Сильнозв’язні сагайдаки та А-повні матричні алгебри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.552

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Сильнозв'язні сагайдаки та А-повні матричні алгебри

Дудченко Ірина Володимирівна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Кириченко Володимир Васильович професор кафедри геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка, м. Київ.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Забавський Богдан Володимирович професор кафедри алгебри і логіки Львівського національного університету ім. Івана Франка, м. Львів.

кандидат фізико-математичних наук, Олійник Богдана Віталіївна доцент кафедри математики факультету інформатики Національного університету "Києво-Могилянська академія", м. Київ.

Захист відбудеться " 16 " 02 2009 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий " 10.01.2009 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

Анотації

Дудченко І.В. Сильнозв'язні сагайдаки та А-повні матричні алгебри. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

У дисертаційній роботі вивчаються зв'язки між різними класами кілець, алгебр Фуджити та сильнозв'язних сагайдаків за допомогою теорії невід'ємних матриць, побудовано Фробеніусові кільця з сагайдаком, матриця суміжності якого дорівнює , та досліджені властивості цих кілець. Ми доводимо, що сагайдак будь-якої алгебри Фуджити є сильнозв'язним та будь-яка алгебра Фуджити має мультиплікативний базис. Вивчено кільцеві властивості алгебр Фуджити. Доведено критерій ізоморфізму для сильнозв'язних простих сагайдаків без петель, що містять дві, три або чотири вершини. Для цих сагайдаків підраховані їх індекси (найбільші додатні за величиною власні значення їх матриць суміжності) та власні вектори, що відповідають цим індексам. алгебра фуджити сагайдак

Отримані результати подані у двох таблицях.

Ключові слова: сагайдак, індекс сагайдака, власний вектор, радикал модуля, квазіфробеніусове кільце, слабопервинне кільце, спадкова алгебра, алгебра Фуджити.

Дудченко И.В. Сильносвязные колчаны и А-полные матричные алгебры. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

В монографии Ф.Харари представлены диаграммы ориентированных графов, которые имеют не более четырёх вершин. В терминологии Габриэля, такие графы называются колчанами.

Напомним, что колчан, который имеет более одной вершины, называется сильносвязным, если существует ориентированный путь с произвольной вершины в любую другую.

Как сообщил нам А.Г. Ганюшкін, в этом списке колчанов есть ошибки: колчан с числом вершин р=4 и числом дуг q=8 с номерами 18 и 22 совпадают, но пропущен колчан Q со следующей диаграммой

Колчаны (4,8), которые имеют номера 8.18 и 8.22, одинаковые.

Они имеют следующий вид:

(8.18) (8.22)

и не являются сильносвязными. Пропущенный колчан (1) является сильносвязным. Запишем его под номером 4.65.

Произвольный колчан Q состоит из двух множеств VQ и AQ, где VQ множество всех вершин Q, а AQ множество всех его стрелок.

Напомним определение колчана Q(B) матрицы В с элементами с поля действительных чисел R. Пусть Mn(R) множество всех квадратных матриц порядка n с элементами из R, и B=(bij)Mn(R).

Множина вершин VQ(В)={1,…, n}. Стрілка ij з початком в вершині і та кінцем в вершині j лежить в AQ(В) тоді і тільки тоді, коли bij 0.

Ми преподносим все сильносвязные колчаны с числом вершин p = 2, 3, 4. При p=4 существует 83 сильносвязных колчана. Для этих колчанов посчитаны их индексы (наибольшие по величине собственные значения их матриц смежности) и собственные вектори, которые соответствуют этим индексам.

Полученные результаты представлены в двух таблицах.

В диссертационной работе изучается связь между разными классами колец, алгебр Фуджиты и сильносвязных колчанов с помощью теории неотрицательных матриц, построены Фробениусовы кольца с колчаном, матрица смежности которого является и исследованы свойства этих колец, а также кольцевые свойства алгебр Фуджиты. Доведен критерий изоморфизма для сильносвязных простых колчанов без петель, которые имеют две, три или четыре вершины. Для этих колчанов подсчитаны их индексы (наибольшие по величине собственные значения их матриц смежности) и собственные векторы, которые соответствуют этим индексам.

