Топологічна еквівалентність псевдогармонічних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.04 -- геометрія та топологія

УДК 515.164.174

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ТОПОЛОГІЧНА ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ ПСЕВДОГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ

Юрчук Ірина

Аркадіївна

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі топології Інституту математики Національної академії наук України.

Науковий керівник:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Шарко Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу топології.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Зелінський Юрій Борисович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу кандидат фізико-математичних наук Горькавий Василь Олексійович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, старший науковий співробітник відділу геометрії.

Захист відбудеться "11 " листопада 2008р. о_15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України: Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розіслано "_7_" жовтня 2008р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Відомо, що багато процесів, які виникають в природничих науках описуються гладкими та неперервними функціями. Зокрема, серед таких функцій важливе місце займають гармонічні функції, які є основним апаратом при розв'язанні задач з фізики та механіки. Так, наприклад, потенціал сил тяжіння в області, яка не містить мас, що притягуються, потенціал постійного електричного поля в області, що не містить електричних зарядів, потенціал швидкостей безвихрового руху рідини, температура тіла за умов стабілізації розподілу тепла, величина прогину мембрани, що натягнута на контур довільної форми, тощо -- всі ці процеси описуються гармонічними функціями. Тому, дуже важливо розуміти якісну (тобто топологічну) поведінку таких функцій.

Питання класифікації та дослідження умов топологічної еквівалентності функцій та інших структур на многовидах є одним з важливих напрямків в топології. Цій тематиці присвячено роботи класиків М.Морса, Дж.Дженкінса, В.Ботсбі, В.Каплана та сучасних авторів В.І. Арнольда Arnold V.I. Bernoulli - Euler updown numbers, associated with function singularities, their combinatorics and a mathematics / Arnold V.I. //Duke Math.Journ. - 1991.- Vol.63. - P.537-555., А.Т. Фоменка Болсинов А.В. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем / А.В.Болсинов , А.Т.Фоменко. - М.: Наука, 1997. - 352 с., В.В. Шарка, О.В. Болсінова, О.О. Пришляка, С.І. Максименка Максименко С.И. Класификация m?функций на поверхностях / Максименко С.И. // Укр.мат.журн. - 1999. - Т.51, №8. - С.1129-1135. , А.А. Ошемкова Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей /Ошемков А.А.// Труды Мат.ин-та РАН. - 1994. - Т.205. - С.131-140. та ін., що охоплюють широкий спектр проблем: класифікацію морсифікацій, гладких функцій з ізольованими особливостями, гамільтонових потоків та ін.

Зокрема, топологічна класифікація гладких функцій повністю проведена у наступних випадках: в роботах Арнольда В.І. класифіковано відображення ; у двохвимірному випадку доведено, що в околі ізольованої критичної точки функція топологічно еквівалентна Re Prishlyak O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a closed surface /Prishlyak O. // Topology and Its Applications. - 2002. - Vol. 119, №3. - P.257-267., глобальна класифікація подана у роботі Шарко В.В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях / В.В.Шарко // Укр.мат.журн. - 2003. - Т.55, №5. - С.687-700.. Проте, задача класифікації для багатовимірного випадку залишається не розв'язаною.

Природним є питання існування аналогічної класифікації для неперервних функцій. В даному напрямку, отримано деякі результати, але, загалом, ця задача не є розв'язана, що зумовлено складністю поведінки таких функцій.

У 40-60-х роках минулого століття з'явилась серія робіт, присвячених вивченню властивостей псевдогармонічних функцій, авторами яких були М.Морс, Дж.Дженкінс, В.Ботсбі та В.Каплан, . Однією з перших була робота Марстона Морса Morse M. The topology of pseudo-harmonic functions / Morse M. // Duke Math.J. - 1946.- Vol.13. - P.21-42. , в якій було виведено фундаментальну нерівність (нерівність Морса), що пов'язує числа критичних точок у внутрішності області з числом локальних екстремумів на межі, а також доведено теореми про локальне представлення околів критичних, межових критичних точок та локальних екстремумів на межі. Зокрема, в роботі Jenkins J.A. Contour equivalent pseudoharmonic functions and pseudoconjugates / Jenkins J.A., Morse M. // Amer.J.Math. - 1952.- Vol.74. - P.23-51. автори вводять поняття контурної еквівалентності псевдогармонічних функцій, які задані на однозв'язній області. Дві функції є контурно еквівалентні, якщо існує відповідність між лініями рівнів критичних значень. Проте слід відмітити, що поведінка функції на межі при такій еквівалентності не враховується. Іншими словами, дві контурно еквівалентні функції не є топологічно еквівалентними.

