Теореми про нормальний граничний розподіл числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі

Характеристика знаходження умов збіжності розподілу числа розв’язків сумісної системи нелінійних випадкових рівнянь у полі до нормального розподілу. Особливість функції поділу непередбаченої величини. Аналіз зростання числа нульових компонент рішення.

Рубрика Математика
Вид автореферат
Язык украинский
Дата добавления 25.09.2015
Размер файла 29,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

УДК.519.21

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ТЕОРЕМИ ПРО НОРМАЛЬНИЙ ГРАНИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ЧИСЛА ХИБНИХ РОЗВ'ЯЗКІВ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ ВИПАДКОВИХ РІВНЯНЬ У ПОЛІ GF(2)

СЛОБОДЯН СВІТЛАНА

ЯРОСЛАВІВНА

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики

Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Масол Володимир Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України

Великий Анатолій Павлович, Інститут підприємництва та сучасних технологій (м. Житомир), професор, науковий консультант кафедри економічної кібернетики. доктор фізико-математичних наукКурченко Олександр Олексійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться “19” травня 2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ-22, просп. академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “15” квітня 2008 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження розподілів числа розв'язків систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченними алгебраїчними структурами тісно пов'язано з практичними задачами, які виникають в теорії кодування та захисту інформації від несанкціонованого доступу, теорії тестування генераторів псевдовипадкових чисел, теорії розпізнавання тощо.

У перших публікаціях, які присвячені системам нелінійних випадкових рівнянь над полем, що складається з двох елементів, розглядалися питання оцінювання імовірності існування єдиного розв'язку зазначених систем. Це роботи Коваленка І.М. (1971), Балакіна Г.В. (1973). У подальшому у публікаціях Коваленка І.М. і Левитської А.О. (1993), Масола В.І. (1993, 1995-1998, 2005), Міхайлова В.Г. (1998) та інших авторів знайдені умови збіжності розподілу числа хибних розв'язків системи (тобто розв'язків системи, які відмінні від деякого фіксованого розв'язку, що має назву “істинний розв'язок”) до пуассонівського розподілу.

Проблема збіжності до нормального розподілу нормованого числа зазначених розв'язків залишалася поза увагою фахівців, оскільки пов'язана зі значними аналітичними труднощами. Тому актуальними є дослідження шляхів вирішення цієї проблеми.

Один з них базується на використанні метричної модифікації методу моментів (запропонованого Зубковим А.М. (1979)) і знайшов своє втілення для спеціальних систем нелінійних випадкових рівнянь над полем в роботах Міхайлова В.Г. (1998, 2000). Інший - на дослідженнях збіжності до нормального розподілу нормованої суми залежних випадкових індикаторів, проведеному Амбросімовим О.С. (1976), і реалізований для систем лінійних випадкових рівнянь над полем у публікаціях Копитцева В.О. (2000, 2002).

Водночас, актуальними є також проблеми пошуку умов збіжності розподілу нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь загального виду над полем до нормального розподілу. Це пов'язано з необхідністю проведення як теоретичних досліджень, так і розв'язування конкретних прикладних задач.

Концепція використання результатів дисертації може полягати в наступному. Розподіли числа хибних розв'язків та певних нелінійних функціоналів від нього знаходять використання в алгоритмах пошуку розв'язків детермінованої системи нелінійних рівнянь над полем для визначення моменту зупинки зазначеного пошуку та оцінювання використаних при цьому ресурсів. Ця концепція лежить у руслі сучасних розробок, викладених у роботах Коваленка І.М. (1993), Великого А.П. (1992, 2004, 2006), Курченка О.О. (2002).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 06БФ038-03 “Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем”, яка входить до програми “Математичні проблеми природознавства та економіки” (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченними алгебраїчними структурами для ефективного та широкого використання результатів цієї теорії в прикладних задачах (зокрема, криптоаналізу, кодування інформації та захисту її від несанкціонованого доступу та ін.).

