Топологічні властивості замкнених 1-форм на поверхнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

ТОПОЛОГІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ

01.01.04 - геометрія та топологія

БУДНИЦЬКА Надія Володимирівна

КИЇВ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ПРИШЛЯК Олександр Олегович

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, професор кафедри геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЛЕЙКО Святослав Григорович

Одеський національний університет імені І.І. Мечникова,

завiдувач кафедри геометрії і топології

кандидат фізико-математичних наук

КАДУБОВСЬКИЙ Олександр Анатолійович

Слов'янський державний педагогічний університет,

доцент кафедри геометрії.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена дослідженню топологічних властивостей замкнених 1-форм з ізольованими нулями на поверхнях. Оскільки замкнена 1-форма локально є диференціалом деякої функції, то важливу роль у дослідженні відіграють властивості функцій і їх класифікація.

В.В. Шарко та А.А. Ошемков отримали топологічну класифікацію функцій Морса на поверхнях. C.І. Максименко та О.О. Пришляк, узагальнивши ці результати, отримали топологічну класифікацію -функцій на поверхнях та на поверхнях з краєм відповідно.

Дослідження замкнених 1-форм, зокрема на орієнтованих поверхнях, пов'язане з динамічними системами. Одним з напрямків сучасної теорії динамічних систем є дослідження потоків з нетривіальними рекурентними траєкторіями, які також називають незамкненими стійкими за Пуасоном. Оскільки на площині і на сфері немає незамкнених стійких за Пуасоном траєкторій, то в даному випадку повним топологічним інваріантом є схема динамічної системи.

На поверхнях більшого роду дослідження топологічної класифікації значно ускладнюється через існування незамкнених стійких за Пуасоном траєкторій, негомотопних нулю замкнених траєкторій і контурів, що складаються зі станів рівноваги і сепаратрис, які їх з'єднують.

Топологічну класифікацію транзитивних потоків, тобто потоків, які мають всюди щільну траєкторію і не мають станів рівноваги, на замкненій орієнтованій поверхні роду 1 (торі) отримано за допомогою інваріанту - числа обертання Пуанкаре.

С.Х. Арансон, В.З. Грінес на замкнених орієнтованих поверхнях роду більше ніж 1 дослідили потоки класу , тобто потоки, які мають всюди щільну півтраєкторію, скінченне число станів рівноваги і сепаратрис та не мають сепаратрис, що з'єднують стани рівноваги. Вони отримали топологічну класифікацію даних потоків за допомогою нового топологічного інваріанту - гомотопічного класу обертання, який є узагальненням числа обертання Пуанкаре.

С.Х. Арансон, В.З. Грінес також досліджували замкнені неорієнтовані поверхні роду 1 та 2, зокрема, було встановлено, що на даних поверхнях немає незамкнених стійких за Пуасоном траєкторій.

С.Х. Арансон, Є.В. Жужома, І.А. Тельних розглядали замкнені неорієнтовані поверхні роду більше ніж 2. Так, на неорієнтованій поверхні роду 3 у випадку існування незамкненої всюди щільної півтраєкторії можливий лише один варіант вигляду траєкторій і топологічна класифікація транзитивних потоків зводиться до сумірності відповідних чисел обертання Пуанкаре. На замкнених неорієнтованих поверхнях роду більше ніж 3 вони дослідили топологічну класифікацію надтранзитивних потоків, тобто потоків будь-яка одновимірна траєкторія яких скрізь щільна на поверхні. Для її отримання було створено інваріант - орбіту гомотопічного класу обертання.

Топологічна теорія замкнених 1-форм започаткована С.П. Новіковим, вона була предметом вивчення М. Фарбера, А.В. Пажитнова, В.І. Арнольда, А.Т. Фоменка, О.О. Пришляка та ін.

Властивості замкнених 1-форм, зокрема на площині, описано А.Т. Фоменком. С.В. Білун і О.О. Пришляк отримали топологічну класифікацію замкнених 1-форм Морса із замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях. Знайдені результати грунтуються на дослідженні інваріанту - графа замкненої 1-форми та додатних і від'ємних частин околів.