Главным результатом диссертационной работы является следующая теорема.

Теорема. Пусть Q1 и Q2 - сильносвязные колчаны без петель и кратных стрелок, число вершин которых не превышает четырёх. Колчаны Q1 и Q2 изоморфны тога и только тогда, когда характеристические многочлены их матриц смежности совпадают, а собственные положительные векторы с одинаковой нормой, которые соответствуют индеку этих колчанов, эквивалентны.

Ключевые слова: колчан, индекс колчана, собственный вектор, радикал модуля, квазифробениусовое кольцо, слабопервичное кольцо, наследственная алгебра, алгебра Фуджиты.

Dudchenko I.V. Strongly connected quivers and A-full matrix algebras. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physics and mathematics by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to the research of relations between different classes of rings, Fujita's algebrs and strongly connected quivers by means of the theory of non-negative matrix. We have built Frobenius rings with the quiver Q, and the adjacency matrix [Q] of Q is and explored properties of these rings. We have proved that the quiver of every Fujita's algebra is strongly connected and Fujita's algebra has a multiplicative basis. We studied the ring's properties of Fujita's algebras. It is proved a criterion of isomorphism for simply laced strongly connected quivers without loopes with 2, 3 and 4 vertices. For these quivers it is counted their indices (the most positive eigen-vectors of their adjacency matrices) and eigen-vectors with these indices.

Keywords: quiver, index of a quiver, eigen-vector, radical of a module, quasi Frobenius ring, weakly prime ring, hereditary algebra, Fujita's algebra.

Загальна характеристика роботи

Наприкінці 19 століття Ф. Молін та Е.Картан побудували теорію напівпростих алгебр над полями комплексних та дійсних чисел. Загальну теорію напівпростих алгебр над довільним полем побудув Веддерберн на початку 20 століття. E.Артін узагальнив ці результати на випадок асоціативних кілець з умовою мінімальності. Такі кільця зараз називаються артіновими кільцями.

Скінченновимірні алгебри, які не є напівпростими, почали інтенсивно вивчатися з початку 70-х років минулого століття.

Основне поняття, яке виникає на сучасному етапі, було введене швейцарським математиком П. Габріелем. Це поняття сагайдака скінченновимірної алгебри.

Актуальність теми.

Поняття сагайдака (Kцcher, quiver) скінченновимірної алгебри над алгебраїчно замкненим полем було введено у 1972 році відомим швейцарським математиком П.Габріелем у зв'язку з розглядом зображень алгебр, квадрат радикала яких дорівнює нулю.

Нагадаємо, що сагайдак - це скінченний орієнтований граф, який складається з скінченної кількості вершин та стрілок.

Важливим поняттям, пов'язаним з сагайдаком, є поняття орієнтованого шляху в сагайдаку.

Шлях сагайдака Q - це впорядкований набір стрілок {1, …, k}, такий що кінець стрілки і співпадає з початком стрілки і+1 (і = 1, ..., k-1). Число стрілок k називається довжиною шляху. Початок стрілки 1 називається початком шляху, а кінець стрілки k - кінцем шляху.

Орієнтованим циклом сагайдака Q називається шлях, у якого початок та кінець співпадають.

Сагайдак, який не містить орієнтованих циклів, називається ациклічним. Сагайдак, що містить більше, ніж одну вершину, називається сильнозв'язним, якщо існує орієнтований шлях з будь-якої вершини в будь-яку вершину (можливо, що ці вершини співпадають, в цьому випадку отримуємо орієнтований цикл). Стрілка, початок і кінець якої співпадають, називається петлею. Для зручності, сагайдак, який містить тільки одну вершину, також вважається сильнозв'язним.

В.В. Кириченко в 1975 році узагальнив поняття сагайдака Габріеля на випадок нетерових напівдосконалих кілець. Поняття сагайдака відіграє велику роль у структурній теорії кілець.

