Нелінійні моделі хемостатного виробництва змішаних культур з коменсальною взаємодією

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет радіоелектроніки

УДК 517.928.4

НЕЛІНІЙНІ МОДЕЛІ ХЕМОСТАТНОГО ВИРОБНИЦТВА ЗМІШАНИХ КУЛЬТУР З КОМЕНСАЛЬНОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Яловега Ірина Георгіївна

Харків 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Дікарєв Вадим Анатолійович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, доцент Герасін Сергій Миколайович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри вищої математики;

кандидат технічних наук, доцент Привалов Максим Володимирович, Донецький національний технічний університет, доцент кафедри автоматизованих систем управління.

Захист відбудеться „ 21 ” жовтня 2008 р. о 13-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки, за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки, за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розісланий „ 17 ” вересня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Моделювання складних мікробіологічних систем є надзвичайно важливою задачею математичного моделювання та становить велику значущість для прикладної мікробіології. Моделі конкуренції є одними з найбільш поширених на практиці та становлять інтерес для дослідження в зв'язку з відомим принципом виключення Вольтерри-Гаузе, який, як виявляється, не є аксіомою для всіх моделей. Нелінійні динамічні системи, котрі описують такі процеси, вимагають індивідуального метода розв'язання для кожної конкретної мікробіологічної задачі.

Нелінійна динаміка взаємодіючих популяцій потребує сумісного застосування чисельних та аналітичних методів. Однією з найбільш актуальних проблем є стійкість стаціонарних станів систем. Задачі, котрі пов'язані з дослідженнями стійкості стаціонарних станів біологічних систем, розглядалися в працях О. Д. Базикіна, Ю. М. Свірежева, Д. О. Логофета, Дж. М. Сміта, Ю. О. Пиха, П. Шапіро, Ю. Л. Гурєвіча. Адекватним математичним апаратом при такому аналізі є якісна теорія диференціальних рівнянь та теорія біфуркацій. Аналіз існування та стійкості можливих стаціонарних станів при варіації визначальних параметрів дає можливість керувати процесами в необхідних виробничних або експериментальних цілях.

Не втратили своєї актуальності роботи, присвячені дослідженню моделей конкретних суспільств з невеликою кількістю видів та більш загальних моделей, які описують важливі типи взаємодій видів, наприклад коменсалізм. Актуальною задачею є дослідження якісної та кількісної поведінки таких популяційних моделей, котрі описуються системами нелінійних диференціальних рівнянь, дослідження на стійкість стаціонарних станів, побудова біфуркаційних діаграм при варіації визначальних параметрів, постановка та розв'язок математичних задач оптимального керування процесами, що досліджуються, задля отримання параметрів оптимального керування. У дисертаційній роботі було проведено детальний аналіз двох динамічних популяційних моделей взаємодіючих популяцій за типом коменсалізму, що конкурують за один субстрат, в неперервній культурі.

Значні результати в моделюванні складних біологічних систем та розвитку методів їх дослідження отримали такі вчені як Ю. М. Романовський, А. Г. Дегерменджи, Н. С. Печуркин, А. Н. Шкидченко, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавський та деякі інші.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідних робіт Харківського національного університету радіоелектроніки (ХНУРЕ) в рамках держбюджетної теми «Створення сучасних моделей процесів діагностики, лікування та забезпечення життя людини» (№ДР 0104U004065). У рамках згаданої теми автором як виконавцем досліджено моделі співіснування в одній екологічній ніші популяцій, що взаємодіють за типом коменсалізму.

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є якісний та кількісний аналіз динамічних моделей, що описують виробництво в неперервних культиваторах змішаних мікробіологічних культур при конкурентній та коменсальній взаємодіях видів, який дає можливість отримати оптимальні умови вирощування та підвищити ефективність функціонування системи. Для досягнення поставленої мети в роботі вирішуються такі задачі:

- дослідження існуючих підходів моделювання складних мікробіологічних систем та методів аналізу відповідних математичних моделей;

- розробка узагальненої математичної моделі, що описує процес неперервного культивування змішаної культури при конкурентному та коменсальному взаємодіях видів;

- обчислення стаціонарних станів динамічних моделей та дослідження їх на стійкість;

- аналіз обмежень на вхідні дані мікробіологічних систем;

- аналіз якісних змін у динаміці систем, що досліджуються, обумовлених варіаціями декількох параметрів, за допомогою методів теорії біфуркацій; біфуркація культивування математичний модель

- розробка математичної моделі оптимального керування хемостатним виробництвом мікробіологічних культур, що досліджуються, та визначення параметрів оптимального керування.

Об'єкт дослідження - технологічний процес неперервного культивування у хемостатній установці змішаних мікробіологічних культур.