Питання топологічної еквівалентності довільних замкнених 1-форм із довільними рекурентними кривими на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм були відкритими. Саме вони і досліджуються у даній дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (номер державної реєстрації 0106U005862). Роботу виконано у відповідності до завдань держбюджетної дослідницької теми №06БФ038-02 ”Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів”.

Мета і завдання дослідження.

Метою дисертації є встановлення можливого вигляду інтегральних кривих замкненої 1-форми; знаходження розбиття замкненої поверхні на області, які заповнені інтегральними кривими однотипної поведінки; отримання критеріїв топологічної еквівалентності замкнених 1-форм, заданих на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм; доведення теореми реалізації для замкненої 1-форми із замкненими рекурентними кривими.

Об'єктом дослідження є інтегральні криві замкненої 1-форми, які задані на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм.

Предметом дослідження є топологічна класифікація замкнених 1-форм, які задані на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм; необхідні та достатні умови існування замкненої 1-форми із заданим графом.

Основні задачі дослідження:

· побудова інваріантів замкнених 1-форм на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм, які дають можливість розрізняти топологічно нееквівалентні замкнені 1-форми;

· встановлення вигляду інтегральних кривих замкненої 1-форми;

· дослідження розбиття замкненої поверхні на області, які заповнені інтегральними кривими однотипної поведінки;

· отримання умов, за яких довільні криві, задані на замкненій поверхні, будуть інтрегральними кривими деякої замкненої 1-форми;

· доведення теореми реалізації для замкненої 1-форми із замкненими рекурентними кривими;

· підрахунок числа топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм із замкненими рекурентними кривими, з трьома, чотирма, п'ятьма ребрами на сфері та торі;

· підрахунок числа топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з одним нулем, з однією, двома петлями та з сумірними числами обертання Пуанкаре незамкнених рекурентних кривих на орієнтованій поверхні роду 2.

Методика дослідження. В дисертаційній роботі для розв'язання сформульованих задач використовуються результати і методи топології та теорії динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результата-ми, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

· побудовано інваріанти замкнених 1-форм на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм, які дають можливість розрізняти топологічно нееквівалентні замкнені 1-форми;

· встановлено вигляд інтегральних кривих замкненої 1-форми;

· знайдено структуру областей замкненої поверхні, заповнених інтегральними кривими однотипної поведінки;

· отримано умови, за яких довільні криві, задані на замкненій поверхні, будуть інтрегральними кривими деякої замкненої 1-форми;

· доведено теорему реалізації для замкненої 1-форми із замкненими рекурентними кривими;

· підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм із замкненими рекурентними кривими, з трьома, чотирма, п'ятьма ребрами на сфері і торі;

· підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з одним нулем, з однією, двома петлями та з сумірними числами обертання Пуанкаре незамкнених рекурентних кривих на орієнтованій поверхні роду 2.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані як при дослідженні властивостей замкнених 1-форм, так і в тих галузях науки, де виникають функції чи динамічні системи на поверхнях.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

· семінарах відділу топології Інституту математики НАН України; керівник семінару - член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, зав. відділом топології В.В. Шарко;

· семінарах кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка; керівник семінару - доктор фіз.-мат. наук, професор О.О. Пришляк;

· семінарі кафедри геометрії і топології механіко-математичного факультету Одеського національного університету імені І.І. Мечникова; керівник семінару - доктор фіз.-мат. наук, професор С.Г. Лейко;

· VII Міжнародній конференції з геометрії та топології (Черкаси, вересень 2007);

· VI Міжнародній конференції ”Геометрія в Одесі - 2009” (Одеса, травень 2009);