Всі подальші роботи були присвячені дослідженню псевдогармонічних функцій на площині Kaplan W. Regular Curve - Families Filling the Plane / Kaplan W. // Duke Math J. - 1940. - Vol. 7. - P.154-184.,

Kaplan W. Topology of level curves of harmonic functions / Kaplan. W. // Transactions of Amer.Math.Society - 1948. - Vol.63. - P.514-522. , поверхнях Tуki.Y. A topological characterization of pseudoharmonic functions / Tуki.Y. // Osaka Math.J.- 1951.- Vol.3. - P.101-122. та відкритих ріманових поверхнях Morse.M. The existence of pseudoconjugates on Riemann surfaces / Morse.M., Jenkins.J. // Fund.Math. - 1952.- Vol.39. - P.269-287..

Андріюк О.П. Андриюк Е.О. О продолжении непрерывных функций, заданных на окружности / Андриюк Е.О.// Укр.мат.журн. - 2004. - Т.56, № 8. - С.1011-1017. довела критерії топологічної еквівалентності неперервних відображень , деяких типів відображень та функцій з класу , які приймають не більш ніж одне критичне значення.

В даній дисертації проведено класифікацію неперервних відображень та неперервних функцій, які задані на диску і мають у внутрішності лише особливість типу сідло (локальне представлення функції з точністю до неперервної заміни координат в околі сідла f=Reconst, n?2). Відмітимо, що розглянуто випадок функцій зі скінченним числом локальних екстремумів на межі диску (скінченним числом критичних значень), хоч питання топологічної еквівалентності з нескінченним числом локальних екстремумів є відкритим.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень відділу топології Інституту математики НАН України. Робота виконана у відповідності до завдань держбюджетної дослідницької теми № І - 9 - 06 "Топологія многовидів та їх відображень" (номер державної реєстрації 0106U000658).

Метою дисертації є: встановлення критерію топологічної еквівалентності псевдогармонічних функцій, які задані на одиничному диску і приймають скінченне число критичних значень; виявлення умов, за яких скінченний зв'язний граф зі строгим частковим порядком на вершинах є комбінаторним інваріантом розглядуваного класу функцій.

Об'єктом дослідження є:

- неперервні функції, що задані на колі зі скінченним числом екстремумів;

- псевдогармонічні функції, що задані на диску, які приймають більше ніж одне критичне значення та мають скінченне число локальних екстремумів на межі;

- скінченний зв'язний граф зі строгим частковим порядком на вершинах;

Предметом дослідження є:

- топологічна класифікація неперервних функцій, що задані на колі;

- топологічна класифікація псевдогармонічних функцій;

- необхідні та достатні умови, за яких певний граф буде комбінаторним інваріантом псевдогармонічних функцій;

Основні задачі дослідження:

? побудова інваріанту неперервних функцій, заданих на колі зі скінченним числом екстремумів, який дає можливість точно підрахувати числа топологічно нееквівалентних функцій;

? встановлення критерію топологічної еквівалентності псевдогармонічних функцій, заданих на диску;

? встановлення критерію існування спеціального вкладення в диск дерева з фіксованим циклічним порядком на підмножині його вершин;

? знаходження необхідних та достатніх умов реалізації деякого скінченного зв'язного графу зі строгим частковим порядком на вершинах як комбінаторної діаграми псевдогармонічної функції.