Предмет дослідження - нелінійні динамічні системи диференціальних рівнянь, які описують моделі неперервного культивування змішаних мікробіологічних культур, що складаються з двох конкуруючих за один субстрат видів при наявності коменсалізму.

Методи дослідження - чисельні методи розв'язання задачі Коши для дослідження динаміки процесу, методи оптимізації для розв'язання задачі оптимального керування технологічним процесом, теорія стійкості Ляпунова для знаходження стаціонарних станів та визначення умов стійкості, чисельні методи знаходження власних значень для несиметричних дійсних матриць, біфуркаційний аналіз для отримання меж змінювання регулюючих параметрів.

Наукова новизна результатів дисертаційної роботи. У рамках вирішення задач дисертаційного дослідження отримано такі основні нові наукові результати:

- набула подальшого розвитку математична модель у вигляді системи третього порядку нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує виробництво змішаної культури, яка складається з двох конкуруючих за один субстрат видів, з коменсальною взаємодією в неперервному культиваторі, що дозволяє прогнозувати розвиток відповідної мікробіологічної системи;

- вперше аналітично визначено та досліджено на стійкість всі стани рівноваги систем, що описують моделі виробництва змішаних культур з коменсальною взаємодією в неперервних культиваторах, отримано обмеження на характеристики зростання та вхідні дані, що дозволяє визначити межи варіації регулюючих параметрів систем задля забезпечення існування необхідних стаціонарних станів;

- вперше виділено області стійкості усіх станів рівноваги, проведено аналіз виникнення біфуркацій при варіації визначальних параметрів для моделей, які описуються системами третього та четвертого порядку, що дозволяє визначити межи варіації регулюючих параметрів систем задля забезпечення стійкості стаціонарних станів, що гарантує технологічну реалізованість виробничного процесу;

- набули подальшого розвитку задачи оптимального керування хемостатним виробництвом, згідно з критеріями максимізації продуктивності установок та пропорційності складу культури, отримано значення параметрів оптимального керування, що дозволяє оптимізувати виробничний процес вирощування змішаних культур за наявності коменсальної та конкурентної взаємодій.

Практичне значення результатів дисертації полягає в тому, що розроблені методи та обчислювальні процедури можуть бути використані в наукових дослідженнях з аналізу складу змішаних культур з коменсальною взаємодією в неперервних культиваторах та в прогнозуванні можливих стійких станів при виробництві низки біологічних лікарських форм, харчових та мікробних продуктів. Розроблений програмний комплекс дозволяє аналізувати динаміку розвитку мікробіологічних систем для визначення оптимальних значень керуючих параметрів.

Впровадження результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи можуть бути впроваджені при прогнозуванні співвідношення нормальної та патогенної флори у різних екологічних нішах макроорганізму, аналізі можливих стаціонарних станів, та їх стійкості; вирощуванні матричної культури для дріжджового та спиртового виробництв; виробництві пробіотіків, імунологічних препаратів, речовин мікробіологічного походження (акт про впровадження від 10.09.2007 р. в ДУ „Інститут мікробіології та імунології ім. І. І. Мечнікова АМН України”).

Результати дисертаційної роботи Яловеги І. Г. впроваджено у навчальний процес на кафедрі прикладної математики ХНУРЕ при викладенні дисциплін „Сінергетика”, „Якісна теорія диференціальних рівнянь” (при проведенні лабораторних робіт та семінарських занять), а також у дипломному проектуванні.

Особистий внесок здобувача. Усі положення, що виносяться на захист, отримані здобувачем особисто. У роботах, які опубліковані в співавторстві, здобувачеві належить: у роботі [2] автором запропоновано моделі динаміки росту видів, що конкурують, проведено чисельну реалізацію досліджень; в роботі [5] автором запропоновано математичну постановку задач оптимального керування хемостатним виробництвом мікробіологічних культур, що досліджуються.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційних досліджень доповідалися, обговорювалися і схвалені на таких науково-технічних конференціях і форумах: 3-ій Міжнародній науково-технічній конференції «Проблемы информатики и моделирования» (Харків, 2003); Всеукраїнській студентській науковій конференції прикладної математики СНКПМІ-2004 (Львів 2004); 10-ій Міжнародній конференції «“Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації”» (Туапсе, 2004); 8-му, 9-му Міжнародних молодіжних форумах “Електроніка і молодь у XXI столітті” (Харків, 2004, 2005); 2-ій Міжнародній науковій конференції «Современные информационные системы. Проблемы и тенденции развития» (Харків-Туапсе, 2007).

Публікації. Основні положення дисертаційної роботи опубліковані у 8 друкованих працях (5 статей у наукових журналах, включених у перелік ВАК України, 3 публікації у працях конференцій).

