Стабілізація динамічних систем за частиною змінних розривним та імпульсним керуванням із застосуванням до задач механіки твердих тіл

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 531.3, 517.9

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Стабілізація динамічних систем за частиною змінних розривним та імпульсним керуванням із застосуванням до задач механіки твердих тіл

01.02.01 - ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Кравченко Наталія Володимирівна

Донецьк - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Ковальов Олександр Михайлович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор Вербицький Володимир Григорович, Донецький інститут автомобільного транспорту, завідувач кафедри основ проектування машин;

доктор фізико-математичних наук, професор Кононов Юрій Микитович, Донецький національний університет, професор кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій.

Захист відбудеться “ 11 ” листопада 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “___” жовтня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М. В. Краснощок

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема стійкості та стабілізації динамічних систем займає важливе місце в сучасній теорії керування. Для лінійних систем відомо таке співвідношення: якщо система керована, то існує стабілізуюче керування зі зворотним зв'язком. Довгий час дослідники намагалися узагальнити цей факт на нелінійні автономні системи. Для нелінійних систем, які можна лінеарізувати, тобто звести до лінійних за допомогою заміни змінних, задача стабілізації також може бути розв'язана. Для цього досліджуються властивості відповідної лінійної системи. Варто виділити роботу Р. Брокетта⁾ Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization / R.W. Brockett // Differential Geometric Control Theory. - Boston: Birkhauser, 1983. - P. 181-191.⁾, в якій одержано необхідну умову гладкої стабілізовності й показано, що існують нелінійні керовані системи, які не можуть бути стабілізовані за допомогою диференційованого зворотного зв'язку. Для розривного керування, якщо розв'язки системи диференціальних рівнянь визначати за О.Ф. Філіпповим, результат Р. Брокетта був узагальнений Е. Райєном⁾ Ryan E.P. On Brockett's condition for smooth stabilizability and its necessity in a context of nonsmooth feedback / E.P. Ryan // SIAM J. Control and Optim. - 1994. - Vol. 32. - P. 1597-1604.⁾. Співвідношення між якісними властивостями керованості та стабілізовності для різноманітних класів систем і зворотних зв'язків досліджувались у роботах З. Артстейна, А. Астольфі, А. Блоха, Є.О. Гальперіна, Е. Зонтага, А. Ісідорі, М. Кавскі, Ф. Кларка, О.М. Ковальова, В.І. Коробова, Ж. М. Корона, М.М. Красовського, Ю.С. Ледяєва, Л. Розье, А.І. Субботіна, Г. Суссмана та інших авторів. Аналіз цих робіт показує, що пошук як необхідних, так і достатніх умов стабілізовності для нелінійних систем, а також класів допустимих керувань, що стабілізують нелінійні керовані динамічні системи, є актуальною проблемою сучасної теорії керування.

Поряд із традиційними дослідженнями із загальних проблем теорії стійкості, з середини ХХ сторіччя інтенсивно досліджуються задачі стійкості й стабілізації динамічних систем не за всіма, а тільки по відношенню до частини координат фазового вектора. Такі задачі природно виникають у прикладних проблемах як із вимог нормального функціонування, так і при оцінці можливостей системи. Починаючи з основних робіт В.В. Румянцева, провідним методом дослідження таких задач є метод функцій Ляпунова. Подальший розвиток теорія стійкості за частиною змінних одержала в роботах А.С. Андрєєва, В.І. Воротнікова, В.І. Зубова, О.О. Ігнатьєва, О.М. Ковальова, К. Кордуняну, А.А. Мартинюка, В.М. Матросова, К. Пєйффера, А.С. Озіранєра, В.В. Румянцева, Н. Руша, А.Я. Савченко, А. Халаная й інших вчених.