· Міжнародній конференції ”Infinite Dimensional Analysis and Topology” (Івано-Франківськ, травень-червень 2009).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 7 робіт, з них три статті [1-3] - в наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України, та четверо тез [4-7] - у збірниках тез доповідей на Міжнародних наукових конференціях.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 39 найменувань (на 5 сторінках). Повний обсяг роботи становить 151 сторінку. Для її оформлення використано видавничу систему LaTeX.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові Олександру Олеговичу ПРИШЛЯКУ за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі. Особливу подяку висловлюю співробітникам відділу топології Інституту математики НАН України В.В. Шарку, Є.О. Полуляху, С.І. Максименку та іншим науковцям, які брали участь у роботі семінару відділу топології, висловили низку важливих зауважень і порад під час моїх доповідей.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлюється загальна картина досліджень, споріднених з проведеними в дисертації, обґрунтовується актуальність роботи, формулюється мета досліджень та дається перелік основних результатів.

У першому розділі проводиться попередній огляд літератури. Описано основні результати попередників та викладено ідеї, на яких ґрунтуються отримані результати. Розглянемо деякі з них.

Нехай - замкнена поверхня роду , - замкнена 1-форма, задана на , тобто локально існує гладка функція така, що

Означення 1.21. Позначимо через множину нулів замкненої 1-форми . Крива , що не містить нулів, називається інтегральною кривою 1-форми , якщо локально вона є рівнем функції такої, що .

Для кожного досить малого околу точки крива, що проходить через , розбиває на дві частини: додатну і від'ємну .

Означення 1.22. Диференціальні 1-форми і на називаються траєкторно еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм , що відображає нулі в нулі, а криві на криві. При цьому називається траєкторною еквівалентністю. Якщо, крім того, зберігає розбиття кожного малого околу точки на додатну і від'ємну частини, то вона називається топологічною еквівалентністю, а відповідні 1-форми - топологічно еквівалентними.

Означення 1.23. Нуль 1-форми називається ізольованим, якщо існує його окіл, що не містить інших нулів.

В дисертаційній роботі розглядаються замкнені 1-форми з ізольованими нулями.

Означення 1.24. Інтегральна крива називається рекурентною, якщо .

З означення випливає, що якщо інтегральна крива є замкненою або скрізь щільною в , то вона є рекурентною.

У другому розділі досліджено замкнені 1-форми на замкнених поверхнях: доведено, що інтегральні криві замкненої 1-форми не мають стоків, витоків і - чи -граничних множин, гомеоморфних колу; отримано теореми про розбиття інтегральними кривими замкненої поверхні на області, заповнені однотипними кривими.

Означення 2.1. Відкриту множину будемо називати областю, якщо складається з інтегральних кривих і нулів .

Означення 2.3. Нехай - нуль замкненої 1-форми , - його окіл. Якщо після побудови дотичного векторного поля на інтегральних кривих в околі ми отримаємо стік або витік поля , то дану точку будемо називати стоком або витоком відповідно замкненої 1-форми .

Лема 2.2. Інтегральні криві замкненої 1-форми не мають стоків і витоків.

Означення 2.4. Нехай - деяка гранична множина, гомеоморфна колу, для інтегральних кривих , - її окіл. Якщо після побудови дотичного векторного поля на інтегральних кривих в околі ми отримаємо, що -- чи -гранична множина поля, гомеоморфна колу, то дану граничну множину будемо називати замкненою -граничною множиною для замкненої 1-форми.

Лема 2.3. Замкнена 1-форма не має замкнених -граничних множин.

У випадку орієнтованої поверхні показано, що для вивчення кривих замкненої 1-форми можна досліджувати траєкторії дотичного векторного поля.

Теорема 2.1. Нехай - замкнена орієнтована поверхня роду, - замкнена 1-форма, задана на. Тоді інтегральні криві , що з'єднують нулі, розбивають на області наступних типів:

1) області, заповнені замкненими інтегральними кривими; такі області будуть або плоского типу і не більше ніж двозв'язні, або ж, для випадку (тор), можуть заповнювати собою всю поверхню;

2) області, всюди щільно заповнені незамкненими рекурентними інтегральними кривими; ці області неплоскі і їх число не більше ніж.

У випадку неорієнтованої поверхні наведено приклади, які показують, що не кожна замкнена 1-форма задає дотичне векторне поле і навпаки.

