Чисельне розв'язування лінійних осесиметричних задач коливання рідини методом інтегральних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

ДАЦІВ Галина Павлівна

УДК 519.6

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ

ОСЕСИМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ КОЛИВАННЯ РІДИНИ

МЕТОДОМ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.07 - обчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2009

Размещено на http://www.allbest.ru

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Хапко Роман Степанович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри обчислювальної математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук Кутнів Мирослав Володимирович, Національний університет “Львівська політехніка”, професор кафедри прикладної математики.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі коливання рідини полягають у відшуканні основних характеристик руху рідини, що знаходиться в контейнері з вільною поверхнею під дією зовнішніх сил. До таких характеристик належать: тиск у рідині, швидкість її руху, форма вільної поверхні. У англомовній літературі для коливання рідини на поверхні часто використовують термін “слошинг” (sloshing) і, відповідно, задачі коливання рідини з вільною поверхнею називають задачами слошингу. Для зручності в подальшому ми також використовуємо цей термін. Вивчення явища слошингу є дуже важливим у різних прикладних застосуваннях, зокрема, при конструюванні контейнерів для транспортування рідини. Значний вклад у розвиток дослідження таких задач зроблено Докучаєвим Л.В., Копачевським М.Д., Луковським І.О., Моїсеєвим М.М., Рабіновичем Б.I., Dautray R., Faltinsen O.M., Friedmann A., Lions J.L., Whitham G. та іншими.

Проблеми лінійного слошингу зводяться до еволюційних задач на вільній поверхні, розв'язування яких свого часу привернуло увагу Гаврилюка І.П., Макарова В.Л., Тімохи О.Н., Хапка Р.С., Ibrahim R., Morand H., Ohayon R. та інших. Складає інтерес застосувати для розв'язування цих задач методи, які дозволили отримати ефективні результати при розв'язуванні інших нестаціонарних задач, зокрема перетворення Лагерра та Келлі для дискретизації по часовій змінній, метод інтегральних граничних рівнянь і метод Нистрьома для повної дискретизації задач. Зазначимо, що метод граничних інтегральних рівнянь набув неабиякої популярності протягом останніх десятиріч при розв'язуванні наукових та інженерних задач через ряд переваг у порівнянні з іншими методами (наприклад, методом сіток або скінченних елементів), застосовність яких суттєво залежить від вигляду області. лінійний задача рідина похибка

Незважаючи на наявність у літературі великої кількості спроб розв'язувати плоскі задачі слошингу, важливим є розглядати просторові задачі, оскільки просторові моделі краще відображають реальні фізичні процеси. З цих міркувань, оптимальним варіантом є осесиметричні області, оскільки осесиметричність дозволяє здійснити деякі спрощення при розв'язуванні задач і водночас розглядати тривимірні моделі. Окремої уваги заслуговують задачі слошингу в контейнерах з внутрішніми добудовами (різноманітними перегородками), які безперечно також впливають на характеристики руху рідини.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі обчислювальної математики в рамках науково-дослідницьких тем “Розробка і обґрунтування методів розв'язування лінійних та нелінійних задач обчислювальної математики” (номер держреєстрації 0104U004659) 2004-2006рр., “Метод інтегральних рівнянь для еволюційних задач та статичних і динамічних задач теорії потенціалу” (тема Пб-21Ф, номер держреєстрації 0105U002230) 2005-2006рр., “Методи обчислювальної математики для сингулярно збурених та еволюційних задач фізики і механіки” (тема Пі-70Ф, номер держреєстрації 0107U002056) 2007р. та “Побудова і дослідження методів розв'язування лінійних та нелінійних задач обчислювальної математики” (номер держреєстрації 0107U007420) 2007-2008рр.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробити, застосувати і обгрунтувати ефективні чисельні методи для наближеного розв'язування лінійних задач коливання рідини в осесиметричних контейнерах з перегородками та без них і апробувати розроблену методику на тестових прикладах для підтвердження застосовності алгоритмів і отриманих теоретичних оцінок похибок. Для досягнення зазначеної мети виникла необхідність розв'язати такі задачі:

· мішана осесиметрична гранична задача Робіна-Неймана для рівняння Лапласа;

· еволюційна задача другого порядку на вільній поверхні осесиметричної області з операторним коефіцієнтом, який визначається через мішану граничну задачу Діріхле-Неймана для рівняння Лапласа;

· еволюційна задача другого порядку на вільній поверхні осесиметричної області з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою мішаної граничної задачі Діріхле-Неймана для рівняння Гельмгольца з суто уявним параметром;

· еволюційна задача другого порядку з операторним коефіцієнтом на вільній поверхні осесиметричної області з ребрами-перегородками.

Об'єктом дослідження є лінійні осесиметричні задачі коливання нев'язкої, нестисливої рідини з вільною поверхнею.

Предметом дослідження є чисельні методи наближеного розв'язування лінійних осесиметричних задач коливання нев'язкої, нестисливої рідини з вільною поверхнею.

Як методи досліджень у дисертаційній роботі використовуються методи функціонального аналізу та обчислювальної математики, зокрема поєднання методу перетворення Лагерра або Келлі з методом граничних інтегральних рівнянь і чисельним методом Нистрьома.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у такому.

1. Розроблено комбінацію перетворення Лагерра за часовою змінною і непрямого методу інтегральних рівнянь за просторовими змінними для наближеного розв'язування еволюційних осесиметричних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою мішаної граничної задачі Діріхле-Неймана для рівняння Лапласа. Досліджено коректність отриманих послідовностей систем одновимірних інтегральних рівнянь другого роду. Здійснено спеціальну заміну змінних для усунення особливості у шуканих густинах. Застосовано метод Нистрьома для дискретизації інтегральних рівнянь, досліджено його збіжність і оцінку похибки.

2. Розроблену методику поширено на випадок осесиметричних еволюційних задач з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою граничної задачі Діріхле-Неймана для рівняння Гельмгольца з суто уявним параметром.

3. Розроблено комбінацію перетворення Келлі за часовою змінною і непрямого методу інтегральних рівнянь за просторовими змінними для наближеного розв'язування еволюційних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою граничної задачі Діріхле-Неймана для рівняння Лапласа в осесиметричних областях. Показано розв'язуваність отриманих послідовностей систем одновимірних інтегральних рівнянь другого роду. Досліджено особливості у ядрах та шуканих густинах. Застосовано метод Нистрьома для дискретизації інтегральних рівнянь. Досліджено збіжність і оцінку похибки методу Нистрьома, розглянуто похибку методу перетворення Келлі.

4. Поширено розроблену методику, основану на перетворенні Лагерра для часової змінної, методу інтегральних рівнянь для просторових змінних та методу Нистрьома для повної дискретизації на випадок еволюційних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом в осесиметричних областях з внутрішніми ребрами-перегородками. Показано коректність отриманої послідовності систем одновимірних інтегральних рівнянь другого роду. Розроблено спеціальну заміну змінних для усунення особливості у шуканих густинах. Досліджено збіжність методу Нистрьома і знайдено оцінку похибки.

Практичне значення отриманих результатів. Результати, отримані в дисертації, є внеском у систематичну розробку чисельних методів, базованих на інтегральних рівняннях, для наближеного розв'язування задач математичної фізики. Отримані результати увійшли в звіти НДЧ Львівського національного університету імені Івана Франка (2005-2007рр.). Вони також використовуються при читанні дисциплін спеціалізації для студентів факультету прикладної математики та інформатики цього ж університету, які спеціалізуються по кафедрі обчислювальної математики.