Важливий внесок у розвиток неголономної механіки зроблено дослідженнями таких видатних вчених свого часу, як П. Аппель, Д.К. Бобильов, П.В. Воронець, В. Вольтерра, Г. Гамель, Г. Герц, М.Є. Жуковський, Г. Маджі, І. Ценов, С.О. Чаплигін, а пізніше В.Г. Вербицький, Л.Г. Лобас, Ю.І. Неймарк, В.В. Румянцев, М.О. Фуфаєв. Багато задач неголономної динаміки актуальні і сьогодні. В силу своєї специфіки неголономні системи не можуть бути стабілізовані неперервним керуванням. Тому для їхньої стабілізації слід використовувати розривне або імпульсне керування.

Використання імпульсного керування було зумовлено наступними причинами: необхідністю розширення деяких стандартних класів керувань й математичним моделюванням різноманітних реальних об'єктів. Багато задач керування з ракетодинаміки, лазерної технології, робототехніки, математичної економіки й екології, спочатку поставлені як класичні, не мають розв'язку в традиційному класі неперервних траєкторій і вимірних керувань. Оскільки траєкторні компоненти послідовностей у таких нерегулярних, вироджених задачах сходяться до розривних функцій, а керування характеризуються наявністю дельта-функцій і сходяться в сенсі розподілів, то виникає проблема розширення цього класу задач, спрямована на включення граничних елементів у безліч припустимих процесів. Крім того, важливим стимулом до розвитку теорії імпульсного керування є моделювання процесів, керування якими здійснюється протягом настільки короткочасних проміжків, що їх можна ідеалізувати як миттєві, а результати впливу призводять до швидкої зміни процесу - стрибків фазової траєкторії модельованої системи. Формалізація таких процесів не можлива без переходу до керувань імпульсного типу й динамічних систем з розривними траєкторіями. Побудова загальної теорії систем з імпульсною дією здійснена завдяки зусиллям таких вчених як Д.Д. Байнов, В. Лакшмікантам, А.Д. Мишкіс, М.О. Перестюк, А.М. Самойленко, П.С. Сіміонов. Основні результати щодо стійкості розв'язків систем з імпульсною дією одержані в роботах Д.Д. Байнова, О.О. Ігнатьєва, В. Лакшмікантама, А.А. Мартинюка, А.Д. Мишкіса, М.О. Перестюка.

Отже, вибраний напрямок досліджень дисертаційної роботи, присвячений знаходженню умов стабілізовності за частиною змінних моделей механічних систем у класі розривних та імпульсних керувань, є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з Планами наукових досліджень відділу технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2002-2009 роки за бюджетними темами: ''Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем та їх застосування у динаміці систем твердих тіл'' (номер держ. реєстрації 0101U0001094) та ''Керування і стійкість гібридних систем та сучасні проблеми робототехніки'' (номер держ. реєстрації 0106U000044).

Мета і задачі дослідження. Основна мета дослідження - знаходження умов стабілізовності моделей механічних систем за частиною змінних. Для досягнення цієї мети необхідно розв'язати ряд задач. По-перше, запропонувати нові способи побудови керувань в задачах стабілізації систем, для яких класичне керування не може забезпечити асимптотичну стійкість нульового розв'язку. Наступна задача - отримання необхідних та достатніх умов стабілізовності нелінійних систем за частиною змінних. Остання задача дослідження - побудова стабілізуючого керування для механічних систем, у тому числі й неголономних систем.

Об'єктом досліджень у роботі є керовані механічні системи.

Предметом досліджень є задача стабілізації руху моделей механічних систем за частиною змінних за допомогою розривного та імпульсного керування.

Методи досліджень. У дисертації застосовані метод Ляпунова, його узагальнення для задач стійкості й стабілізації руху за частиною змінних, методи якісної теорії диференціальних рівнянь та теорії керування.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають наукову новизну і виносяться до захисту, є такі:

1. Отримано розв'язок задачі стабілізації за скінчений час систем з динамічним зворотнім зв'язком з використанням функції керованості.

2. Отримано необхідну умову стабілізації за частиною змінних у класі розривних керувань, що узагальнює умову Райєна на випадок стабілізації за частиною змінних.

3. Основні теореми другого методу Ляпунова поширені на задачі стійкості за частиною змінних для систем з імпульсною дією на множені фазового простору.