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, двох додатків. Обсяг дисертації - 158 сторінок, в тому числі 138 сторінок основного тексту, додатків - 20 сторінок. Дисертація містить 22 рисунки (8 стор.), 15 таблиць (6 стор.), та список використаних джерел із 122 найменувань на 10 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, наведено її основну характеристику. Викладено мету і завдання роботи, об'єкт, предмет та методи дослідження. Сформульовано наукову новизну, практичне значення, відповідність роботи державним науковим програмам.

У першому розділі розглянуто основні підходи до моделювання складних мікробіологічних систем та існуючих напрямків досліджень відповідних математичних моделей. Наведено огляд наукових робіт щодо досліджень рівнянь популяційної динаміки.

Обґрунтовано значущість математичних моделей, що описують співіснування в одній екологічній ніші взаємодіючих між собою популяцій. Найпростіша модель - модель відбору на основі конкурентних відношень (Вольтерра) - працює при розгляді конкурентних взаємодій будь-якої природи біохімічних з'єднань, конкуруючих клітин, особин, популяцій. Аксіома Вольтерри-Гаузе, яка говорить, що два види, які займають одну екологічну нішу, не можуть стійко співіснувати, вже майже століття підтверджується або береться під сумнів багатьма дослідниками. Тож дослідження можливого співіснування конкуруючих видів досі залишається актуальною задачею, над якою працюють багато науковців. Наведено важливі результати, отримані у дослідженнях моделей конкуренції.

Зроблено огляд робіт з математичного моделювання процесів культивування мікробіологічних культур. У змішаних культурах майже завжди виникає конкуренція мікроорганізмів за субстрат, тому аналіз відповідних математичних моделей є важливою задачею, як задля перевірки аксіоми Вольтерри-Гаузе, так і задля прогнозування та подальшого керування процесом виробництва таких культур. Однак, крім конкурентних відношень, у змішаних культурах можлива комбінація декількох типів взаємодії, що дещо ускладнює аналіз відповідної математичної моделі, яка являє собою автономну систему нелінійних диференціальних рівнянь з початковими умовами. Одним з найпоширеніших типів взаємодій є коменсалізм. При коменсалізмі у випадку змішаних культур, які складаються з двох штамів мікроорганізмів, один з видів стимулює зріст іншого.

На основі виконаного огляду сформульовано постановку задачі дослідження, яка складається з якісного та кількісного аналізу динамічних моделей, що описують виробництво в неперервних культиваторах змішаних мікробіологічних культур при конкурентній та коменсальній взаємодіях видів, отримання оптимальних умов вирощування та підвищення ефективності функціонування систем.

У другому розділі розроблено узагальнену модель виробництва у неперервному культиваторі типу хемостат змішаної культури, яка складається з двох конкуруючих за один субстрат видів за наявності коменсальної взаємодії. У хемостат з постійною швидкістю подається свіже середовище, об'єм культури підтримується при цьому на постійному рівні шляхом неперервного відливу частини культури. Перемішування в хемостаті повинно бути повним, тобто краплі середовища, що надходить, повинні негайно та однорідно розподілятися по всій культурі. Задача кількісної теорії полягає в тому, щоб передбачити значення швидкості росту, концентрації біомаси та субстрату в різних умовах.

Розглядається математична модель, яка описує виробництво змішаної культури. Припускається, що види лімітуються одним субстратом, а також те, що у присутності виду 1 вид 2 зростає скоріше. Виходячи із зазначених взаємодій між видами та розглянутих у розділі методів побудови математичних моделей у культивуванні мікроорганізмів та клітин, запропоновано систему диференціальних рівнянь, котра описує динаміку компонентів у хемостаті:

(1)

з початковими умовами:

, , , (2)

де S - концентрація субстрату; x, y - концентрації біомас 1 і 2 в культиваторі; D - швидкість протоку; S₀ - концентрація субстрату, яка надійшла у культиватор; , - економічні коефіцієнти біомас 1 і 2, які показують, яка частина субстрату, що поглинається, іде на приріст біомаси; , - максимальні питомі швидкості зростання для обох видів; K_x, K_y - константи Міхаеліса по субстрату S; - коефіцієнт впливу біомаси 1 на біомасу 2, у цьому випадку коменсалізму; , , - початкові значення концентрацій біомас 1, 2 та субстрату відповідно.

Розглянута також модель неперервного виробництва двох мікробіологічних культур, конкуруючих за єдиний субстрат, при виділенні одним із видів продукту, який стимулює зростання іншого. У хемостаті досліджується зріст змішаної культури, яка складається з двох видів дріжджів Candida mycoderma та Candida tropicalis. Особливістю біологічної системи, що розглядається, є те, що дріжджі C. mycoderma виділяють продукт вітамінного походження, який стимулює зростання виду C. Tropicalis. При цьому обидва штами лімітуються одним субстратом - концентрацією глюкози, яка є джерелом енергії та вуглецю. Експериментально було виявлено можливість співіснування видів C. mycoderma та C. Tropicalis при деяких параметрах, однак залишилось питання стійкості стаціонарних станів при варіації визначальних параметрів.

