если все правые части СЛАУ равны нулю, , она называется однородной, в противном случае СЛАУ называется неоднородной. Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение

.

Множество всех решений СЛАУ будем называть её общим решением, а одно фиксированное решение - частным решением. СЛАУ вида (2.1) иногда удобно представлять в виде матричного уравнения

.(2.6)

где - матрица вида (2.2), - вектор-столбец вида (2.3), а - вектор-столбец вида (2.4). Для того чтобы убедиться, что уравнения (2.6) и СЛАУ (2.1) равносильны (т.е. одновременно неразрешимы или разрешимы, причём в последнем случае их решения совпадают), достаточно в левой части равенства (2.6) провести умножение матрицы на вектор-столбец . Применив после этого принцип равенства матриц, получаем, что матричное равенство (2.6) эквивалентно системе равенств (2.1).

2. Метод Гаусса решения СЛАУ

Метод последовательного исключения неизвестных часто применяется при решении всевозможных систем уравнений, в частности, тех, которые встречаются в школьном курсе математики. Если выразить, например, из первого уравнения системы (2.1) и подставить это выражение в остальные уравнения, потом выразить из второго “нового” уравнения, подставив это выражение в остальные “новые” уравнения и т.д., то через конечное число шагов мы получим уравнение, содержащее только . Найдя решение этого уравнения, путём обратной подстановки его в предыдущие “новые” уравнения можно найти значения всех неизвестных . Такова идеальная схема которая молчаливо опирается на целый ряд допущений (например, на то, что , иначе для отыскания не хватит уравнений).

Метод Гаусса в современном изложении представляет собой, во-первых, такую модификацию метода исключения неизвестных, которая позволяет исследовать любые системы вида (2.1). А, во-вторых, алгоритм Гаусса, используя аппарат алгебры матриц, даёт такую формализацию метода исключений, которая позволяет существенно сократить объём выкладок, резко возрастающий вместе с ростом числа уравнений и числа неизвестных .

Прежде чем приступить к изложению метода Гаусса в общем случае, продемонстрируем его на простом примере.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

.

Вычитая из второго уравнения 4 первых, получаем систему

.

Разделив обе части второго уравнения на (-17), приходим к системе

.

Наконец, вычитая из первого уравнения 3 вторых, получаем систему уравнений

,

которая определяет единственное решение исходной системы

.

Теперь повторим проделанные преобразования на расширенной матрице исходной СЛАУ, заменяя каждое преобразование соответствующим строчным элементарным преобразованием:

.

Заметим, что итогом проведённых преобразований явилось поученное из основной матрицы системы матрицы приведённого вида, которая в данном случае совпала с единичной матрицей . Кроме того, в данном случае правые части последней системы уравнений образуют единственное решение исходной системы.

Перейдём к изложению метода Гаусса в общем случае.

Элементарными преобразованиями СЛАУ называются: перемена местами двух её уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения СЛАУ на число, отличное от нуля, добавление к левой и правой частям какого-либо уравнения соответственно левой и правой частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Метод Гаусса решения СЛАУ состоит в последовательном выделении в каждом уравнении неизвестного, которое после этого элементарными преобразованиями СЛАУ исключается из всех её остальных уравнений.

Поскольку каждой СЛАУ вида (2.1) можно поставить в соответствие её расширенную матрицу (2.5) и это соответствие взаимооднозначно, т.е. каждая матрица вида (2.5) является расширенной матрицей некоторой СЛАУ, вместо элементарных преобразований СЛАУ удобно проводить строчные элементарные преобразования её расширенной матрицы. Нетрудно заметить, что после выделения в одном уравнении некоторого неизвестного (это неизвестное называется ведущим в данном уравнении) и последующего его исключения из остальных уравнений СЛАУ, соответствующая строка её основной матрицы будет иметь приведённый вид. Поэтому будем говорить, что и уравнение, отвечающее этой строке матрицы, имеет приведённый вид. Если же каждое уравнение СЛАУ, содержащее хотя бы один ненулевой коэффициент, имеет приведённый вид, будем говорить, что СЛАУ имеет приведённый вид.

Ясно, что в этом случае основная матрица СЛАУ тоже имеет приведённый вид.

Алгоритм метода Гаусса распадается на 3 этапа:

1) построение СЛАУ приведённого вида, равносильной исходной СЛАУ;

2) анализ СЛАУ приведённого вида;

3) описание общего решения.

Следующее предложение является обоснованием применимости метода Гаусса к любой СЛАУ.

