Метод задачі Рімана–Гільберта в теорії обернених задач та інтегровних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нацiональна академiя наук України

Фiзико-технiчний iнститут низьких температур ім. Б.I. Вєркiна

УДК 517.958

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Метод задачі рімана-гільберта в теорії обернених задач та інтегровних рівнянь

01.01.03 - математична фізика

Шепельський Дмитро Георгійович

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис електромагнітний факторизація інтегрування

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Базалій Борис Васильович, Інститут прикладної математики та механіки НАН України (м. Донецьк), головний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор Нижник Леонід Павлович, Інститут математики НАН України (м. Київ), головний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна (м. Харків) зав. кафедрою математичної фізики

Захист відбудеться 24 грудня 2008 р. о 11 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.I. Вєркiна НАН України за адресою: пр. Леніна, 47, м. Харків, 61103.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.I. Вєркiна НАН України за адресою: пр. Леніна, 47, м. Харків, 61103.

Автореферат розісланий 20 листопада 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Горькавий В.А.

Загальна характеристика роботи

Дисертаційна робота присвячена розробці математичного апарату, що базується на застосуванні та аналізі задач аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта, для дослідження обернених задач розсіяння та розробки методу оберненої задачі розсіяння для початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь.

Актуальність теми. Задача Рімана-Гільберта (РГ) у своїй первісній постановці формулюється як питання про сюр'єктивність відображення монодромії у теорії систем диференціальних рівнянь Фукса. Одночасно з дослідженнями цієї задачі (і в значній мірі незалежно від розв'язання задачі Рімана-Гільберта як такої), розвивався потужний аналітичний апарат для вирішення задач у різних областях математики, що одержав назву методу задачі Рімана-Гільберта. Згідно цього методу, конкретна задача зводиться до факторизаційної задачі відновлення аналітичної, скалярно- або векторнозначної функції в комплексній площині, за заданим стрибком її значень уздовж заданої кривої.

Згідно традиції, що склалася в математичній фізиці, саме такі проблеми ми будемо називати задачами Рімана-Гільберта (зазначимо, що задача Рімана-Гільберта про монодромію є спеціальним випадком задачі Рімана-Гільберта про факторизацію). Таким чином, у математичній фізиці, задача Рімана-Гільберта розглядається як аналітичний засіб аналізу конкретних задач, застосування якого, однак, зовсім не є раз і назавжди алгоритмічно заданим; навпаки, вирішення конкретних типів задач вимагає застосування специфічних аналітичних ідей. У дисертаційній роботі ряд таких ідей запропонований і систематично застосовується для двох великих класів задач, а саме: обернених задач розсіяння, що виникають у теорії електромагнетизму, і крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь. Обставиною, що поєднує ці класи задач, є центральна роль оберненої задачі розсіяння (яка для задач другого класу відіграє роль заміни змінних, що лінеаризує задачу).

У теорії обернених задач електромагнетизму, метод задачі Рімана-Гільберта тісно пов'язаний з методом вирішення оберненої задачі розсіяння, який базується на застосуванні операторів перетворення та побудові й аналізі основного інтегрального рівняння: основою обох методів є детальний аналіз аналітичних властивостей рішень відповідних диференціальних рівнянь як функцій спектрального параметра. Фундаментальні результати у розвитку теорії обернених задач були отримані В.О. Марченком, І.М. Гельфандом, Б.М. Левітаном для рівняння Штурма-Ліувілля. Це рівняння також є модельним у випадку поширення хвиль у простих неоднорідних середовищах. До задач електромагнітного зондування ці методи були застосовані А.Н. Тихоновим і Л. Каньяром. Надалі, увагу привернула проблема поширення такого підходу до задач одночасного визначення декількох функцій, що моделюють різні фізичні характеристики середовища. У цьому напрямку одними з перших були роботи М. Жолана і К. Жана, а подальший розвиток метод одержав у роботах Є.Я. Хруслова. При переході до дослідження більш складних, багатопараметричних задач з'ясувалося, що підхід, в основі якого лежить конструкція задачі аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта, має більшу гнучкість і дозволяє єдиним чином досліджувати різноманітні обернені задачі в спектральній області. У цій області актуальним видається розвиток метода у напрямку дослідження фізично важливих задач, пов'язаних з конструюванням матеріалів з заданими властивостями у широкому діапазоні частот.