Система, що описує зростання змішаної культури, яка складається з двох видів дріжджів Candida mycoderma та Candida tropicalis, являє собою систему четвертого порядку нелінійних диференціальних рівнянь та виглядає так:

(3)

з початковими умовами

, , , , (4)

де S - концентрація глюкози (субстрату); , - концентрації біомас C. mycoderma та C. tropicalis в системі; Р - концентрація продукту, D - швидкість протоку; S₀ и Р₀ - вхідні концентрації глюкози та дріжджового автолізату; , - максимальні питомі швидкості зростання для двох штамів; , - економічні коефіцієнти біомас C. mycoderma та C. tropicalis; K_m, K_t - константи Міхаеліса по глюкозі; К_р - константа стимуляції по продукту, и - відповідно питома швидкість утворення продукту штамом C. mycoderma та його споживання штамом C. tropicalis; , , , - початкові значення концентрацій біомас C. mycoderma та C. tropicalis, глюкози та продукту відповідно.

Оскільки процеси неперервного виробництва змішаних культур переважно описуються нелінійними диференціальними рівняннями, які не мають аналітичних розв'язків, то одночасно з використанням чисельних методів розв'язування диференціальних рівнянь часто можна виявити важливі якісні властивості розв'язків нелінійних рівнянь, не розв'язуючи їх явно. До таких якісних властивостей належить стійкість розв'язків рівнянь. Тому запропоновано розбити дослідження обох математичних моделей на декілька кроків:

1) чисельне розв'язання нелінійних систем при фіксованих значеннях параметрів, аналіз поведінки мікробіологічних системи з отриманих чисельних розв'язків математичних моделей;

2) аналіз можливих стаціонарних станів систем;

3) аналіз обмежень на характеристики зростання видів, вхідні потоки субстрату і продукту;

4) дослідження стійкості стаціонарних станів;

5) розв'язання задач оптимального керування виробництвом культур, що досліджуються, задля отримання параметрів оптимального керування;

6) аналіз поведінки динамічних моделей при варіації вхідних параметрів, побудова біфуркаційних діаграм.

Проведено чисельний аналіз динаміки процесів виробництва змішаних культур, що досліджуються, побудовано фазові портрети розв'язків, отримано розв'язки систем нелінійних диференціальних рівнянь (1-2) та (3-4) при фіксованих параметрах, які відповідають можливому співіснуванню в одній ніші взаємодіючих популяцій видів.

У третьому розділі здійснюється аналіз можливих стаціонарних станів математичних моделей виробництва змішаних культур в неперервних культиваторах, що досліджуються. Викладено основні результати теорії стійкості в їх застосуванні до систем нелінійних диференціальних рівнянь. Для системи (1) було обчислено всі можливі стаціонарні стани. Найбільшу практичну значущість являє нетривіальний стаціонарний стан, якій відповідає випадку співіснування двох видів, що вирощуються. Аналітичний вираз для нетривіального стаціонарного стану такий:

, , . (5)

Для системи (3) також обчислені всі чотири стаціонарні стани. Співіснуванню двох видів, що вирощуються, відповідає нетривіальний стаціонарний стан:

, ,

, (6)

.

З умов невід'ємності концентрацій субстрату та обох видів випливають обмеження на характеристики зростання видів та вхідний потік для систем (1) та (3), а для системи (3) ще й з умови невід'ємності концентрації продукту обмеження на вхідний потік . Відповідно для кожної особливої точки систем (1) та (3) проведено аналіз обмежень.

Обчислені стани рівноваги та отримані умови задля їх існування надали можливість розробити математичну постановку задачі оптимального керування хемостатним виробництвом. Практичні задачі, які виникають при промисловому вирощуванні, полягають, перш за все, у підвищенні продуктивності установок. Також викликають інтерес задачі керування складом мікробіологічної культури, що виробляється. У культиваторах повного змішування після закінчення перехідного процесу встановлюється стаціонарний стан, концентрація вихідної біомаси визначається тільки декількома зовнішніми параметрами. Регулюючими параметрами є швидкість протоку та концентрація субстрату, якій подається до установки. Запропоновано два критерії управління: пропорційність складу мікробіологічної культури та максимізація продуктивності установки.