Відмітимо, що артінове кільце є простим тоді і тільки тоді, коли його сагайдак є точкою (тобто має одну вершину без стрілок). Таким чином, ми можемо вважати, що сагайдак простого артінового кільця є сильнозв'язним.

Сагайдаки кілець дають важливу характеристику різних класів кілець.

Наприклад, добре відомо, що сагайдаки спадкових напівдосконалих кілець є ациклічними сагайдаками, а сагайдаки квазіфробеніусових кілець - сильнозв'язні.

Важливу роль у структурній теорії скінченновимірних алгебр відіграють алгебри шляхів K(Q) сагайдаків Q над полем К.

Базис простору К (Q) буде створювати всі можливі шляхи сагайдака Q і набір символів {і} (по одному для кожної точки i). Таким чином, будь-який елемент К (Q) однозначно записується у вигляді (друга сума береться по всіх шляхах сагайдака Q, де сіК, К. Символ і нам буде зручно розглядати як шлях довжини 0 з початком і кінцем в точці і.

Визначимо добуток шляхів і , як шлях . У випадку, коли співпадає з початком , і як 0 - в іншому випадку. Іншими словами,

Поширемо це означення на весь простір К(Q) "за лінійністю", поклавши де , - шляхи сагайдака Q, а c, с' - елементи поля К. Таким чином, К(Q) можна розглядати, як алгебру над полем К з одиницею 1 = 1 + . . . + s.

Позначимо через J сукупність тих елементів алгебри К(Q), у яких коефіцієнти при і дорівнюють 0 для всіх i. Очевидно, J - ідеал в К(Q). Ідеал І К (Q) називається правильним, якщо J 2 I J n для деякого n 2.

Нехай А-скінченновимірна алгебра над полем К, R - її радикал. Нагадаємо, що алгебра А над полем К називається розщеплюваною, якщо факторалгебра А/R ізоморфна прямому добутку

,

де Мn(К) - алгебра всіх квадратних матриць порядку n з елементами з поля К.

Над алгебраїчно замкненим полем всі алгебри розщеплювані.

Алгебра А називається зведеною, якщо факторалгебра А/R є прямим добутком алгебр з діленням.

Наступне твердження було доведено у книзі Ю.А. Дрозда та В.В Кириченка "Скінченновимірні алгебри".

Для довільного правильного ідеала I К(Q) факторалгебра К(Q)/I є розщеплюваною зведеною алгеброю з сагайдаком Q. Навпаки, будь-яка розщеплювана зведена алгебра А над полем К з сагайдаком Q ізоморфна факторалгебрі алгебри К(Q) по деякому правильному ідеалу I.

Означення. Скінченновимірна К-алгебра А називається алгебрною скінченного типу, якщо А має скінченну кількість неізоморфних скінченновимірних нерозкладних зображень. В протилежному випадку, алгебра А називається алгеброю нескінченного типу.

Нагадаємо, що базис е 1, ..., еn алгебри А називається мультиплікативним, якщо добуток двох довільних елементів з цього базису є також елементом цього базису або дорівнює нулю.

В роботі Bautista R., Gabriel P., Roiter A.V. and Salmeron L. Representation-finite algebras and multiplicative bases // Invent.math. - 81. - 1985. - c. 217-285. доведена одна з найважливіших теорем теорії зображень скінченновимірних алгебр:

Скінченновимірна алгебра над алгебраїчно замкненим полем скінченого типу завжди має мультиплікативний базис.

Вивченню різних класів скінченновимірних алгебр присвячено дуже багато робіт. Зокрема, японський математик Фуджита в H. Fujita, Full matrix algebras with structure systems, Colloq // Math. - 98.- 2003. с. 249-258. ввів поняття А-повної матричної алгебри.

В дисертаційній роботі, вивчаються кільцеві властивості А-повних матричних алгебр та їх сагайдаки.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема 06БФ 038-02 "Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів", (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є вивчення зв'язків між різними класами кілець, алгебр Фуджити та сильнозв'язних сагайдаків за допомогою теорії невід'ємних матриць.