Метод оберненої задачі розсіяння для інтегрування нелінійних рівнянь, у якому центральну роль грає вирішення оберненої задачі розсіяння для відповідного лінійного оператора, первісно виник для рівнянь, для яких відповідним лінійним оператором також є рівняння Штурма-Ліувілля (або одновимірне рівняння Шредінгера). Тут перші фундаментальні результати були отримані К. Гарднером, Дж. Гріном, М. Краскалом, Р. Міурой, які набули свого подальшого розвитку і глибокого осмислення у роботах П. Лакса, С.П. Новікова, В.Є. Захарова, А.Б. Шабата, А.Р. Ітса. Починаючи з робіт А.Б. Шабата на початку 70-х років 20-го століття, поширюється усвідомлення корисності формулювання оберненої задачі розсіяння у вигляді задачі Рімана-Гільберта, що дає можливість ефективно аналізувати обернені задачі для рівнянь високих матричних порядків. Ця область досліджень одержала подальший розвиток у роботах Р. Білса, Р.Р. Койфмана, Дж. Джоу. Результатом інтенсивних досліджень, початих у роботах В.Є. Захарова, С.В. Манакова, М. Абловіца, Х. Сегура, В.Ю. Новокшенова з'явилося розуміння того, що асимптотична оцінка розв'язку параметризованої задачі Рімана-Гільберта, коли параметри задачі прямують до нескінченності (до такої задачі зводиться, зокрема, задача про опис асимптотики за великим часом розв'язків початкової задачі для інтегровних нелінійних еволюційних рівнянь), має (найвищою мірою нетривіальну) аналогію з асимптотичною оцінкою осциляційних контурних інтегралів за допомогою класичного методу найшвидшого спуску. Ці дослідження, кульмінацією яких стали роботи П. Дейфта і Дж. Джоу початку 90-х років минулого століття, оформилися в остаточному підсумку в нелінійний метод найшвидшого спуску для осциляційних задач Рімана-Гільберта. У цьому напрямку актуальним є поширення метода на початково-крайові задачі, які мають природний фізичний сенс задач про дослідження хвиль, що примусово генеруються на краю області, де розповсюджуються ці хвилі.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали основу роботи, проводились у відділі математичного моделювання фізичних процесів у відповідності з темами „Асимптотичні методи дослідження розв'язків початково-крайових задач” (1995-1999 р.р., номер д.р. 0196U002942), „Дослідження асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь” (2000-2002 р.р., номер д.р. 0100U004486), „Прямі та обернені задачі розповсюдження хвиль у мікронеоднорідному середовищі” (2003-2005 р.р., номер д. р. 0103U000314), „Динамічні системи і спектральна теорія диференціальних та різницевих операторів” (з 2006 р., номер д. р. 0106U002558), а також у межах проекту УНТЦ №1498 „Проблеми макроскопічного аналізу, реконструкції та синтезу середовищ зі складною мікроструктурою” (2001-2002 р.р.).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова послідовного аналітичного методу для дослідження обернених задач розсіяння, що виникають у теорії розповсюдження електромагнітних хвиль, та побудова теорії інтегрування початково-крайових задач методом оберненої задачі розсіяння.

Об'єктом дослідження є рівняння розповсюдження електромагнітних хвиль у стратифікованих середовищах, що характеризуються багатьма параметрами, а також нелінійні рівняння, які мають пару Лакса.

Предметом дослідження є задачі реконструкції у теорії розсіяння для звичайних диференціальних рівнянь, що виникають в теорії розповсюдження електромагнітних хвиль, розв'язки нелінійних рівнянь та їх асимптотична поведінка за великим часом.

Основними задачами дослідження є:

* розробка універсального аналітичного підходу до обернених задач розсіяння в теорії розповсюдження електромагнітних хвиль,

* встановлення теорем єдиності реконструкції параметрів складних середовищ за даними розсіяння,

* побудова теорії інтегрування початково-крайових задач для нелінійних рівнянь методом оберненої задачі розсіяння,

* характеризація крайових значень розв'язків початково-крайових задач для нелінійних рівнянь у спектральних термінах та безпосередньо у вихідних термінах,

* опис асимптотичної поведінки за великим часом розв'язків початкових та початково-крайових задач для нелінійних рівнянь.

Методи дослідження: у дисертації розроблено метод аналітичної факторизації, заснований на задачі Рімана-Гільберта, для аналізу обернених спектральних задач для систем диференціальних рівнянь високого порядку у випадку складної залежності від спектрального параметру. Цей метод універсально застосовується як до задач реконструкції матеріальних параметрів середовищ за даними розсіяння, так і до аналізу початково-крайових задач для нелінійних рівнянь. У процесі розробки методу використовувались теорія рівнянь Фредгольма, теорія сингулярних інтегральних рівнянь, теорія звичайних диференціальних рівнянь, теорія розсіяння, спектральна теорія. Для дослідження асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних рівнянь, використовується метод аналізу задач Рімана-Гільберта з даними, що швидко осцілюють, у розробці якого застосовуються асимптотичні методи аналізу експоненціальних інтегралів, спеціальні функції математичної фізики, методи теорії аналітичних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати, здобуті в дисертації, є новими.

У теорії розповсюдження електромагнітних хвиль уперше отримані такі результати:

* запропоновано й обґрунтовано універсальний аналітичний метод дослідження задач визначення параметрів електромагнітних стратифікованих середовищ за даними розсіяння;

* доведено теорему єдиності для стратифікованого анізотропного середовища та побудовано алгоритм реконструкції такого середовища;

* доведено теореми єдиності для ліній передач з втратами у випадках наявності та відсутності жорсткого відбиву;

* доведено теореми єдиності для кирального середовища у випадках нормального та похилого падіння хвилі, що збуджує;

* доведено теореми єдиності та побудовано алгоритми реконструкції для анізотропного середовища, що має одновісну симетрію;

* одержана характеризація єдиності реконструкції параметрів дисперсійного кирального середовища у випадку однорезонансної моделі дисперсії Лоренца;

* доведено теорему єдиності та побудовано алгоритми реконструкції дисперсійного - хвильоводу;

* одержана характеризація єдиності реконструкції параметрів дисперсійного - середовища у випадку одно - та багаторезонансної моделі дисперсії Лоренца.