Результати дисертації представляють собою цінність і в індустрії: вони можуть бути використані при конструюванні баків для транспортування рідини, а також при дослідженні властивостей коливань вільних поверхонь.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, отримані автором дисертації особисто. У публікаціях [1,4,10], які написані в співавторстві, Хапку Р.С. належить участь в обговоренні ідей, теоретичних тверджень та результатів чисельних експериментів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах кафедри обчислювальної математики (Львівський національний університет імені Івана Франка, 2005-2008рр.), відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ (Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача, м. Львів, 2006р.), відділу чисельних методів комп'ютерного моделювання (Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м.Київ, 2009р.), на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (м. Львів, 2009р.), на Всеукраїнських конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 2005-2007рр.), на XI міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (м. Київ, 2006р.), на міжнародній науковій конференції “Тихонов и современная математика” (м. Москва, 2006р.), на II міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (м. Львів, 2008р.), на міжнародній науковій конференції “Інтегральні рівняння - 2009” (м. Київ, 2009р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у п'ятьох працях [1-4,10], з яких чотири - у фахових виданнях із переліку, затвердженого ВАК України, одна - у міжнародному фаховому журналі, і додатково висвітлено у шести тезах доповідей на наукових конференціях [5-9,11].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 144 сторінки, містить 11 таблиць, 11 рисунків, 112 найменувань у списку використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність вибраної тематики, відображено зв'язок роботи з науковими програмами та темами, сформульовано предмет та мету досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів, наведено відомості про апробацію роботи та публікації за темою дисертації.

Перший розділ присвячений огляду стану проблеми за тематикою дисертаційної роботи. У підрозділі 1.1. описано нелінійну математичну модель коливання нестисливої, нев'язкої рідини, що знаходиться у контейнері з вільною поверхнею під дією зовнішніх сил. Завдяки припущенню малих збурень рідини отримано лінійну модель і здійснено постановку задачі відносно потенціалу швидкості , яка, в свою чергу, поділяється на дві інші задачі.

Перша задача. Нехай - обмежена область, заповнена рідиною, з границею , де - вільна границя області, - непроникна частина границі області. Потрібно знайти функцію , яка задовольняє еволюційне рівняння другого порядку

на (1)

і початкові умови

, на (2)

Тут - задані на функції, а оператор визначається як

 на , (3)

де - розв'язок граничної задачі Діріхле - Неймана для рівняння Лапласа

в , (4)

на , на , (5)

- одиничний вектор зовнішньої нормалі на границі. Для того, щоб знайти потенціал швидкості потрібно розв'язати другу задачу:

в , (6)

на , (7)

на , (8)

де - розв'язок еволюційної задачі (1) - (2).

У підрозділі 1.2. приведено огляд літератури, присвяченої дослідженням та чисельному розв'язуванню лінійних задач коливання рідини. Підрозділ 1.3. присвячений огляду методів дослідження коректності та чисельного розв'язування інтегральних рівнянь на прикладі інтегральних рівнянь другого роду. Зокрема, розглядаються такі методи наближеного розв'язування інтегральних рівнянь як Нистрьома, колокації та Гальоркіна.

У розділі 2 здійснено чисельне розв'язування осесиметричної задачі лінійного слошингу для гармонічних коливань. Лінійну задачу слошингу зведено до задачі Робіна-Неймана для рівняння Лапласа відносно :

в , (9)

на , (10)

на , (11)

де , - кругова частота коливання, - задана функція. Розв'язок цієї задачі шукаємо у вигляді потенціалу простого шару

, , (12)

де - фундаментальний розв'язок рівняння Лапласа, а - невідома густина. Показано, що тоді (9) - (11) зводиться до розв'язування такої системи інтегральних рівнянь другого роду:

(13)

Далі, у підрозділі 2.2., припускаємо, що поверхня утворена внаслідок обертання деякої кривої навколо осі , причому і задані параметрично, зокрема, у циліндричній системі координат вони задаються як з і для , (див. рис. 1). Завдяки припущенню осесиметричності задачі та поданню ядер рівнянь через повні еліптичні інтеграли систему (13) зведено до системи одновимірних інтегральних рівнянь

 (14)

де - шукані густини, - відомі достатньо гладкі ядра, - відома функція, виражена через , , .

