Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ІМ. Я.С.ПІДСТРИГАЧА НАН УКРАЇНИ

УДК 519.852:539.3

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТАЦІОНАРНИХ ПРОСТОРОВО-НЕОДНОРІДНИХ СТРУКТУР В СИСТЕМАХ РЕАКЦІЇ-ДИФУЗІЇ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВАСЮНИК Зоряна Іванівна

Львів 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Гафійчук Василь Васильович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу математичного моделювання явищ самоорганізації

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Бєлов Юрій Анатолійович, Київський національий університет ім. Т.Г. Шевченка, завідувач кафедрою теоретичної кібернетики

доктор технічних наук, старший науковий співробітник П'янило Ярослав Данилович, Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу математичних методів обчислювального експерименту.

Захист відбудеться 29 грудня 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м.Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розіслано 28 листопада 2008р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Максимук О.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Серед важливих досягнень в світовій науці другої половини минулого століття було два положення. Перше з них - це розуміння можливості квазістохастичних режимів в певних областях існування детермінованих систем (Е.Лоренц, В.Арнольд), а друге - це розуміння можливості просторово-часової самоорганізації, тобто виникнення стаціонарних дисипативних структур (ДС) в початково однорідних системах під впливом випадкових флуктуацій (А.Тюрінг, І.Пригожин, Г.Хакен).

Стаціонарні дисипативні структури в розподілених активних середовищах вперше розглядались А.Тюрінгом. Великий вклад в їх вивчення був внесений в роботах І.Пригожина, Г.Хакена, Г.Ніколіса, С.П.Курдюмова, А.А.Самарского, Т.С.Ахромєєвої, Г.Г.Малінєцкого, В.Яхно, Г.Р.Іваніцкого, В.І.Крінского, Н.В.Степанової, Д.С.Чернавского, В.Васильєва, Ю.М.Романовского та інших. Б.Кернером і В.Осиповим дана детальна класифікація різних типів нелінійних структур в двохкомпонентних системах реакції-дифузії в залежності від типу нелінійності.

Самоорганізація тісно пов'язана з зародженням турбулентності, тобто динамічного хаосу. Розробкою і дослідженням динамічного хаосу займалися Е.Лоренц, Б.Мандельброт, М.Ено, Д.Рюель, Ф.Такенс, В.Бонч-Бруєвич, Я.Сінай, Б.Кадомцев, В.Аніщенко, А.Лоскутов, А.Міхайлов, Ф.Мун, П.Берже, И.Помо, К.Відаль, Г. Шустер та багато інших.

На сьогоднішній день ще не до кінця з'ясовані питання умов виникнення динамічного хаосу в системах реакції-дифузії та підходи до оцінки хаотичності розв'язків. Ці питання складають наукове завдання, частковому розв'язанню якого присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались в рамках науково-дослідних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України: «Самоорганізація ієрархічних систем: теорія, математичні моделі і числовий експеримент» (2000-2004рр., № держ. реєстрації 0100U000595), «Математичне моделювання складних систем і дослідження в них нових нелінійних ефектів» (2005-2008рр., № держ. реєстрації 0105U000233).

Метою роботи є застосування методів математичного моделювання для дослідження неоднорідних станів у вигляді дисипативних структур і хаотичних коливань, які реалізуються в конкретних модельних системах, вивчення властивостей розв'язків і внутрішніх закономірностей нелінійних систем реакції-дифузії, застосування нових підходів до оцінки хаотичності розв'язків. математичний моделювання реакція дифузія

Об'єктом досліджень є нелінійні динамічні системи, які описують явища самоорганізації.

Предметом досліджень є математичні моделі типу реакції-дифузії, які описують складну нелінійну просторово-часову динаміку в різних системах природи, зокрема, в електронно-дірковій плазмі.

Загальна методика досліджень полягає у застосуванні методу малого параметра для оцінки типу галуження розв'язку; застосуванні методів функціонального аналізу до теоретичного обґрунтування існування глобального атрактора у випадку виконання умов теореми Гопфа; застосуванні методів типу Гіра у числовому дослідженні систем реакції-дифузії.

Наукова новизна одержаних результатів. У процесі вирішення наукового завдання отримано такі нові результати:

1. Метод малого параметра застосовано до систем реакції-дифузії коли за малий параметр взято відхилення біфуркаційного параметра від критичного значення. Досліджено тип галуження неоднорідних розв'язків в першій точці біфуркації Тюрінга і побудовано криву розділу типу галуження розв'язку.

2. На основі теорії апроксимаційних інерційних многовидів дисипативних динамічних систем проведено аналітичне обґрунтування існування глобального атрактора у випадку виконання умов теореми Гопфа і запропоновано метод його обчислення.

3. Теорему Гопфа застосовано для аналізу вторинної біфуркації просторово-неоднорідних розв'язків. На основі цього підходу для конкретної модельної системи побудовано біфуркаційну діаграму.

