Локальні та глобальні характеристики узагальнено опуклих множин

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛОКАЛЬНІ ТА ГЛОБАЛЬНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ УЗАГАЛЬНЕНО-ОПУКЛИХ МНОЖИН

01.01.01 - математичний аналіз

ТКАЧУК Максим Володимирович

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук,

ЗЕЛІНСЬКИЙ Юрій Борисович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

ШАРКО Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу топології;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ГЕРУС Олег Федорович,

Житомирський державний університет імені Івана Франка,

завідувач кафедри математичного аналізу.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Поняття опуклості поєднує, на перший погляд, слабо пов'язані між собою області сучасної математики та інших наук. В математичному аналізі, теорії диференціальних рівнянь, математичній економіці, томографії, стереології знаходиться застосування різним аналогам опуклості. Найпростіший приклад - дослідження геометричних проблем аналізу функцій багатьох комплексних змінних. В цій тематиці в рівній мірі використовуються як комплексний аналіз, так і топологія й опуклий аналіз.

Лінійна опуклість в при n=2 вперше була введена в 1935 році в роботі Г. Беенке та Е. Пешля. Лінійно опуклі та сильно лінійно опуклі множини почали широко використовуватись в комплексному аналізі завдяки роботам А. Мартіно та Л. Айзенберга з 60-х років ХХ століття. Мартіно та Айзенберг дали означення лінійної опуклості, які дещо відрізнялися одне від одного, але, якщо не обмежуватись областями та зв'язними компактами, то означення Айзенберга виділяє одну зв'язну компоненту множини, що задана в означенні А.Мартіно в роботі " Sur la topologie des fonctions holomorphes". В останні 50 років лінійно опуклі множини, та їх застосування активно досліджувались в роботах С. Знаменського, В. Трутнєва, О. Южакова, Х. Кіселмана, Л. Хермандера, М. Андерсона, М. Пассаре й Р. Сігурдсона.

Л. Айзенберг в 1967 р. знайшов необхідні та достатні умови на компактну множину для розкладу довільної функції f(z), голоморфної у деякому околі D, у рівномірно збіжний ряд простих дробів

Через п'ять років його учень В. Трутнєв показав, що для розкладу функціїf(z), голоморфної у деякому околі компакта D, у рівномірно збіжний ряд дробів вигляду

необхідно і досить, щоб оболонка голоморфності компакта D була сильно лінійно опуклим компактом.

З іншого боку, в теорії функцій однієї комплексної змінної Є. Долженко та його учні В. Данченко, Д. Данченко, О. Косухін, П. Бородін ввели поняття найпростіших дробів.

Найпростішим дробом n-го порядку називається раціональна функція вигляду

Очевидно, що - логарифмічна похідна алгебраїчного полінома степеня n з нулями в .

Зокрема, було доведено таку теорему:

Нехай K - компакт, що має зв'язне доповнення в C. Тоді довільна функція f, неперервна на K і аналітична у внутрішніх точках K, може бути рівномірно наближена з довільною точністю на K найпростішими дробами вигляду

И= Q'/Q , де Q - многочлен.

Близьким до цитованих задачам присвячено розділ 3 дисертаціі.

Багато вчених розв'язували проблему Улама, сформульовану в В Scottish Book під номером 68, а також в списку проблем про скінченновимірні многовиди Р. Давермана під номером М.16.

Проблема Улама: Нехай M - компактний многовид розмірності (n-1) з межею в і нехай для довільної гіперплощини H, яка перетинає M в більш ніж в одній точці, перетин є сферою S^n-1. Чи буде M опуклим компактом?

Вона була в класичній трактовці розв'язана Дж. Шреєром для. Г. Ауман розв'язав її для компактів в Rⁿ, замінивши умову умовою стягуваності перетинів .

В спільній статті Л.Монтеяно та Є. Щепіна було доведено, що якщо для зв'язної множини кожна опорна множина (де H - опорна гіперплощина) ациклічна, то K - опукла множина.

В 1962 р. А. Косінським було доведено опуклість компакта M в Rⁿ, якщо кожен перетин його площиною довільної фіксованої розмірності k () ациклічний у сенсі тривіальності груп когомологій Чеха.

Л.Монтеяно передовів цей результат, а також розглянув перетини горизонтальними площинами.