Основні задачі дослідження:

знаходження умов збіжності розподілу числа розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових рівнянь у полі до нормального розподілу при умові, що число ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи зростає із зростанням числа її невідомих;

знаходження умов збіжності розподілу числа розв'язків системи до нормального розподілу при умові, що у вихідній системі з додатною ймовірністю існує лінійна частина;

знаходження умов збіжності розподілу числа розв'язків системи до нормального розподілу при умові, що число нульових компонент істинного розв'язку даної системи зростає із зростанням числа її невідомих.

Методика дослідження. В дисертаційній роботі для розв'язання сформульованих задач використовуються результати і методи теорії ймовірностей, комбінаторного та математичного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

отримано теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за умови зростання числа ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи із зростанням числа її невідомих ;

отримано теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків зазначеної системи за умови наявності в ній з додатною ймовірністю лінійної частини;

отримано теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за умови, що при.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне спрямування та є внеском в розвиток теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченним полем. Вони можуть знайти практичне застосування при розв'язуванні прикладних задач теорії захисту інформації від несанкціонованого доступу, у галузях, де використовуються системи випадкових рівнянь над скінченним полем.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував чотири наукові статті у співавторстві з науковим керівником професором Масолом В.І., в яких Масолу В.І. належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів.

Результати дисертації доповідались та обговорювались на

Міжнародній конференції "International conference modern problems and new trends in probability theory" (Чернівці, 2005);

Міжнародній конференції "Сучасна стохастика: теорія і застосування", присвяченої 60-річчю кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики та пам'яті М.Й.Ядренка (Київ, 2006);

Міжнародній конференції "9th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics" (Vilnius, Литва, 2006);

XIII Всеросійській школі-колоквіумі із стохастичних методів (Йошкар-Ола, Росія, 2006);

Міжнародній конференції "Простір Скорохода. 50 років потому." (Київ, 2007);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2007);

постійно діючому науковому семінарі "Проблеми сучасної криптології" (Київ, Національний технічний університет "Київський політехнічний інститут", 2008).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 9 наукових праць [1] - [9]. З них чотири статті в фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, [1] - [4], та п'ять тез [5] - [9] у матеріалах міжнародних конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, який містить 65 найменувань. Повний обсяг роботи становить 150 сторінок.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи, визначено мету і завдання дослідження, висвітлено методи, наукову новизну, теоретичне та практичне значення дослідження, особистий внесок здобувача, апробацію отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями. Також висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, які отримані іншими авторами.

У другому розділі отримано нормальний граничний розподіл нормованого числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі при певних обмеженнях, зокрема, на розподіли коефіцієнтів, на кількість ненульових компонент істинного розв'язку системи. Для встановлення даних результатів використано метричну модифікацію методу моментів та явний вигляд -го факторіального моменту числа хибних розв'язків системи для довільного.

Перейдемо до строгого формулювання задачі.

Розглянемо систему рівнянь

у полі, яка задовольняє умову (А).

Умова (А):

коефіцієнти незалежні випадкові величини,;

функція невипадкова,;

елементи результат підстановки в ліву частину системи (1 фіксованого вимірного (0,1)- вектора, який має ненульових компонент.

Розв'язок будемо називати істинним розв'язком, а будь-який розв'язок системи (1) хибним, якщо.

Позначимо сукупність розв'язків системи (1), кожен з яких відмінний від і має не менше ніж ненульових компонент, тобто для, де. Для числа усіх розв'язків системи (1), які належать множині, введемо позначення.

Нехай і деяке число таке, що, де - знак цілої частини. Зазначимо, що в умовах теорем, які розглядаються в розділах 2-4, має місце співвідношення при. Основними результатами другого розділу є теореми про нормальний граничний розподіл випадкової величини, де, за умови зростання кількості ненульових компонент істинного розв'язку вихідної системи (1), при.