4. Запропоновано нові математичні моделі систем реакції-дифузії з степеневими і експоненційними нелінійностями. Для цих систем і для системи, яка моделює процеси в електронно-дірковій плазмі, з допомогою числового моделювання отримано просторово-неоднорідні періодичні та хаотичні розв'язки. Досліджено умови за яких вони існують.

5. Для аналізу хаотичності розв'язків систем реакції-дифузії поруч з такими широковідомими методами як обчислення показників Ляпунова, фрактальної розмірності, чи спектрального аналізу застосовано метод вейвлет-перетворення, та запропоновано новий підхід для оцінки хаотичності розв'язків систем реакції-дифузії з використанням спеціальних способів візуалізації багатовимірних даних.

Практичне та теоретичне значення отриманих результатів. Експе-риментаторам давно відомі прояви просторово-неоднорідного хаосу в розподілених системах. Зокрема, вважалось, що шумоподібні коливання в твердотільних системах зумовлені дією флуктуацій, великою кількістю ступенів свободи системи, або ж недосконалістю вимірювальної апаратури.

Отримані в роботі результати пояснюють явища, які спостерігаються експериментально. Знайдені з допомогою числового експерименту властивості розв'язків дають можливість пояснити ряд нелінійних ефектів, що виникають в широкому класі неоднорідних середовищ, які вивчаються в біології, хімії, економіці, соціології та інших галузях науки. Зокрема, такі ефекти спостерігаються в напівпровідникових приладах, дія яких базується на явищі ударної іонізації.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, викладені в дисертаційній роботі, доповідалися та обговорювалися на 10-th International Conference on Noise in Physical Systems “Noise in physical systems” ed. By Ambrozy (Budapest, 1989), 4 International workshop on nonlinear and turbulent processes in physics “Nonlinear World” (Kiev, 1989), ІІІ Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003), наукових конференціях молодих вчених інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України. (Львів, 1984 і 2004), ІІ Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки і математики» (Львів, 2008).

У повному обсязі робота доповідалася і обговорювалася на семінарі відділу математичного моделювання явищ самоорганізації ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, на загальноінститутському науковому семінарі ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, та на кафедрі теоретичної кібернетики Київського державного університету ім. Т.Г.Шевченка.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, що відображені в дисертації, опубліковано в 10 наукових працях, у тому числі в 4 статтях у фахових виданнях зі списку ВАК України [1-4], в 1 статті в журналі “Физика твердого тела” [5], 5 - в матеріалах наукових кон-ференцій [6-10]. Ідея статті [4] запропонована здобувачем самостійно. У інших працях, написаних із співавторами, дисертанту належить розробка алгоритмів, створення програм та виконання числових експериментів, керівнику роботи та іншим співавторам належить постановка задач та аналіз отриманих результатів. Результати, наведені у роботах [8,10], отримані дисертантом самостійно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, які містять 28 рисунків та 2 таблиці, висновків та списку використаних джерел із 187 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 155 сторінок (обсяг основного тексту - 138 сторінок).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи і аналіз стану досліджень з наукової проблеми; обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи та її зв'язок з науковими програмами; сформульовано мету і задачі дослідження; окреслено новизну отриманих результатів та їх практичне значення; зроблено короткий опис структури дисертації.

Перший розділ має оглядово-аналітичний характер. В цьому розділі зроблено огляд систем реакції-дифузії та їх розв'язків, описано найбільш відомі моделі, які широко досліджені в науковій літературі, перелічено моделі, які вивчаються в дисертаційній роботі та проведено їх дослідження на предмет лінійної стійкості.

В загальному випадку системи типу реакції-дифузії:

задаються в обмеженій області з умовами Неймана на границі:

Тут - характерні часи і довжини зміни змінних; - біфурка-ційний параметр; і - нелінійні функції, які належать простору і характеризують процеси, що відбуваються в системі.

Початкові умови мають вигляд:

де, відповідні кусково-гладкі функції.

В дисертаційній роботі проводилось дослідження наступних систем:

Система Фітц-Хью-Нагумо. Це одна з найпростіших систем, які дослід-жувались. Функції і в даному випадку мають вигляд:

де А, В, С - приведені до безрозмірних величин параметри системи, тут і далі параметр А взято в якості біфуркаційного.

Розв'язки шукались при циклічниx граничних умовах:

Особливістю систем такого типу є існування при певних значеннях параметрів розв'язку у вигляді біжучого імпульсу.

Брюсселятор. Нелінійності системи (1) мають вигляд:

На систему накладались умови Неймана (2) на границях.

Тут і дійсні функції, які залежать від двох змінних (x,t) і задають зміну концентрацій двох проміжних продуктів хімічної реакції, А і В приведені до безрозмірних величин концентрації вихідних реагентів.

Система з кубічною нелінійністю. Наступною системою є запропонована в роботі система (1) з нелінійностями:

з умовами Неймана (2) на границях.