4. Поставлено задачі керування та стабілізації неперервних динамічних систем за допомогою імпульсного керування за частиною змінних.

5. Отримано достатні умови стабілізовності динамічних систем з імпульсним керуванням за частиною змінних.

6. Розв'язана задача стабілізації за частиною змінних для неголономної системи у класі імпульсних керувань.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають переважно теоретичне значення. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії керування, теорії імпульсних систем, а також при дослідженні керованості та стабілізовності механічних систем.

Особистий внесок здобувача. З 13 публікацій, що відображають зміст дисертації, 6 написані у співавторстві. В роботі [3], опублікованій у співавторстві з О.М. Ковальовим і В.Н. Неспірним, співавторам належить участь у постановці задачі, обговорення результатів, моделювання механічної системи; здобувачу належить доведення теореми. В роботах [4, 5, 6, 11, 12] співавтору О.М. Ковальову належить ідея використання імпульсного керування для стабілізації нелінійних динамічних систем та постановка задач стабілізації та керування за допомогою імпульсів, співавтору В.Н. Неспірному належить постановка задач стабілізації та керування за допомогою імпульсів різних ступенів і порядків, метод введення керувань для неголономних механічних систем. Здобувачу належать результати, які стосуються стабілізації динамічних систем за частиною змінних. У дисертацію включено та на захист виносяться лише результати, здобуті автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких конференціях і семінарах:

· Восьма міжнародна конференція "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" (Донецьк, 2002);

· 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications (Lodz, Poland, 2003);

· Міжнародна конференція "Класичні проблеми динаміки твердого тіла" (Донецьк, 2004);

· Міжнародна конференція "Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем" (Київ, 2005);

· Дев'ята міжнародна конференція "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" (Донецьк, 2005);

· 11-та Міжнародна наукова конференція "Математические модели физических процессов" (Таганрог, 2005);

· IX Міжнародний семінар ім. Е.С. П'ятницького "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2006);

· Міжнародна конференція "Класичні проблеми динаміки твердого тіла" (Донецьк, 2007);

· Десята міжнародна конференція "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" (Донецьк, 2008);

· семінари відділів прикладної і технічної механіки ІПММ НАН України, керівник - член-кор. НАНУ О.М. Ковальов (Донецьк, 2002_2009 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 13 роботах, серед яких 4 [1-4] статті у провідних фахових журналах, 2 [5, 6] статті в матеріалах міжнародних конференцій, і 7 [7-13] робіт у збірниках тез доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, основної частини з п`яти розділів, висновків та списку літератури. Загальний обсяг дисертації складає 129 сторінок, з яких 17 сторінок займає список використаної літератури, що складається з 140 джерел. Дисертація містить 4 рисунки.

Автор висловлює глибоку вдячність науковому керівнику, члену-кореспонденту НАН України Олександру Михайловичу Ковальову за постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету та задачі роботи, відображено наукову новизну, відзначено практичне значення, надано інформацію щодо апробації результатів та публікацій за темою дисертації.

У першому розділі подається огляд робіт, пов'язаних з темою дослідження. У підрозділі 1.1 наведено огляд робіт з керованості та стабілізовності динамічних систем. У підрозділі 1.2 наведено огляд робіт, що стосуються керованості та стабілізовності динамічних систем за частиною змінних. У підрозділі 1.3 викладено основні результати, щодо застосування розривного та імпульсного керування в задачах керування та стабілізації руху механічних систем.

У другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень. У підрозділі 2.1 викладено метод функцій Ляпунова в теорії стійкості динамічних систем.

В підрозділі 2.2 викладено метод функцій Ляпунова в теорії стійкості динамічних систем за частиною змінних. В підрозділі 2.3 наведено основні означення розв'язків диференціальних рівнянь з розривною правою частиною.

В підрозділі 2.4 наведено основні поняття теорії ступеня відображення. У підрозділі 2.5 введено поняття диференціального рівняння з імпульсною дією, сформульовано означення розв'язку, а також умови існування, єдиності розв'язку імпульсної системи.