Для моделі (1), виходячи із запропонованого першого критерію, надано формальну постановку задачі оптимізації. Цільова функція:

, (7)

де , - концентрації біомас 1 та 2 у культиваторі, які відповідають нетривіальному стаціонарному стану (5) системи (1), параметр відповідає пропорції складу (). Область припустимих рішень (D, )

,

(8)

отримана з умов існування нетривіального стану рівноваги (5) системи (1). Потрібно знайти мінімум побудованої цільової функції (7) при обмеженнях (8) та відповідні значення регулюючих параметрів D та .

Формальна постановка задачі оптимізації для системи (1), яка відповідає другому запропонованому критерію, виглядає так. Цільова функція:

, (9)

де , - концентрації біомас 1 та 2 у культиваторі, які відповідають нетривіальному стаціонарному стану (5) системи (1); множина припустимих рішень D повторює область припустимих рішень (8) тільки без обмежень на . На відміну від задачі керування складом культури, в цій задачі керування значення фіксоване, тому що відносно залежність у цільовій функції лінійна. Потрібно знайти максимум побудованої цільової функції (9) за відповідних обмежень та значення параметру D.

Для моделі (3) формальна постановка задачі оптимізації, яка відповідає першому запропонованому критерію, така. Цільова функція:

, (10)

де та - концентрації біомас, які відповідають нетривіальному стаціонарному стану (6) системи (3).

Потрібно знайти мінімум побудованої цільової функції (10) та відповідні значення регулюючих параметрів D та . Область припустимих рішень (D, ) отримана з умов існування нетривіального стану рівноваги (6):

(11)

.

Постановка задачі оптимізації для системи (3), яка відповідає другому запропонованому критерію така. Цільова функція:

, (12)

де та - концентрації біомас, які відповідають нетривіальному стаціонарному стану (6) системи (3). Область припустимих рішень D повторює область припустимих рішень (11) тільки без обмежень на , бо в цій задачі керування значення фіксоване, тому що відносно залежність у цільовій функції лінійна.

Потрібно знайти максимум побудованої цільової функції (12) при відповідних обмеженнях та значення параметру D.

Отримані задачі є задачами математичного програмування з нелінійними цільовими функціями та нелінійними областями обмежень. Однак, окрім обмежень, отриманих при аналізі існування нетривіальних стаціонарних становищ, необхідним є також аналіз стійкості цих станів. Тож для всіх стаціонарних станів обох моделей (1) та (3) проведено аналіз стійкості. Виписано всі характеристичні матриці, та для деяких станів знайдені аналітичні вирази для власних значень.

У четвертому розділі проведено чисельний аналіз стійкості стаціонарних станів систем (1) і (3) за допомогою комбінації методів Хаусхолдера та QR, які надали можливість обчислити всі власні значення, які можуть буди погано обумовленими, кратними, комплексними.

Для математичної моделі (1) проведено аналіз якісних змін в динаміці, обумовлених варіаціями двох параметрів системи: концентрації субстрату та швидкості протоку D, за допомогою біфуркаційного аналізу. Отриманий аналіз стійкості нетривіального стану рівноваги дав змогу завершити постановки задачі керування (7-8) та (9). Було розглянуто окремий випадок першого критерію, а саме, необхідність отримання такого складу мікробіологічної культури, коли обидва співіснуючих види на виході системи будуть мати однакові концентрації.

а) б)

Рис. 1 а) біфуркаційна діаграма для нетривіальної особливої точки (5); б) область обмежень (D,S₀)

На рисунку 1 зображені біфуркаційна діаграма для нетривіальної особливої точки (5) системи (1), побудована в параметричній площині (D-S₀), та область обмежень параметрів D та S₀ для задачі керування системою (1). У вибраних межах варіації параметрів області стійкості та існування нетривіального стаціонарного стану збігаються, тому область обмежень (8) задовольняє умовам існування та стійкості.

На рисунку 2 зображено графіки цільових функцій, відповідних першому (а) та другому критерію (б) керування системою (1).

Для таких задач нелінійного програмування доцільно використовувати метод внутрішнього штрафу (метод бар'єрних функцій), тому що необхідно, щоб керуючі параметри D та S₀ завжди знаходились усередині області. У таблиці 1 наведено результати розв'язання задачі оптимізації для першого критерію, а саме, оптимальні значення керуючих параметрів, відповідні значення цільової функції (отримані за допомогою методу бар'єрних функцій), значення стаціонарних станів та власних значень (, отримані з аналітичних виразів (5), власні значення - за допомогою комбінації методів Хаусхолдера та QR).