Пізніше Ю. Зелінський довів C-опуклість компакта M в Cⁿ, якщо кожен перетин його комплексною площиною довільної фіксованої розмірності k () - ациклічний у сенсі тривіальності груп когомологій Чеха.

Розгляду подібних питань, а також деяким узагальненням опуклості присвячено розділ 2 дисертації.

В 1960 році В. Мізель поставив питання, чи є вірним твердження:

Довільна опукла крива на площині, для якої не існує жодного прямокутника, який має точно три свої вершини на кривій, є колом.

В 1961 році А. Безикович ствердно відповів на це запитання, проте його доведення було досить складним (в доведенні було використане поняття лінійної міри Безиковича - Хаусдорфа на площині).

Пізніше Л. Данцер опублікував своє геометричне доведення цього твердження і запропонував перевірити, чи справедливе твердження при послабленні умови опуклості. Після цього Т. Замфиреску довів його для замкненої жорданової кривої (не обов'язково опуклої), а також розглянув послаблену умову прямокутника (замість довільних прямокутників розглядаються тільки такі, в яких відношення меншої сторони до більшої не перевищує заданого числа е) і запропонував узагальнити задачу на вищі розмірності та послабити умову жордановості кривої.

Ця задача розв'язана в четвертому розділі дисертації.

Усі результати представленої роботи пов'язані з геометричними та аналітичними аспектами узагальнено опуклих множин і можуть бути застосовані в опуклому та лінійно опуклому аналізі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках наукових тем "Дослідження з комплексного аналізу, теорії потенціалу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин" (номер держреєстрації 0101U000700) і "Аналітичні та геометричні проблеми комплексного аналізу " (номер держреєстрації 0106U000156).

Мета і завдання дослідження.

Метою дисертації є дослідження властивостей узагальнено опуклих множин та знаходження різних зв'язків їх з проблемами аналізу, геометрії та топології.

Об'єктом дослідження є опуклі та узагальнено опуклі множини та деякі топологічні характеристики: зв'язність, лінійна зв'язність, ациклічність, компактність тощо. Предметом дослідження є геометричні, топологічні та аналітичні характеристики вказаних множин.

Для досягнення зазначених цілей в роботі було поставлено такі задачі:

1. Знайти аналог теореми про гомеоморфність відкритій кулі узагальнено опуклої області з гладкою межею (яка вірна при деяких припущеннях як в дійсному, так і в комплексному випадках).

2. Дослідити можливість розкладу голоморфної функції багатьох змінних , в рівномірно збіжний ряд "найпростіших" дробів

,

які є аналогом найпростіших дробів на комплексній площині, введених Є.Долженко.

3. Розв'язати узагальнену проблему Мізеля про коло (довільна опукла крива на площині, для якої не існує жодного прямокутника, який має точно три свої вершини на кривій, є колом) для класу об'єктів, ширшого ніж клас опуклих кривих. опуклий голоморфний мізель коло

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають в такому:

1. Доведено, що межа пошарово опуклої обмеженої області в Rⁿ з гладкою межею є когомологічною сферою, тобто має групи когомологій, ізоморфні групам когомологій сфери S^n-1, і є топологічною сферою S^n-1 при n > 4.

2. Доведено, що функцію , голоморфну на лінійно опуклому компакті K, який можна апроксимувати ззовні послідовністю регулярних обмежених лінійно опуклих областей , можна розкласти в ряд дробів, що рівномірно збігається в .

3. Розв'язана узагальнена проблема Мізеля для компактних множин в Rⁿ. А саме, доведено, що компактна множина в Rⁿ, що задовольняє умову прямокутника і межа якої ділить простір Rⁿ на декілька компонент, є сферою.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи та методика їх отримання можуть бути використані при вивченні питань опуклого аналізу, томографії, стереології, теорії апроксимацій функцій багатьох комплексних змінних.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, постановка задач, а також допомога в розв'язуванні деяких з них належать науковому керівникові - доктору фіз.-мат. наук Ю.Б.Зелінському. Доведення всіх основних результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено особисто автором. Всі результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

- семінарах відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук Ю.Б. Зелінський);

- семінарі відділу топології (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України В.В. Шарко);

- семінарі відділу теорії диференціальних рівнянь та теорії коливань (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, академік НАН України А.М. Самойленко);

- міжнародній науковій конференції International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis - Київ, 25 - 30 вересня 2005 року;

- міжнародній науковій конференції Bogolubov readings 2007, Житомир- Київ, 19 серпня - 2 вересня 2007 року;

Також вони були представлені в доповідях наукового керівника Ю.Б. Зелінського на:

- міжнародній науковій конференції Applied Complex and Quaternionic Approximation vs. Finslerian structures, Bedlevo, 18 - 25 July 2006;

- математичній школі The Winter Diffiety School, Kostroma, Russia, 1 - 12 February 2007.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в статтях [1- 3] у наукових фахових виданнях з переліку, що затверджений ВАК України, а також в матеріалах міжнародних конференцій [4,5].