Тут - число розв'язків системи (1), які відмінні від розв'язку

Теорема 2.1.1. Нехай виконуються умови (А), при

де функція набуває цілих значень,

Тоді функція розподілу випадкової величинипрямує при до стандартної нормальної функції розподілу. сумісний нелінійний рівняння функція

Теорема 2.1.2. Нехай виконуються умови та має місце умова (8) для

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Особливістю теорем 2.1.1 та 2.1.2 є припущення про існування принаймні одного коефіцієнта у кожному рівнянні системи (1), який набуває значення 0 та 1 з ймовірністю, що прямує до і має порядок нелінійності не менше, ніж 2. Порядком нелінійності коефіцієнта рівняння системи (1) називається число у записі цього кое, У свою чергу, відмінність цих теорем 2.1.1 та 2.1.2 полягає у припущеннях на парамет (див. умову(2) теореми 2.1.1 та умову (11) теореми 2.1.2), що обумовило різні інтервали для значень функції. Зазначимо також, що в умовах теорем 2.1.1 та 2.1.2 функція може не залежати від параметру.

На відміну від цього в наступних двох теоремах при, що дало можливість послабити умови на розподіли коефіцієнтів системи (1) для отримання нормального граничного розподілу випадкової величини

Теорема 2.1.3. Нехай виконуються умови (при

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теорема 2.1.4. Нехай виконуються у

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Відмінність теорем 2.1.3 та 2.1.4 полягає в різних припущеннях на параметр (див. умову(12) теореми 2.1.3 та умову (18) теореми 2.1.4) і, як наслідок цього, появу різних інтервалів для значень порядку нелінійності коефіцієнтів кожного рівняння, розподіли яких задіяні в умовах (16), (17) теореми 2.1.3 та в умовах (19), (20) теореми 2.1.4 для однієї і тієї ж функції.

При обґрунтуванні теорем як другого розділу, так і наступних розділів використовується явний вигляд го факторіального моменту, , випадкової величини, а також наступні допоміжні твердження, які представляють самостійний інтерес.

Лема 2.2.1. Нехай та - випадкові величини, які приймають цілі невід'ємні значення. Якщо

Тут і далі запис позначає -й факторіальний момент випадкової величини.

Лема 2.2.2. Нехай та - випадкові величини, які приймають цілі невід'ємні значення, для деякої сталої, і при то

Введемо деякі позначення та співвідношення.

Нехай - попарно-відмінні - вимірні - вектори, що не співпадають з

Введемо наступне означення.

Означення 2.1.1. - це кількість одиниць (нулів) розміщених на тих і тільки тих позиціях в усіх векторах, на яких в усіх вектор розміщені нулі (одиниці).

Лема 2.2.3. Якщо виконується умова (А), то для де скорочений запис наступного набору обмежень:, Доведення леми 2.2.3 виконується аналогічно доведенню теореми 1 робот], здійсненого для значення параметра.

Третій розділ присвячений отриманню нормального граничного розподілу нормованого числа розв'язків системи (1) за умови наявності в кожному рівнянні системи з додатною ймовірністю лінійної частини та при певних обмеженнях на розподіли лінійних коефіцієнтів та розподіли коефіцієнтів з порядком нелінійності Основними результатами третього розділу є теореми 3.1.1 та 3.1.2, в яких одержано нормальний граничний розподіл нормованого числа хибних розв'язків вихідної системи за наявності в ній лінійної частини.

Теорема 3.1.1. Нехай виконуються умови для довільного існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих мають місце умови

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теорема 3.1.2. Нехай виконуються умови , при для довільного існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих мають місце умови (

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теореми третього розділу відрізняються між собою припущеннями на параметр, на розподіл лінійних коефіцієнтів та порядок зростання функції. При доведенні теорем 3.1.1 та 3.1.2 істотно використовуються леми 2.2.2, 2.2.3, а також наступні леми.