Таблиця 1

Розв'язок задачі оптимізації для системи (1) відповідно до першого критерію

№	1	2	3	4	5
	0,031	0,069	0,083	0,269	1,148
	0,024	0,055	0,066	0,224	1,181
	1,034?10-15	4,749?10-14	0	2,945?10-14	7,598?10-15
	0,268	0,594	0,713	2,253	4,957
	0,257	0,598	0,710	2,261	4,956
Власні значення	-6,878 -0,01+0,016i -0,01-0,016i	-14,942 -0,02+0,038i -0,02-0,038i	-17,57 -0,025+0,045i -0,025-0,045i	-44,712 -0,073+0,147i -0,073-0,147i	-2,825 -0,246+0,189i -0,246-0,189i
Висновок про стійкість	Стійкий стан	Стійкий стан	Стійкий стан	Стійкий стан	Стійкий стан

З наведених в таблиці 1 результатів видно, що знайдені значення параметрів дають змогу отримати рівноважний склад мікробіологічної культури. Окрім цього, відповідні точки рівноваги є стійкими.

Знайдено також розв'язок задачі оптимізації для другого критерію управління системою (1).

Для системи (3) побудовано біфуркаційні діаграми для нетривіальної особливої точки в трьох параметричних площинах (D-S₀), (D-Р₀), (S₀-Р₀).

а) б) в)

Рис. 3 Біфуркаційні діаграми для нетривіального стаціонарного стану системи (3) в площинах: а) (D-S₀), б) (S₀-Р₀), в) (D-Р₀)

Також для системи (3) знайдено розв'язок задачі оптимізації для двох критеріїв управління. Графіки побудованих цільових функцій та область обмежень регулюючих параметрів D, S₀ зображені на рисунку 4.

Отримано добре узгодження досліду щодо співіснування видів Candida mycoderma і Candida tropicalis у проточній культурі при значеннях концентрації глюкози на вході, дорівнюючої 140, 300, 1000 мг/л ( мг/л), з добавленням дріжджового автолізату та без нього. У таблиці 2 наведено експериментальні дані та відповідні розрахунки за математичною моделлю можливого стійкого співіснування культур C. mycoderma і C. tropicalis.

Таблиця 2

Порівняння даних, отриманих експериментально, та розрахунків із системи рівнянь (3) (,, , , , , , , , , , , , )

Конц. глюкози S0 (мг/л)	Конц. дріжджового автолізату Р0 (мг/л)	Концентрація C. mycoderma (%)	Концентрація C. tropicalis (%)
		Експер. дані	Розр. по рівнянням	Експер. дані	Розр. по рівнянням
1000	0	70%	75%	30%	25%
1000	10	52%	55%	48%	45%
1000	35	3%	4%	97%	96%
300	5	87%	92%	13%	8%
300	10	52%	55%	48%	45%
300	15	15%	18%	85%	82%
140	8	85%	90%	15%	10%
140	10	53%	56%	47%	44%
140	13	4%	5%	96%	95%

Дані обчислювального експерименту, в межах припустимої похибки (%), збігаються з реальними результатами, які були отримані при виробництві змішаної культури.

У додатках наведено документи про впровадження отриманих результатів дисертаційної роботи та доповнення до основного змісту роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі проведено детальний аналіз двох динамічних математичних моделей популяцій, що взаємодіють за типом коменсалізму та конкурують за один субстрат, в неперервній культурі. Внаслідок проведеного якісного та кількісного дослідження таких моделей було отримано такі результати:

1. На основі дослідження та аналізу наукових робіт в області популяційної динаміки та моделювання мікробіологічних суспільств виділено важливий клас взаємодії - конкуренція за один субстрат в комбінації з коменсалізмом - що дозволяє зробити висновок про те, що дослідження можливого співіснування декількох популяцій в одному середовищі є актуальною за теперішнього часу задачею, і принцип Вольтерри-Гаузе не є аксіомою для всіх моделей.

2. Розроблено узагальнену математичну модель виробництва змішаної мікробіологічної культури з конкурентною та коменсальною взаємодіями в неперервному культиваторі типу хемостат у вигляді системи третього порядку нелінійних диференціальних рівнянь з початковими умовами. У запропонованій моделі змішаної культури, яка складається з двох видів мікроорганізмів, що конкурують за один субстрат, один з видів виробляє з'єднання, які являють додаткові джерела енергії або харчування для другого виду.

3. Проведено чисельний аналіз задач Коши, якими описуються узагальнена математична модель змішаної культури та математична модель, яка описує виробництво двох мікроорганізмів при виділенні одним з видів продукту, який стимулює зростання іншого. Проведено аналіз поведінки мікробіологічних систем на базі чисельного дослідження математичних моделей диференціального типу, що дозволило обґрунтувати можливість співіснування двох взаємодіючих видів у змішаній культурі на прикладі двох мікробіологічних моделей.

4. Проведено якісний аналіз двох моделей, що досліджуються, на стійкість можливих стаціонарних станів. Аналітично виділено всі особливі точки, отримано обмеження на ростові характеристики видів та вхідні потоки субстрату та продукту, що дозволило визначити межі варіації регулюючих параметрів систем задля забезпечення існування необхідних стаціонарних станів.