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 75 найменувань(на 10 сторінках). Повний обсяг дисертації становить 120 сторінок. Для її оформлення використано видавничу систему LaTeX.

Подяки. Користуючись нагодою, висловлюю щиру і глибоку вдячність моєму науковому керівникові Юрію Борисовичу Зелінському за постановку задач, постійну увагу, підтримку і допомогу в роботі та членам семінару з комплексного аналізу Інституту математики за цінні вказівки та поради.

Основний зміст

У першому розділі дисертаційної роботи наведено допоміжні відомості, огляд літератури та основних результатів дисертації.

В другому розділі дисертаційної роботи введено узагальнення лінійної опуклості в Rⁿ, а саме, лінійну опуклість відносно множини W. Ідея узагальнення полягає в тому, що множину всіх гіперплощин (або m-площин), яка фігурує в означенні лінійної опуклості (або лінійної m-опуклості), замінено на деяку множину W лінійних підмноговидів в Rⁿ, інваріантну щодо дії групи.

Для таких множин введено поняття спряженої множини, опуклої оболонки, слабкої опуклості. Доведено ряд тверджень, які залишаються справедливими як для класичної, так і для узагальненої опуклості.

Означення 1.1.1 Множина називається опуклою, якщо разом із двома своїми точками вона містить і відрізок, що їх з'єднує.

Іншими словами, множина опукла, якщо її перетин з довільною прямою зв'язний. Поруч із цим означенням існує поняття лінійної опуклості.

Означення 1.1.2 Множина називається лінійно опуклою, якщо через будь-яку точку доповнення до неї проходить гіперплощина, яка дану множину не перетинає.

Іншими словами, множина лінійно опукла, якщо доповнення до неї є об'єднанням гіперплощин.

Означення 1.1.3 Множина називається опуклою відносно множини W афінних лінійних підмноговидів в Rⁿ, якщо її доповнення до Rⁿ є об'єднанням елементів з W.

Означення 1.1.4 Для довільної множини назвемо підмножину спряженою до множини E, якщо не перетинає , відповідно (остання формула коректна, оскільки кожен елемент множини W є підмножиною Rⁿ).

Відомо, що обмежена комплексно лінійно опукла область з гладкою межею гомеоморфна кулі. Аналогічний результат отримано для узагальненої опуклості. Для пошарово опуклої області з гладкою межею в Rⁿ доведено, що її межа є топологічною сферою при n=3, n > 4 і має групи когомологій, ізоморфні групам когомологій сфери S^n-1 при n = 4, а отже, є когомологічною сферою. Така неповнота доведення пов'язана з тим, що проблема Пуанкаре на теперішній момент розв'язана тільки для розмірності не менше чотирьох. Але якщо вірне останнє доведення Перельмана, то результат теореми можна покращити.

Теорема 2.3.1 Нехай D - відкрита обмежена зв'язна множина в Rⁿ із гладкою межею класу C¹, опукла відносно сім'ї (2n-2)-вимірних площин, паралельних площині L₀. Тоді її межа ?D є когомологічною сферою S^n-1.

Наслідок 1. Нехай D - відкрита обмежена зв'язна множина в Rⁿ із гладкою межею класу C¹, опукла відносно сім'ї (2n-2)-вимірних площин, паралельних площині L₀. Тоді її межа ?D є топологічною сферою S^n-1 при n > 4.

Наслідок 2. Нехай - D відкрита обмежена зв'язна множина в Rⁿіз гладкою межею класуC¹, опукла відносно сім'ї W₁. Якщо D не має спільних точок з деякою площиною пучка (позначимо її ), тоді її межа ?D є когомологічною сферою S^n-1.