Методика дослідження. В дисертаційній роботі для розв'язання сформульованих задач використовуються результати і методи топології та, частково, топологічної комбінаторики.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

? удосконалено інваріант неперервних функцій, заданих на колі зі скінченним числом екстремумів, що дало можливість точно підрахувати числа топологічно нееквівалентних функцій деяких класів. Саме в термінах отриманого інваріанту сформульовано критерій топологічної еквівалентності даних функцій, а також доведено аналог гіпотези Арнольда в одновимірному випадку;

? побудовано комбінаторний інваріант псевдогармонічних функцій, заданих на диску, та отримано необхідні та достатні умови їх топологічної еквівалентності. Зокрема, встановлено, що таким інваріантом є скінченний зв'язний граф зі строгим частковим порядком на вершинах;

? отримано критерій існування вкладення такого, що , , де T -- дерево, -- виділена підмножина його вершин, на якій зафіксовано циклічний порядок;

? отримано необхідні та достатні умови, які гарантують реалізацію деякого скінченного, зв'язного графу зі строгим частковим порядком на вершинах як комбінаторної діаграми псевдогармонічної функції.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Отримані в дисертації наукові результати можуть бути використані при дослідженні властивостей голоморфних функцій та конфорних відображень. Результати дисертаційної роботи можна також використовувати для встановлення топологічної еквівалентності векторних полів з ізольованими точками спокою.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

? семінарах відділу топології Інституту математики НАН України; керівник семінару - член-кореспондент НАН України, доктор фіз.- мат. наук, професор, зав. відділом топології В.В.Шарко.

? семінарах кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка; керівник семінару -- доктор фіз.- мат. наук О.О.Пришляк.

? IV Міжнародній конференції "Geometry in Odessa - 2007 " (Одеса, травень 2007),

? V Міжнародній конференції "Geometry in Odessa - 2008" (Одеса, травень 2008)

? Міжнародній конференції "Bogolyubov Reading 2007 " (Житомир-Київ, серпень-вересень 2007)

? VII Міжнародній конференції з геометрії та топології (Черкаси, вересень 2007)

? Міжнародній конференції "Analysis and Topology" (Львів, травень 2008)

? Міжнародній конференції "8th Conference on Geometry and Topology of Manifolds" (Львів, травень 2007)

Публікації. За темою дисертації опубліковано 9 робіт, з них три статті [1-3] -- в провідних фахових періодичних наукових журналах, що входять до переліку ВАК України, та шість тез [4-9] -- у збірниках тез доповідей на Міжнародних наукових конференціях.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 62 найменування (на 7 сторінках). Повний обсяг роботи становить 143 сторінки. Для її оформлення використано видавничу систему LaTeX.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові Володимиру Васильовичу ШАРКУ за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі. Особливу подяку висловлюю співробітникам відділу топології Інституту математики НАН України

Є.О. Полуляху, С.І. Максименку та іншим науковцям, які брали участь у роботі семінару відділу топології, висловили низку важливих зауважень і порад під час моїх доповідей.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлюється загальна картина досліджень, споріднених з проведеними в дисертації, обґрунтовується актуальність роботи, формулюється мета досліджень та дається перелік основних результатів, отриманих в дисертації.

Перший розділ присвячений деяким питанням топологічної комбінаторики, теорії множин та топології. Цей розділ носить в основному допоміжний та систематизуючий характер і містить означення основних понять та деякі твердження, які використовуються в дисертаційній роботі. Перший підрозділ присвячений поняттям, теоремам і твердженням комбінаторики перестановок Арнольд В.И. Исчисление змей и комбинаторика чисел Бернулли, Эйлера и Спрингера групп Кокстера / В.И.Арнольд // Успехи мат.наук. - 1992. - Т. 47, №1(283). - С. 3-45.. Наведемо деякі з них.

Означення 1.1. Змією типу називається послідовність додатних цілих чисел , які задовольняють умови: , , де .

Числа з парними n -- це коефіцієнти розкладу тангенса в ряд Тейлора в околі нуля, які позначають .

Означення 1.2. Елементарною змією типу назвемо послідовність додатних цілих чисел , що задовольняють умови: і , де , m>n.

Позначимо число елементарних змій типу через .

Означення 1.3. Змією типу називається послідовність додатних цілих чисел , які задовольняють умови: , де , m<n і для довільного числа k з множини {0,…,m} існує принаймні одне значення індексу i таке, що , де i?{0,…,n}.

У випадку, коли m=n, число - змій дорівнює числу змій.

З класу -змій виділимо такі змії, для яких має місце рівність . Тоді, позначимо через число -змій, в яких і .