Предложение 2.1. Для любой СЛАУ вида (2.1) существует равносильная ей СЛАУ приведённого вида.

< В силу предложения 1.3 найдётся конечное число строчных элементарных преобразований, применяя которые к матрице , мы получим матрицу приведённого вида. По свойству 5) элементарных преобразований существует такая матрица , что . Заметим, что матрица является произведением элементарных матриц, отвечающих указанным выше элементарным преобразованиям. Применив те же самые элементарные преобразования к расширенной матрице системы уравнений (2.1), получаем матрицу системы уравнений приведённого вида

.

Переходя к соответствующим матричным уравнениям и , замечаем, что в силу предложения 1.9 они равносильны. Следовательно, равносильны и отвечающие им системы уравнений. >

3. Анализ СЛАУ приведённого вида и описание общего решения

Исследование СЛАУ приведённого вида распадается на три случая.

1)Система уравнений приведённого вида содержит “плохое” уравнение, т.е. уравнение вида

,(2.7)

где . Так как это уравнение не имеет решений, система уравнений приведённого вида, а с ней и исходная система уравнений несовместны.

Пример 2. Решить СЛАУ методом Гаусса и найти её общее решение

.

< Переходя к матричной записи системы и применяя подходящие строчные элементарные преобразования, получаем систему приведённого вида, равносильную исходной системе уравнений:

.

Мы остановили процесс получения системы приведённого вида, так как последняя система (а с ней и исходная система) уравнений несовместна. >

2) Система уравнений приведённого вида не содержит “плохих” уравнений. Все неизвестные в системе уравнений приведённого вида делим на две группы: неизвестные, являющиеся ведущими в своих уравнениях, называем связанными, а остальные неизвестные - свободными. (Случай отсутствия свободных неизвестных рассмотрим отдельно). Объявляя свободные неизвестные параметрами и т.д., принимающими произвольные действительные значения, выражаем связанные неизвестные через свободные. Полученные в результате этого формулы определяют общее решение СЛАУ. Если свободным неизвестным придать конкретные значения, а после этого вычислить по найденным формулам значения связанных неизвестных, мы получаем некоторое частное решение рассматриваемой системы уравнений.

Таким образом, в данном случае система уравнений приведённого вида, а с нею и исходная система уравнений совместны, неопределенны и имеют бесчисленное множество решений.

Пример 3. Следующую систему уравнений решить методом Гаусса, найти её общее и одно частное решения

.

< По аналогии с предыдущим примером

.

Полученная система уравнений имеет приведённый вид и не имеет “плохих” уравнений. Её свободными неизвестными являются и , а связанными неизвестными и . Полагая , находим и из уравнений приведённой системы,

.

Из второго уравнения , из первого уравнения . Поэтому общее решение рассматриваемой системы уравнений имеет вид

.

Полагая и равными, например, 1, получаем частное решение

. >

Замечание. В случае неопределённых СЛАУ выбор свободных и связанных неизвестных осуществляется неоднозначно и зависит от элементарных преобразований, применённых в алгоритме Гаусса. В связи с этим и общее решение таких систем уравнений может иметь различную форму.

3) Система уравнений приведённого вида не содержит “плохих” уравнений и свободных неизвестных. Поскольку в этом случае все неизвестные связанные, расширенная матрица приведённой СЛАУ, возможно, после перемены местами некоторых уравнений принимает вид

.

Ясно, что данная система уравнений является определённой, а е единственное решение имеет вид

.>

Пример 4. Следующую систему уравнений решить методом Гаусса

.

< Находим расширенную матрицу системы приведённого вида, равносильной данной системе уравнений:



.

Полученная приведённая система уравнений является определённой, а её единственное решение имеет вид

. >

Итоги изучения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса сформулируем в виде ряда предложений.

Предложение 2.2. (Критерий совместности СЛАУ). Для того, чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида не содержала уравнений вида (2.7).

Предложение 2.3. (Критерий определённости СЛАУ). Для того, чтобы СЛАУ была определённой, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида не содержала уравнений вида (2.7) и свободных неизвестных.

Предложение 2.4. (Критерий неопределённости СЛАУ). Для того, чтобы СЛАУ была неопределённой, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида не содержала уравнений вида (2.7) и имела свободные неизвестные.

Если последние два условия выполнены, СЛАУ имеет бесконечное множество решений, зависящее от произвольных постоянных , количество которых совпадает с числом свободных неизвестных.

4. Однородные СЛАУ

Общий вид однородной СЛАУ, состоящей из уравнений с неизвестными, даётся формулами

Как уже отмечалось выше, однородная СЛАУ всегда совместна, так как имеет нулевое решение

.

