Похідні Гельфонда-Леонтьєва та формальні степеневі ряди

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.53

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПОХІДНІ ГЕЛЬФОНДА-ЛЕОНТЬЄВА ТА ФОРМАЛЬНІ СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Волох Олександр Анатолійович

Львів - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор ШЕРЕМЕТА Мирослав Миколайович, завідувач кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ВИННИЦЬКИЙ Богдан Васильович, завідувач кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка;

кандидат фізико-математичних наук, доцент ЗВОЗДЕЦЬКИЙ Тарас Іванович, доцент кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Захист відбудеться 23 жовтня 2008 р. о 1500 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова , 5).

Автореферат розісланий 22 вересня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С. І. Тарасюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Як теорія цілих функцій, так і теорія аналітичних в одиничному крузі функцій розвиваються у двох напрямках: з одного боку досліджуються проблеми, які стосуються всього класу цілих чи аналітичних в функцій, а з іншого - виділяється той чи інший підклас функцій і вивчаються його властивості. З появою у 1940 р. замітки Р. Боаса у комплексному аналізі почав розвиватися новий напрям досліджень - цілі функції однолистими в похідними. Р. Боас довів, що якщо - ціла функція експоненціального типу і щонайбільше скінченна кількість її похідних є однолистими в, то - многочлен. Дослідження функцій з однолистими в похідними продовжили С. Шах, С. Трімбле, М.М. Шеремета, А.А. Гольдберг та інші математики. Зокрема, С. Шах довів, що якщо аналітична в функція і всі її похідні є однолистими в, то - ціла функція експоненціального типу, а М.М.Шеремета, спростовуючи одну гіпотезу С.Шаха, вказав необхідну і достатню умову на зростаючу послідовність натуральних чисел, за якої з однолистості в всіх похідних випливає, що - ціла функція. Виникло природне питання, чи можна у теоремах С.Шаха і М.М.Шеремети замінити однолистість на -листість у середньому.

Основним фактом, використаним у доведенні теорем С.Шаха і М.М.Шеремети, є доведена Луї де Бранжем гіпотеза Бібербаха, а оскільки безпосереднім узагальненням похідної є похідна Гельфонда-Леонтьєва , то М.М.Шеремета перейшов до вивчення умов на додатні функцію і послідовність , за яких з умови для всіх і , накладеної на коефіцієнти похідних Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, випливає, що цей ряд задає цілу функцію. При цьому він вивчив можливе зростання таких цілих функцій у термінах порядку і типу. Актуальним стало дослідження умов на тейлорові коефіцієнти похідних Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, за яких цей ряд має додатний радіус збіжності і, отже, задає аналітичну в крузі збіжності функцію. Природним є вивчення можливого зростання цієї функції.

Асимптотичне поводження послідовності радіусів однолистості звичайних похідних аналітичної в деякому крузі функції вивчали Р.Боас, Н.Левінсон, Д.Пойа, С.Шах, С.Трімбле та інші автори. Для похідних Гельфонда-Леонтьєва подібні результати отримано у статтях С.Шаха та С.Трімбле. Дещо осібно у цьому рядку стоять результати М.М.Шеремети. С.Шах і С.Трімбле вивчали залежність поводження послідовності від лакунарності степеневого розвинення функції , а для похідних Гельфонда-Леонтьєва таку ж задачу розв'язували Г.Капур, О.Джунеджа та Ж.Патель. У зв'язку з наведеними фактами виникла потреба узагальнити теорему М.М.Шеремети і довести одну його гіпотезу, а також отримати такий аналог цієї теореми, який би враховував лакунарність степеневого розвинення функції .

Для ряду Діріхле з показниками та абсцисою абсолютної збіжності поводження послідовності максимальних членів похідних суми цього ряду для фіксованого і при вивчив М.М.Шеремета. Для степеневого розвинення аналітичної в деякому крузі функції поводження послідовності і тим паче послідовності не досліджувалось, і така задача є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами науково• роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Дослідження виконані в рамках держбюджетної теми Мг-223Ф "Аналітичні функції, ряди Діріхле та їх узагальнення" (номер держреїстрації: 0104 U 002127).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної праці є дослідження формальних степеневих рядів та їх похідних Гельфонда-Леонтьєва.

Об'єктом дослідження є формальні степеневі ряди, аналітичні в одиничному крузі функції та цілі функції.

Предметом дослідження є умови на похідні Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, за яких цей ряд буде збіжним у тому чи іншому околі початку координат, а також поводження максимальних членів похідних Гельфонда-Леонтьєва цілих та аналітичних в одиничному крузі функцій.