В третьому розділі дисертаційної роботи досліджено можливість розкладу голоморфної функції , в рівномірно збіжний ряд "найпростіших" дробів

,

аналог найпростіших дробів на комплексній площині, введених Є.Долженко.

Розглянемо умови, які досить накласти на множину , при яких довільна функція f(z), голоморфна в , розкладається в M в рівномірно збіжний ряд простих дробів

Сім'ю цих дробів позначимо . Л.А. Айзенберг в 1967 р. довів, що при компактності D для розкладу довільної функції f(z), голоморфної у деякому околі D, у рівномірно збіжний ряд функцій із сім'ї необхідно, щоб зовнішня оболонка голоморфності N(D) (зв'язна компонента сукупності внутрішніх точок оболонки голоморфності ) множини, яка містить область D) була лінійно опуклою, і досить, щоб замикання N(D) було лінійно опуклим компактом.

Означення 3.1.1 Область називається лінійно опуклою, якщо через довільну точку її доповнення проходить хоча б одна комплексна гіперплощина (дійсної розмірності 2n-2).

Означення 3.1.2 Сім'я функцій, голоморфних у деякій обмеженій області, називається повною сім'єю функцій, якщо вона є кільцем цілісності функції , крім всі сталі функції належать сім'ї, а також разом з довільною функцією належать сім'ї і всі її частинні похідні.

Твердження 3.1.1 Будь-яку функцію, голоморфну в обмеженій області D, опуклій відносно сім'ї F, можна як завгодно точно апроксимувати сумами функцій із сім'ї .

Лема 3.2.1 Якщо компакт є перетином монотонної послідовності ациклічних відкритих обмежених множин , то він є ациклічним.

Теорема 3.2.1 Функцію , голоморфну на лінійно опуклому компакті K, який можна апроксимувати ззовні послідовністю регулярних обмежених лінійно опуклих областей D_k, можна розкласти в ряд

,

що рівномірно збігається в int K.

В четвертому розділі дисертаційної роботи розглянуто проблему Мізеля про характеризацію кола за допомогою вписаних прямокутників.

Довільна опукла крива на площині, для якої не існує жодного прямокутника, який має точно три свої вершини на кривій, є колом.

Сформульована задача, яка послідовно, з відповідними уточненнями, розглядалась на протязі останніх 50 років, отримувала свої розв'язки в роботах А. Безиковича, Л. Данцера та Т. Замфиреску. В даному розділі дисертації цю задачу розв'язано в найбільш загальній постановці.

Виявилося, що дана умова прямокутника характеризує коло не тільки в класі опуклих кривих, але і в класі компактів на площині з незв'язним доповненням (Теорема 4.2.1). Також було розв'язано узагальнену задачу для випадку n-вимірного простору (Наслідок 2).

В пункті 4.3 отримано результати при деяких модифікаціях умови прямокутника.

Означення 4.1.1 Множина є опуклою,

якщо разом із двома своїми точками вона містить і відрізок, що їх з'єднує.

Іншими словами множина опукла, якщо її перетин з довільною прямою зв'язний. Поруч із цим визначенням існує поняття лінійної опуклості.

Означення 4.1.2 Множина називається лінійно опуклою, якщо через будь-яку точку доповнення до неї проходить пряма, яка дану множину не перетинає

Іншими словами, множина лінійно опукла, якщо доповнення до неї є об'єднанням прямих.

Означення 4.1.3 Множина задовольняє умову прямокутника, якщо не існує жодного прямокутника, у якого точно три вершини лежать на даній множині. Іншими словами, якщо три вершини прямокутника належать M, тоді і його четверта вершина належить M}

Лема 4.1.1 Нехай г --- дуга опуклої кривої, яка містить всередині себе початок координат. Якщо в кожній точці дуги г існує опорна пряма, перпендикулярна радіус-вектору цієї точки, то г є дугою кола.

Теорема 4.2.1 Кожна компактна множина у на площині, що задовольняє умову прямокутника (якщо три вершини прямокутника належать у, тоді й четверта вершина належить у) і межа якої ділить площину на декілька компонент, є опуклою кривою.

Вимога компактності множини викликана методом доведення теореми, а без вимоги розбиття площини на компоненти клас таких множин істотно розширюється.

Наприклад, умову прямокутника задовольняють такі множини.