Характерний вигляд нульізоклін (,) системи з нелінійностями (7) зображено на рис.1,а. Ця система за своїми властивостями аналогічна моделі Гірера-Мейнхарта. Нестаціонарні розв'язки можливі при перетині нульізоклін справа від точки мінімуму кривої (див. рис.1,а). При збільшенні параметра біфуркації А в системі можливі хаотичні розв'язки.

Система з експоненційними нелінійностями. Також нова система, нелінійності якої задаються виразами:

Тут і А - параметри системи. За класифікацією, запропонованою Б.С.Кернером і В.В.Осиповим, система (1) з нелінійностями (7) і (8) належить до V- типу. В роботі показано, що в таких системах існують хаотичні розв'язки, і проведено детальне їх дослідження.

Динамічна система, яка моделює процеси в електронно-дірковій плазмі. Розподіл температури і концентрації електронів в квазінейтральній електронно-дірковій плазмі (ЕДП) описується рівняннями:

(9) де густини потоків електронів і енергії носіїв струму рівні:

Тут - швидкість теплової і фотогенерації носіїв струму; - час їх життя; - швидкість міжзонної ударної іонізації; - характерний час релаксації енергії носіїв струму; Т - температура; - коефіцієнти дифузії електронів і біполяр-ної дифузії;; ; і - рухомість і провідність електронів і дірок; - густина повного струму; - температура решітки;.

Рівняння (9), приведені до безрозмірних величин, запишуться:

(11) де ,, - рівень розігріву електронно-діркової плазми;;; - середнє за період зміни поля значення .

В роботі проаналізовано умови, при яких в плазмі спостерігається турбулентність, тобто в системі (11) існує хаотичний розв'язок.

Аналіз лінійної теорії стійкості. Наявність хаотичної динаміки тісно пов'язана з нестійкістю, яка властива фазовим траекторіям системи. Для дослідження нелінійних розв'язків лінеаризовано рівняння (1) відносно малих збурень і стаціонарного розв'язку і отримано систему рівнянь:

в результаті аналізу якої мають місце наступні леми:

Лема 1.1 Якщо для системи (1) виконана умова:

тоді її однорідний стан є нестійким щодо неоднорідних флуктуацій (нестійкість Тюрінга) з хвильовим числом:

Лема 1.2 Якщо для системи (1) виконана умова:

тоді в системі реалізується нестійкість (біфуркація Гопфа) щодо однорідних коливань з частотою:

На основі лінійного аналізу стійкості для конкретних модельних систем отримано наступні твердження:

Твердження 1.1 Біфуркація Тюрінга в моделі брюсселятора відбувається при наступній умові:

Твердження 1.2 Для системи (1) з нелінійностями (7) умова, при якій відбувається біфуркація Тюрінга, виражається нерівністю:

Твердження 1.3 Біфуркація Тюрінга, для системи (1) з експоненційними нелінійностями (8) відбувається при наступній умові:

Криві нейтральної стійкості (лінії, які відділяють область просторово-однорідних розв'язків від області просторово-неоднорідних розв'язків) для вище перелічених систем зображені на рис.2.

У другому розділі запропоновано застосування методу малого параметра до розв'язування систем реакції-дифузії коли за малий параметр взято відхилення біфуркаційного параметра від критичного значення, при якому відбувається біфуркація. Причому цей метод не лише дозволяє отримати наближений розв'язок аналітично, але й дає інформацію про характер його галуження, тобто в роботі доведена наступна теорема:

Теорема 2.1 Нехай в системі (1) функції і належать простору. Введемо відхилення,, і, вважаючи відхилення малою величиною (), розкладемо функції , в ряд по степенях даного відхилення обмежуючись третім порядком малості:

де, відповідні коефіцієнти розкладу. Тоді галуження розв'язків системи а) при - має закритичний характер, б) при - має докритичний характер, де величини i задаються наступними виразами:

Відомо, що сценарій переходу через точку біфуркації буває м'яким і жорстким. При м'якому сценарії втрати стійкості перехід на новий режим відбувається плавно. Вважається, що в цьому випадку реалізується закритичне галуження розв'язків.

В випадку жорсткої втрати стійкості ще перед точкою біфуркації область притяжіння однорідного стану стає дуже малою і завжди присутні випадкові збурення викидають систему з цієї області ще до того, як ця область притяжіння повністю зникає. При цьому система переходить на новий режим стрибком, тобто реалізується докритичне галуження розв'язку.

В дисертаційній роботі проведено аналіз величини для систем з нелінійностями (7) і (8) та побудовано для них криві розділу типу галуження розв'язку (див. рис.3). Ці криві в деякій точці перетинаються з відповідними кривими нейтральної стійкості, а це означає, що якщо біфуркаційний параметр перетинає криву нейтральної стійкості нижче даної точки, то галуження буде докритичним, якщо ж вище - то закритичним.