Задачі дослідження:

отримати необхідні і достатні умови на похідні Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, за яких цей ряд буде збіжним в околі початку координат, а для функцій, аналітичність яких в одиничному крузі або в усій комплексній площині випливає з отриманих результатів, вивчити можливе зростання;

узагальнити теореми С.Шаха та М.М.Шеремети про цілі функції з однолистими в похідними на випадок -листих у середньому похідних;

уточнити та узагальнити раніше відомі результати про радіуси однолистості послідовних похідних Гельфонда-Леонтьєва;

для цілих та аналітичних в функцій дослідити поводження максимальних членів степеневих розвинень їх похідних Гельфонда-Леонтьєва. гельфонд леонтьєв радіус однолистість

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач використовуються методи математичного та комплексного аналізу і деякі прийоми з праць М.М.Шеремети.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати дисертації є новими. У роботі вперше:

отримано необхідні і достатні умови на похідні Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, за яких цей ряд буде збіжним в околі початку координат, а для функцій, аналітичність яких в одиничному крузі або в усій комплексній площині випливає з отриманих результатів, вивчено можливе зростання;

узагальнено теореми С.Шаха та М.М.Шеремети про цілі функції з однолистими в похідними на випадок -листих у середньому похідних;

уточнено та узагальнено раніше відомі результати про радіуси однолистості послідовних похідних Гельфонда-Леонтьєва;

для цілих та аналітичних в функцій досліджено поводження максимальних членів степеневих розвинень їх похідних Гельфонда-Леонтьєва.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у теорію цілих та аналітичних в одиничному крузі функцій. Їх можна використати у загальній теорії функцій комплексної змінної та суміжних розділах математики.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримано автором самостійно. В опублікованих спільно з М.М.Шереметою статтях співавтору належать постановка задач та обговорення отриманих результатів. У спільній статті з С.І.Фединяком отримані результати належать співавторам в однаковій мірі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на

міжнародній конференції "Геометрична топологія та її застосування" (Львів, 26-30 травня 2004 року);

міжнародній конференції "Математичний аналіз і суміжні питання" (Львів, 17-20 листопада 2005 року);

міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 року);

міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Львові (Львівський національний університет, керівники - проф. А.А. Кондратюк і проф. О.Б. Скасків).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 10 статтях і наукових повідомленнях (2 без співавторів), з яких 6 (2 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених у перелік ВАК України, в яких слід опублікувати результати дисертації.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, який займає 7 сторінок і включає 55 найменувань. Загальний обсяг праці становить 139 сторінок.

ВИСНОВКИ

У дисертації отримано необхідні та достатні умови на похідні Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, за яких цей ряд є збіжним у тому чи іншому околі початку координат, а для функцій, аналітичність яких в одиничному крузі або в усій комплексній площині випливає з отриманих результатів, вивчено можливе зростання.

Узагальнено теореми С.Шаха та М.М.Шеремети про цілі функції з однолистими в похідними на випадок -листих у середньому похідних.

Уточнено та узагальнено раніше відомі результати про радіуси однолистості послідовних похідних Гельфонда-Леонтьєва, зокрема доведено висловлену в 1995 році гіпотезу М.М.Шеремети. Показано, як лакунарність степеневого ряду впливає на поводження радіусів однолистості його похідних Гельфонда-Леонтьєва.

Для цілих та аналітичних в функцій досліджено поводження максимальних членів степеневих розвинень їх похідних Гельфонда-Леонтьєва.

Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у теорію цілих функцій та аналітичних в одиничному крузі функцій. Їх можна використати у загальній теорії функцій комплексної змінної та суміжних розділах математики.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Волох О.А. Про формальні степеневі ряди, похідні Гельфонда-Леонтьєва яких задовольняють спеціальну умову / О.А. Волох, С.І. Фединяк // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. - 2004. - Вип. 63. - С. 44-47.

2. Волох О.А. Про формальні степеневі ряди, похідні Гельфонда-Леонтьєва яких задовольняють спеціальну умову / О.А. Волох, М.М. Шеремета // Математичні студії. - 2004. - T. 22, N 1. - C. 87-93.

3. Volokh O.A. On a Convergence of Formal Power Series Under a Special Condition on the Gelfond-Leont'ev Derivatives / O.A. Volokh, M.M. Sheremeta // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry.- 2007.- V. 3, N 2.- P. 241-252.

4. Волох O.А. Про радіуси однолистості похідних Гельфонда-Леонтьєва / О.А. Волох // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 62-66.

5. Волох O.А. Зростання аналітичних функцій за певних умов на їх похідні Гельфонда-Леонтьєва / О.А. Волох, М.М. Шеремета // Крайові задачі для диференціальних рівнянь, Зб. наукових праць.- 2006.- В. 13.- С. 261-268.

6. Волох O.А. Про послідовності максимальних членів похідних Гельфонда-Леонтьєва цілої функції / О.А. Волох, М.М. Шеремета // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2007.- Т.50, N 3.- C. 120-128.

7. Волох О.А. Про цілі функції з -листими в одиничному крузі похідними / О.А. Волох // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. - 2007. - Вип. 67. - С. 53-58.

