О доказательстве теоремы Ферма
Ознакомление с историей доказательства теоремы Ферма. Исследование и анализ особенностей равенства для трёх действительных целых положительных чисел. Рассмотрение и характеристика преобразования уравнения, позволяющего получить квадратное уравнение.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.10.2015 |
| Размер файла | 39,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
О доказательстве теоремы Ферма
Гуршев И.Г.
Санкт-Петербург
Издательство «Знакъ» 2012
ББК 26.23
Гуршев И.Г.
О доказательстве теоремы Ферма. - СПб.: Издательство «Знакъ», 2012. - 8 c.
В работе приведены преобразования уравнения xn+yn=zn, позволяющие получить квадратное уравнение. Показано, что вышеназванное равенство для трех действительных разных целых положительных чисел не выполняется.
Библ.5
ISBN 978-5-91638-054-5
© И.Г. Гуршев, 2012
© Издательство «Знакъ», набор, макетирование, 2012
История доказательства знаменитой теоремы Ферма в популярной форме изложена в книге С. Сингха [1]. В книге П. Рибенбойма [2] соединены строгость математических результатов и историческое изложение более чем трехвековой истории поиска доказательства теоремы Ферма. Теорема утверждает, что уравнению при наличие целого положительного (), не могут удовлетворять никакие целые положительные числа x, y, z [3].
В работе А.Я. Хинчина [3] не только даются сведения по истории доказательства этой теоремы, но и уделяется внимание методу, которым мог пользоваться П. Ферма при доказательстве теоремы. Отметим, что в упомянутых работах приводится значительное количество литературных источников.
Рассмотрим частный случай упомянутого соотношения при . Предположим, что для разных целых положительных чисел x, y, z (, , , , , , , ,) выполняется следующее равенство
. (1)
Так как , то представим уравнение (1) следующим образом
(а), , (2)
, .
При этом предполагаем, что рассматриваемые числа x, y, z попарно взаимно простые. Если же x, y, z имеют общие делители, то их можно предварительно упростить за счет сокращения общих делителей.
Рассмотрим более подробно равенство (2), в котором сумма дробей равна единице. Значит, каждая из дробей меньше единицы, то есть , . Так как неравенства одинакового смысла можно почленно складывать [5], то из последних неравенств следует, что . Проводя преобразование третьих степеней в уравнении (2), получим
. (3)
Дальнейшие рассуждения будем проводить согласно работе [4]. Величины , являются положительными дробями, то есть являются положительными рациональными числами. Сумма есть рациональное положительное число, так как , , то есть . Положительное рациональное число можно представить в виде несократимой дроби , где a и b - натуральные взаимно простые числа, то есть . Объединяя вышеприведенные рассуждения, получим следующие неравенства: , . Второй множитель в равенстве (3) является положительным, так как может быть представлен в таком виде . Тогда имеем и отсюда . Равенство (3) может быть представлено в виде системы уравнений
(а), (4)
Отметим, что, умножив левые и правые части равенств (4) друг на друга, получим равенство (3). Из системы уравнений (4) находим и, подставляя в равенство (4), получаем следующее уравнение
(5)
Рассмотрим следствия из уравнения (5).
Допустим, что уравнение (5) имеет корни , , являющиеся целыми числами, и пусть . Подставив в уравнение (5), получим такое равенство
. (6)
Допустим, что m - дробное число. Тогда в равенстве (6) справа стоит дробное число , а слева находится целое число . Но равенство целого и дробного чисел невозможно. Значит, уравнение (5) не имеет корней в виде целых чисел. Ранее отмечалось, что переменная m подчиняется неравенствам . В этом интервале чисел имеется целое число равное единице, и оно может быть представлено в виде несократимой дроби, то есть . В этом случае равенство (5) принимает такой вид:.
Если , , то, так как , имеем y=0. В случае имеем , .
При получаем y = z. В итоге находим: а) y = 0; б) y = z. С помощью равенства (4а) получаем значения величины x, а именно: а) , x = z; б) , x = 0. ферма число равенство
Подставляя эти значения x, y, z в уравнение (1) отмечаем, что найденные величины , , а также x = 0, y = z, являясь целыми числами, удовлетворяют уравнению (1). Однако эти значения не удовлетворяют условиям задачи.