В третьому розділі запропоновано аналітичний метод конструкції апроксимаційного інерційного многовиду, яка дає можливість локалізувати глобальний атрактор і розділяє швидкі і повільні рухи. Побудовано таку конструкцію для системи брюсселятор. Для системи (1) з нелінійностями (7) проаналізовано вторинну біфуркацію Гопфа, яка слідує за первинною біфуркацією Тюрінга, та побудовано біфуркаційну діаграму, на якій зображено криву, що вказує на вторинну біфуркацію Гопфа.

Сформульовано біфуркаційну теорему типу Гопфа для еволюційної системи в банаховім просторі для всіх:

Припустимо, що виконується наступна спектральна умова.

Нехай, є сім'я гладких (нелінійних) півгруп, визначених для значень. Припустимо також, що є гладким за всіма змінними, і, а також,

а) є нерухомою точкою;

б) при спектр щільно заданого замкненого оператора міститься в лівій частині комплексної площини ;

в) при (при) спектр оператора має два ізольованих чисто уявних власних значення, (відповідно у правій частині комплексної площини , тобто,), а решта спектру залишається в лівій частині комплексної площини , будучи віддаленою від уявної осі;

г) при похідна, тобто власні значення монотонно пересікають уявну вісь.

Тоді має місце наступна біфуркаційна теорема типу Гопфа:

Теорема 3.1 (типу Гопфа) Нехай нелінійна гладка еволюційна система в банаховім просторі . Тоді існує двовимірний окіл нуля в і гладкий двовимірний підмноговид, який проходить через точку і дотикається до узагальненого власного підпростору, напнутого на власні вектори, що відповідають двом простим власним значенням при, причому:

і) якщо і, то;

іі) якщо і для всіх, то

ііі) існує гладка функція, така, що при точка лежить на замкненій орбіті нелінійної еволюційної системи, періоду, причому, і для.

Як наслідок теореми отримано, що центральний многовид існує, є інваріантним відносно півпотоку, і є стійким притягуючим атрактором, а відповідні періодичні орбіти є притягуючими граничними циклами.

Для системи брюсселятор доведено наступну теорему:

Теорема 3.2 Нехай виконана умова для коефіцієнтів дифузії еволюційної системи брюсселятора з параметром біфуркації. Тоді для кожного параметра існує -окіл параметра, для якого має місце біфуркація типу Гопфа народження асимптотично стійкої періодичної орбіти.

Для цієї ж системи проведено обчислення апроксимаційного інерційного многовиду, тобто доведено наступне твердження:

Твердження 3.1 Еволюційна система (1) з нелінійностями (6), задана в просторі Соболєва, є еквівалентною в деякому околі критичної точки двовимірній динамічній системі:

на інваріантному підмноговиді, яка допускає періодичний розв'язок, що визначається біфуркаційним параметром в межах сценарію Гопфа, де функції задаються наступним чином:

Тут функції задовольняють наступну ієрархію диференційних рівнянь в часткових похідних:

На основі теореми Гопфа для системи (1) з нелінійностями (7) проведено аналітико-числове дослідження вторинної біфуркації Гопфа, яка слідує за первинною біфуркацією Тюрінга, та на площині параметрів d і А виділено область, в якій існують просторово-неоднорідні нестаціонарні, зокрема, й хаотичні розв'язки.

Як видно з рис.4,а область нестійкості неоднорідних розв'язків цілком лежить всередині області існування неоднорідних розв'язків. На рис.4,б показано зміну вигляду розв'язку в залежності від значення параметра біфуркації А (всі інші параметри системи фіксовані). Значення параметрів, при яких робились розрахунки, на рис.4,а відмічені зірочками на вертикальній прямій. З рис.4,б видно, що в стійкій однорідній області при і при існують стаціонарні однорідні розв'язки.

Нижче верхньої гілки кривої нейтральної стійкості є досить велика область існування просторових неоднорідних структур, яка збільшується зі зменшенням параметра . Причому, зі зменшенням параметра кількість таких структур на інтервалі зменшується від п'яти до однієї. При критичному значенні параметра біфуркації відбувається біфуркація Гопфа і стаціонарний просторово-неоднорідний розв'язок починає коливатись. Аналогічно в області нижньої гілки кривої нейтральної стійкості просторово-однорідний розв'язок при змінюється на стаціонарний просторово-неоднорідний розв'язок при , який стає нестійким при .

У четвертому розділі наведено результати обчислень конкретних модельних систем, зроблено огляд числових методів дослідження систем типу реакції-дифузії, які відносяться до жорстких систем, описано методи типу Гіра, з допомогою яких шукались розв'язки. Зауважимо, що при обчисленнях враховувались чисельно-аналітичні схеми побудови апроксимаційних інерційних многовидів та відповідних їм скінченно-вимірних редукцій досліджуваних динамічних систем у випадку виконання достатніх умов біфуркаційної теореми Гопфа.

Математичне моделювання системи з кубічною нелінійністю. Показано, що в досить загальному випадку поряд з уже відомими розв'язками типу дисипативної структури в системі (1) з нелінійностями (7) можуть існувати і складні просторово-часові залежності.