Другий підрозділ носить конструктивний характер, де викладено деякі властивості тернарного та бінарного відношень на скінченних множинах, які використовуються при доведенні теореми з четвертого розділу.

У третьому підрозділі наведено основні факти з теорії псевдогармонічних функцій: нерівність Морса, яка пов'язує числа локальних екстремумів на межі з числом критичних точок у внутрішності диску, теореми про локальне представлення околів регулярних, критичних, межових критичних точок і локальних екстремумів Морс М. Топологические методы теории фукций комплексного переменного / Морс М.; [ред. Маркушевич А.И.]- М.:Изд-во иностр.лит-ры, 1951. - 247c..

Нагадаємо, що неперервне відображення f:X?Y між топологічними просторами X і Y називається гомеоморфізмом, якщо f є бієкцією і обернене відображення -- неперервне.

Нехай X,Y -- топологічні простори, f,g:X?Y -- неперервні відображення.

Означення 1.12. Неперервні відображення називаються топологічно еквівалентними, якщо існують гомеоморфізми і , для яких виконується рівність

Далі будемо розглядати випадок, коли Y=R, та гомеоморфізми, які зберігають орієнтацію.

Означення 1.13. Функція U(z) називається псевдогармонічною в точці , якщо існує гомеоморфізм ? околу точки на себе такий, що і U(?(z)), z=z(x,y), -- гармонічна.

Означення 1.14. Функція U(x,y) називається псевдогармонічною в області, якщо вона псевдогармонічна в кожній її точці.

Число c називається критичним (регулярним) значенням функції U, якщо множина рівня містить критичні точки функції (гомеоморфна незв'язному об'єднанню відрізків, які перетинаються з межею лише на своїх кінцях).

Відомо, що лініями рівня критичного значення псевдогармонічної функції є дерева (взагалі кажучи, незв'язні).

Означення 1.16. Значення c називається квазірегулярним значенням функції U, якщо воно не є ні регулярним, ні критичним.

Зауваження 1.5. Лінії рівня квазірегулярного значення містять лише межові критичні точки, а лінії рівня критичного значення -- як критичні, так і межові критичні точки.

У другому розділі досліджується питання топологічної еквівалентності двох неперервних функцій f і g зі скінченною кількістю екстремумів, які задані на колі , та знаходженню числа топологічно нееквівалентних функцій з однаковою кількістю екстремумів.

Позначимо через коло, тобто множину комплексних чисел z таких, що |z|=1. Далі, будемо розглядати як диференційовний многовид розмірності 1. Зафіксуємо на орієнтацію і розглянемо довільну неперервну функцію f на зі скінченним числом локальних екстремумів. Нагадаємо, що точкою локального максимуму (мінімуму) функції f називаємо точку , для якої існує окіл точки такий, що для всіх точок y з інтервалів , має місце нерівність (), причому точками локального екстремуму функції f будемо називати всі точки локальних максимумів (мінімумів) функції f.

Функція f називається спеціальною, якщо в довільних двох локальних екстремумах вона приймає різні значення.

Теорема 2.1. Число топологічно нееквівалентних спеціальних функцій f, заданих на , з 2n локальними екстремумами, дорівнює числу .

L.I. Nicolaescu Nicolaescu L.I. Morse functions statistics - arXiv:math.GT/0604437 vI 20 Apr 2006 довів гіпотезу Арнольда про швидкість росту числа топологічно нееквівалентних функцій Морса на сфері. Сформулюємо аналог гіпотези Арнольда для спеціальних функцій (функцій Морса) на колі. Якщо позначити через G(n) число топологічно нееквівалентних спеціальних функцій з (2n+2) числом критичних точок, то справедливо

Твердження 2.1. Число топологічно нееквівалентних функції f з 2n локальними екстремумами, серед яких лише один глобальний мінімум (максимум), та k різних значень, які приймає функція в даних екстремумах (k<2n), дорівнює .

Означення 2.2. Будемо вважати, що деякій функції f відповідає розбиття кола ?(f) на дуги , у яких кінці в локальних мінімумах, а значення функції в локальних екстремумах даних дуг, утворюють елементарні змії .