Поэтому исследование такой СЛАУ сводится к выяснению существования у неё нулевого решения. Если нулевого решения не существует, однородная СЛАУ является определённой и подчиняется предложению 2.3. Если же ненулевое решение существует, то однородная СЛАУ является неопределённой и подчиняется предложению 2.4.

Следующие утверждения вытекают непосредственно из предложений 2.3 и 2.4.

Предложение 2.5. (Критерий определённости однородной СЛАУ). Для того, чтобы однородная СЛАУ была определённой, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида не содержала свободных неизвестных.

Предложение 2.6 .(Критерий существования у однородной СЛАУ ненулевого решения). Для того, чтобы однородная СЛАУ имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида имела свободные неизвестные.

Если последнее условие выполнено, СЛАУ имеет бесконечное множество решений, зависящее от произвольных постоянных , количество которых совпадает с числом свободных неизвестных.

Приведём ещё одно достаточное условие для существования у однородной СЛАУ ненулевого решения.

Предложение 2.7. Если число уравнений однородной СЛАУ меньше числа её неизвестных , тогда СЛАУ имеет ненулевое решение.

< Если , тогда, как следует из метода Гаусса, можно построить СЛАУ приведённого вида, равносильную исходной СЛАУ, у которой число уравнений не превосходит . Следовательно, у этой СЛАУ приведённого вида число уравнений также меньше числа неизвестных. Так как каждое уравнение этой СЛАУ, имеющее хотя бы один ненулевой коэффициент, имеет точно одну связанную неизвестную, то у приведённой СЛАУ обязательно будут свободные неизвестные. Остаётся применить предложение 2.6. >

5. Решение матричных уравнений методом Гаусса

Рассмотрим матричное уравнение

(2.8)

в предложении, что . В силу предложения 1.7 единственное решение этого уравнения имеет вид

В то же время матричное уравнение (2.8) ввиду правила умножения матриц эквивалентно системе матричных уравнений

,(2.9)

каждое из которых, являясь уравнением типа (2.6), равносильно определённой СЛАУ с расширенной матрицей

.(2.10)

Единственное решение этой системы уравнений имеет вид

,

и, как следует из 2.4, получается в результате приведения основной матрицы системы к виду ,

.

Однако, ничто не мешает нам решать системы уравнений с матрицами вида (2.10) одновременно для всех значений . Вводя расширенную матрицу и приводя строчными элементарными преобразованиями основную матрицу к виду , мы получим, что

.

На практике обычно возникает более общая задача решения матричного уравнения (2.8) для произвольных матриц , , . Изложенное выше позволяет сформулировать следующий алгоритм решения этой задачи.

Составляем матрицу и строчными элементарными преобразованиями приводим её к виду , где - приведённая матрица, л_эквивалентная матрице .

1) Если (в этом случае, конечно, - квадратная матрица), уравнение (2.8) разрешимо для любой , а - его единственное решение.

2) Если , тогда для разрешимости уравнений (2.8) необходимо и достаточно, чтобы у матрицы не было нулевых строк, либо при наличии нулевой строки, например, выполнялось условие (для каждой такой строки).

3) Если и уравнение (2.8) разрешимо, то для того, чтобы его решение было единственным, необходимо и достаточно, чтобы у приведённой СЛАУ с матрицей не было свободных неизвестных. Если последнее условие нарушено, то уравнение (2.8) имеет бесчисленное множество решений, а его общее решение определяется способом, описанным в пункте 2.4.

Пример 5. Решить матричное уравнение (2.8), если

.

< Применяя метод Гаусса к расширенной матрице , получаем, что

.

Откуда следует, что матрица и , то есть уравнение (2.8) разрешимо. Так как у приведённой СЛАУ нет свободных переменных, то его решение единственно и имеет вид

. >

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что уравнение (2.8) с той же самой матрицей , но с другой правой частью

неразрешимо.

Пример 6. Решить матричное уравнение (2.8), если

.

< Применяя метод Гаусса к расширенной матрице , получаем, что

.(2.11)

Откуда следует, что матрица и не имеет нулевых строк, но у приведённой СЛАУ есть одна свободная неизвестная . Таким образом, уравнение (2.8) разрешимо и имеет бесчисленное множество решений. Общее решение находим из системы (2.11), определяя и соответственно из систем и . Именно полагая из системы

или

получаем, что

.

Полагая из системы

или

получаем, что

, то есть .