Вигляд можливих розв'язків суттєво залежить від значення параметрів системи. Якщо параметри вибрані так, що виконується умова (18), то в системі існують просторово-неоднорідні розв'язки (ДС). При зменшенні зростає амплітуда і контрастність ДС по змінній . При фіксованому d=0.01 зі збільшенням параметра А амплітуда ДС монотонно зростає і при певному значенні у системі формуються періодично пульсуючі ДС (рис.5,а).

При подальшому збільшенні параметра біфуркації зростає інтенсивність пульсацій і при деякому значенні відбувається втрата регулярності в коливаннях і порушення просторової симетрії, в результаті чого в системі виникає просторово-часовий хаос (див. рис.5,в).

Математичне моделювання системи з експоненційними нелінійнос-тями. Приклади різних типів розв'язків системи (1) з експоненційними нелінійностями (8) наведено на рис.6. В стійкій області (рис.2,в) неоднорідний розв'язок цієї системи після нетривалого перехідного процесу виходить на стаціонар, який має форму автосолітона (поодинокої ДС) амплітуди . На інтервалі [0,5] можуть розміститись два такі автосолітони (рис.6,а).

При збільшенні значення біфуркаційного параметра А автосолітони спочатку починають просто коливатися (коливається амплітуда автосолітонів) (рис.6,б), а згодом такі коливання втрачають регулярність, тобто в системі спостерігається хаос (рис.6,в).

Система з експоненційними нелінійностями фактично є спрощеною моделлю наступної системи, яка описує реальні процеси, що відбуваються в ЕДП. Дослідження, проведені для цієї системи, дозволили значно спростити дослідження моделі ЕДП.

Математичне моделювання електронно-діркової плазми. Умови турбулентності можуть виконуватись в розігрітій електронно-дірковій плазмі. Числове моделювання цієї моделі показує, що турбулентність в ЕДП може виникати навіть при через розшарування однорідного стану в системі.

Моделювання турбулентності в цьому випадку зображує спонтанне виникнення ДС в різних частинах системи в формі ДС з високою температурою носіїв, самознищенням цих ДС завдяки сильній ударній іонізації носіїв посередині ДС, випадковій появі нових ДС в іншій області і т.д. Числові дослідження показали, що як тільки рівень нагрівання зростає, характерний час формування ДС різко зменшується і хаотична поведінка ЕДП стає складнішою.

Ширина автосолітона зростає зі збільшенням , з цього випливає, що є можливим збудження турбулентності в достатньо простих моделях при певному значенні параметра . Числові дослідження показали, наприклад, що пульсуючі ДС, які складаються з чотирьох автосолітонів, перетворюються в випадково-осцилюючі структури, якщо рівень нагріву перевищує певний поріг (значення параметра біфуркації А перевищує певну величину). Коли рівень нагрівання продовжує зростати, ці дисипативні структури трансформуються в статичні структури, побудовані з трьох взаємодіючих автосолітонів. Якщо далі зростає, статичні дисипативні структури перетворюються в пульсуючі структури в формі двох автосолітонів, чия амплітуда осциляції є в протифазі.

Статичні і пульсуючі автосолітони, як і турбулентність, можуть виникати спонтанно в ЕДП при , оскільки присутня мала неоднорідність. Тоді пульсації чи випадкові осцилюючі дисипативні структури отримуються з послідовного розвалу автосолітонів, які виникають спонтанно біля малої неоднорідності. Навпаки, існування слабкої неоднорідності може запустити зворотній процес коли турбулентність трансформується в періодично осилюючу дисипативну структуру складної форми.

В результаті аналізу різних систем реакції-дифузії та їх розв'язків встановлено наступну закономірність: хаотичні коливання в системі реакції-дифузії можливі коли система за класифікацією, запропонованою Б.С.Кернером, та В.В. Осиповим, належить до V-типу.

У п'ятому розділі з допомогою відомих алгоритмів, таких як показники Ляпунова і фрактальна розмірність, розв'язки системи (1) з нелінійностями (7), знайдені з допомогою математичного моделювання, проаналізовано на предмет хаотичності. Запропоновано нові підходи для класифікації розв'язків, а саме: дослідження розв'язку з допомогою вейвлет-перетворення, застосування для класифікації розв'язків методів проектування даних, таких як метод Саммона і метод головних компонент, та обчислення фрактальної розмірності по даних проекціях.

Показники Ляпунова. Існування розв'язків з хаотичною динамікою підтверджують значення показників Ляпунова. Обчислення показників Ляпу-нова проводиться по формулі:, де - -тий фундаменталь-ний розв'язок лінеаризованої системи, - евклідова норма. Показники Ляпунова використовуються для визначення фрактальної розмірності хаотичного атрактора за формулою, запропонованою Капланом і Йорке:

де індекс визначається з умови а, - характеристичні показники Ляпунова.

Таблиця 4.1

Показники Ляпунова

Параметри системи	Показники Ляпунова	Фрактальна розмірність

Результат розрахунків для системи (1) з нелінійностями (7) для хаотичних коливань наведений в таблиці 4.1.