Теорема 2.2. Нехай - замкнена неорієнтована поверхня роду, - замкнена 1-форма, задана на. Тоді інтегральні криві, що з'єднують нулі, розбивають на області наступния типів:

1) області, заповнені замкненими інтегральними кривими; такі області будуть або плоского типу і не більш ніж двозв'язні, або для випадку (пляшка Клейна) заповнюють собою всю поверхню;

2) області, всюди щільно заповнені незамкненими рекурентними інтегральними кривими; ці області неплоскі і їх число не більше ніж.

У третьому розділі дана топологічна класифікація замкнених 1-форм із замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях

Теорема 3.1. Нехай - замкнена поверхня, на якій задана 1-форма із замкненими рекурентними кривими та ізольованими нулями. 1-Форма топологічно еквівалентна замкненій 1-формі тоді і тільки тоді, коли всі її інтегральні криві, крім кривих, що з'єднують нулі, є замкнутими.

Означення 3.1. Нехай - замкнена 1-форма, яка задана на замкненій поверхні, всі рекурентні криві якої замкнені. Об'єднання нулів та кривих, що їх з'єднують, будемо розглядати як граф, що вкладений в. Вершинами графа є нулі, а ребрами - криві, що їх з'єднують.

Теорема 3.2. Нехай і - замкнені 1-форми з ізольованими нулями на замкнених поверхнях та, всі рекурентні інтегральні криві яких замкнені. і - графи і з означення 3.1 відповідно. Для того, щоб 1-форми і були траєкторно еквівалентними, необхідно і достатньо, щоб існував гомеоморфізм, обмеження якого на задає ізоморфізм графів.

При розгляді топологічної еквівалентності 1-форм, крім умов траєкторної еквівалентності, треба враховувати інформацію, яка забезпечувала б відповідність між додатними та від'ємними частинами околів. Об'єднання додатних частин околів будемо називати додатною підобластю, від'ємних - від'ємною підобластю. - це об'єднання двозв'язних областей. Кожну двозв'язну область розіб'ємо будь-якою замкненою інтегральною кривою на дві підобласті, одну з яких назвемо додатною, а іншу - від'ємною.

Наслідок 3.1. Дві замкнені 1-форми з ізольованими нулями і на замкнених поверхнях та, всі рекурентні інтегральні криві яких замкнені, будуть топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, якщо існує така їх траєкторна еквівалентність, яка відображає додатні підобласті у додатні, а від'ємні - у від'ємні.

У четвертому розділі дана топологічна класифікація замкнених 1-форм із довільними інтегральними кривими на замкнених орієнтованих поверхнях.

Нехай - замкнена 1-форма з ізольованими нулями на замкненій орієнтованій чи неорієнтованій поверхні. Розглянемо побудову графа замкненої 1-форми з довільними рекурентними кривими.

Означення 4.1. Об'єднання нулів замкненої 1-форми та інтегральних кривих, що їх з'єднують, будемо розглядати як граф, вкладений в поверхню. При цьому, якщо з нуля виходить незамкнена рекурентна півкрива, то для отримання графа ми обріжемо цю криву на деякій відстані від нуля, отримаємо ребро з однією вершиною валентності 1.

Теорема 4.1. Нехай - замкнена орієнтована поверхня роду і на задано дві замкнені 1-форми і. Для того, щоб і були топологічно еквівалентними, необхідно і достатньо, щоб:

1) для і , де , - графи з означення 4.1, виконувалися умови:

· існував гомеоморфізм, обмеження якого на задає ізоморфізм графів і;

· області, що обмежені ребрами графа, переходили в області, що обмежені образами цих ребер у графі;

· додатні підобласті переходили в додатні, від'ємні - у від'ємні;

2) для кожної з областей із, що містить хоча б одну незамкнену рекурентну криву, виконувалися умови:

· для областей роду числа обертання півкривих замкнених 1-форм і мають бути сумірними;

· для областей роду існують по одній незамкненій рекурентній сепаратрисі замкнених 1-форм і, що мають сумірні гомотопічні класи обертання.