У теорії нелінійних інтегровних рівнянь уперше отримані такі результати:

* побудовано теорію інтегрування початково-крайових задач для модифікованих рівнянь Кортевега-де Фріза (МКдФ) двох типів на півосі та на скінченому інтервалі;

* одержана характеризація крайових значень для початково-крайової задачі для нелінійного рівняння Шредінгера на півосі;

* запропоновано метод інтегрування початково-крайових задач для рівняння синус-Гордон на скінченому інтервалі;

* розроблено метод інтегрування початкової та початково-крайової задачі для рівняння Камаси-Хольма (КХ) на основі оберненої задачі розсіяння у формі задачі Рімана-Гільберта;

* описано асимптотику за великим часом розв'язків початково-крайової задачі для рівняння МКдФ;

* одержано повний опис асимптотичної поведінки розв'язків початкової та початково-крайової задачі для рівняння КХ.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені методи можуть бути застосовані у напрямках побудови ефективних методів реконструкції та синтезу електромагнітних середовищ, дослідження різних класів початково-крайових задач, дослідження поведінки розв'язків нелінійних рівнянь у різних асимптотичних режимах.

Результати, що отримані в дисертації, можуть бути корисними у дослідженнях в галузі математичної фізики, що проводяться у Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України ім. Б.І. Вєркіна (м. Харків), в Інституті математики НАН України (м. Київ), у Санкт-Петербурзькому відділенні Математичного інституту ім. В.А. Стєклова РАН, в Інституті математики ім. С.Л.Соболєва Сибірського відділення РАН (м. Новосибірськ), на механіко-математичному факультеті Харківського національного університету ім. В.М. Каразіна, а також в Університеті Париж-7 (м. Париж, Франція), у Математичному інституті Куранта (м. Нью-Йорк, США), у Кембриджському університеті (м. Кембридж, Велика Британія).

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримано автором особисто та самостійно. З робіт, виконаних у співавторстві, на захист виносяться положення, одержані здобувачем. Зокрема, особисто дисертантом запропоновано новий підхід до дослідження обернених задач розсіяння для моделей без дисперсії параметрів [1-9, 18] та для моделей з дисперсією [10-12], запропоновано застосування методу задачі Рімана-Гільберта для реалізації методу оберненої задачі розсіяння для початково-крайових задач для нелінійних рівнянь МКдФ та синус-Гордон [13, 15, 16, 19, 21] та для рівняння Камаси-Хольма [17, 20-24], впроваджено ідею використання операторів перетворення для характеризації крайових значень нелінійних рівнянь [14, 19], отримано формули, що описують асимптотичну поведінку рівняння МКдФ [15] та рівняння Камаси-Хольма [22-24]. В. Фенченку належить чисельне моделювання в задачах реконструкції параметрів середовища в [18]. Порівняння методу задачі Рімана-Гільберта з іншими методами для дослідження нелінійних рівнянь проводились разом з А. Буте де Монвель та А. Фокасом. Адаптація методу до обернених задач з розривами параметрів виконувалась разом з Д. Шином.

Апробація результатів. Матеріали дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах математичного відділення ФТІНТ НАНУ, семінарах у Математичному інституті Жюсьє (Париж, Франція), у Математичному інституті Куранта (Нью-Йорк, США), а також були представлені на міжнародних конференціях: Inverse Problems of Wave Propagation and Diffraction (Aix-les-Bains, Франція, 1996), International Congress of Mathematicians ICM 1998 (Berlin, 1998), Fourth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave propagation (Golden, USA, 1998), The Second Applied Mathematics Forum (Kyongju, South Korea, 1998), IVth Int. Seminar/Workshop “Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory” DIPED-99 (Львів, 1999), Int. Conf. on Analysis and Mathematical Physics in Honour of Lars Garding (Lund, Sweden, 1999), Journйes semi-classiques (Reims, France, 2000), Int. Akhiezer Centenary Conference “Theory of Functions and Mathematical Physics” (Харків, 2001), Inverse Problems and Nonlinear Equations (Харків, 2002), International Congress of Mathematicians ICM 2002 (Beijin, 2002), European Symposium on Numeric Methods in Electromagnetics JEE'02 (Toulouse, France, 2002), Йquations aux Dйrivйes Partielles LMPA (Calais, France, 2005), Lyapunov Memorial Conference (Харків, 2007), The Theory of Highly Oscillating Problems (Cambridge, UK, 2007), 32nd SIAM Southeastern-Atlantic Section Conference (Orlando, USA, 2008).