Вейвлет-перетворення. Для оцінки хаотичності розв'язку запропоновано новий підхід з допомогою вейвлет-перетворення. Вейвлет-аналіз являє собою особливий тип лінійного перетворення функцій з деякого достатньо широкого класу, яке відбувається шляхом обчислення згорток функції з компактною хвилею при різних масштабах і зсувах аргументу:

В роботі побудовано вейвлет-діаграму просторово-неоднорідного розв'язку системи (1) з нелінійностями (7) коли спостерігаються автоколивні процеси, і зроблено порівняння його з аналогічним представленням хаотичних коливань.

При аналізі розв'язків використовувались різні типи вейвлетів, але набільш інформативним і таким, що краще надається до частотно-часового аналізу, виявився дійсний вейвлет Морлета:

оскільки він більш локалізований в частотній області.

На рис.8 вгорі дано еволюцію в часі однієї точки розв'язків, що відповідають значенню просторової змінної, а внизу їх вейвлет-перетворення. На вейвлет-діаграмі (рис.8,а), що відповідає автоколивному процесу (розв'язок системи при , , ) в початковий момент чітко можна простежити неоднорідності, що відповідають перехідному процесу, але починаючи з моменту, коли гармонійні коливання стабілізуються, на вейвлет-діаграмі також встановлюється періодична зміна локальних максимумів і мінімумів вейвлет коефіцієнтів, що є ознакою гармонійності розв'язку системи.

Вейвлет-представлення хаотичних коливань (рис.8,б) характеризується хаотичною зміною локальних максимумів і мінімумів, і хоча на різних масштабах є ділянки локальних періодичностей, однак при цьому не можливо виділити масштаб, на якому було б зосереджено максимум коефіцієнтів вейвлет-перетворення, що вказує на хаотичну поведінку розв'язку.

Метод Саммона. Відображення Саммона є нелінійним відображенням точок з простору на відповідні їм проекції, які належать простору .

Нехай маємо p n-мірних векторів, , які можна вважати множиною точок в евклідовому просторі. Для кожної точки потрібно знайти її проекцію : де , - m-мірний простір (m=2,3),

Метод візуалізації Саммона полягає в мінімізації функції похибки :

де,, - відстань між точками в просторі , а - відстань між відповідними проекціями цих точок в просторі .

Відображення Саммона на площину проводилось для різних типів розв'язків системи (1) з нелінійностями (7), отриманих в вигляді множини n точок (розбиття по простору) в послідовні моменти часу. Тобто, масив з даних, де p - розбиття по часу, відобразився в масив розміром . Результат даного відображення показано на рис.9. На першому графіку зображено проекцію даних, які відповідають регулярним коливанням, на другому - проекцію даних, які отримані при біфуркаційному параметрі А, близькому до критичного значення, коли коливання втрачають свою регулярність, і останній графік відповідає хаотичним коливанням. Як бачимо з графіків (рис.9), даний метод чутливий до зміни характеру коливань і дозволяє розмежувати хаотичні коливання від періодичних чи квазіперіодичних коливань.

Метод головних складових виникає з наступної оптимізаційної задачі: для даної центрованої таблиці даних знайти такий одиничний вектор,, щоб був максимальним критерій:

Використовуючи метод головних складових при аналізі розв'язків системи (1) з нелінійностями (7) знову як і в методі Саммона отримано велику відмінність між PCA-проекціями різних типів даних (див. рис.10).

Крім того отримано кількісну характеристику цих графічних зображень, яка дозволяє розмежувати різні типи розв'язків. Для цього обчислено фрактальну розмірність отриманих PCA-проекцій розв'язків.

Таблиця 4.2

Метрична, інформаційна і кореляційна розмірності

Тип розв'язків	Система	А
Регулярні коливання	(7)	-0.05	1.0431	1.0723	1.0244
Квазіперіодичні колив.	(7)	-0.1	1.1703	1.2221	1.1363
Хаос	(7)	-0.3	1.8590	1.8590	1.9654
Імпульс	(4)	1	1.0812	1.0101	1.0890

Як видно з таблиці, фрактальна розмірність при регулярних коливаннях з точністю до 0.1 рівна одиниці, при квазіперіодичному режимі - близька до одиниці, але суттєво від неї відрізняється. Для хаотичного розв'язку отримано дробове значення, яке відповідає фрактальним множинам і вказує на наявність хаосу.

У висновках коротко наведено основні підсумки роботи та проаналізовано отримані результати.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі проведено аналітико - числове дослідження нестаціонарних просторово-неоднорідних розв'язків у системах реакції-дифузії. Зокрема:

- запропоновано феноменологічні моделі реакції-дифузії в яких існують хаотичні розв'язки.