Лема 3.2.1. Якщо виконуються умови (3), (25) - (27), то має місце співвідношення

Лема 3.2.2. (Масол В.І., 1993) Для цілих додатних та такого цілого що,

Четвертий розділ містить теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за умови, що,. Результати четвертого розділу отримані при деяких обмеженнях на порядок нелінійності та розподіли коефіцієнтів системи (1), а кількість ненульових компонент кожного з хибних розв'язків цієї системи не менше,. Основними результатами четвертого розділу є наступні теореми.

Теорема 4.1.1. Нехай виконуються умови для довілього існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих, для якої мають місце умови (6),(7).

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теорема 4.1.2. Нехай виконуються умови (при

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи (1) в теоремі 4.1.1 отримано за умови, що у кожному рівнянні існують доданки з порядком нелінійності від 2 до, де зростає із зростанням, на відміну від теореми 4.1.2, у якій функція може бути фіксованою. В теоремах 4.1.1 та 4.1.2 також припускається, що кожне рівняння системи (1) містить принаймні один коефіцієнт, який приймає значення 0 та 1 з ймовірністю, що прямує до і має порядок нелінійності не менше, ніж 2.

Теорема 4.1.3. Нехай виконуються умови (при і для довільного існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих мають місце ум) та Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теорема 4.1.4. Нехай виконуються умови (А), (3), (4), (10), при

для довільного існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих мають місце умови

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

В теоремах 4.1.3 та 4.1.4 припускається, що обмеження на розподіли коефіцієнтів з порядком нелінійності дещо ширші порівняно із теоремами 4.1.1 та 4.1.2. Відмінність теорем 4.1.3 та 4.1.4 полягає в різних припущеннях на параметр і, як наслідок цього, появу різних інтервалів для значень порядку нелінійності коефіцієнтів кожного рівняння, розподіли яких задіяні в умові (30) теореми 4.1.3 та в умові (31) теореми 4.1.4 для однієї і тієї ж функції.

При доведенні теорем четвертого розділу використовуються наступні допоміжні твердження.

Лема 4.2.1. Нехай мають місце умови (22) та (23). Тоді має місце нерівність

Лема 4.2.2. Нехай мають місце умови (23) та (24).Тоді має місце нерівність У висновках здійснено перелік основних результатів дисертаційної роботи з зазначенням загальних умов, які використовувалися при доведенні.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над пол В даній роботі досліджується розподіл числа розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових рівнянь

Отримано нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь над полем у припущенні:

число ненульових компонент фіксованого розв'язку, цієї системи зростає із зростанням числа її невідомих (розділ 2);

існування в системі з додатною ймовірністю лінійної частини (розділ 3);

зростання числа нульових компонент розв'язку цієї системи із зростанням числа (розділ 4).

Наведено явний вигляд центруючої та нормуючої функцій у кожній граничній теоремі. При доведенні результатів дисертації використано узагальнення леми про метричну модифікацію методу моментів та явний вигляд -го факторіального моменту числа розв'язків системи для довільного.

Отримані результати представляють як теоретичний, так і практичний інтерес, зокрема, для задач кодування інформації при передачі її каналами зв'язку та захисту інформації від несанкціонованого доступу. Вони можуть бути використані в алгоритмах пошуку розв'язків детермінованих систем нелінійних рівнянь над полем та для оцінювання ресурсів на їх (алгоритмів) реалізацію.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Masol V., Slobodyan S. The normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random equations in the field // Theory of Stochastic Processes. - 2006. - 12(28), № 1-2. - P.116-126.

2. Masol V., Slobodyan S. On the asymptotic normality of the number of false solutions of a system of nonlinear random Boolean equations // Theory of Stochastic Processes. - 2007. - 13 (29), № 1-2. - P. 144-151.

3. Масол В.І., Слободян С.Я., Про збіжність до нормального розподілу числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових булевих рівнянь // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2007. - № 76. - P. 105-116.