Публікації. Результати, одержані у дисертації, опубліковані у 24 статтях у фахових міжнародних виданнях [1-24] та у матеріалах міжнародних конференцій [25-30].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, трьох додатків та переліку використаних джерел. Основний об'єм дисертації складає 286 сторінок, перелік використаних джерел займає 22 сторінки та складається з 219 найменувань. Повний об'єм дисертації складає 334 сторінки.

Основний зміст роботи

У першому розділі дисертації окреслено сучасний стан застосування методу задачі Рімана-Гільберта в теорії розповсюдження електромагнітних хвиль, теорії інтегрування рівнянь, що мають представлення у термінах пари Лакса, та для побудови асимптотик розв'язків таких рівнянь за великим часом.

У розділах 2 та 3 розробляється метод задачі Рімана-Гільберта для аналізу обернених задач розсіяння у моделях розповсюдження електромагнітних хвиль у складних стратифікованих середовищах, які характеризуються тим, що відповідні параметри середовища являються функціями лише однієї просторової змінної - напрямку стратифікації. Головна увага приділяється побудові аналітичного апарату, універсальність якого послідовно демонструється при роботі з широким колом моделей, визнаних у теоретичній та експериментальній електродинаміці. При цьому кожна розглянута модель має свої специфічні властивості, що потребують застосування специфічних аналітичних ідей. Головною метою застосування апарату, що розвивається, є конструктивне доведення результатів про єдиність реконструкції параметрів середовищ (або характеризація відсутності єдиності).

У другому розділі досліджуються обернені задачі для бездисперсних моделей електромагнітних середовищ, у яких матеріальні параметри не залежать від частоти поля.

У підрозділі 2.1 надано загальну характеристику розповсюдження хвиль у стратифікованому середовищі.

У підрозділі 2.2 вивчається задача реконструкції параметрів анізотропного середовища, макроскопічною моделлю якого є рівняння стану

де тензори діелектричної та магнітної проникностей мають відповідно вигляд

У цьому випадку, рівняння розповсюдження хвиль, що витікають з рівнянь Максвела (у випадку збудження гармонійною хвилею частоти )

розглянутих разом з рівняннями стану, зводяться до векторного рівняння відносно дотичних компонент поля, яке має таку структуру:

(1)

де

а функції, що входять до коефіцієнтів цього рівняння, є певними комбінаціями матеріальних параметрів середовища. Дані виміру розсіяного поля інтерпретуються в термінах матриці (розміром 4х4) розсіяння як функції частоти, яка пов'язує розв'язки Йоста рівняння (1).

Обернена задача розсіяння полягає в реконструкції параметрів середовища за даною матрицею розсіяння. Розглядаються два випадки: нормального та похилого падіння плоскої хвилі, що збуджує. Загальним результатом є те, що у випадку похилого падіння, дані розсіяння є більш інформативними, ніж у випадку нормального.

У випадку нормального падіння, задача розпадається на дві задачі розсіяння меншої розмірності (2х2), що дозволяє застосувати процедуру реконструкції, яка базується на інтегральних рівняннях оберненої задачі для системи Захарова-Шабата. Основний результат стосовно єдиності реконструкції дає

Теорема 2.1. У випадку нормального падіння, дві незалежні функції просторової змінної однозначно визначаються двома скалярними коефіцієнтами відбитку.

У випадку похилого падіння, виникає потреба у розробці повного формалізму прямої та оберненої задачі (розмірності 4х4), у рамках якого застосовується побудова задачі Рімана-Гільберта (РГ)

де матриця стрибка будується за даними розсіяння і є параметризованою зовнішнім (по відношенню до задачі РГ) двокомпонентним параметром .

Результатом аналізу задачі РГ є

Теорема 2.2. У випадку похилого падіння, три незалежні функції просторової змінної однозначно визначаються повними даними розсіяння.

У підрозділі 2.3 розглянуто задачу реконструкції параметрів лінії передачі зі втратами, що характеризується чотирма параметрами:

Аналізуються окремо два випадки: коли параметри скінченої неоднорідної лінії на її кінцях неперервно відповідають параметрам спряжених необмежених однорідних ліній, та коли мають місце стрибки параметрів у точках спряження. У першому випадку, теорема єдиності має таку форму:

Теорема 2.3. Двосторонній відгук лінії однозначно визначає дві функції, які є комбінаціями параметрів лінії, як функції часу проходження.

У другому випадку, відгук лише з одного боку є достатнім для відтворення тієї ж кількості інформації відносно параметрів лінії (Теорема 2.4).

У підрозділі 2.4 розглядається задача відновлення параметрів кирального середовища, рівняння стану якого вміщують, разом зі звичайними характеристиками - діелектричною та магнітною проникностями, - незвичайні, що відповідають за ефекти „зчеплення” електричного та магнітного полів:

де є мірою киральности середовища (chiral parameter), а - міра „невзаємності” (nonreciprocity). У цьому випадку, первісним рівнянням для дотичних компонент поля є

де

Подібно до ситуації підрозділу 2.3, похиле падіння () дозволяє відновити однозначно більше функцій, ніж нормальне (). Так, у випадку нормального падіння, знову маємо однозначне відновлення двох параметрів. З іншого боку, у випадку похилого падіння, має місце

Теорема 2.5. Матриця розсіяння, доповнена константами та , однозначно визначає функції , , та .