Приклад 4.2.7 Множина із трьох точок на площині така, що трикутник з вершинами в цих точках є гострокутним. Тоді не існує жодного прямокутника з трьома вершинами на множині.

Приклад 4.2.8 Дуга кола, радіанна величина якої менше р.

Аналогічно попередньому прикладу, не існує жодного прямокутника з трьома вершинами на цій множині.

Приклад 4.2.9 Множина .

Теорема 4.2.2 Гладка опукла крива г, що задовольняє умову прямокутника, є колом.

Наслідок 1. Компактна множина у на площині, що задовольняє умову прямокутника (якщо 3 вершини прямокутника належать у, то й четверта вершина належить у) і межа якої ділить площину на декілька компонент, є колом.

Наслідок 2. Компактна множина ф в Rⁿ, що задовольняє умову прямокутника і межа якої ділить простір Rⁿ на кілька компонент, є сферою.

Теорема 4.3.1 Опукла обмежена поверхня ф в просторі при умові, що для кожної прямокутної ламаної з вершинами на поверхні ф всі інші вершини асоційованого з ламаною прямокутного паралелепіпеда також належать ф, є геометричною сферою.

Твердження 4.3.1 Якщо при довільному паралельному переносі образ замкненої жорданової кривої г перетинає саму криву г не більш ніж по двох точках, тоді крива г є опуклою.

Лема 4.3.1 Множина у на площині, яка у співвідношенні з довільним колом або перетинається з ним не більш ніж у двох точках, або містить його, є або колом, або всією площиною.

Твердження 4.3.2 Якщо при довільному повороті навколо довільної точки образ опуклої кривої г перетинає саму криву г не більш ніж у двох точках, то крива г є колом.

Висновки

Дисертація присвячена дослідженню поняття опуклості.Знайдено аналог теореми про гомеоморфність відкритій кулі узагальнено опуклої області з гладкою межею (яка вірна при деяких припущеннях як в дійсному, так і в комплексному випадках). А саме, доведено, що межа пошарово опуклої обмеженої області в Rⁿ з гладкою межею є когомологічною сферою, тобто має групи когомологій, ізоморфні групам когомологій сфери S^n-1 і є топологічною сферою при .

Досліджено можливість розкладу голоморфної функції багатьох змінних , в рівномірно збіжний ряд "найпростіших" дробів , які є аналогом найпростіших дробів на комплексній площині, введених Є.Долженко. Доведено, що функцію , голоморфну на лінійно опуклому компакті K, який можна апроксимувати ззовні послідовністю регулярних обмежених лінійно опуклих областей D_k, можна розкласти в ряд дробів , що рівномірно збігається в int K.

Розв'язана узагальнена проблема Мізеля для компактних множин в . А саме, доведено, що компактна множина ф в , що задовольняє умову прямокутника і межа якої ділить простір на кілька компонент, є сферою.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

[1] Ткачук М.В. Характеризація кола типу Безиковича-Данцера// Доповіді НАН України. - 2006. - №10. - С. 40-41.

[2] Зелинский Ю.Б.Ткачук М.В. О приближении функций многих комплексных переменных простыми дробями// Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2005. - Т. \textbf{2}, №3. - С.130-136.

[3] Зелинский Ю.Б. Ткачук М.В. О послойной линейной выпуклости// Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - Т. \textbf{3}, №4. - С.366-373.

[4] Ткачук М.В. О характеризации окружности типа Безиковича--Данцера // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis (Kiev, September 25-30, 2005): Abstr.- Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005.- P.62.

[5] Zelinskii Yu.B. Tkachuk M.V. On the fiber linear convexity// Bogolubov Readings 2007 Dedicated to Yu.A. Mitropolskii on the Occasion of His 90-th Birthday (Zhitomir-Kiev, 19 August - 2 September 2007): Abstr.- Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007.- P.58-59.

Анотації

Ткачук М. В. Локальні та глобальні характеристики узагальнено опуклих множин. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз.- Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню властивостей узагальнено опуклих множин та знаходження різних зв'язків їх з проблемами аналізу, геометрії та топології.

Доведено, що межа пошарово опуклої обмеженої області в Rⁿ з гладкою межею є когомологічною сферою, тобто має групи когомологій ізоморфні групам когомологій сфери S^n-1, і є топологічною сферою S^n-1 при n > 4. Також досліджено можливість розкладу функції , голоморфної на лінійно опуклому компакті K, який можна апроксимувати ззовні послідовністю регулярних обмежених лінійно опуклих областей D_k, в ряд "найпростіших" дробів.