5. Для двох моделей, що досліджуються, проведено аналіз якісних змін в динаміці, обумовлених варіаціями декількох параметрів системи, та побудовано біфуркаційні діаграми для всіх особливих точок, що дозволило визначити межі варіації регулюючих параметрів систем задля забезпечення стійкості стаціонарних станів, що гарантує технологічну реалізованість виробничого процесу. Отримано результати, які добре узгоджуються із сучасними уявленнями про можливість співіснування двох видів, що конкурують за одне джерело живлення. Дані чисельного експерименту в межах допустимої похибки (%) збігаються з реальними результатами, які були отримані при виробництві змішаної культури, яка складається з двох видів дріжджів Candida mycoderma і Candida tropicalis.

6. Сформульовано задачі оптимального керування хемостатним виробництвом мікробіологічних культур, що досліджуються, у вигляді задач детермінованого математичного програмування. Запропоновано формальну постановку математичної задачі оптимального керування неперервним виробництвом, згідно з критеріями максимізації продуктивності установок та визначення необхідного складу культури, та отримано розв'язки сформульованих задач оптимізації для визначення параметрів оптимального управління, що дозволило оптимізувати виробничний процес вирощування змішаних культур за наявності коменсальної та конкурентної взаємодій.

Результати дисертаційної роботи можуть бути впроваджені при прогнозуванні співвідношення нормальної та патогенної флори у різних екологічних нішах макроорганізму, аналізі можливих стаціонарних станів, та їх стійкості; вирощуванні матричної культури для дріжджового та спиртового виробництв; виробництві пробіотіків, імунологічних препаратів, речовин мікробіологічного походження.

Результати дисертаційної роботи впроваджено у навчальний процес на кафедрі прикладної математики ХНУРЕ при викладанні дисциплін „Сінергетика”, „Якісна теорія диференціальних рівнянь” (при проведенні лабораторних робіт та семінарських занять), а також у дипломному проектуванні.

ПЕРЕЛІК РОБІТ, ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Яловега И. Г. Численный анализ решений системы уравнений математической модели процесса рождения и гибели конкурирующих популяций // Радиоэлектроника и информатика. №2. 2004. С. 68 - 72.

2. Дикарев В. А., Яловега И. Г. Анализ динамики численностей конкурирующих видов с периодически изменяющимися характеристиками процессов // Радиоэлектроника и информатика. №3. 2004. С. 96 - 98.

3. Яловега И. Г. Устойчивость стационарных состояний смешанной культуры с видом взаимодействия типа комменсализм // Радиоэлектроника и информатика. №4. 2005. С. 149 - 153.

4. Яловега И. Г. Качественный и количественный анализ математической модели производства смешанной культуры с комменсальным взаимодействием // Радиоэлектроника и информатика. №2. 2007. С. 62 - 68.

5. Яловега И. Г., Синельникова О. И., Мамедова А. А. Методы оптимизации непрерывного производства смешанной культуры с конкурентным и комменсальным взаимодействиями // Радиоэлектроника и информатика. №3. 2007. С. 119 - 125.

6. Яловега И. Г. Численный анализ и моделирование динамики численности конкурирующих популяций при воздействии внешних и внутренних факторов // 8-й Международный молодежный форум «Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке». Часть 2. Харьков. 2004. С. 163.

7. Яловега И. Г. Анализ динамики конкурирующих популяций в переменных и постоянных условиях // 9-й Международный молодежный форум «Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке». Харьков. 2005. С. 471.

8. Яловега И. Г. Анализ существования устойчивых стационарных состояний смешанной микробиологической культуры // 2-я Международная научная конференция «Современные информационные системы. Проблемы и тенденции развития». Харьков-Туапсе. 2007. С. 259 - 260.

АНОТАЦІЯ

Яловега І. Г. Нелінійні моделі хемостатного виробництва змішаних культур з коменсальною взаємодією. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2008.

У дисертаційній роботі проведено якісний та кількісний аналіз двох динамічних математичних моделей взаємодіючих популяцій за типом коменсалізму, які конкурують за один субстрат, в неперервній культурі, що дало можливість розв'язати задачі керування та отримати оптимальні умови вирощування. Основними методами дослідження таких моделей є якісна теорія диференціальних рівнянь та теорія біфуркацій.

Розроблено математичну модель у вигляді системи третього порядку нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує виробництво змішаної культури, що складається з двох конкуруючих за один субстрат видів, з коменсальною взаємодією в неперервному культиваторі. Обчислено всі стаціонарні стани двох динамічних моделей та досліджено їх на стійкість, отримано обмеження на вхідні дані. Проведено аналіз якісних змін у динаміці систем, що досліджуються, обумовлених варіаціями декількох параметрів, за допомогою методів теорії біфуркацій. Набули подальшого розвитку методи оптимального керування хемостатним виробництвом.