У п'ятому розділі наведено топологічну класифікацію замкнених 1-форм із довільними інтегральними кривими на замкнених неорієнтованих поверхнях.

Теорема 5.1. Нехай - замкнена неорієнтована поверхня роду або і на задано дві замкнені 1-форми і. Для того, щоб і були топологічно еквівалентними, необхідно і достатньо, щоб для і, де , - графи з означення 4.1, виконувалися умови:

· існував гомеоморфізм, обмеження якого на задає ізоморфізм графів і;

· області, що обмежені ребрами графа, переходили в області, що обмежені образами цих ребер у графі;

· додатні підобласті переходили в додатні, від'ємні - у від'ємні.

Теорема 5.2. Нехай - замкнена неорієнтована поверхня роду і на задано дві замкнені 1-форми і. Для того, щоб і були топологічно еквівалентними, необхідно і достатньо, щоб:

1) для і , де , - графи з означення 4.1, виконувалися умови:

· існував гомеоморфізм, обмеження якого на задає ізоморфізм графів і;

· області, що обмежені ребрами графа, переходили в області, що обмежені образами цих ребер у графі;

· додатні підобласті переходили в додатні, від'ємні - у від'ємні;

2) для областей з, що містять незамкнену рекурентну півкриву, числа обертання незамкнених рекурентних півкривих замкнених 1-форм і мають бути сумірними.

Теорема 5.3. Нехай - замкнена неорієнтована поверхня роду і на задано дві замкнені 1-форми і. Для того, щоб і були топологічно еквівалентними, необхідно і достатньо, щоб:

1) для і де , - графи з означення 4.1, виконувалися умови:

· існував гомеоморфізм, обмеження якого на задає ізоморфізм графів і;

· області, що обмежені ребрами графа, переходили в області, що обмежені образами цих ребер у графі ;

· додатні підобласті переходили в додатні, від'ємні - у від'ємні;

2) для кожної з областей із, що містить хоча б одну незамкнену рекурентну півкриву, виконувалися умови:

· для орієнтованих областей роду числа обертання незамкнених рекурентних півкривих замкнених 1-форм і мають бути сумірними;

· для орієнтованих областей роду існують по одній незамкненій рекурентній сепаратрисі замкнених 1-форм і, що мають сумірні гомотопічні класи обертання;

· для неорієнтованих областей роду числа обертання півкривих замкнених 1-форм і мають бути сумірними;

· для неорієнтованих областей роду існують по одній незамкненій рекурентній сепаратрисі замкнених 1-форм і, що мають однакові орбіти обертання.

У шостому розділі наведено топологічну класифікацію замкнених 1-форм із довільними інтегральними кривими на поверхнях з краєм. Нехай- поверхня з краєм. крива замкнений інтегральний однотипний

Означення 6.7. Компонентою краю поверхні з краєм будемо називати підмножину з , яка гомеоморфна колу, і позначатимемо її через.

Описано наступну поведінку інтегральних кривих в околі компоненти краю.

1) належить об'єднанню інтегральних кривих.

В залежності від наявності або відсутності на сідел парноі чи непарної валентності побудовано ”0”-центр чи ””-сідло, де - кількість сідел непарної валентності.

2) Інтегральні криві знаходяться в загальному положенні до.

Розглянемо точку і нехай в околі задана карта з координатами, , така, що. В карті представимо криву у вигляді. Позначимо через - множину точок, у яких інтегральні криві дотикаються краю.

Означення 6.8. Точку будемо називати невиродженою, якщо в системі координат, яка вибрана, як описано вище, виконуються такі умови: і.

Приклеїмо до даної компоненти комір і продовжимо інтегральні криві на нього.

Означення 6.9. Позначимо ті точки множини, у яких, через, а ті, в яких, - через.

Означення 6.10. Будемо казати, що інтегральні криві замкненої 1-форми знаходяться в загальному положенні до компоненти краю, якщо вони дотикаються до в невироджених точках множини і перетинають трансверсально в усіх інших точках.