Конструкція відповідної задачі РГ базується на двох факторизаціях різної природи: алгебраїчній факторизації приведеної матриці розсіяння на трикутні фактори

та аналітичній факторизації, у комплексній площині , у якій задіяні відповідним чином виділені розв'язки основного диференціального рівняння прямої задачі:

де , ,

Аналітична факторизація трактується як задача РГ, а її розв'язок при , який розглядається як функція допоміжних параметрів, що замінюють , дає інформацію, достатню для однозначного визначення всіх параметрів середовища.

У підрозділі 2.5, матеріальні тензори середовища мають вигляд



де -- вектор локальної оптичної осі, . У рамках цієї моделі, кількість параметрів, що можуть буди визначені однозначно, суттєво залежить від того, відрізняються чи ні, на даному відрізку в області неоднорідності, власні значення матриці коефіцієнтів основного рівняння прямої задачі:

Зокрема, у випадку , теорема 2.6 стверджує про можливість однозначного визначення п'яти комбінацій семи матеріальних параметрів.

У третьому розділі предметом дослідження є моделі з дисперсією, у яких матеріальні параметри залежать також від частоти, за законом відповідно вибраної моделі дисперсії. У якості закону дисперсії приймається модель Лоренца з одним або кількома резонансами.

У підрозділі 3.1, моделлю середовища є киральна модель з дисперсією Лоренца з однією парою резонансів:

У рамках оберненої задачі, вважається відомим характер дисперсії, тобто параметри та , а реконструкції підлягають коефіцієнти (у даному випадку, чотири функції) як функції просторової змінної.

Характерною рисою моделей з дисперсією є наявність полюсів, у скінченій частині площини , у матриці коефіцієнтів основного диференціального рівняння прямої задачі. Ця обставина ускладнює дослідження аналітичних властивостей розв'язків. Тим не менш, і у цьому випадку вдається реалізувати основну ідею методу, тобто побудувати розв'язки, що мають добре контрольовану поведінку поблизу полюсів.

Такі розв'язки будуються окремо поблизу кожного полюса, як розв'язки модифікованих рівнянь розповсюдження хвиль. Для великих , рівняння мають вигляд

де матриця коефіцієнтів

має асимптотичний вигляд де при .

З іншого боку, поблизу полюсу (і аналогічно поблизу ), трансформоване рівняння має вигляд

Теореми 6.2-6.5. У напівплощині , можна виділити 4 сектора, що задаються параметром , у яких розв'язок початкової задачі для рівняння Камаси-Хольма має якісно різні поведінки, коли : ; ; ; . А саме,

* при (), поводить себе, як суперпозиція одно-солітонних розв'язків, кожний з яких має параметричне представлення

де

а - функція, зворотна до

* при ,

де , - функції змінної , які визначаються у термінах коефіцієнта відбиття , що відповідає початковій умові :

де .

* при ,

де , , - функції , подібні до наведених для попереднього сектору;

* при , швидко спадає до 0.

У підрозділі 6.3, нелінійний метод найшвидшого спуску застосовується для асимптотичного аналізу задачі Рімана-Гільберта, що відповідає випадку початково-крайової задачі для рівняння Камаси-Хольма. У цьому випадку, одержано формули для головних членів асимптотики, подібні до випадку задачі на всій осі, але у виразах для коефіцієнтів у цих формулах задіяні спектральні функції, що відповідають як початковим, так і крайовим умовам. Зокрема, у солітонній зоні , головний член задається сумою односолітонних розв'язків, параметри яких визначаються усіма спектральними функціями, що відповідають як початковим, так і крайовим умовам:

де ,

,

а зсув фази дається формулою

де , є нулями функції , а . Зазначимо, що у формулі для зсуву фаз, перші два члени подібні тим, що виникають у випадку рівняння КдФ, тоді як інші члени є специфічними для рівняння КХ: вони породжуються зміною шкали на .

У додатках наведено допоміжний матеріал: до підрозділу 2.3, дається доведення теореми 2.4 про єдиність реконструкції параметрів лінії передачі у випадку жорсткого відбиву (додаток 1); до підрозділу 4.4, наведено детальний аналіз глобального співвідношення для рівняння синус-Гордон на скінченому інтервалі (додаток 2); до підрозділу 5.2, дається опис спектральних відображень для початково-крайової задачі для рівняння Камаси-Хольма на півосі (додаток 3).

Висновки

У дисертації побудовано аналітичний апарат, в основі якого лежить задача аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта, який систематично застосовується для дослідження обернених задач для систем диференціальних рівнянь, що виникають у теорії розповсюдження електромагнітних хвиль у неоднорідних стратифікованих середовищах, та дослідження початково-крайових задач для інтегровних нелінійних рівнянь. За допомогою цього апарату:

· Отримано теореми єдиності реконструкції параметрів середовища для моделей, у яких ці параметри є функціями виключно просторової змінної.