У дисертаційній роботі поставлено такі задачі:

- побудувати фробеніусові кільця з сагайдаком, матриця суміжності якого дорівнює , та дослідити властивості цих кілець; дослідити кільцеві властивості алгебр Фуджити; дослідити сагайдаки алгебр Фуджити та довести, що будь-яку алгебру Фуджити можна подати у вигляді факторалгебри алгебри шляхів її сагайдака; довести, що для будь-якого сильнозв'язного простого сагайдака без петель Q існує алгебра Фуджити А, така, що Q[A]=Q; довести критерій ізоморфізму для сильнозв'язних простих сагайдаків без петель, що містять дві, три або чотири вершини.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримані наступні результати:

побудована злічена кількість слабопервинних фробеніусових кілець з сагайдаком, матриця суміжності якого дорівнює та доведено, що ці кільця не можна отримати, як факторкільця первинних нетерових напівдистрибутивних та напівдосконалих кілець з ненульовим радикалом Джекобсона;

доведено, що будь-яка алгебра Фуджити є слабопервинним напівдистрибутивним кільцем;

доведено, що сагайдак алгебри Фуджити є сильнозв'язним простим сагайдаком без петель, а сама алгебра Фуджити подається у вигляді факторалгебри алгебри шляхів її сагайдака;

вказано з точністю до ізоморфізму всі сильнозв'язні прості сагайдаки без петель, кількість вершин яких не перевищує чотирьох (при n=2 отримали один сагайдак, при n=3 - п'ять сагайдаків, при n=4 - 83 сагайдаки);

для n=2 і n=3 кожному такому сагайдаку відповідає одна алгебра Фуджити, а при n=4 для сагайдака

існує дві неізоморфні алгебри Фуджити.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при дослідженнях з теорії алгебр, кілець та модулів та в теорії графів. Ці результати можуть бути включені до спеціальних курсів для студентів математичного факультету.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Всі результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на:

A Conference in Honor of Adalbert Bovdi's 70-th birthday. - November 18-23, 2005 р.

V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Одеса, 22-27.07.2005 р.);

міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Київ, 30 липня - 5 серпня 2006 р.);

VІ міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Кам'янець-Подільський, 1-7.07.2007 р.);

Алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-8], що наводяться в кінці автореферату, з них статті [1-3] - у фахових наукових виданнях, та тези [5-8] у матеріалах міжнородних конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чьотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи - 113 сторінок, 4 з яких займає список використаних джерел, що складається із 36 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Кириченку Володимиру Васильовичу за постійну увагу та консультації при виконанні даної роботи.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність дослідження, показано зв'язок теми із планами наукових досліджень кафедри, формулюється мета і завдання дослідження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації. Дисертаційна робота складається з чотирьох розділів.

РОЗДІЛ 1 містить основні означення і результати з теорії скінченновимірних алгебр над полем. Виникнення цієї теорії пов'язано з іменами видатних математиків, в першу чергу з Гамільтоном, який відкрив тіло кватерніонів. Великий внесок що до даної теорії зробив А.Келі, який вперше розглянув матричні алгебри.

Наприкінці 19 століття Ф. Молін та Е.Картан побудували теорію напівпростих алгебр над полями комплексних та дійсних чисел. Загальну теорію напівпростих алгебр над довільним полем побудували Веддерберн та Артін на початку 20 століття.

Важливим класом алгебр, інтенсивне вивчення яких почалось з початку 70-х років минулого століття, є клас алгебр, які не є напівпростими.

Основне поняття, яке виникло на сучасному етапі дослідження алгебр, було введене швейцарським математиком П. Габріелем. Це поняття сагайдака скінченновимірної алгебри.

Алгебра А називається розкладною, якщо вона є прямим добутком двох алгебр. В іншому випадку вона називається нерозкладною.

Позначимо через R - радикал алгебри А.

У цьому розділі наводиться означення сагайдака Q(A) скінченновимірної алгебри A над полем та доведені для повноти викладу наступні відомі теореми:

Теорема 1.7.2. Алгебра А нерозкладна в прямий добуток тоді і тільки тоді, коли сагайдак Q (А) зв'язний.