В залежності від наявності або відсутності на точок чи побудовано ””-сідло, ”-”-сідло чи ””-сідло

3) Інтегральні криві всюди трансверсально перетинають.

Нехай поверхня має компонент краю, кожну з яких інтегральні криві перетинають трансверсально в кожній точці. При деякому вкладенні поверхні в побудуємо гомеоморфне перетворення таким чином, щоб існувала функція висоти, для якої всі такі компоненти, лежали на одному максимальному рівні. Задамо однакові орієнтації на і створимо ”дзеркальну” копію початкової поверхні відносно максимального рівня. Розглянемо ручок, в яких і мають таку ж орієнтацію, як і компоненти. Ототожнимо кожну пару компонент краю з межами однієї з ручок.

Після перебудов, описаних у випадках 1), 2) та 3), отримаємо замкнену поверхню, на якій задана замкнена 1-форма. Використовуючи ідеї класифікації замкнених 1-форм на замкнених поверхнях знайдено класифікацію на поверхнях з краєм.

У сьомому розділі встановлено умови, за яких, маючи деякі інваріанти, можна отримати замкнену 1-форму.

Нехай - замкнена поверхня роду, - граф, вкладений в. Нехай довільна замкнена крива перетинає в точках. Зафіксуємо деяку точку перетину і поставимо їй у відповідність знак, який є або, або -. Тоді з кожною наступною точкою будемо пов'язувати знак за таким правилом: якщо рухаючись по, кожну наступну точку перетину можна отримати, рухаючись від попередньої по ребрах і вершинах (чи ребрі) графу, то для точки будемо вважати. Якщо таких ребер (чи ребра) не існує, то з точкою співставимо. Зауважимо, що знак будемо ставити перед перетином кривої з графом, який визначає точку.

Теорема 7.1. Нехай - замкнена поверхня роду, - граф, який не має вершин валентності 2 і має вершини парної валентності, вкладений в. Існує замкнена 1-форма з заданим графом тоді і лише тоді, коли виконуються умови: довільна замкнена крива, яка перетинає послідовно в точках; кожній точці поставлено у відповідність знак за правилом, описаним вище. Тоді при повному обході, починаючи з точки, ми повернемося в початкову точку з тим самим знаком.

Нехай - замкнена поверхня роду, на якій задана множина кривих. Аналогічно розглядаємо поняття графа, стоку, витоку, -граничної множини, гомеоморфної колу, рекурентної кривої.

Теорема 7.2. Нехай - замкнена орієнтована поверхня роду, - множина кривих, задана на, - граф множини. Для того, щоб криві з множини задавали інтегральні криві замкненої 1-форми з графом, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови:

1) криві з множини не мають стоків, витоків, -граничних множин, гомеоморфних колу;

2) кожна незамкнена крива є рекурентною;

3) кожен нуль графа має нульову (у випадку центру) або парну валентність.

Порівнюючі напрямки між кривими розглянемо як дотичні вектори деякого локального векторного поля.

Теорема 7.3. Нехай - замкнена неорієнтована поверхня роду, - множина кривих, задана на, - граф множини, - локальне векторне поле, породжене. Для того, щоб криві з множини задавали інтегральні криві замкненої 1-форми з графом, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови:

1) криві з множини не мають стоків, витоків, -граничних множин, гомеоморфних колу;

2) кожна незамкнена крива є рекурентною;

3) кожен нуль графа має нульову (у випадку центру) або парну валентність;

4) - глобальне векторне поле на.

У восьмому розділі описано підрахунок числа топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими та з трьома, чотирма, п'ятьма ребрами у графі на сфері та торі.

Також розглянено замкнені 1-форми з незамкненими рекурентними кривими. Зокрема, досліджено орієнтовану поверхню роду 2 з зафіксованими сумірними числами обертання Пуанкаре незамкнених рекурентних кривих і підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з одним ізольованим нулем, однією та двома петлями у графі.