· Знайдена характеризація відсутності єдиності у задачі реконструкції параметрів ліній переносу.

· Отримано теореми єдиності реконструкції параметрів середовищ, що характеризуються дисперсією Лоренца матеріальних параметрів, для визнаних моделей киральних та Омега-середовищ.

Ці результати є першими результатами систематичного застосування універсального аналітичного апарату для вивчення питань єдиності реконструкції матеріальних параметрів середовищ у випадках, коли ці середовища мають складну мікроструктуру, яка, на макроскопічному рівні, проявляється у багатопараметричності задач. Розроблений метод може бути ефективно застосований у широкому колі моделей розповсюдження хвиль різного походження, а на його основі можливо будувати чисельні алгоритми реконструкції. Він також дозволяє контролювати питання єдиності чи її відсутності при застосуванні інших методів реконструкції, зокрема, оптимізаційних методів, де нагальною є проблема „вторинних мінімумів”.

Результати дисертації, що стосуються нелінійних рівнянь, належать до двох типів:

· Розроблено метод оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь.

· На основі застосування розробленого методу отримані детальні результати стосовно поведінки за великим часом розв'язків початково-крайових задач.

Результати такого роду одержано як для класичних нелінійних рівнянь типу МкФ, так і для рівняння Камаси-Хольма, що представляє собою відносно нову нелінійну модель розповсюдження хвиль, яка знаходиться у останній час у центрі уваги фізичних та математичних досліджень.

Здобуті результати започаткували регулярне застосування методу оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь. У дисертації виявлено центральну роль глобального співвідношення для характеризації крайових значень розв'язків нелінійних рівнянь. Зокрема, результати аналізу глобального співвідношення вже знайшли застосування у розробці алгоритмів чисельного інтегрування нелінійних рівнянь, у конструкції ідеальних крайових умов, що не відбивають.

На прикладі рівняння Камаси-Хольма, продемонстрована ефективність запропонованого метода оберненої задачі розсіяння для дослідження інтегровних рівнянь у випадках складної структури відповідних лінійних рівнянь пари Лакса, коли є залежність головних членів коефіцієнтів цих рівнянь, поблизу особливих точок відносно спектрального параметра, від просторової та часової змінних. Метод має універсальний характер і може бути безпосередньо застосований до дослідження інших важливих нелінійних рівнянь цього типу, зокрема, рівнянь Дегасперіса-Прочесі, Хантера-Секстона, Вахненко тощо.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Khruslov E., Shepelsky D. Inverse scattering method in electromagnetic sounding theory // Inverse Problems. - 1994. - Vol. 10, No. 1. - P. 1-37.

2. Shepelsky D. The inverse problem of reconstruction of the medium's conductivity in a class of discontinuous and increasing functions // Spectral Operator Theory and Related Topics. Advances in Soviet Mathematics / ed. V.A. Marchenko. - AMS, Providence, 1994. - Vol. 19. - P. 209-232.

3. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for anisotropic media // J. Math. Phys. - 1995. - Vol.36, No. 7. - P. 3443-3453.

4. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Direct and inverse scattering problem for a stratified nonreciprocal chiral medium // Inverse Problems. - 1997. - Vol. 13, No. 2. - P. 239-251.

5. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering approach for stratified chiral media // Lecture Notes in Physics. - 1997. - Vol. 486. - P. 47-57.

6. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for a stratified bi-isotropic medium at oblique incidence // Inverse Problems. - 1998. - Vol. 14, No.1. - P. 29-40.

7. Sheen D., Shepelsky D. Uniqueness in simultaneous reconstruction of multiparameters of a transmission line // Progress in Electromagnetic Research. - 1998. - Vol. 21. - P. 153-172.

8. Sheen D., Shepelsky D. Inverse scattering problem for a stratified anisotropic slab // Inverse Problems. - 1999. - Vol. 15, No. 2. - P. 499-514.

9. Sheen D., Shepelsky D. Uniqueness in a frequency-domain inverse problem of a stratified uniaxial bianisotropic medium // Wave Motion. - 2000. - Vol. 31, No. 4. - P. 371-385.

10. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. A frequency-domain inverse problem for a dispersive stratified chiral medium // J. Math. Phys. - 2000. - Vol. 41, No. 9. - P. 6116-6129.

11. Shepelsky D. A Riemann-Hilbert problem for propagation of electromagnetic waves in an inhomogeneous, dispersive waveguide // Math. Phys. Anal. Geom. - 2000. - Vol. 3, No. 2. - P. 179-193.

12. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Reconstruction of a stratified Omega medium and the associated Riemann-Hilbert Problem // Inverse Problems. - 2002. - Vol. 18, No. 5. - P. 1377-1395.

13. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. The modified KdV equation on a finite interval // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. - 2003. - Vol. 337, No. 8. - P. -522.

14. Boutet de Monvel A., Fokas A., Shepelsky D. The analysis of the global relation for the nonlinear Schroedinger equation on the half-line // Lett. Math. Phys. - 2003. - Vol. 65, No. 3. - P. 199-212.