У третьому розділі розглядається нелінійна динамічна система з керуванням:

,(1)

де xDRⁿ - фазовий вектор, uUR^m - вектор керування. Припускається, що f C ¹ (D U), 0int D, 0U, f (0,0) = 0. Позначимо - окіл точки xD через B (x, ).

Означення 1. Система (1) називається керованою (за час T), якщо для кожної пари станів x⁰, x^TRⁿ існує функція часу u(t), визначена на [0,T], така, що розв'язок системи , який задовольняє умові x(0)=x⁰, набуває значення x^T при t = T.

Означення 2. Система (1) називається стабілізовною, якщо існує керування зі зворотним зв'язком u(x) таке, що нульовий розв'язок системи локально асимптотично стійкий.

Задача стабілізації системи (1) за допомогою динамічного зворотного зв'язку полягає в побудові динамічної системи

,(2)

де , такий, що розширена система (1), (2) має асимптотично

стійкий нульовий розв'язок, при цьому початкове значення u₀ може залежати від початкових значень фазового вектора .

Задача стабілізації за допомогою динамічного зворотного зв'язку вперше була розглянута в роботах A. Isodori і E.D. Sontag. Надалі динамічний зворотний зв'язок застосовувався і іншими дослідниками.

Динамічний зворотний зв'язок використовувався у випадках, коли неможливе вживання гладкого керування (Marchand N., Alamir M., Balloul I. Stabilisation of nonlinear systems by discontinuous dynamic state feedback // Nonlinear Control in the year 2000 . ? Vol. 2. ? London: Springer Verlag, 2001. ? P. 81-93.). Також за допомогою динамічного зворотного зв'язку вирішувалася задача стабілізації на швидкодію (Naiborhu J., Nababan S.M., Saragih R. Direct Gradient Descent Control as a Dynamic Feedback Control for Linear System // Math. Sci. Soc. ? 2006. ? Vol. 28 N 2. P. 131-146.).

У підрозділі 3.1 для розв'язання задачі стабілізації запропоновано застосувати метод функції керованості. Ідея побудови функції керованості заснована на узагальненні методу вкладених множин. Цей підхід полягає в побудові нескінченої послідовності областей, що вкладені одна в одну і мають в перетині єдину точку нуль.

Межею кожної області є поверхня рівня функції з деякої сім'ї функцій Ляпунова. Керування вибирається за функцією так, щоб при прямуванні k до нескінченності ступінь стійкості системи прямувала до нескінченності. Розв'язок задачі локального синтезу неперервного керування системи (1) отримано у вигляді , де ? функція керованості.

Для функції керованості природним способом її завдання є неявний спосіб, тобто функція визначається як деякий розв'язок рівняння . Це відрізняє побудову функції керованості від традиційного явного завдання функції Ляпунова.

У підрозділі 3.2 для лінійних систем запропоновано метод побудови динамічного зворотного зв'язку з використанням функції керованості, який стабілізує систему за скінченний час. Розглядається лінійна керована система

(3)

Система приводиться до канонічного виду

.(4)

До системи (4) вводимо додаткову змінну . Де - додатний розв'язок рівняння

.(5)

Продиференціювавши (5) за часом, одержимо в силу системи (4), розширену систему диференціальних рівнянь:

.(6)

З початковими умовами

.(7)

Отримане керування буде переводити фазову точку з положення х₀ у початок координат за кінцевий час Т(х₀). Причому

,

де - максимальний корінь характеристичного рівняння для матриці F.

Розв'язуючи для розширеної системи (6), (7) задачу Коші, знаходимо залежність функції керованості від часу. Тим самим отримано розв'язок задачі стабілізації з використанням динамічного синтезу.

Ефективність знайдених законів керування проілюстровано результатами чисельного інтегрування.

У підрозділі 3.3 досліджено питання про застосування метода функції керованості для розв'язання задачі стабілізації нелінійних систем. Якщо нелінійна система припускає точну лінеаризацію, то для неї можливо застосування методу функції керованості для побудови стабілізуючого динамічного зворотного зв'язку. ляпунов керованість брокетт

Ефективність керування проілюстровано результатами чисельного інтегрування.