Лема 2.1. Для довільної функції f існує і з точністю до циклічного порядку дуг єдине ?(f)? розбиття.

Означення 2.3. Два розбиття ?(f) та ?(g) кола назвемо ізоморфними (?(f)??(g)), якщо:

1) для кожної дуги можна знайти єдину дугу таку, що відповідні цим дугам елементарні змії та співпадають;

2) циклічний порядок відповідних дуг розбиттів ?(f) та ?(g) співпадає.

Теорема 2.2. Дві функції f та g на колі топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли ?(f)??(g).

Метою досліджень у третьому розділі є знаходження умов топологічної еквівалентності неперервних функцій двох змінних.

У першому підрозділі досліджено випадок неперервних

функцій з точкою ізольованого локального мінімуму (максимуму) у внутрішності області, а також побудовано приклади, які окреслюють ті "різноманіття" особливостей, що можуть виникати, і є істотними перешкодами при класифікації.

Теорема 3.4. Нехай z=f(x,y) -- неперервна функція, яка задана в околі нуля, (0,0) є її ізольованим локальним мінімумом і f(0,0)=0. Функція z=f(x,y) є топологічно еквівалентною конусу над жордановою замкненою кривою ?, що обмежує зіркову область, тоді і тільки тоді, коли для довільного значення c такого, що , справедливо:

(i) гомеоморфна замкненій жордановій кривій;

(ii) сукупність множин утворює регулярну сім'ю кривих в околі (0,0).

У другому та третьому підрозділах досліджуються питання топологічної класифікації псевдогармонічних функцій (неперервних функцій з особливостями типу сідло).

Відомо, що більшість задача топологічної класифікації зводяться до побудови інваріанту.

Нагадаємо означення графу Кронрода-Ріба. Нехай M -- гладкий компактний многовид. Розглянемо деяку гладку функцію із скінченним числом критичних точок. Далі, означимо як шар зв'язну компоненту поверхні рівня , де a?R. Тоді многовид M є об'єднанням всіх шарів функції f. Введемо відношення еквівалентності як властивість точки належати одному шару. Отримана фактор-множина гомеоморфна скінченному графу, який назвемо графом Кронрода - Ріба і позначимо його через .

Нехай -- диск та -- псевдогармонічна функція зі скінченним числом екстремумів на межі . Зауважимо, що побудова графу Кронрода - Ріба для многовиду з краєм є відкритим питанням. А оскільки функція f задана на , то виникає необхідність ввести інший інваріант.

Опишемо побудову комбінаторної діаграми, що відповідає f:

1) Розглянемо граф Кронрода - Ріба , що відповідає звуженню функції f на межу . Він ізоморфний колу з парним числом вершин степеня 2.

2) Нехай -- критичні значення функції, а -- квазірегулярні. Додамо до ті компоненти зв'язності множин ліній рівня, які містять критичні та межові критичні точки.

В результаті на графі Кронрода - Ріба з'являться нові вершини. Позначимо через

де , , компоненти зв'язності множин рівня, що містять критичні та межові критичні точки. Далі отриману конструкцію будемо називати комбінаторною діаграмою функції f.

3) Нехай та -- точки, що належать і відповідають вершинам та діаграми P(f) відповідно. Встановимо на вершинах комбінаторної діаграми P(f) частковий порядок за правилом: () (). Причому, вершини, в яких функція приймає однакові значення, будемо вважати непорівнюваними.

Отже, діаграма P(f) псевдогармонічної функції f -- це скінченний зв'язний граф із заданим строгим частковим порядком на вершинах, степінь яких більший ніж одиниця.

Означення 3.1. ? підграфом діаграми P(f) назвемо деякий підграф q(f), який задовольняє умови:

* q(f) -- простий цикл;

* довільна пара суміжних вершин є порівнянною.

Основні властивості діаграми P(f):

1) існує -підграф q(f)?P(f);

2) , Ш, де i?j, -- дерева такі, що для кожного індексу k довільні дві вершини є непорівнянними;

3) існує вкладення таке, що , і

4) множина є незв'язним об'єднанням множин таких, що Ш, -- гомеоморфне і при i?j містить одну або дві дуги межі .