Теорема 1.7.3. Алгебри А і A/R2 розкладні або нерозкладні одночасно.

Крім того, доведено, що будь-яка скінченновимірна алгебра над алгебраїчно замкненим полем еквівалентна в сенсі Моріти факторалгебрі шляхів її сагайдака за деяким допустимим ідеалом.

РОЗДІЛ 2 присвячений розгляду напівдосконалих напівдистрибутивних кілець, зокрема напівдистрибутивних квазіфробеніусових кілець.

Нагадаємо, що модуль М називається дистрибутивним, якщо для будь-яких його підмодулів K, L, M виконується рівність

Модуль називається напівдистрибутивним, якщо він є прямою сумою дистрибутивних модулів. Кільце А називається напівдистрибутивним справа (зліва), якщо правий (лівий) регулярний модуль АА(АА) є напівдистрибутивним. Напівдистрибутивне справа і зліва кільце, називається напівдистрибутивним.

У цьому розділі розглядаються напівдосконалі напівдистрибутивні кільця, які називаються SPSD-кільцями. Важливим частинним випадком таких кілець є, так звані черепичні порядки - нетерові первинні SPSD-кільця.

Нехай О - дискретно нормоване кільце з простип елементом , О = О - єдиний правий (лівий, двусторонній) ідеал, D - його класичне тіло часток, Мn(D)- кільце всіх квадратних матриць порядку n з елементами із тіла D.

Добре відомо, [теореми 3.8, 3.9] В.В. Кириченко, М.А. Хибина.- Полусовершенные полудистрибутивные кольца // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Институт Математики НАН Украины. - Киев.-1993.- с. 457-480.3 що будь-яке нетерове напівдосконале напівдистрибутивне та напівпервинне кільце А є прямим добутком напівпростого артінова кільця та первинних кілець з ненульовим радикалом Джекобсона вигляду (1).

Згідно з M. Hazewinkel, N. Gubareni and V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules, Kluwer Academic Publishers, Mathematics and its Applications, Vol. 575, 2004. v.1.- 380 p. будь-яке кільце, яке ізоморфне кільцю вигляду (1) називається черепичним порядком. В подальшому ми будемо розглядати черепичні порядки у вигляді (1).

Позначимо через Mn(Z) кільце всіх квадратних nЧn матриць над кільцем цілих чисел Z. Нехай Mn(Z). Матриця =(ij) називається матрицею показників, якщо ij + jk ? ik для всіх i, j, k = 1, ..., n і ii =0 для і = 1, ..., n. Матриця називається зведеною матрицею показників, якщо ij + jі > 0 для i, j = 1, …, n.

Ми будемо використовувати настуне позначення: А={O, (A)}, де (A)=(ij) - матриця показників кільця

В підрозділі 2.1. кожному черепичному порядку співставляється його матриця показників, а кожному зведеному черепичному порядку відповідає зведена матриця показників. По кожній зведеній матриці показників будується простий сагайдак (тобто сагайдак без кратних стрілок і кратних петель).

Простий сагайдак називається допустимим, якщо він є сагайдаком зведеної матриці показників. Наведено приклад простого сагайдака, який має дві вершини і не є допустимим сагайдаком.

У підрозділі 2.2 наведено основні означення з теорії квазіфробеніусових кілець та розглянуто приклади квазіфробеніусових кілець, які будуються за допомогою допустимих сагайдаків.

Нехай А - будь-яке асоціативне кільце з одиницею, яка не дорівнює нулеві, R - його радикал Джекобсона.

Означення. Кільце А називається слабопервинним, якщо добуток довільних двох ідеалів, що не лежать в R, не дорівнює нулю.

У підрозділі 2.3 будується злічена кількість слабопервинних напівдистрибутивних фробеніусових кілець з сагайдаком, матриця суміжності якого дорівнює , та доведено, що ці кільця не можна отримати як факторкільця первинних нетерових напівдистрибутивних та напівдосконалих кілець з ненульовим радикалом Джекобсона.

РОЗДІЛ 3 присвячений вивченню алгебр Фуджити. Ці алгебри ввів японський математик Фуджита в 2003 році під назвою "А-повні матричні алгебри".