4. Масол В. І., Слободян С. Я. Про збіжність до нормального розподілу числа хибних розв'язків системи випадкових булевих рівнянь, яка має лінійну частину // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер. матем і інформ. - 2007. - № 14. - С.65-79.

5. Масол В.И., Слободян С. Я. Граничні розподіли числа фальшивих розв'язків системи нелінійних випадкових булевих рівнянь // International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory. Abstracts. Chernivtsi, June 19-26, 2005. - Vol. II. - P. 27-28.

6. Масол В.І., Слободян С. Я. Про асимптотичну нормальність числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь в полі // International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications. Conference Materials. Київ, 19-23 червня 2006. - C. 56-57.

7. Masol V., Slobodian S. Conditions of convergence to the normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random equations in the field // 9th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, Lithunia, June 25-30, 2006. - P. 228-229.

8. Масол В.И., Слободян С. Я. Нормальное предельное распределение числа ложных решений системы нелинейных случайных булевых уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва: ТВП. - 2006. -Т. 13, Вып.6. - С. 1034 -1035.

9. Masol V.I., Slobodyan S.Y. On conditions of convergence to the normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random Boolean equations // Skorokhod Space. 50 Years On International conference. Abstracts. Kyiv, June 17-23, 2007. - Book 2, Sect. 7-8. - P. 129-130.

АНОТАЦІЯ

Слободян С.Я. Теореми про нормальний граничний розподіл числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над полем. У даній роботі досліджується розподіл числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі.

Отримано нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за різних припущень на розподіли коефіцієнтів системи та порядки їх нелінійності, кількість ненульових компонент істинного розв'язку. Встановлені теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків зазначеної системи за умов зростання числа ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи із зростанням числа невідомих ; наявності в системі з додатною ймовірністю лінійної частини; зростання числа при.

При доведенні результатів дисертації використано узагальнення леми про метричну модифікацію методу моментів та явний вигляд -го факторіального моменту числа розв'язків системи для довільного.

Отримані результати представляють як теоретичний, так і практичний інтерес, зокрема, для задач кодування інформації при передачі її каналами зв'язку та захисту інформації від несанкціонованого доступу.

Ключові слова: нормальний розподіл, нелінійні рівняння, поле

Слободян С.Я. Теоремы о нормальном предельном распределении числа ложных решений системы нелинейных случайных уравнений в поле . - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Теория систем нелинейных случайных уравнений над конечными полями начала формироваться в конце 60-х годов ХХ столетия в связи с потребностями задач распознавания, защиты информации от несанкционированного доступа, оценивания затрат на поиски решений указанных систем.

В первую очередь исследования коснулись вопроса существования и единственности решения систем нелинейных случайных уравнений над полем, состоящем из двух элементов. Затем внимание специалистов сосредоточилось на выяснении условий, обеспечивающих сходимость распределения числа решений систем нелинейных случайных уравнений над полем к распределению Пуассона. Так, было установлено, что предельное пуассоновское распределение появляется при наличии, в частности, в уравнениях с положительной вероятностью коэффициентов, порядок нелинейности которых не превосходит при, где - число неизвестных.

Для теории систем нелинейных случайных уравнений и ее приложений актуальными являются проблемы поиска иных (не только пуассоновских) предельных распределений числа решений исходной системы. Принципиальная возможность получения нормального предельного распределения нормированного числа решений системы нелинейных случайных уравнений над полем следует из публикаций Зубкова А.М. (1979), Масола В.И. (1993), Михайлова В.Г. (1998). Конкретная реализация этой возможности - основная задача данного диссертационного исследования.

При решении поставленных задач использовались результаты и методы теории вероятностей, комбинаторики, математического анализа.