- застосовано метод малого параметра для оцінки типу галуження розв'язку;

- на основі теорії апроксимаційних інерційних многовидів дисипативних динамічних систем проведено аналітичне обґрунтування існування глобального атрактора у випадку виконання умов теореми Гопфа і запропоновано метод його обчислення;

- для модельної системи типу Гірера-Менхарда побудовано біфуркаційну діаграму, яка враховує вторинну біфуркацію Гопфа що слідує після первинної біфуркації Тюрінга;

- досліджено існування хаотичних розв'язків в конкретних модельних системах;

- апробовано нові підходи оцінки хаотичності розв'язку на основі вейвлет-перетворення та методів візуалізації даних.

- здійснено обчислення фрактальної розмірності розв'язку не в повному просторі, а в проекції на площину, що дозволило значно зменшити складність обчислень.

На основі аналізу отриманих результатів зроблено наступні висновки:

1. Застосування методу малого параметра до систем реакції-дифузії при умові, що за малий параметр взято відхилення від параметра біфуркації, дає можливість отримати біфуркаційну діаграму галуження розв'язку.

2. Методи теорії апроксимаційних інерційних многовидів дисипативних динамічних систем є адекватними при побудові та числовому аналізі їх скінченно-вимірних редукцій.

3. Знайдені умови виникнення вторинної біфуркації Гопфа для просторово-неоднорідних розв'язків після біфуркації Тюрінга дозволяють побудувати біфуркаційну діаграму для систем типу реакції-дифузії.

4. Запропоновані нові підходи оцінки хаотичності розв'язків, що ґрунтуються на вейвлет-перетворенні, методах візуалізації даних, та обчисленні фрактальної розмірності проекції розв'язку на площину, дозволяють розмежувати хаотичні коливання від регулярних коливань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гафійчук В.В. Математичне моделювання просторово-часової самоорганізації у системах типу реакція-дифузія / В.В. Гафійчук, Т.М. Щербаченко, З.І.Васюник // Доповіді АН України. 1992. № 7. С. 14-20.

2. Гафійчук В.В. Дослідження різних типів біфуркації у системах типу реакція-дифузія. / В.В. Гафійчук, Б.Й. Дацко, З.І. Васюник // Математичні методи та фізико-механічні поля. 2001.Т. 44, № 1. С. 161-168.

3. Васюник З.І. Класифікація просторово-неоднорідних розв'язків у системах реакції-дифузії за допомогою самоорганізаційних нейромережевих алгоритмів / З.І.Васюник, Б.Й. Дацко // Математичні методи та фізико-механічні поля. 2004. Т.47, № 4. С. 166-171.

4. Дацко Б.Й. Класифікація розв'язків в системах реакції-дифузії на основі методів візуалізації даних./ Б.Й. Дацко, З.І. Васюник //Відбір і обробка інформації. 2007. №26(102). С.114-120.

5. Васюнык З.И. Турбулентность в разогретой электронно-дырочной плазме / З.И. Васюнык, В.В. Гафийчук, Б.С. Кернер, В.В. Осипов // Физика твердого тела. 1989. Т.31, № 11. С. 66-69.

6. Gafijchuk V.V. Space-time chaos - turbulence in a hot electron-hole plasma / V.V.Gafijchuk, B.S. Kerner, B.B. Osipov, Z.I. Vasjunyk // Proceeding of the 4 International workshop on nonlinear and turbulent processes in physics “Nonlinear World”. Kiev: Nauk. Dumka, 1989, v.1. P. 107-110.

7. Дацко Б.Й. Знаходження біфуркаційних діаграм просторово-неоднорідних розв'язків в системах типу рекції-дифузії / Б.Й. Дацко, З.І. Васюник // ІІІ Всеукраїнська наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 9-12 вересня 2003 р.). М-во освіти і науки України, Прикарпатський університет [та ін.] - Івано-Франківськ: Прикарпатський університет, 2003. C. 29.

8. Васюник З.І. Застосування вейвлет перетворення для аналізу розв'язків системи типу реакції-дифузії / З.І.Васюник // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С.Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004р.). НАН України, Інститут прикладних проблем механіки і математики. Львів: ІППММ, 2004. С. 40-41.

9. Дацко Б.Й. Класифікація розв'язків в системах реакції-дифузії на основі методів візуалізації даних / Б.Й. Дацко, З.І. Васюник // VII міжнародна наукова конференція “ Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 20-23 вересня 2006 р.). НАН України, Інститут прикладних проблем механіки і математики. Львів: ІППММ, 2006, т.2. С. 122-123.

10. Васюник З.І. Дослідження характеру галуження розв'язку з допомогою методу малого параметра для систем типу реакція-дифузія / З.І.Васюник // ІІ Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 25-29 травня 2008 р.). НАН України, Інститут прикладних проблем механіки і математики. Львів: ІППММ, 2008, т.3. С. 96-97.

АНОТАЦІЯ

Васюник З.І. Математичне моделювання нестаціонарних просторово-неоднорідних структур в системах реакції-дифузії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню просторово-неоднорідних і хаотичних розв'язків в системах типу реакції-дифузії, а саме: з кубічною нелінійністю типу Гірера-Мейнхарда, та з експоненційними нелінійностями, а також в електронно-дірковій плазмі.