15. Boutet de Monvel A., Fokas A., Shepelsky D. The mKdV equation on the half-line // J. Inst. Math. Jussieu. - 2004. - Vol. 3, No. 2. - P. 139-164.

16. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Initial boundary value problem for the mKdV equation on a finite interval // Ann. Inst. Fourier. - 2004. - Vol. 54, No.5. - P. 1477-1495.

17. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. The Camassa-Holm equation on the half-line // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. - 2005. - Vol. 341, No. 10. P. 611-616.

18. Shepelsky D., Fenchenko V. Multiparameter reconstruction for a stratified coating on a reflecting support // Inverse Problems in Sci. Engineering. - 2006. - Vol. 14, No.2. - P. 111-127.

19. Boutet de Monvel A., Fokas A., Shepelsky D. Integrable nonlinear evolution equations on a finite interval // Comm. Math. Phys. - 2006. - Vol. 263. - P. -172.

20. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Riemann-Hilbert approach for the Camassa-Holm equation on the line // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. - 2006. - Vol. 343, No. 10. - P. 627-632.

21. Shepelsky D. Riemann-Hilbert methods in integrable systems // Encyclopedia of Math. Phys. - Elsevier, 2006. - P. 429-435.

22. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Riemann-Hilbert problem in the inverse scattering for the Camassa-Holm equation on the line // Probability, Geometry and Integrable Systems. MSRI Publications. - 2007. - Vol. 55. - P. 53-75.

23. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Long-time asymptotics of the Camassa-Holm equation on the line // Integrable Systems, Random Matrices, and Applications. Contemporary Mathematics. - 2008. - Vol. 458. - P. 99-116.

24. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. The Camassa-Holm equation on the half-line: the Riemann-Hilbert approach // Journal of Geometric Analysis. - 2008. -Vol. 18, No. 2. - P. 285-323.

25. Sheen D., Shepelsky D. Inverse scattering problem for stratified uniaxial bianisotropic medium // Proceedings of the 4th Int. Conf. on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation / ed. Joan A. DeSanto. Golden, Colorado, June 1-5, 1998. - Philadelphia: SIAM, 1998. - P. 517-519.

26. Shepelsky D., Sheen D. Inverse problem for a stratified uniaxial bianisotropic medum // Int. Congress of Mathematicians, August 18--27, 1998, Berlin. Abstracts of Short Communications. - Berlin: ICM 1998. - P. 220-221.

27. Shepelsky D. Inverse scattering problem for a stratified dispersive chiral medium //

Proceedings of the IVth Int. Seminar/Workshop „Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory” (DIPED-99). Sept. 20-23, Lviv. - Lviv: Inst. Appl. Probl. Mech. Math NASU, 1999. - P. 28-31.

28. Shepelsky D., Boutet de Monvel A. Riemann-Hilbert problem and frequency-domain inverse problem for a stratified omega medium // Mathematical and
Numerical Aspects of Wave Propagation (Santiago de Compostela, 10-14 juillet 2000), eds. A. Bermudez et al. - Philadelphia, PA: SIAM, 2000. - P. 460-464.

29. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Frequency-domain modeling of inhomogeneous dispersive media: inverse scattering problem // Proceedings of the European Symposium on Numeric Methods in Electromagnetics (JEE'02). Toulouse, 6-8 mars, 2002. - Toulouse: ONERA, 2002. - P. 311-316.

30. Shepelsky D. The Riemann-Hilbert approach to the Camassa-Holm equation // Lyapunov Memorial Conference, June 24-30, 2007, Kharkiv. Book of Abstracts. - Kharkiv: Inst. Low Temp. Phys. Engeneering NASU, 2007. - P. 150-151.

Анотація

Шепельський Д.Г. Метод задачі Рімана-Гільберта у теорії обернених задач та інтегровних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.I. Вєркiна НАН України, Харків, 2008.

Робота присвячена розробці методу задачі Рімана-Гільберта для вирішення обернених задач, що виникають у теорії розповсюдження електромагнітних хвиль у середовищах складної мікроструктури, та побудові методу оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь. Розроблено систематичний підхід, що дозволив доказати теореми єдиності визначення параметрів середовищ за даними розсіяння для широкого класу моделей складних середовищ. Отримано характеризацію крайових значень розв'язків нелінійних рівнянь класичного типу (МКдФ, НУШ, синус-Гордон), а також рівняння Камаси-Хольма, що є представником нового класу інтегровних рівнянь. Одержано детальні асимптотики розв'язків початково-крайових задач за великим часом як для класичних рівнянь (на прикладі рівняння МКдФ), так і для рівняння Камаси-Хольма.

Ключові слова: обернена задача розсіяння, задача Рімана-Гільберта, стратифіковане середовище, нелінійні інтегровні рівняння, асимптотика за великим часом.

Аннотация

Шепельский Д.Г. Метод задачи Римана-Гильберта в теории обратных задач и интегрируемых уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2008.