Ключові слова: моделі популяційної динаміки, хемостатне виробництво, дослідження стійкості, біфуркаційний аналіз, оптимальне керування.

АННОТАЦИЯ

Яловега И. Г. Нелинейные модели хемостатного производства смешанных культур с комменсальным взаимодействием. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2008.

В диссертационной работе проведен детальный анализ динамических популяционных моделей двух взаимодействующих видов по типу комменсализма, конкурирующих за один субстрат. Рост двух взаимодействующих популяций рассматривается в смешанной культуре, выращиваемой в непрерывном культиваторе типа хемостат. Из-за сложности поведения смешанных культур использование математических моделей различных систем для описания и предсказания поведения культуры приобретает особенное значение. Математические модели, описывающие поведение смешанных культур, представляют собой автономные системы нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями, как правило, аналитически не разрешимые. Наряду с применением численных методов решения систем дифференциальных уравнений, возможно получить качественные характеристики поведения систем, не разрешая их явно, с помощью методов теории дифференциальных уравнений и бифуркаций.

На основе изучения и анализа научных источников в области популяционной динамики и моделирования микробиологических сообществ выделен важный класс взаимодействия - конкуренция за один источник питания в комбинации с комменсализмом. Предложена обобщенная математическая модель смешанной культуры с видом взаимодействия типа комменсализм в непрерывной культуре. В предложенной модели смешанной культуры, состоящей из двух видов микроорганизмов, один из видов стимулирует рост второго, при этом не уточняется природа комменсального взаимодействия, это может быть выделение энергии или тепла. Также рассмотрена модель смешанной культуры, состоящей из двух, конкурирующих за один субстрат, видов, при выделении одним из видов продукта, являющегося дополнительным источником питания для другого.

Для двух популяционных моделей получены решения систем при помощи численных методов. С использованием методов теории устойчивости по Ляпунову аналитически выделены все возможные стационарные состояния систем, проведен анализ их устойчивости. Получены ограничения на входные данные микробиологических систем, гарантирующие существование необходимых стационарных состояний. Для исследования динамической модели в целом недостаточно определить ее поведение только при одном конкретном значении того или иного параметра - нужно иметь представление о характере поведения модели в зависимости от значений параметров, изменяющихся в некотором диапазоне. Возможность сосуществования и управления равновесным составом популяции непосредственно следует из анализа положительных значений стационарных состояний системы. Проведен анализ качественных изменений в динамике, обусловленных вариациями некоторых регулируемых параметров систем, построены бифуркационные диаграммы для всех стационарных состояний.

Сформулированы задачи оптимального управления хемостатным производством исследуемых микробиологических культур в виде задач детерминированного математического программирования с ограничениями в виде неравенств и нелинейными целевыми функциями, согласно критериям максимизации продуктивности установки и определения необходимого состава культуры. Получены решения сформулированных задач, определены параметры оптимального управления.

Полученные результаты хорошо согласуются с современными представлениями о возможности сосуществования двух видов, конкурирующих за один источник питания. Данные вычислительного эксперимента в пределах допустимой погрешности (%) совпадают с реальными результатами, полученными при производстве смешанной культуры, состоящей из двух видов дрожжей Candida mycoderma и Candida tropicalis.

Ключевые слова: модели популяционной динамики, хемостатное производство, исследование устойчивости, бифуркационный анализ, оптимальное управление.

ABSTRACT

Yalovega I. G. Nonlinear models of chemostat production of mixed cultures with interaction of commensalisms. - Manuscript.

Thesis submitted for scientific degree of candidate in technical sciences in specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - Kharkiv National University of Radioelectronics. Kharkiv, 2008.

The qualitative and quantitative analysis of two mathematical models of populations with interactions of competition and commensalisms in the throughput system is conducted in the thesis. This analysis gave the opportunity to solve the problem of control and to achieve optimal conditions of cultivation. The theory of differential equations and the theory of bifurcation are the basic methods of the investigation of such models.

The mathematical model is offered as the system of the third order of the nonlinear differential equations, which describes production of mixed culture, consisting of two populations competing for the unique substrate with interactions of commensalisms, in the chemostat. All possible stationary states of two systems are found and examined for stability. Limitations of the growth characteristics and entering flows of the substrate and product are received. The analysis of the qualitative changes in the dynamics of investigating systems which were conditioned by variations of several parameters is conducted by means of the methods of bifurcation. The methods of the optimal control of the chemostat production have developed further.

Key words: population models, chemostat production, stability of stationary states, bifurcation analysis, optimization.

Размещено на Allbest.ru

...