У четвертому розділі досліджується проблема стабілізації нелінійних систем відносно частини фазових змінних.

Фазовий вектор розбивається на два підвектора

x=(y₁,...,y_n1,z₁,...,z_n2)=(y,z), n₁+n₂=n.

Тоді система (1) приймає вигляд

.(8)

Припускається, що права частина системи (8) неперервна на множині

D U, де ,

(H=const>0), 0U, Y (0, z, 0) 0, Z(0, 0, 0) 0.

Також будемо припускати, що розв'язки системи (8) є z_продовжуваними, тобто для кожної вимірної функції u(х) будь-який розв'язок x(t) = (y(t), z(t)) системи (8) визначено при усіх значеннях t 0, для яких |y(t)| H.

З теореми Брокетта випливає, що керована система

(9)

яка називається інтегратором Брокетта (або неголономним інтегратором), не може бути стабілізована неперервно диференційовним зворотним зв'язком. Більш того, з результату Райєна випливає, що ця система не є стабілізованою і в класі розривних керувань, якщо користуватися означенням розв'язку за Філіпповим.

Тоді виникає питання про збереження умов Брокетта для стабілізації за частиною змінних. Для стабілізації за частиною змінних гладким зворотним зв'язком умова Брокетта зберігається (Zuiev A.L. On Brockett's condition for smooth stabilization with respect to a part of the variables // Proc. European Control Conference ECC'99. - Karlsruhe (Germany). - 1999. - CD-ROM file f0608.pdf.).

У підрозділі 4.2 досліджується проблема стабілізації нелінійних систем відносно частини фазових змінних за допомогою розривного керування.

За припустимі керування береться клас K- напівнеперервних зверху відображень x > k(x) R^m з непустими, опуклими й компактними значеннями, таких, що 0 k(0,z).

При такому зворотному зв'язку k(y,z) розв'язок системи (8) визначається як розв'язок диференціального включення

(10)

з початковою умовою y(0) =y⁰, z(0) =z⁰.

Задача стабілізації системи (10) за змінними y у класі розривних керувань полягає в знаходженні зворотного зв'язку k(y,z) K, що забезпечує еквіасимптотичну стійкість множини { x : y=0} системи

(11)

Означення 3. Розв'язком системи (11) є абсолютно неперервна функція x(t)=(y(t), z(t)), x(0)=(y⁰,z⁰), що задовольняє диференціальному включенню (11) майже усюди.

Означення 4. Зворотній зв'язок k(y,z) K називається стабілізуючим для системи (11) за змінними y, якщо:

1) для будь-якого е >0, існує д(е)>0 таке, що || x⁰|| ?д || y (t)|| ?е для будь-якого t ? 0 для будь-якого максимального розв'язку x(t) системи (11);

2) існує Д>0 і для будь-якого ф >0, існує T(ф)>0 таке, що || y⁰|| ? Д ||y(t)||<ф для кожного t ? T(ф) для будь-якого максимального розв'язку x(t) системи (11).

Означення 5. Зворотній зв'язок k(y,z) K називається еквістисливий для системи (11) за змінними y, якщо існує і такі, що ||y⁰|| <д ||y(t)||<с для будь-якого t ? 0 , ||y(t)||< ф, t для будь-якого максимального розв'язку x(t) системи (11).

Означення 6. Розв'язок системи (11) називається рівномірно z_обмеженим, якщо для будь-якого компакту K існує компакт K₁ такий, що якщо z(0) K , || y⁰|| ?H z(t) K₁ для будь-якого t ? 0.

Основним результатом цього підрозділу є наступна теорема.

Теорема 1. Нехай функції Y(y,z,u), Z(y,z,u) неперервні на множині D, 0Y(0,z,0) і задовольняють умові: якщо K R^m - опукла множина, тоді Y(y,z,K) , Z(y,z,K) опуклі множини.

Якщо для системи (11) існує еквістисливе за змінними y керування k(y,z) K і розв'язок (11) рівномірно z_обмежений, тоді образ Y(y,z,u) містить відкритий окіл нуля.