В дисертаційній роботі з'ясовано, що будова таких алгебр пов'язана з поняттями мультиплікативного базису алгебри та слабопервинних кілець.

Наведемо означення А-повної матричної алгебри (алгебри Фуджити).

Нехай K - поле і n - ціле число, таке що n ? 2. Нехай A = (A1, ..., An) є n-набором матриць n n Ak = (aij(k))Mn(К) (k = l, ..., n), що задовольняють наступним умовам:

(А 1) aij(k) ail(j)= ail(k) akl(j) для всіх 1?i, j, k, l ?n.

(А 2) akj(k) = aik(k)=1 для всіх 1?i, j, k ?n.

(А 3) aii(k)=0 тоді і тільки тоді, коли i ? k і 1?i, k ?n.

Нехай В=1?i,j?n Кuij є К- векторний простір з базисом {uij | 1?i, j?n}. Задамо множення в В наступним чином:

Алгебра В, яка задовольняє наведеним вище умовам, називається А-повною матричною алгеброю або алгеброю Фуджити (Fujita algebra).

Твердження 3.1.1. 1 Алгебра В є асоціативною К-алгеброю і u11, ..., unn ортогональні примітивні ідемпотенти з 1 = u11+ ... + unn.

Наступні теореми, доведені в розділі 3, дають кільцеві властивості алгебр Фуджити та будову їх сагайдаків.

Теорема 3.1.6. Довільна алгебра Фуджити має мультиплікативний базис.

Теорема 3.3.3. Алгебра Фуджити є слабопервинною напівдистрибутивною алгеброю.

Теорема 3.3.4. Сагайдак слабопервинного напівдосконалого нетерова кільця сильнозв'язний.

Твердження 3.3.5. Якщо А - черепичний порядок, тоді факторкільце В=А/A є артіновим слабопервинним напівдистрибутивним кільцем.

Теорема 3.3.10. Сагайдак Q(B) алгебри Фуджити В є простим сильнозв'язним сагайдаком без петель.

Теорема 3.3.11. Для будь-якого простого сильнозв'язного сагайдака Q без петель існує алгебра Фуджити В, така що Q(B)=Q.

Таким чином, вивчення простих сильнозв'язних сагайдаків без петель є актуальною задачею у зв'язку з дослідженням властивостей алгебр Фуджити.

РОЗДІЛ 4. У монографії Ф.Харарі представлені діаграми орієнтованих графів, що мають не більше чотирьох вершин. Всі орієнтовні графи, які розглядає Ф.Харарі, не мають кратних стрілок та петель. Зокрема, він дає перелік всіх сильнозв'язних простих сагайдаків без петель.

Як повідомив нам О.Г. Ганюшкін, у цьому переліку сагайдаків є недоліки: сагайдаки з числом вершин р=4 та числом дуг q=8 з номерами 18 та 22 співпадають, але пропущений сагайдак Q з такою діаграмою

(1)

Сагайдаки (4,8), які мають номера 8.18 та 8.22, однакові.

В цьому розділі ми подаємо перелік всіх сильнозв'язних сагайдаків з числом вершин p = 2, 3, 4. При p = 4 існує 83 сильнозв'язних сагайдаків.

Довільний сагайдак Q складається з двох множин VQ та AQ, де VQ множина всіх вершин Q, а AQ множина всіх його стрілок.

Нагадаємо означення сагайдака Q(B) матриці В з елементами з поля дійсних чисел R. Нехай Mn(R) множина всіх квадратних матриць порядку n з елементами з R, та B=(bij)Mn(R).

Множина вершин VQ(В)={1, …, n}. Стрілка ij з початком в вершині і та кінцем в вершині j лежить в AQ(В) тоді і тільки тоді, коли bij 0.

Має місце наступна теорема M. Hazewinkel, N. Gubareni and V.V. Kirichnko, Algebras, Rings and Modules, MIA, 586, Vol. 2, Springer, 2007, 400p..