Таким образом, равенство (1) для трёх действительных целых положительных чисел не выполняется.
Рассмотрим общий случай, то есть предположим, что для разных целых положительных чисел выполняется равенство
, , . (7)
При этом предполагаем, что числа x, y, z попарно не имеют общих делителей.
Преобразуем равенств (7) следующим образом
(а), ,
, . (8)
Рассмотрим более подробно равенство (8), в котором сумма дробей равна единице. Значит, каждая из дробей меньше единицы, то есть , . Из этих неравенств следует что, .
Проводя преобразование третьих степеней в уравнении (8б), получим
. (9)
Сумма , так как , . Объединяя предыдущее неравенство с последним находим выражение . Второй множитель в равенстве (9) является положительным, так как может быть представлен в виде .
Пусть есть некоторое число, которое может быть как дробным, так и целым, так как . Тогда , и равенство (9) может быть представлено в виде системы уравнений
(а), (10)
Отсюда находим и, подставляя в равенство (10б), получаем уравнение для определения переменной
. (11)
Рассмотрим некоторые следствия из уравнения (11). Допустим, что уравнение (11) имеет корни и . Пусть есть целое число и один из двух корней квадратного уравнения (11). Поставив в (11), получим следующее равенство
. (12)
Допустим, что p - дробное число. Тогда в равенстве (12) справа стоит дробное число, а слева находится целое число . Но такое равенство невозможно, то есть если p - дробное число, то уравнение (11) не имеет корней в области целых чисел.
Ранее отмечалось, что переменная p может изменяться в пределах . В этом интервале чисел имеется целое число равное единице. В связи с этим рассмотрим случай . При равенство (11) принимает такой вид
. Если , , то и имеем . В случае имеем , . При получаем . Возведя обе части последнего равенства в степень , получим y = z. В итоге получаем: а) y = 0; б) y = z. С помощью равенства (10а) получаем значения величины x в случае p = 1: а) y = 0, x = z; б) y = z, x = 0. Отметим, что найденные величины x, y, z, являясь целыми числами, удовлетворяют уравнению (7). Однако эти значения не удовлетворяют условиям задачи. Таким образом, равенство (7) для трёх разных действительных целых положительных чисел не выполняется.
Литература
1. Сингх С. Великая теорема Ферма. - М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2000. - 288 с.
2. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. - М.: Мир, 2003. - 429 с.
3. Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 75 с.
4. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из нее. - М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2003. - 23 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1981. - 720 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Попытка доказательства частного случая великой теоремы Ферма. Преобразования уравнения xn+yn=zn, позволяющие получить квадратное уравнение. Показано, что вышеназванное равенство для трех действительных разных целых положительных чисел не выполняется.
монография [59,3 K], добавлен 27.12.2012Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.
доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.
творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
статья [12,9 K], добавлен 07.07.2005Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009Два варианта доказательства теоремы. Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству, что и доказывает теорему.
статья [74,0 K], добавлен 14.04.2007Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
творческая работа [23,8 K], добавлен 17.10.2009Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
курсовая работа [220,5 K], добавлен 25.05.2010Проблема решения уравнений в целых числах: от Диофанта до доказательства теоремы Ферма. Сущность теоремы о делимости данного числа на произведение двух взаимно простых чисел, особенности ее применения к решению неопределенных уравнений в целых числах.
курсовая работа [108,5 K], добавлен 10.03.2014Содержание теоремы Ферма о ненулевых решениях уравнения вида xn+yn=zn в натуральных числах при значениях n>2. Доказательство теоремы Декартом, Эйлером, Уайлсом. Разработка основ дифференциального исчисления и теории вероятности - научные достижения Ферма.
реферат [13,2 K], добавлен 01.12.2010Основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой. Метод бесконечного спуска и доказательство теоремы Ферма для n=4. Анализ выводов К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы.
дипломная работа [351,4 K], добавлен 26.05.2012Пьер де Ферма сделал почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта. Натуральные взаимно простые числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. Пример справедливости приведенного доказательства.
статья [31,8 K], добавлен 19.12.2006Предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде.
реферат [16,2 K], добавлен 05.07.2006Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016