Густина # у (12) має особливість при підході до кутової точки #. Для її усунення у підрозділі 2.3. для #, # здійснено спеціальну заміну змінних (15) де функції володіють такими властивостями гладкості:

Ядра інтегральних рівнянь системи (14) містять також логарифмічну особливість, яка виникає # та #. Її виділяємо, здійснивши еквівалентні перетворення у ядрах, після чого отримуємо систему у вигляді: (16)

де #, #, #. Тут #, #, #- відомі достатньо гладкі функції, окрім #, які є невизначеними у чотирьох кутах і центрі квадрату #, і це враховується при чисельному розв'язуванні цих рівнянь. Зазначимо, що внаслідок здійснених перетворень, шукані густини #

Встановлено і обґрунтовано існування та єдиність розв'язків системи (16) у просторах Соболєва парних, -періодичних функцій.

Теорема 2.3.1. Для будь-якої правої частин # існують єдині розв'язки # системи (16).

У підрозділі 2.4. виконано чисельне розв'язування інтегральних рівнянь методом Нистрьома. Для цього на розбитті # розглянуто такі квадратурні формули: де # - відомі вагові функції. При побудові системи лінійних алгебраїчних рівнянь враховано той факт, що всі функції системи (16) є парними, симетричними і виконується рівність # для . Це дозволило оминути необхідність використовувати значення ядер в точках їх невизначеності. Здійснено аналіз і оцінку похибки методу, зокрема доведено таке твердження.

Теорема 2.3.2. Нехай кут граничної кривої L рівний #, де # і нехай # для # Тоді для # справедлива оцінка похибки де # - точний розв'язок, а # - наближений, отриманий методом Нистрьома, #.

У підрозділі 2.5. наведено чисельні експерименти, які підтверджують застосовність розробленої методики для такого типу задач, а також підтверджують теоретичні оцінки похибки.

У розділі 3 здійснено чисельне розв'язування еволюційної задачі з операторним коефіцієнтом на вільній поверхні (1) - (2), до якої було зведено лінійну задачу відносно потенціалу швидкості. У підрозділі 3.1. еволюційна задача зводиться до нескінченної послідовності операторних рівнянь. Для цього використано метод поліномів Лагерра, відповідно до якого, розв'язок задачі (1) -(2) шукається у вигляді розвинення в ряд Фур'є-Лагерра де # _ поліноми Лагерра, # _ деякий фіксований параметр, а коефіцієнти # задовольняють послідовність операторних рівнянь для # з #і #. Тут # _ коефіцієнти Фур'є - Лагерра для функції .

Далі, у підрозділі 3.2., розв'язок граничної задачі (4) - (5) подається у вигляді потенціалу простого шару (12), що дозволяє отримати інтегральне подання оператора Діріхле-Неймана і звести послідовність операторних рівнянь (21) до послідовності інтегральних рівнянь другого роду. Після припущення осесиметричності задачі та подання ядер рівнянь через повні еліптичні інтеграли до розв'язування отримано послідовність систем одновимірних інтегральних рівнянь з особливістю у густинах і логарифмічною особливістю у ядрах. Аналогічно до випадку гармонічних коливань, для усунення особливості у густині здійснюється спеціальна заміна змінних (15), а логарифмічна особливість виділяється за допомогою перетворень ядра.

Тут # - відомі функції, які виражаються через # - шукані густини, #- відомі достатньо гладкі функції, окрім # які є невизначеними у чотирьох кутах і центрі квадрату #, і це враховується при чисельному розв'язуванні цих рівнянь.

Встановлено коректність отриманих інтегральних рівнянь.

Теорема 3.2.1. Для будь-якої функції # існують єдині розв'язки # системи інтегральних рівнянь (23).

Чисельне розв'язування інтегральних рівнянь здійснено у підрозділі 3.3. за допомогою методу Нистрьома. Оцінено збіжність і похибку цього методу.