Теорема 3.1. Дві псевдогармонічні функції f і g є топологічно еквівалентними тоді і лише тоді, коли існує ізоморфізм комбінаторних діаграм , який зберігає строгий частковий порядок, що заданий на них.

Четвертий розділ присвячено дослідженню умов, яким повинен задовольняти деякий скінченний зв'язний граф зі строгим частковим порядком на вершинах, щоб бути реалізованим як комбінаторна діаграма деякої псевдогармонічної функції на диску.

Спочатку розглянемо допоміжну задачу про вкладення дерева у диск.

Теорема 4.1. Якщо множина містить точно дві вершини, то дерево T є D-планарним.

Якщо , то D-планарність дерева T еквівалентна виконанню наступної умови:

* для кожного ребра e існує точно два шляхи, які проходять через ребро e і з'єднують сусідні вершини з .

Нагадаємо, що задати строгий частковий порядок -- це ввести на вершинах відношення порядку <, яке є транзитивним, антирефлексивним і сильно антисиметричним (жодне із співвідношень a<b і b<a не виконується одночасно).

Множина V?V розбивається на два класи та . Вершини та належать класу , якщо вони порівнянні, тобто справедливе одне із співвідношень або , і класу -- в протилежному випадку.

Означення 4.3. Cr?циклом графа G називається деякий його підграф ? -- простий цикл, кожна пара суміжних вершин якого, належить класу .

Нехай для деякого графа виконуються умови:

A1) існує єдиний Cr?цикл ?;

A2) , де F -- ліс такий, що

* якщо для деякої вершини має місце (), де v?G, то для довільної , l?k справедливо ();

* для довільної вершини має місце deg(v)=2s?4;

A3) Умова на строгий порядок для Cr?циклу ?:

для довільної вершини v підграфу ? та суміжних з нею вершин і таких, що має місце:

* якщо deg(v)=2, то , та існує єдиний індекс i такий, що ;

* якщо deg(v)=2s>2 (deg(v)=2s+1), то ().

A4) Умова на строгий порядок графа G: якщо , то з того, що v>v' випливає v>v''.

Зауважимо, що з умови A2 випливає, що всі вершини довільної зв'язної компоненти є непорівнянні між собою.

Оскільки виконується умова A2, то існує непорожня підмножина вершин лісу F, яка містить множину всіх вершин F валентності 1, і така, що . Очевидно, що підмножина вершин лісу F розбивається на підмножини такі, що і .

Означення 4.4. Скінченний граф називається D? планарним, якщо існують підграф ? і вкладення , які відповідають наступним умовам: еквівалентність неперервний функція псевдогармонічний

* ? -- простий цикл;

* -- скінченне об'єднання дерев;

* ? містить всі вершини степеня 1 графа F;

* , .

Теорема 4.2. Граф ? такий, що існує деякий цикл , де -- дерева, є D?планарним, тоді і тільки тоді, коли кожне дерево із підмножиною вершин , циклічний порядок на якій індуковано циклом ?, є D-планарним і для довільних індексів m та n підмножина вершин деякого дерева належить єдиній зв'язній компоненті множини , де m?n, , j=m,n.

Розглянемо дві довільні вершини з множини деякого підграфу графа G, який задовольняє умови A1 та A2. Множина складається з незв'язного об'єднання двох зв'язних множин та .

Означення 4.5. Пара вершин називається межовою, якщо існують такі дві зв'язні множини та , що одна з множин чи не містить жодної вершини з множини і їй належить принаймні одна вершина з множини .

Позначимо межову пару через , а множину , яка не містить жодної вершини з множини і якій належить принаймні одна вершина з множини , через ?. Очевидно, що для кожної вершини з межової пари існує суміжна з нею вершина така, що , де .

Означення 4.6. Граф G називається спеціальним, якщо виконуються наступні умови:

S1) G задовольняє умови A1 та A2;

S2) G є D-планарним;

S3) для довільної межової пари пара суміжних з нею вершин належить одній і тій же множині , де ,.

Означення 4.7. Спеціальний граф називається ?-графом, якщо він задовольняє умову A3.

Нехай на A задано два часткових порядка < і <'. Скажемо, що частковий порядок <' продовжує порядок <, якщо тотожне відображення -- монотонне.