Теорема 4.1.3. Матриця ВMn(R) перестановочно незвідна тоді і тільки тоді, коли її сагайдак Q(B) cильнозв'язний.

Позначимо через 1, …, s всі вершини сагайдака Q і припустимо, що існує рівно tij стрілок з вершини i в вершину j. Якщо нема стрілок з i в j, то tij = 0. Матриця називається матриця суміжності сагайдака Q і позначається [Q].

З попередньої теореми випливає такий наслідок.

Наслідок 4.1.4. Сагайдак Q cильнозв'язний тоді і тільки тоді, коли його матриця суміжності [Q] перестановочно незвідна.

Теорема Перона 4.1.5. [глава 13] 6 Додатня матриця А=(аij)Mn(R) завжди має дійсне і при тому додатнє характеристичне число r, яке є простим коренем характеристичного рівняння і перевищує модулі всіх інших характеристичних чисел. Цьому "максимальному" характеристичному числу r відповідає власний вектор z=(z1, z2, ..., zn) матриці А з додатніми координатами zі > 0 (i=1, 2, ..., n).

Теорема Фробеніуса 4.1.6. [глава 13] 6 Перестановочно незвідна невід'ємна матриця А=(аij)Mn(R) завжди має додатнє характеристичне число r, яке є простим коренем характеристичного рівняння. Модулі всіх інших характеристичних чисел не перевищують числа r. "Максимальному" характеристичному числу r відповідає власний вектор r з додатніми координатами.

Якщо при цьому А має h характеристичних чисел 0 = r, 1, …, h-1, за модулем рівних r, то ці числа всі різні між собою і є коренями рівняння

,

і в загалі, сукупність всіх характеристичних чисел 0, 1, …, h-1 матриці А=(аij)Mn(R), що розглядаються в якості системи точок комплексної -площини, обертається сама в себе при повороті цієї площини на кут . При h>1 одночасною перестановкою рядків та стовпчиків матриці А можна її привести до наступного "циклічного" вигляду, де вздовж діагоналі стоять квадратні блоки.

Означення 4.1.7. [глава 13] 6 Якщо перестановочно незвідна матриця А 0 має всього h характеристичних чисел 1, 2, …, h з максимальним модулем r (1=2=…=h=r), то матриця А називається примітивною при h=1 і імпримітивною при h 1. Число h називається індексом імпримітивності матриці А.

Теорема 4.1.8. [глава 13] Ф.Р. Гантмахер. Теорія матриць. - Наука. - Москва. - 1967. - 576 с. Матриця А 0 є примітивною тоді і тільки тоді, коли деяка степінь матриці А додатня:

Аp 0 (p 1).

Означення 4.1.10. Сильнозв'язний сагайдак будемо називати регулярним, якщо його матриця суміжності примітивна.

Означення 4.1.11. Сильнозв'язний сагайдак будемо називати циклічним, якщо його матриця суміжності імпримітивна.

Із теореми Фробеніуса випливає, що циклічний сагайдак Q не має петель.

Нехай Q - сильнозв'язний сагайдак, [Q] - його матриця суміжності. Індексом сагайдака Q називається максимальне додатнє власне число r його матриці суміжності. Число r позначається через inx Q.

Розглянемо циклічні сагайдаки без кратних стрілок. Матрицями суміжності таких сагайдаків є (0, 1) - матриці з нульовою головною діагональю. Має місце наступне твердження:

Твердження 4.1.12. При n=2 існує єдиний циклічний сагайдак- простий цикл з двома вершинами. При n=3 існує два циклічних сагайдака: h=3 відповідає простий цикл з трьома вершинами, при h=2 отримаємо сагайдак вигляду:

Наведемо список всіх сильнозв'язних сагайдаків для n=2, 3 і 4, їх характеристичні многочлени та індекси імпримітивності h.

Нехай R - поле дійсних чисел. Позначимо через Rn простір n-мірних числових векторів, тобто Rn ={| ai R, i = 1, ..., n}.

Нехай : i (i) - підстановка множини {1, …, n}. Позначимо через - n-вимірний числовий вектор, який отримаємо з вектора перестановкою його координат за правилом:

Два n-вимірних числових вектори і називаються еквівалентними, якщо для деякої підстановки множини {1, …, n}.