Теорема 3.3.1. Нехай крива обертання L має кут # з # і нехай # для #. Тоді для і кожного система лінійних рівнянь (23) має єдиний розв'язок і справедлива оцінка похибки

де # - точні розв'язки, а # - наближені, отримані методом Нистрьома, #.

Для обчислення наближеного значення розв'язку еволюційної задачі (1) - (2) отримано таку формулу

де # - наближені розв'язки операторних рівнянь (21) з використанням # квадратурних вузлів.

У підрозділі 3.4. розглянуто розв'язування еволюційної задачі (1) - (2) при # з використанням перетворення Келлі для дискретизації по часу.

Розв'язок задачі шукається у вигляді ряду де # - фіксована константа, # - поліноми Лагерра, а коефіцієнти # визначаються з рекурентної послідовності операторних рівнянь де # виражаються через #

Подавши коефіцієнти # і, відповідно, # через потенціал простого шару (12) з густинами #, до розв'язування отримуємо послідовність систем інтегральних рівнянь типу Фредгольма другого роду, ядра і властивості яких є ідентичними до тих, що були отримані при розв'язуванні цієї ж задачі за допомогою перетворення Лагерра. Це дало змогу використати вже розроблену методику для чисельного розв'язування отриманих інтегральних рівнянь. Встановлено коректність інтегральних рівнянь у просторі Соболєва # і здійснено їх чисельне розв'язування методом Нистрьома. В результаті наближений розв'язок еволюційної задачі обчислюється як де # - наближені розв'язки операторних рівнянь (26) з використанням # квадратурних вузлів.

Оцінено похибку методу Нистрьома і розглянуто похибку методу Келлі, що дозволило дослідити глобальну похибку методів і збіжність апроксимації (27) при #. Було показано, що для достатньо великих # має місце оцінка похибки де # - параметр, що залежить від #.

У підрозділі 3.5. здійснено наближене розв'язування еволюційної задачі (1) - (2) для випадку, коли оператор визначається за допомогою рівняння Гельмгольца з суто уявним параметром. Використання перетворення Лагерра і методу інтегральних рівнянь дозволило звести задачу до послідовності систем інтегральних рівнянь другого роду, ядра яких виражаються через фундаментальний розв'язок для рівняння Гельмгольца #. Подавши фундаментальний розв'язок і його нормальну похідну через повні еліптичні інтеграли першого та другого роду (підрозділ 3.5.2.), до розв'язування отримано послідовність систем інтегральних рівнянь з властивостями, ідентичними тим рівнянням, що вже розглядались у попередніх розділах. Наближене розв'язування інтегральних рівнянь здійснено методом Нистрьома з використанням тригонометричних квадратур.

У підрозділі 3.6. наведено чисельні експерименти, зокрема здійснено порівняльну характеристику результатів, отриманих при розв'язуванні тієї самої задачі за допомогою двох різних підходів: перетворення Лагерра та Келлі. Отримані чисельні результати підтвердили апріорні оцінки похибки та правильність розробленої методики.

У четвертому розділі розглянуто лінійну модель безвихрового руху нестисливої нев'язкої рідини під дією зовнішніх сил, що знаходиться у контейнері з перегородками і має вільну поверхню. Цю задачу зведено до еволюційної задачі на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом відносно #: де # - задані функції. Оператор визначається як де # - розв'язок граничної задачі Діріхле - Неймана для рівняння Лапласа

Тут # - функція, що описує силове поле, яке діє на рідину; - одиничний вектор зовнішньої нормалі на границі; # - вільна поверхня, а через # позначено перегородки та частини фіксованої поверхні, відокремлені двома сусідніми перегородками; # - область з границею #, #, #, де # - кількість перегородок (див. рис. 2).

Для чисельного розв'язування цієї задачі використано комбінацію перетворення Лагерра, методу інтегральних рівнянь і методу Нистрьома.