Работа посвящена разработке метода задачи Римана-Гильберта для решения обратных задач, которые возникают в теории распространения электромагнитных волн в средах сложной микроструктуры, и построению метода обратной задачи рассеяния для анализа начально-краевых задач для нелинейных интегрируемых уравнений. Разработан систематический подход, который позволил доказать теоремы единственности определения параметров сред по данным рассеяния для широкого класса моделей сложных сред. Получена характеризация краевых значений решений нелинейных уравнений классического типа (МКдф, НУШ, синус-Гордон), а также уравнения Камассы-Хольма, представляющего новый класс интегрируемых нелинейных уравнений. Получены асимптотики решений начально-краевых задач при больших временах как для классических уравнений (на примере уравнения МКдф), так и для уравнения Камассы-Хольма.

Ключевые слова: обратная задача рассеяния, задача Римана-Гильберта, стратифицированная среда, нелинейные интегрируемые уравнения, асимптотика при больших временах.

Abstract

Shepelsky D.G. Method of the Riemann-Hilbert problem in the theory of inverse problems and integrable equations. - Manuscript.

The doctoral thesis (in physics and mathematics, specialization 01.01.03 - mathematical physics). B.I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2008.

This work is devoted to the development of the Riemann-Hilbert problem method for solving inverse problems arising in the theory of propagation of electromagnetic waves in media with complex microstructure and to the development of the inverse scattering method for studying initial-boundary value problems for nonlinear integrable equations.

In Sections 2 and 3, a systematical approach is developed that allows us to prove the uniqueness theorems for the reconstruction of media parameters from the scattering data, for a wide class of models of general linear media, with the macroscopic constitutive relations in the form

where the material parameters are assumed to depend on one space variable z (and, in the case of dispersive media, on the frequency ).

Our approach is carried out in the framework of a 4x4-matrix formalism for Maxwell's equations for the time harmonic waves. In the absence of sources, Maxwell's equations being considered in combination with the constitutive relations reduce to a system of ordinary differential equations for tangential components of the electromagnetic field

()

where W is a 4x4 matrix with entries expressed in terms of the medium parameters. Depending on the chosen model of the medium, W takes special forms. Our main objective is to solve the inverse scattering problem consisting in the reconstruction of the entries of W as functions of z from given scattering data, which are the elements of the scattering matrix, as functions of the frequency . The scattering coefficients can be viewed as interpretation of measurements of appropriately excited fields, performed outside the spatial domain of interest. Our approach is constructive, and the basic element in the proposed reconstruction procedures is the reformulation of the scattering relation in terms of an analytic factorization problem, of the Riemann-Hilbert type, in the complex -plane. This approach allows us, in particular, to prove a number of uniqueness theorems, which characterize the maximal information that can be theoretically extracted form a given type of measurements, corresponding to various types of media, dispersive as well as nondispersive, having potential applications in material sciences and technology.

The technique developed for solving inverse scattering for systems of differential equations with complicated dependence on the spectral parameter is applied, in Sections 4-6, to the development of the inverse scattering method for the analysis of the initial boundary value problems for classical nonlinear integrable equations (MKdV, NSE, sine-Gorgon) as well as of the Camassa-Holm (CH) equation, the latter representing a novel class of integrable equations. The basic concept is the simultaneous spectral analysis of the both linear equations constituting the Lax pair of the nonlinear equation in question. A principal problem that is solved by applying our method is the characterization of the boundary values of the nonlinear equations for problems on the half-line (with respect to the space variable) as well as on a finite interval. This characterization is first formulated in terms of the associated spectral functions corresponding to the x- and t-equations of the Lax pair, and then analyzed in terms of the space-time depending kernels of the transformation operators for the corresponding t-equation.

A principal advantage of the Riemann-Hilbert formulation of the inverse scattering method is that it allows applying the nonlinear method of steepest descent for oscillating Riemann-Hilbert problems for studying long time asymptotics of solutions of the initial and initial boundary value problems. Considering the MKdV equation as an example of classical integrable nonlinear equation, we have obtained a detailed description of the solitonic part of the asymptotics. Particularly, we have found that the influence of the boundary to the long time asymptotics is twofold: first, soliton velocities, amplitudes and other parameters were determined in terms of analytic functions that are combinations of the spectral functions of the both type, corresponding to the t-equation as well as to the x-equation; second, a part of zeros of spectral functions, which do not generate directions of the soliton propagation, were nevertheless involved in the construction of the soliton parameters in a manner similar to the involvement of the continuous spectrum, via the scattering coefficients.

In the case of the Camassa-Holm equation, we have proposed the inverse scattering method that allowed, for the first time in the literature, solving the initial value problem in the way that naturally incorporate the multisoliton solutions. The nonlinear steepest descent method is then used to obtain a detailed description of all regions in the x-t plane supporting qualitatively different long time behavior, for the initial value problem as well as for the initial boundary value problem. Particularly, it is shown that the asymptotic picture for the Camassa-Holm in the case of the positive half-line corresponds to that of the KdV equation on the whole line whereas the features on the negative half-line have no analogues in the KdV case.

Key words: inverse scattering problem, general linear medium, Riemann-Hilbert problem, stratified medium, nonlinear integrable equations, long time asymptotitcs.

Размещено на Allbest.ru

...