Числовий вектор називається додатнім, якщо всі його координати додатні.

Індексом сильнозв'язного сагайдака називається максимальне додатнє дійсне власне число його матриці суміжності. Індекси ізоморфних сагайдаків співпадають.

Нагадаємо, що нормою вектора називається число

.

Головним результатом цього розділу є наступна теорема.

Теорема. Нехай Q1 та Q2 - сильнозв'язні сагайдаки без петель та кратних стрілок, число вершин якого не перевищує чотирьох. Сагайдаки Q1 та Q2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли характеристичні многочлени їх матриць суміжності співпадають, а власні додатні вектори з однаковою нормою, що відповідають індексу цих сагайдаків, еквівалентні.

Доведення цієї теореми базується на обчисленні характеристичних многочленів цих сагайдакі та їх власних ненульових векторів.

Основні результати дисертаційної роботи строго математично доведені та обгрунтовані.

Висновки

У дисертації вперше отримані наступні результати:

побудована злічена кількість слабопервинних фробеніусових кілець з сагайдаком, матриця суміжності якого дорівнює та доведено, що ці кільця не можна отримати, як факторкільця первинних нетерових напівдистрибутивних та напівдосконалих кілець з ненульовим радикалом Джекобсона;

доведено, що будь-яка алгебра Фуджити є слабопервинним напівдистрибутивним кільцем;

доведено, що сагайдак алгебри Фуджити сильнозв'язний, а сама алгебра Фуджити подається у вигляді факторалгебри алгебри шляхів її сагайдака;

вказано, з точністю до ізоморфізму, всі сильнозв'язні прості сагайдаки без петель, кількість вершин яких не перевищує чотирьох (при n=2 отримано один сагайдак, при n=3 - п'ять сагайдаків, при n=4 - 83 сагайдаки);

доведено, що для будь-якого сильнозв'язного простого сагайдака без петель Q існує алгебра Фуджити А, така, що Q[A]=Q;

для n=2 і n=3 кожному такому сагайдаку відповідає одна алгебра Фуджити, а при n=4 для сагайдака

існує дві неізоморфні алгебри Фуджити.

В дисертаційній роботі подано перелік всіх сильнозв'язних сагайдаків з числом вершин p = 2, 3, 4. Для цих сагайдаків підраховані їх індекси (найбільші за величиною власні значення їх матриць суміжності) та власні вектори, що відповідають цим індексам.

Список публікацій автора за темою дисертації

1. Дудченко И.В. О полудистрибутивных квазифробениусовых кольцах. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка.-Серія фіз.-мат. науки.- 2005.-№2.-с.16-20;

2. Дудченко И.В. Властивості алгебр Фуджити. - Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. - Серія фіз.-мат. науки.- 2005. -№ 6. - с.126-130;

3. Дудченк І.В. Сильнозв'язні сагайдаки, їх індекси та власні вектори - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. - Серія фіз.-мат. науки. - 2007.-№3.-с.9-15;

4. Дудченко И.В. Сильносвязные колчаны, их индексы и собственные векторы. - Препринт 2007.5.- Киев, 2007.

5. Тези і доповіді:

6. KirichenkoV.V., Khibina M.A. and Dudchenko I.V. On weakly prime Frobenius rings. - A Conference in Honor of Adalbert Bovdi's 70-th birthday. - November, 2005. - с.18-23;

7. Дудченко И.В. Полудистрибутивные квазифробениусовы кольца. - V Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні.- Одеса: ОНУ ім.І.І.Мечнікова.- 2005. - с. 67-68;

8. Dudchenko I.V. On tiled orders of injective dimention one.- VI International Conference on Radicals . - Kyiv, july 30-august 5, 2006. - c.30-31.;

9. Дудченко И.В. Oб алгебрах Фуджиты. - VII Международная алгебраическая конференция в Украине. - Kaменец-Подольский, июль 1-7, 2007.-c. 69-70.

Размещено на Allbest.ru

...