Після застосування перетворення Лагерра для часової дискретизації до розв'язування отримано нескінченну послідовність операторних рівнянь на вільній поверхні. Зважаючи на інтегральне подання оператора Діріхле-Неймана, цю послідовність редуковано до послідовності систем інтегральних рівнянь другого роду. Припущення осесиметричності задачі і подання фундаментального розв'язку та його нормальної похідної через повні еліптичні інтеграли дозволили отримати послідовність систем одновимірних інтегральних рівнянь з особливістю у густинах та логарифмічною особливістю у ядрах.

У підрозділі 4.2. для усунення особливості у густинах було розроблено і здійснено спеціальну заміну змінних. Логарифмічна особливість у ядрах врахована за допомогою спеціальних тригонометричних квадратур, які використовуються в методі Нистрьома (підрозділ 4.3.). Показано розв'язуваність отриманих інтегральних рівнянь і оцінено похибку методу Нистрьома.

Підрозділ 4.4. присвячений чисельним експериментам. Отримані результати підтверджують правильність розробленої теорії та ефективність її застосування до розв'язування такого типу задач.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розроблено, застосовано і обґрунтовано ефективні чисельні методи для наближеного розв'язування лінійних задач коливання рідини в осесиметричних контейнерах з перегородками та без них. Для розв'язування поставлених задач використано поєднання методів перетворень Лагерра або Келлі, методу інтегральних рівнянь та методу Нистрьома.

Основні результати виконаної роботи.

1. Для чисельного розв'язування мішаної осесиметричної граничної задачі Робіна-Неймана для рівняння Лапласа (випадок гармонічних хвиль) застосовано непрямий варіант методу інтегральних рівнянь. Встановлено коректність отриманої системи одновимірних інтегральних рівнянь другого роду, досліджено особливості в ядрах та густині. Чисельне розв'язування здійснено методом Нистрьома з використанням спеціальної заміни змінних для послаблення особливості у густині. Досліджено збіжність методу і знайдено оцінку похибки.

2. Розроблено комбінацію перетворення Лагерра за часовою змінною і непрямого методу інтегральних рівнянь за просторовими змінними для наближеного розв'язування еволюційних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою мішаної граничної задачі Діріхле-Неймана для рівняння Лапласа (випадок нестаціонарного слошингу) в осесиметричних областях. Досліджено коректність отриманих послідовностей систем одновимірних інтегральних рівнянь другого роду. Здійснено спеціальну заміну змінних для усунення особливості в шуканих густинах. Застосовано метод Нистрьома для дискретизації інтегральних рівнянь, досліджено його збіжність і оцінку похибки.

3. Розроблену методику поширено на випадок осесиметричних еволюційних задач з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою граничної задачі Діріхле-Неймана для рівняння Гельмгольца з суто уявним параметром.

4. Розроблено комбінацію перетворення Келлі за часовою змінною і непрямого методу інтегральних рівнянь за просторовими змінними для наближеного розв'язування еволюційних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом, який визначається за допомогою рівняння Лапласа в осесиметричних областях. Показано розв'язуваність отриманих послідовностей систем одновимірних інтегральних рівнянь другого роду. Досліджено особливості в ядрах та густинах. Застосовано метод Нистрьома для дискретизації інтегральних рівнянь. Досліджено збіжність і отримано оцінку похибки методу Нистрьома, розглянуто похибку методу перетворення Келлі.

5. Поширено розроблену методику, основану на перетворенні Лагерра для часової змінної, методу інтегральних рівнянь для просторових змінних та методу Нистрьома для повної дискретизації на випадок еволюційних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом в осесиметричних областях з внутрішніми ребрами-перегородками. Показано коректність отриманої послідовності систем одновимірних інтегральних рівнянь другого роду. Розроблено спеціальну заміну змінних для усунення особливості у густинах. Досліджено збіжність методу Нистрьома і знайдено оцінку похибки.

6. Здійснено значну кількість чисельних експериментів, за допомогою яких підтверджено знайдені апріорні оцінки похибок і показано ефективність запропонованих методів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Даців Г. Про чисельне розв'язування однієї мішаної осесиметричної граничної задачі для рівняння Лапласа / Г. Даців, Р. Хапко // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прик. мат. та інф. - 2006. - Вип. 11. - С. 43- 53.