Крім цього, розв'язана узагальнена проблема Мізеля для компактних множин в Rⁿ: доведено, що компактна множина ф в Rⁿ , що задовольняє умову прямокутника і межа якої ділить простір Rⁿ на кілька компонент, є сферою.

Ключові слова: характеризація кола, найпростіші дроби, апроксимація функцій багатьох змінних, лінійна опуклість, опорна пряма.

Ткачук М. В. Локальные и глобальные характеристики обобщенно выпуклых множеств. - Рукопись. - Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.01.01 - математический анализ.- Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена исследованию свойств обобщенно выпуклых множеств и нахождению разнообразных связей их с проблемами анализа, геометрии и топологии.

Доказано, что граница послойно выпуклой ограниченной области в Rⁿ с гладкой границей является когомологической сферой, т.е. имеет группы когомологий, изоморфные группам когомологий сферы S^n-1, и является топологической сферой S^n-1 при n > 4. Также исследована возможность разложения функции , голоморфной на линейно выпуклом компакте K, который можно аппроксимировать извне последовательностью регулярных ограниченных линейно выпуклых областей D_k, в ряд "простейших" дробей. Кроме того, решена обобщенная проблема Мизеля для компактных множеств в Rⁿ: доказано, что компактное множество ф в Rⁿ, которое удовлетворяет условию прямоугольника и граница которого делит пространство Rⁿ на несколько компонент, является сферой.

Остановимся подробнее на основных результатах диссертации.

Теорема 3.2.1 Функцию , голоморфную на линейно выпуклом компакте K, который можно аппроксимировать извне последовательностью регулярных ограниченных линейно выпуклых областей D_k, можно разложить в ряд

равномерно сходящийся в int K.

Теорема 2.3.1 Пусть D - открытое ограниченное связное множество в Rⁿ с гладкой границей класса C¹, выпуклое относительно семьи (2n-2)-мерных плоскостей, параллельных плоскости L₀. Тогда его граница ?D является когомологической сферой S^n-1.

Следствие. Пусть D - открытое ограниченное связное множество в Rⁿ с гладкой границей класса C¹, выпуклое относительно семьи (2n-2)-мерных плоскостей, параллельных плоскости L₀. Тогда его граница ?D является топологической сферой S^n-1 при n > 4.

Теорема 4.2.1 Каждое компактное множество у на плоскости, которое удовлетворяет условию прямоугольника (если три вершины прямоугольника принадлежат у , то и четвертая вершина принадлежит у) и граница которого делит плоскость на несколько компонент, является выпуклой кривой.

Следствие 1. Компактное множество у на плоскости, которое удовлетворяет условию прямоугольника (если три вершины прямоугольника принадлежат у, то и четвертая вершина принадлежит у) и граница которого делит плоскость на несколько компонент, является окружностью.

Следствие 2. Компактное множество ф в Rⁿ, которое удовлетворяет условию прямоугольника и граница которого делит пространство Rⁿ на несколько компонент, является сферой.

Ключевые слова: характеризация окружности, простейшие дроби, аппроксимация функций многих комплексных переменных, линейная выпуклость, опорная прямая.

Tkachuck M.V. Local and global characteristics of convex sets. - Manuscript. - The thesis is presented for a scientific degree of candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.01. - mathematical analysis.

- Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to research of properties of generalized convex sets and finding of various connections them with problems of analysis, geometry and topology.

It is proved that the boundary of a fiber convex bounded domain in Rⁿ with smooth boundary is a cohomological sphere, i.e. it has the cohomology groups isomorphic to the cohomology groups of the sphere S^n-1, and it is gomeomorphic to a sphere S^n-1 for n > 4.

We also studied representation in the form of series of the most "elementary" fractions of function of many complex variables golomorphic on a linearly convex compact K, which it is possible to approximate from outside by the sequence of regular bounded linearly convex domains D_k.

Except for that the generalized Mizel's problem decided for the compact sets in Rⁿ: it is proved that compact set ф in , which satisfy condition of rectangle and which border separates space Rⁿ on at least two components, is a sphere.

Keywords: characterization of a circle, the elementary fractions, approximation of functions of many complex variables, linear convexity.

Размещено на Allbest.ru

...