В диссертации рассматривается заведомо совместная система нелинейных уравнений над полем, коэффициенты при неизвестных в которой - независимые случайные величины с распределениями, зависящими от номера уравнения и порядка нелинейности самого коэффициента. Одно из решений системы объявляется истинным, остальные - ложными. Относительно истинного решения предполагается, что оно, во-первых, имеет ненулевых компонент и, во-вторых, результат подстановки в систему этого решения дает свободные члены системы.

Все результаты диссертации получены в предположении, что каждое уравнение исходной системы имеет с положительной вероятностью коэффициент, порядок нелинейности которого превышает или равен 2, а также в предположении, что математическое ожидание числа решений системы уравнений растет с ростом

Во всех теоремах указан явный вид центрирующей и нормирующей функции. Этот вид меняется в зависимости от параметра и некоторых иных параметров. Так, в теоремах второй (четвертой) главы предполагается, что при (). В теоремах третьей главы отсутствует ограничение на, но при этом вводится условие существования с положительной вероятностью линейных слагаемых в каждом уравнении системы. В рамках каждой из глав 2, 3 и 4 теоремы отличаются между собой ограничениями на распределения коэффициентов системы, на порядки коэффициентов, которые с положительной вероятностью должны присутствовать в уравнениях. Отметим, что указанные порядки нелинейности не превышают при.

Ключевые слова: нормальное распределение, нелинейные уравнения, поле.

Slobodian S.Y. Theorems on a normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random equations in the field. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to the further development of the theory of systems of nonlinear random equations over the field. Distribution of the number of solutions of a system of nonlinear random equations in the field is investigated in the thesis.

The normal limit distribution of the normalized number of solutions of a system of nonlinear random equations in the field at various restrictions on distributions of coefficients of a system and the orders of their nonlinearity, quantity of nonzero components of a true solution are obtained. Theorems on a normal limit distribution of the normalized number of solutions of such system under conditions of increase of the number of nonzero components of a true solution of this system with increase of the number of its unknowns ; at presence of a linear part in the system with positive probability; the increase of the number at are proved.

The generalization of the lemma on a metric modification of a method of moments and the explicit expression for -factorial moment of the number of solutions of a system for an arbitrary are used for proof of results of the thesis.

Obtained results are both of theoretical and practical interest, in particular, for problems of information encoding at transfer by communication channels and guarding against the unauthorized access.

Key words: normal distribution, nonlinear equations, field.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.

    реферат [113,9 K], добавлен 12.03.2011

  • Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.

    курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008

  • Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010

  • Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.

    реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011

  • Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.

    курсовая работа [378,9 K], добавлен 26.12.2010

  • Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.

    курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013

  • Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.

    реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012

  • Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.

    лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014

  • Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.

    презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014

  • Варіаційне числення. Обчислення варіації інтегрального функціонала. Варіаційна задача з рухливими границями. Розв’язання диференційних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу. Варіації розв’язків диференціального рівняння із розривною початковою умовою.

    курсовая работа [7,8 M], добавлен 21.11.2011

  • Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.

    курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019

  • Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.

    реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015

  • Графічний спосіб розв'язку рівнянь. Комбінований метод пошуку та відокремлення коренів. Метод Ньютона (метод дотичних або лінеаризації). Процедура Ейткена прискорення збіжності. Метод половинного поділу та простих ітерацій уточнення коренів рівняння.

    лекция [1,9 M], добавлен 27.07.2013

  • Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.

    презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014

  • Розв'язання системи рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера. Знаходження власних значень і векторів матриці, косинуса кута між векторами. Визначення з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у магазині. Диференціювання функцій.

    контрольная работа [104,7 K], добавлен 06.03.2013

  • Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології. Виведення системи визначальних рівнянь, розв'язання отриманої системи визначальних рівнянь (симетрій Лі). Побудова анзаців максимальних алгебр інваріантності математичної моделі хемотаксису.

    дипломная работа [1,9 M], добавлен 09.09.2012

  • Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.

    курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014

  • Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.

    задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.