2. Даців Г. Про чисельне розв'язування однієї еволюційної задачі на частині поверхні осесиметричної області / Г. Даців // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прик. мат. та інф. - 2007. - Вип. 13. - С. 90-103.

3. Даців Г. Чисельне розв'язування лінійної осесиметричної задачі слошингу у випадку області з перегородками / Г. Даців // Мат. Вісн. НТШ. - 2007. - Т. 4. - С. 66-78.

4. Даців Г.П. Застосування перетворення Келлі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв'язування лінійної осесиметричної задачі слошингу / Г.П. Даців, Р.С. Хапко // Доповіді НAН України. - 2008. - Вип. 2. - С. 4-10.

5. Даців Г.П. Про чисельне розв'язування однієї мішаної осесиметричної граничної задачі для рівняння Лапласа / Г.П. Даців, Р.С. Хапко // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповід. XII Всеукр. наук. конф. - Львів, 2005. - C. 76-77.

6. Даців Г.П. Про чисельне розв'язування осесиметричної задачі лінійного слошингу з використанням перетворення Лагерра і методу інтегральних рівнянь / Г.П. Даців // Одинадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука, - Київ, 2006. - С. 79.

7. Даців Г. Про чисельне розв'язування осесиметричної задачі лінійного слошингу з використанням перетворення Келлі та методу інтегральних рівнянь / Г. Даців // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповід. XIII Всеукр. наук. конф. - Львів, 2006. - C. 55-56.

8. Даців Г. Чисельне розв'язування лінійної осесиметричної задачі коливання рідини в контейнерах з перегородками / Г. Даців, Р. Хапко // Сучасні проблеми механіки та математики: Тези доповід. II міжнар. наук. конф. - Львів, 2008. - С. 20-22.

9. Даців Г.П. Про чисельне розв'язування лінійної осесиметричної задачі коливання рідини методом інтегральних рівнянь / Г.П. Даців // Інтегральні рівняння - 2009: Тези доповід. міжнар. наук. конф. - Київ, 2009. - С. 77-78.

10. Chapko R. The numerical solution of the axially symmetric linear sloshing problem by the boundary integral equation method / R. Chapko, G. Datsiv // Journal of Integ. Equat. and Appl. - 2008. - V. 20. - N. 4. - P. 409-436.

11. Chapko R. The numerical solution of the axially symmetric linear sloshing problem by the boundary integral equation method / R. Chapko, G. Datsiv // International Conference “Tikhonov and Contemporary Mathematics”: Thesis of conference reports. - Moskow, 2006. - Sec. №2. - P. 45-46.

АНОТАЦІЇ

Даців Г.П. Чисельне розв'язування лінійних осесиметричних задач коливання рідини методом інтегральних рівнянь - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2009.

У дисертаційній роботі розроблено, застосовано і обґрунтовано ефективні чисельні методи за допомогою інтегральних рівнянь для лінійних задач коливання рідини в осесиметричних контейнерах з перегородками та без них. Лінійні задачі коливання рідини редуковано до еволюційних задач на вільній поверхні з операторним коефіцієнтом Діріхле-Неймана. Для дискретизації цих задач за часовою змінною використовується перетворення Лагерра або Келлі, завдяки чому отримано послідовність операторних рівнянь. Далі, за допомогою теорії потенціалів отримані рівняння редуковано до граничних інтегральних рівнянь другого роду, для чисельного розв'язування яких використано метод Нистрьома. Досліджено коректність отриманих інтегральних рівнянь та знайдено оцінки похибок методів. Проведено ряд чисельних експериментів, які підтверджують правильність і ефективність розробленої методики.

Ключові слова: задача коливання рідини, еволюційна задача, оператор Діріхле-Неймана, перетворення Лагерра, перетворення Келлі, граничні інтегральні рівняння, тригонометричні квадратури, метод Нистрьома.

Дацив Г.П. Численное решение линейных осесимметричных задач колебания жидкости методом интегральных уравнений - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2009.