ВИСНОВКИ

- Отримано топологічну класифікацію замкнених 1-форм з довільними інтегральними кривими як на замкнених поверхнях, так і на поверхнях з краєм.

- Встановлено, що інтегральні криві замкненої 1-форми не мають стоків, витоків, - чи -граничних множин, гомеоморфних колу.

- Доведено теореми про розбитття інтегральними кривими замкненої 1-форми замкненої поверхні на області, які заповнені однотипними кривими.

- Знайдено умови, за яких довільні криві, задані на замкненій поверхні, будуть інтегральними кривими деякої замкненої 1-форми.

- Встановлено необхідні і достатні умови, за яких вкладений в поверхню граф є графом замкненої 1-форми.

- Підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими та з трьома, чотирма, п'ятьма ребрами у графі на сфері та торі.

- Підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з одним нулем, з однією, двома петлями та з сумірними числами обертання Пуанкаре незамкнених рекурентних кривих на орієнтованій поверхні роду 2.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Будницька Н.В. Замкнені 1-форми з ізольованими критичними точками на замкнених орієнтованих поверхнях / Н.В. Будницька, О.О. Пришляк // Вісник Київ. нац. ун-ту. Серія: Математика. Механіка. - 2007. - №18. - С. 66-69.

2. Будницька Н.В. Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених орієнтованих поверхнях / Н.В. Будницька, О.О. Пришляк // Вісник Київ. нац. ун-ту. Серія: Математика. Механіка. - 2008. - №19. - С. 36-38.

3. Будницька Н.В. Реалізація замкненої 1-форми з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях / Н.В. Будницька // Збірник праць Ін-ту математики НАН України. - 2009. - Т.6, №2. - С. 340-348.

4. Будницька Н.В. Топологічні властивості замкнених 1-форм на поверхнях / Н.В. Будницька // Тези доповідей 7-ої Міжнародної конференції по геометрії та топології, Черкаси, 10-15 вересня 2007. - Черкаси: ЧДТУ, 2007. - С. 9-10.

5. Будницька Н.В. Існування замкненої 1-форми з заданим графом / Н.В. Будницька // Геометрія в Одесі - 2009: VI Міжнародна конференція, Одеса, 25-30 травня 2009. - Одеса, 2009. - С. 34.

6. Budnytska N.V. Closed 1-forms with isolated zeros on nonorientable closed surfaces / N.V. Budnytska // Infinite Dimensional Analysis and Topology: International conference, Ivano-Frankivsk, 27.06.-01.07.2009: abstracts - Ivano-Frankivsk, 2009. - P. 21-23.

7. Будницкая Н.В. О кривых замкнутой 1-формы / Н.В. Будницька // Геометрия ”в целом”, топология и их приложения, Харьков, 22-27 июня 2009. - Харьков, 2009. - С. 10-11.

АНОТАЦІЯ

Будницька Н.В. Топологічні властивості замкнених 1-форм на поверхнях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія та топологія. Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена вивченню топологічних властивостей замкнених 1-форм на поверхнях.

Отримана топологічна класифікація замкнених 1-форм з довільними інтегральними кривими як на замкнених поверхнях, так і на поверхнях з краєм.

Встановлено вигляд кривих замкненої 1-форми. Показано, що інтегральні криві не мають стоків, витоків, - чи -граничних множин, гомеоморфних колу.

Доведено теореми про розбитття інтегральними кривими замкненої 1-форми замкненої поверхні на області, які заповнені однотипними кривими.

Знайдено умови, за яких довільні криві, задані на замкненій поверхні, будуть інтегральними кривими деякої замкненої 1-форми.

Встановлено необхідні і достатні умови, за яких вкладений в поверхню граф є графом замкненої 1-форми.

Підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на орієнтованих поверхнях роду 0 і 1 та з незамкненими рекурентними кривими на орієнтованій поверхні роду 2.

Ключові слова: замкнена 1-форма, інтегральна крива, класифікація.

Будницкая Н.В. Топологические свойства замкнутых 1-форм на поверхностях. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. - Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2009.