В дисертаційній роботі застосовано метод малого параметра для систем типу реакції-дифузії коли за малий параметр взято відхилення від критичного значення параметра. На основі цього методу побудовано криву розділу типу галуження розв'язку в першій точці біфуркації.

На основі теорії апроксимаційнийних інерційних многовидів дисипатив-них динамічних систем проведено аналітичне обґрунтування існування глобаль-ного атрактора в випадку виконання умов теореми Гопфа.

Для системи з кубічною нелінійністю досліджено вторинну біфуркацію Гопфа, яка слідує за біфуркацією Тюрінга, та побудовано біфуркаційну діаграму, яка враховує вторинну буфуркацію Гопфа.

Запропоновано нові підходи для оцінки хаотичної поведінки розв'язків, а саме: дослідження розкладу розв'язку по маленьких хвилях (вейвлет-перетворення), та для класифікації розв'язків застосовано методи візуалізації даних, такі як метод Саммона і метод головних компонент.

Ключові слова: самоорганізація, системи типу реакції-дифузії, дисипативні структури, хаотичні розв'язки, метод малого параметра, біфуркація, показники Ляпунова, вейвлет-перетворення, фрактальна розмірність, візуалізація даних, метод Саммона, метод головних компонент, електронно-діркова плазма.

АННОТАЦИЯ

Васюнык З.И. Математическое моделирование нестационарных пространственно-неоднородных структур в системах реакции-диффузии. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2008.

Диссертация посвящена аналитико-численному исследованию нестационарных пространственно-неоднородных решений в системах реакции-диффузии.

В диссертационной работе предложено новые феноменологические модели реакции-диффузии, для которых свойственно хаотическое поведение решений, а именно: модельные системы с кубической нелинейностью типа Гирера-Мейнхарда, и с экспонециальными нелинейностями.

В выше перечисленных системах, а также в системе, которая моделирует реальные процессы в электронно-дырочной плазме, найдены хаотические решения.

Применено метод малого параметра для систем реакции-диффузии когда за малый параметр взято отклонение от критического значения параметра. На основании даного метода построено кривую раздела типа раcслоения решения в первой точке бифуркации.

На основании теории аппроксимационных инерционных многообразий диссипативных динамических систем проведено аналитическое обоснование существования глобального атрактора в случае выполнения условий теоремы Гопфа и предложено метод его вычисления. Проведено вычисление такого многообразия для конкретной системы.

Для системы с кубической нелинейностю типа Гирера-Мейнхарда исследовано вторичную бифуркацию Гопфа, которая следует за бифуркацией Тьюринга. С помощью алгоритма, розработаного для нахождения точки первичной бифуркации Гопфа, построено бифуркационную диаграмму решений системы, которая учитывает вторичную буффуркацию Гопфа.

Для анализа решений систем типа реакции-диффузии вместе с такими известными методами как показатели Ляпунова, спектральный анализ с помощью преобразования Фурье предложено новые подходы для оценки хаотического поведения решений, а именно: исследование разложения решения по маленьким волнам (вейвлет-преобразование) и методы визуализации данных, такие как метод Саммона и метод главных компонент. Для решений, спроектированных на плоскость с помощью перечисленных выше методов, вычислено фрактальную размерность.

Ключевые слова: самоорганизация, системы типа реакции-диффузии, диссипативные структуры, хаотические решения, метод малого параметра, бифуркация, показатели Ляпунова, вейвлет-преобразование, фрактальная размерность, визуализация данных, метод Саммона, метод главных компонет, электронно-дырочная плазма.

ABSTRACT

Vasyunyk Z.I. Mathematical modeling of nonstable spatially-inhomogeneous structures in reaction-diffusion systems. - Manuscript.

The thesis presented for a Candidate's degree in physics and mathematics by speciality 01.05.02 - Mathematical modeling and calculation methods. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mathematics NASU, Lviv, 2008.

The dissertation is dedicated to analytical-numerical investigation of unstable spatially inhomogeneous solutions in reaction-diffusion systems.

A small parameter method is generalized for a reaction-diffusion system where deviation from the critical value of bifurcation parameter is taken as a small parameter.

The method to study the system on existence of Hopf bifurcation is used to find the bifurcation point of spatially inhomogeneous solutions. A concrete model system is considered and bifurcation diagram of spatially inhomogeneous solutions is constructed.

The classification approach of reaction-diffusion solutions classification, based on the wavelet-transform, the Sammon method and principal components analysis (PCA-projection) is studied. The fractional dimension for PCA-projections is calculated.

Key words: Reaction-diffusion system, dissipative structure, chaotic solutions, small parameters method, bifurcation, Lyapunov coefficients, wavelet-transform, fractal dimension, data visualization, Sammon method, PCA-projection, electron-hole plasma.

Размещено на Allbest.ru

...