В диссертационной работе разработаны, применены и обоснованы эффективные численные методы, позволяющие с помощью интегральных уравнений решать линейные задачи колебания жидкости в осесимметрических контейнерах с перегородками и без них. Линейные задачи колебания жидкости редуцированы к эволюционным задачам на свободной поверхности с операторным коэффициентом Дирихле-Неймана. Для дискретизации этих задач по времени используются преобразования Лагерра или Келли, благодаря чему получены последовательности соответствующих операторных уравнений. Далее, с помощью теории потенциалов, полученные уравнения редуцированы к граничным интегральным уравнениям второго рода, для численного решения которых использован метод Нистрема. Исследована корректность полученных интегральных уравнений и получены оценки погрешностей методов. Проведен ряд численных экспериментов, которые подтврждают правильность и эффективность разработанной методики.

Ключевые слова: задача колебания жидкости, эволюционная задача, оператор Дирихле-Неймана, преобразование Лагерра, преобразование Келли, граничные интегральные уравнения, тригонометрические квадратуры, метод Нистрема.

Datsiv G.P. Numerical solving the axisymmetric linear sloshing problems by the integral equation method - Manuscript.

A thesis for the degree of Physical and Mathematical sciences candidate in specialty 01.01.07 - computational mathematics. - Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2009.

The goal of the dissertation is to develop, apply and ground theoretically effective numerical methods for approximate solution of linear sloshing problems in axisymmetric tankers. We consider unsteady potential flow of an inviscid incompressible liquid having a free surface, in a uniform gravitational field.

The thesis consists of four chapters. The first chapter begins from statement of non-linear and linear sloshing problems. Then, review of literature describing methods, approaches which have been used for numerical solutions of the considered problems is presented. There is also outline of methods for correctness investigation and numerical solution of integral equations.

The second chapter is devoted to numerical solution of the linear sloshing problem for case of harmonic waves. The initial problem is reduced to a mixed boundary value problem for the Laplace equation, which due to potential theory and assumption of axisymmetry leads to a system of one-dimensional integral equations of the second kind. Kernels of these integral equations are represented trough the complete elliptic integrals. A non-linear mesh grading transformation is used for weakening of singularity in densities. The logarithmic singularity is avoided by use of special trigonometric quadrature rules. The full discretization is realized by a Nystrцm method. The numerical examples proving effectiveness of the developed methodology are presented.

The third chapter describes numerical solution of the non-stationary linear sloshing problem. The problem is rewritten as a linear evolution problem on a free surface with an operator coefficient.

First, by Laguerre transformation with respect to time we reduce the non-stationary problem to a sequence of operator equations. Then, due to the potential theory and axisymmetry, the system of one-dimensional integral equations of the second kind is obtained. Similarly to the case of harmonic waves, the non-linear mesh grading transformation is used for the density singularities weakening. The logarithmic singularity is avoided as well. Full discretization is realized by a Nystrцm method.

Another approach being applied in chapter 3 for solving the evolution problem is the Cayley transformation with respect to time. It allows obtaining sequence of operator equations, the numerical solution of which is realized through method of integral equations and Nystrцm method. Errors of the considered methods are investigated and evaluated.

One more problem considered in chapter 3 is a linear evolution problem on a free surface with an operator coefficient defined through Helmholtz equation. For its solving combination of the Laguerre transformation, integral equations and Nystrцm methods is applied. Results of numerical experiments are presented.

Chapter 4 is devoted to numerical solution of a linear sloshing problem in axisymmetric domains with baffles. This problem is also rewritten as a linear evolution problem on a free surface with an operator coefficient. It is numerically solved by use of Laguerre transformation, method of integral equations and Nystrцm method. The obtained results of numerical experiments are presented.

Key words: sloshing problem, evolution problem, Dirichlet-to-Neumann operator, Laguerre transformation, Cayley transformation, boundary integral equations, trigonometric quadratures, Nystrцm method.

Размещено на Allbest.ru

...