Наконец, заметим, что матричное уравнение вида

применением к нему операции транспонирования сводится к уравнению вида (2.8)

.

Оба эти уравнения разрешимы или неразрешимы одновременно, а их решения взаимнотранспонированны. >

6. Отыскание обратной матрицы методом Гаусса

Для отыскания обратной матрицы методом Гаусса достаточно в уравнение (2.8) положить . Если матрица обратима, тогда уравнение

имеет единственное решение

.

В этом случае матрица л_эквивалентна матрице . Если же матрица необратима, тогда в силу предложения 1.6. л_эквивалентная ей матрица будет иметь нулевую строку.

В результате, алгоритм выяснения обратимости матрицы и отыскания матрицы методом Гаусса принимает следующий вид.

Составляем матрицу и строчными элементарными преобразованиями приводим её к виду .

1) Если указанные преобразования осуществить удаётся, матрица обратима и .

2) Если указанные преобразования осуществить не удаётся (в процессе преобразований появляется нулевая строка), матрица необратима.

Пример 7. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу ,

.

< Применяя только что изложенный алгоритм, получаем



. >

Упражнения

При решении систем линейных алгебраических уравнений, в особенности, на первых парах у решающих часто появляются вычислительные ошибки. В связи с этим полезно использовать вычислительную схему методы Гаусса с контрольным столбцом. Контрольный столбец является суммой всех столбцов расширенной матрицы СЛАУ и выписывается справа от неё. Элементарные преобразования метода Гаусса применяются к контрольному столбцу наравне с остальными столбцами. Контроль за правильностью вычислений состоит в том, что после каждого элементарного (строчного) преобразования измененный элемент контрольного столбца должен равняться сумме всех предыдущих элементов соответствующей строки. Если это условие нарушается ,следует искать вычислительную ошибку!

Пример 8. Решить методом Гаусса следующую систему уравнений.

.

< Выписываем расширенную матрицу системы с добавленным контрольным столбцом

.

В качестве ведущего выбираем второй элемент первой строки и проводим элементарные преобразования . Получаем матрицу

Проводим контроль вычислений второй и третьей строк:

.

Следовательно, при вычислении второй строки допущены ошибки. Действительно, в первом столбце второй строки после преобразования должно быть . Остальные вычисления правильны: . Проведем исправления, продолжаем вычислительный процесс:

Вновь проводя вычислительный контроль для первой и второй строк, получаем:

.

Вновь ошибка вычислений во второй строке, вместо 16 следует записать 18. Далее,

.

Проводя последний вычислительный контроль замечаем, что в первой строке допущена ошибка внимания, в четвертом столбце элемент не преобразован: . Наконец, матрица

является приведенной

.

Поскольку ошибки внимания преследуют неопытного вычислителя на каждом шагу, следует убедиться в правильности полученного результата. Для этого нужно сделать проверку, подставив полученные значения неизвестных в исходную систему и убедиться, что после этого её уравнения превращаются в числовые равенства. >

Следующие системы уравнений решить методом Гаусса, указав общее и одно частное решения.

1. 2.

.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.10.

11.

Если коэффициенты системы уравнений зависят от параметров, то задача решения такой системы сводится к определению тех значений параметров, при которых система имеет решения и нахождению этих решений.

Если параметр входит в один коэффициент системы, целесообразно при использовании метода Гаусса проводить такие элементарные преобразования, которые не приводят к «расползанию» параметра по матрице.

Пример 9.

<

.

На этом этапе мы замечаем, что при , т.е. при , система несовместна, а при система является определенной, так как проводя преобразование , мы получаем, что

и, следовательно, единственное решение системы имеет вид:

.

Например, при . Предлагаем читателю для вычислительного контроля проверить, что при вектор действительно удовлетворяет исходной системе уравнений.

Наличие параметра в СЛАУ не обязательно приводит к существованию таких его критических значений, как в примере 9, при которых СЛАУ меняет своё качество.

Пример 10.

.<

.

Таким образом, рассматриваемая СЛАУ при любых значениях является определенной, а её единственное решение имеет вид:

>

Пример 11.

.

Предлагаем читателю убедиться, что при любых значениях данная СЛАУ является несовместной.

Если параметр входит в несколько коэффициентов рассматриваемой системы уравнений, прежде чем применять метод Гаусса, часто целесообразно, провести вспомогательные преобразования, учитывающие структуру матрицы СЛАУ.

Пример 12.

.

< Проведем следующее вспомогательное преобразование:

.

Ясно, что при () система несовместна. Полагая , проводим преобразование , после этого следуем стандартному алгоритму метода Гаусса.