8. Про радіуси однолистості похідних Гельфонда-Леонтьєва лакунарних степеневих рядів: тези доповідей, 17-20 листопада 2005 р., Львів. / відп. за випуск І.Е. Чижиков.- Львів.: ЛНУ ім. І.Франка, 2005.- С. 113-114.

9. On formal power series with a condition on Gelfond-Leont'ev derivatives: Book of Abstracts, May 26-30, 2004, Lviv. / responsible for the issue M. Zarichnyi.- Lviv.: Ivan Franko National University of Lviv, 2004.- P. 69-71.

10. Про збіжність формальних степеневих рядів за спеціальної умови на похідні Гельфонда-Леонтьєва: тези доповідей, 24-28 вересня 2007 р., Дрогобич / відп. за випуск Р.М. Пляцко.- Львів.: НАН України, Ін-т прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача, 2007.- С. 58.

АНОТАЦІЯ

Волох О.А. Похідні Гельфонда-Леонтьєва та формальні степеневі ряди. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

У дисертації отримано необхідні та достатні умови на похідні Гельфонда-Леонтьєва формального степеневого ряду, за яких цей ряд є збіжним у тому чи іншому околі, а для функцій, аналітичність яких в одиничному крузі або в усій комплексній площині випливає з отриманих результатів, вивчено можливе зростання. Узагальнено теореми С.Шаха та М.М.Шеремети про цілі функції з однолистими в похідними на випадок -листих у середньому похідних. Уточнено та узагальнено раніше відомі результати про радіуси однолистості послідовних похідних Гельфонда-Леонтьєва, зокрема доведено висловлену в 1995 році гіпотезу М.М.Шеремети. Показано, як лакунарність степеневого ряду впливає на поводження радіусів однолистості його похідних Гельфонда-Леонтьєва. Для цілих та аналітичних в функцій досліджено поводження максимальних членів степеневих розвинень їх похідних Гельфонда-Леонтьєва.

Ключові слова: ціла функція, аналітична в одиничному крузі функція, похідна Гельфонда-Леонтьєва, формальний степеневий ряд, радіус однолистості, у середньому -листа функція.

АННОТАЦИЯ

Волох А.А. Производные Гельфонда-Леонтьева и формальные степенные ряды. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2008.

Диссертация состоит из введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников.

В первом разделе "Обзор литературы и основных результатов диссертации" приведены результаты С. Шаха, С. Тримбле, А.А. Гольдберга и М.Н. Шереметы о целых функциях с однолистными в единичном круге производными, М.Н. Шереметы о формальных степенных рядах, призводные Гельфонда-Леонтьева которых удовлетворяют специальным условиям, а также результаты С. Шаха, С. Тримбле о поведении радиусов однолистности обычных производных, Г. Капуры , О. Джунеджа, Ж. Пателя и М.Н. Шереметы о поведении радиусов однолистности производных Гельфонда-Леонтьева. Приведены основные результаты диссертации.

В разделе 2 "Формальные степенные ряды с условием на производные Гельфонда-Леонтьева" найдены условия на производные Гельфонда-Леонтьева формального степенного ряда, при которых этот ряд сходится в некоторой окрестности начала координат, а также показано, что теоремы С. Шаха и М.Н. Шереметы о целых функциях с однолистными в единичном круге производными остаются правильными и для функций с -листными в среднем производными.

В разделе 3 "Радиусы однолистности и максимальные члены последовательных производных Гельфонда-Леонтьева" получены результаты о поведении радиусов однолистности последовательных производных Гельфонда-Леонтьева аналитических функций, представленных степенными рядами, в частности, лакунарными степенными рядами. Исследовано поведение последовательности максимальных членов степенных разложений производных Гельфонда-Леонтьева как для целых, так и для аналитических в единичном круге функций.

Ключевые слова: целая функция, аналитическая в единичном круге функция, производная Гельфонда-Леонтьева, формальный степенной ряд, радиус однолистности, в среднем -листная функция.

ABSTRACT

Volokh O.A. Gelfond-Leont'ev derivatives and formal power series. Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2008.

In thesis necessary and sufficient conditions are obtained on Gelfond-Leont'ev derivatives of formal power series for which these power series converge in some disc, and possible growth of the function, analyticity of which in the unit disc or in а complex plane follows from obtained results, is investigated. Theorems of Shah and Sheremeta on entire functions with univalent in the unit disc derivatives are generalized for the case of mean -valent derivatives. The results known before about radii of univalence of successive Gelfond-Leont'ev derivatives are specified and generalized, in particular the Sheremeta's hypothesis stated in 1995 is proved. Influence of lacunarity of power series on the behaviour of radii of univalence of its Gelfond-Leont'ev derivatives is shown. For entire and analytic in the unit disc functions the behaviour of maximal terms is investigated.

Key words: entire function, analytic in the unit disc function, Gelfond-Leont'ev derivative, formal power series, radius of univalence, mean -valent function.

Размещено на Allbest.ru