Дисcертационная работа посвящена изучению топологических свойств замкнутых 1-форм.

Показано, что исследование замкнутой 1-формы можно свести к изучению векторного поля, порожденного сравнительными направлениями. Исследован вид интегральных кривых замкнутой 1-формы, в частности установлено, что интегральные кривые не имеют стоков, источников, - или -предельных множеств, гомеоморфных окружности. Доказано ряд теорем о разбиении интегральными кривыми замкнутой 1-формы замкнутой поверхности на области, которые заполнены однотипными кривыми. Показано, что в случае ориентированной поверхности для исследования замкнутой 1-формы можно изучать однозначно порожденное ею векторное поле, а для неориентированной поверхности приведены примеры, которые показывают, что данное поле не всегда можно построить.

Получена топологическая классификация замкнутых 1-форм с произвольными рекуррентными кривыми на замкнутых ориентирован-ных поверхностях. Найдены инварианты - граф, который соответствует замкнутой 1-форме, число вращения Пуанкаре, гомотопический класс вращения, при помощи которых установлен критерий топологической эквивалентности замкнутых 1-форм.

При помощи установленных инвариантов, - графа замкнутой 1-формы, числа вращения Пуанкаре, гомотопического класса вращения, орбиты гомотопического класса вращения, - найден критерий топологической эквивалентности замкнутых 1-форм с произвольными рекуррентными кривыми на замкнутых неориентированных поверхностях.

Получена топологическая классификация замкнутых 1-форм на поверхностях с краем.

Найдены условия, при которых произвольные кривые, заданные на замкнутой поверхности, будут интегральными кривыми некоторой замкнутой 1-формы. Устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых вложенный в поверхность граф есть графом замкнутой 1-формы.

Описан подсчет числа топологически неэквивалентных замкнутых 1-форм с замкнутыми рекуррентными кривыми с тремя, четырьмя, пятью ребрами в графе 1-формы на замкнутых ориентированных поверхностях рода 0 (сфере), 1 (торе). Было также установлено количество топологически неэквивалентных замкнутых 1-форм, а именно: с тремя ребрами: на сфере - 3, на торе - 7; с четырьмя ребрами на сфере - 14, на торе - 36; с пятью ребрами: на сфере - 37, на торе - 162.

Рассмотрены также замкнутые 1-формы с незамкнутыми рекуррентными кривыми. В частности, исследована ориентированная поверхность рода 2, с зафиксированными соизмеримыми числами вращения Пуанкаре незамкнутых рекуррентных кривых на ориентированной части поверхности рода 1 и подсчитано число топологически неэквивалентных замкнутых 1-форм с одним изолированным нулем, одной и двумя петлями в графе замкнутой 1-формы. Получено, что с одной петлей будет 7 топологически неэквивалентных классов замкнутых 1-форм, а с двумя петлями - 4 класса.

Ключевые слова: замкнутая 1-форма, интегральная кривая, классификация.

Budnytska N.V. Topological properties of closed 1-forms on surfaces. - Manuscript.

Thesis for receiving the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.04 - geometry and topology. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

This thesis is devoted to the study of topological properties of closed 1-forms.

The topological classifications of closed 1-forms with arbitrary integral curves on closed surfaces and surfaces with boundary are obtained.

Possible type of the integral curves of closed 1-forms are established. In particular, it is shown that integral curves do not have drains, leaks, - or -limit sets homeomorphic to a circle.

The theorems for dividing closed surfaces by the integral curves of closed 1-forms to domains that filled by the same curves are proved.

The conditions under which arbitrary curves defined on closed surfaces are the integral curves of a closed 1-form are finded.

The necessary and sufficient conditions under which the graph included in surface is the graph of closed 1-form are established.

The number of topological nonequivalent closed 1-forms with closed recurrent curves on orientable surfaces of genus 0, 1 and noclosed recurrent curves on the orientable surface of genus 1 are estimated.

Key words: closed 1-form, integral curve, classification.

Размещено на Allbest.ru

...