.

Из вида последней матрицы следует, что мы обнаружили еще одно критическое значение параметра .

Если , мы можем провести элементарное преобразование .

И тогда, применяя стандартный ход метода Гаусса, получаем, что:

,

то есть СЛАУ является определенной, а её единственное решение имеет вид

(2.12)

Если же , мы получаем СЛАУ

,

которая совместна и неопределенна, а её общее решение имеет вид:

, где .(2.13)

Таким образом, при исходная СЛАУ несовместна, при и она определена и имеет решение вида (2.12), а при и она совместная, неопределенная и имеет общее решение вида (2.13).>

Пример 13.

<

.

Для того, чтобы эта система была совместна, необходимо, чтобы , т.е. . Тогда общее решение имеет вид:

,

или

.>

Пример 14. При каких значениях параметра система



имеет ненулевые решения?

<

.

Пусть (случай исследуем отдельно). Сократим во втором уравнений на . Получим:

,

так как

Аналогично, если , то имеем систему с матрицей

.

Следовательно, если , система имеет лишь тривиальные решения. При имеем систему:

.

Используя предыдущие выкладки, получаем:

.

Так как является свободной переменной, то общее решение СЛАУ в этом случае имеет вид

.

При имеем систему

.

Используя предыдущие выкладки, получаем

.

В этом случае общее решение СЛАУ имеет вид

.>

Исследовать систему уравнений в зависимости от параметра . Найти общее и одно частное решения.

12. 13.

14. 15.

16.

17. Найти матрицу , воспользовавшись методом Гаусса, если матрица имеет вид:

,

При решении матричных уравнений вида (1.24)-(1.26) можно использовать модификации вычислительных схем, рассмотренных в примерах 5 и 6.

Пример 15. Решить матричное уравнение , где

, .

< Составим блочную матрицу и столбцовыми элементарными преобразованиями, совершаемыми над этой матрицей, приведем блок к виду . Тогда на месте блока появится решение нашего уравнения,

.

Проверим, что матрица является решением рассматриваемого уравнения,

. >

Пример 16. Решить матричное уравнение , где

, , .

< Применим следующую вычислительную схему.

1) Вводим обозначение , тогда .

2)Составляем блочную матрицу и приводим блок к виду строчными элементарными преобразованиями как при решении уравнения ,

;

блоком после этого наращиваем блок сверху и приводим блок столбцовыми элементарными преобразованиями к виду как при решении уравнения ,

.

После этого на месте блока появится решение исходного уравнения.

Действительно,

.

Таким образом,

. >

18. Решить матричные уравнения:

а) ,б) ,

в) ,

г) д)

е) .

Метод Гаусса пригоден также для решения матричных уравнений с необратимыми, в частности, неквадратными матричными коэффициентами. Пример 17. Решить матричное уравнение , где

, .

< Заметим, что в данном случае . Далее следуем алгоритму, описанному в разделе 2.5,

.

Матричное уравнение не имеет решений, так как СЛАУ с расширенной матрицей

совместна, а СЛАУ с расширенной матрицей

несовместна. >

Пример 18. Решить матричное уравнение , где

,

а) ,б) .

< Следуя вычислительной схеме примера 15, получаем

а) .

Откуда следует, что в случае а) уравнение не имеет решения, так как система уравнений с матрицей

несовместна. Следовательно, уравнение не имеет решений. Поэтому равносильное ему исходное матричное уравнение тоже не имеет решений.>

б) Повторяя вычислительные операции предшествующего примера, получаем,

.

Теперь система уравнений с матрицей

совместна. Её общее решение находим поочередно: есть общее решение СЛАУ с матрицей

, т.е. ,

а есть общее решение СЛАУ с матрицей

, т.е. .

Таким образом, общее решение исходного матричного уравнения

, где . >

19. Следующие матричные уравнения решить методом Гаусса:

а) ,б) ,

в) .

Историческая справка

Метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений был впервые описан К. Гауссом в 1849 г. Однако, уже во II веке до н.э. в Китае был известен близкий метод под названием «фан-чен», что переводится как «выстраивание чисел по клеткам».

Основная литература

1. Дыбин В.Б. 12 лекций по алгебре. Пособие для первокурсника. 2006. Электронная форма.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М: Наука, 1973.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: Физико- математическая литература, 2000.

Задачники и дополнительные методические материалы.

4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М: Наука, 1972.

5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М: Лаборатория базовых знаний, 2001.

6. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006.

Размещено на Allbest.ru

...