Теорема 4.3. Якщо граф є комбінаторною діаграмою псевдогармонічної функції, то G є ?-графом.

Якщо граф G є ?-графом, то частковий порядок на V(G) можна продовжити так, що граф G з новим частковим порядком на множині вершин буде ізоморфний комбінаторній діаграмі псевдогармонічної функції.

Теорема 4.4. Нехай граф G є ?-графом.

G задовольняє умову A4 тоді і тільки тоді, коли строгий частковий порядок графу G співпадає зі строгим частковим порядком комбінаторної діаграми P(f) деякої псевдогармонічної функції f, що йому відповідає.

ВИСНОВКИ

-- В дисертаційній роботі отримано низку результатів, присвячених встановленню умов топологічної еквівалентності неперервних функцій, заданих на колі та в одиничному крузі;

-- Для неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів, заданих на колі, побудовано інваріант, який описує їх з точністю до топологічної еквівалентності, та дає змогу встановити числа топологічно нееквівалентних функцій;

-- Для неперервної функції, що задана в околі нуля, який є її ізольованим локальним мінімумом (максимумом), знайдено умови за яких функція є топологічно еквівалентна конусу над плоскою кривою;

-- Для псевдогармонічних функцій, що задані на диску, побудовано комбінаторний інваріант, в термінах якого знайдено необхідні та достатні умови топологічної еквівалентності функцій з даного класу;

-- Для скінченного зв'язного графу зі строгим частковим порядком на вершинах, знайдено необхідні та достатні умови, за яких даний граф буде реалізованим як комбінаторний інваріант деякої псевдогармонічної функції.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Юрчук І.А. Топологічна еквівалентність функцій з класу / Юрчук І.А. // Проблеми топології та суміжні питання: Зб. наук. праць Ін-ту математики НАН України - Київ, 2006.- Т.3,№3. - С. 474-486.

2. Юрчук І.А. Конус, як графік неперервної функції / Юрчук І.А.// Вісник Київського національного університету. Серія:фіз.-мат.науки. - 2006.- №3. - С.68-71.

3. Юрчук І.А. Комбінаторні аспекти топологічної класифікації функцій на колі / Юрчук І.А. // Укр.мат.журн.- 2008. - Т.60,№6. - С. 829-836.

4. Yurchuk I.A. About topological equivalence of some functions / Yurchuk I.A. // Geometry and Topology of Manifolds (Lie algebroids, dynamical systems and applications):8th Int.Conf.,Przemysl (Poland)-L'viv (Ukraine),30.04 -06.05.2007:abstracts - L'viv, 2007. - P.77-78.

5. Yurchuk I.A. Topological equivalence pseudoharmonic functions // Geometry in Odessa-2007: IV The International Conference., Odessa, 21-25 May 2007 :abstracts - Odessa, 2007 - P.157-158.

6. Юрчук І.А. Про реалізацію графа, як діаграми псевдогармонічної функції заданої на / Юрчук І.А. // Bogolyubov Reading 2007. Zhitomir-Kiev 19.08-02.09.2007 - Kiev: Institute of Math. of National Academy of Sciences of Ukraine,2007. - P. 108-110.

7. Yurchuk I.A. On topological equivalence of functions on the circle /Yurchuk I.A.// Геометрія та топологія: VII Міжнародна конференція., Черкаси, 10-15.09.07 - Черкаси:ЧДТУ, 2007 - С.93-94.

8. Юрчук І. Псевдогармонічні функції в одиничному крузі / Юрчук І., Полулях Е. // Геометрія в Одесі - 2008: V Міжнародна конференція., Одеса, 19-24 травня 2008 - Одеса, 2008 - С.57-58.

9. Yurchuk I. Topological equivalence of the pseudoharmonic functions defined on the / Yurchuk I., Polulyakh Y. // Analysis and topology: International conference., Lviv, 02-07.06.08 :abstracts [Part II. Topology.] - Lviv, 2008-- P.72-75.

АНОТАЦІЯ

Юрчук І.А. Топологічна еквівалентність псевдогармонічних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія та топологія. - Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена топологічній класифікації функцій. Зокрема, отримано низку результатів, присвячених встановленню умов топологічної еквівалентності неперервних функцій, заданих на колі та в одиничному крузі.

Отримано топологічну класифікацію неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів, заданих на колі, в термінах їх інваріантів, які дають змогу встановити числа топологічно нееквівалентних функцій, крім того, доведено аналог гіпотези Арнольда в одновимірному випадку.

Для неперервної функції, що задана в околі нуля, який є її ізольованим локальним мінімумом (максимумом), знайдено умови, за яких функція є топологічно еквівалентна конусу над плоскою кривою.

Для псевдогармонічних функцій, що задані на диску та мають скінченне число екстремумів на межі, побудовано їх інваріант (комбінаторну діаграму) і знайдено необхідні та достатні умови топологічної еквівалентності функцій з даного класу.

Розв'язано проблему реалізації скінченного зв'язного графу зі строгим частковим порядком на вершинах як комбінаторного інваріанту деякої псевдогармонічної функції. Ключові слова: неперервні функції, псевдогармонічні функції, топологічна спряженість функцій.

Юрчук И.А. Топологическая эквивалентность псевдогармонических функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. - Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2008.

Диссертационная робота посвящена топологической классификации функций. В частности, получены результаты, касающиеся условий топологической эквивалентности непрерывных функций, заданных на окружности и в единичном круге, а также доказан аналог гипотезы Арнольда в одномерном случае.

Получена топологическая классификация непрерывных функций, заданных на окружности с конечным числом экстремумов, в терминах их инвариантов, что дают возможность точно подсчитать числа топологически неэквивалентных функций.

Для непрерывной функции, заданной в окрестности нуля, являющегося ее локальным минимумом (максимумом), получены условия ее топологической эквивалентности конусу над плоской кривой.

Для псевдогармонических функций, определенных в круге с конечным числом экстремумов на границе, построен их инвариант (комбинаторная диаграмма), а также указаны необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности данного класса функций.

Решена проблема реализации конечного связного графа со строгим частичным порядком на вершинах как комбинаторного инварианта некоторой псевдогармонической функции.

Ключевые слова: непрерывные функции, псевдогармонические функции, топологическая сопряженность функций.

Iurchuk I.A. A topological equivalence of the pseudoharmonic functions. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.04 - geometry and topology. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

It is known that many processes of natural sciences are described by smooth and continuous functions. The problem of classification and investigation of the conditions of topological equivalence of functions and other structures on manifolds is an important branch of topology.

In particular, there is a complete topological classification of smooth functions in following cases: maps were classified by V.I. Arnold; in 2-dimensional case it was proved that in a neighborhood of an isolated critical point the function is a topologically equivalent to ; a global classification was obtained by V.V. Sharko, but in a higher dimensional case the problem is unsolved.

It is obvious that the same problem can be formulated for continuous functions. There are some results but in general this problem is open.

In a topological classification of functions some new results are obtained. In particular, the conditions of a topological equivalence of the continuous functions defined on a circle and a disk are found.

A topological classification of continuous functions defined on a circle with a finite number of extrema is obtained in terms of their invariant that calculates a number of topologically non equivalent functions. It was proved that the invariant of such functions is a partition into arcs such that every one corresponds an elementary snake. In one dimensional case the analogue of Arnold's hypothesis is proved.

For a continuous function defined in a neighborhood of a zero that is it's local minimum (maximum) the conditions of a topological equivalence to a cone under a planar curve are obtained.

For the pseudoharmonic functions defined on a disk with a finite number of extrema on a boundary the invariant is constructed. It is a finite connected graph with a strict partial order on vertices. This invariant as a graph consists of an unique cycle such that it's complement is a disjoint union of trees and has a few properties, for example, it has to be embedded into a disk in a special way. In terms of such invariant we formulated a necessary and sufficient condition of a topological equivalence of pseudoharmonic functions. Two pseudoharmonic functions are topologically equivalent if and only if there exists an isomorphism between their invariants preserving a strict partial order on them.

We are interested in an inverse problem of the realization of a connected finite graph with a strict partial order on vertices as a combinatorial invariant of some pseudoharmonic function.

Key words: continuous function, pseudoharmonic function, topologically equivalent functions.

Размещено на Allbest.ru

...