Теорема 1 є необхідною умовою для стабілізації за частиною змінних нелінійних систем в класі розривних керувань. Очевидно, якщо зворотний зв'язок k(y,z) - стабілізуючий по відношенню до змінних y, то він еквістислий по відношенню до змінних y і виконуються умови теореми 1.

Ця теорема узагальнює умову Райєна на випадок стабілізації за частиною змінних.

У підрозділі 4.3 ставляться задачі керування і стабілізації для систем з імпульсним керуванням:

(12)

де S - множина у фазовому просторі, а u і w - керування.

Розглянуто класичні неперервні системи (1), керування яких належать класу узагальнених (імпульсних). Узагальнене керування вводиться за допомогою заміни dU=u•dt. Система тоді набуває вигляду

.(13)

Коли функція U(t) має розрив, розв'язком x(t) системи (13) при керуванні U(t) вважається границя при е>0 розв'язків x^(е)(t) системи (1) при керуваннях , де U^(е)(t) - сім'я абсолютно неперервних функцій, які відрізняються від U(t) на множині міри е. Тоді в момент імпульсної дії (в точці розриву U(t)) траєкторія має розрив, величина якого залежить від величини стрибка ДU.

Щоб користуватися методами, розробленими у сучасній теорії імпульсних систем, необхідно звести систему (1) з імпульсним керуванням до вигляду (12), тобто обчислити функцію стрибків g, яка буде залежати від стану системи x і стрибка узагальненого керування ДU.

Задача керування. Нехай задана система (12), відрізок часу [0,T], початкове та кінцеве значення x⁰, x^T фазового вектора керованого об'єкта. Потрібно знайти такі можливі керування u(t), w(t) та сім'ю підмножин S(t), що розв'язок системи (12), який задовольняє початковій умові x(0)=x⁰, при t=T має значення x(T)=x^T.

Задача стабілізації. Нехай задана система (12), f(0,0)=0. Потрібно знайти такі можливі керування зі зворотнім зв'язком u(x), w(x) та множину S (яка не залежить від часу) в фазовому просторі, що нульовий розв'язок системи (12) є локально асимптотично стійким.

У підрозділі 4.4 основні теореми другого метода Ляпунова поширені на задачі стійкості відносно частини змінних для систем з імпульсною дією на множині фазового простору.

Система (12) може бути записана у вигляді:

(14)

Означення 7. Нульовий розв'язок системи (14) називається y-стійким, якщо для будь-якого е >0, існує д(е)>0 таке, що ||x⁰|| <д ||y (t)|| <е для будь-якого t ? 0 .

Означення 8. Нульовий розв'язок системи (14) називається асимптотично y-стійким, якщо він y-стійкий і існує Д >0 таке, що ||x⁰|| < Д .

Клас функцій K складається з усіх неперервних строго зростаючих функцій a: [0,+)[0,+), що задовольняють умову a(0)=0. Клас функцій P складається з усіх неперервних функцій ц: [0,+)[0,+), що задовольняють умови ц (0)=0 і ц(r)>0 при r>0.

Доведені наступні теореми.

Теорема 2. Якщо існує функція V(x)C¹ (D) така, що для деякій функції aK:

1) a(||y||)?V(x);

2) ,;

3) V(x+I(x))?V(x), ,

то нульовий розв'язок системи (14) y-стійкий.

Теорема 3. Якщо існує функція V(x)C¹ (D) така, що:

1) для деякій функції aK: a(||y||)?V(x);

2) для деякій функції цP ,;

3) V(x+I(x))?V(x), ,

то нульовий розв'язок системи (14) асимптотично y-стійкий.

У теоремах 2, 3 використовується умова зменшення функції Ляпунова після стрибка.

У наступних теоремах показується, що значення функції може і збільшуватися, проте послідовність її значень в точках x_n зіткнення з множиною S не повинна зростати.

Теорема 4. Якщо існує функція V(x)C¹ (D) така, що, якщо в деякому околі B_h для будь-якого розривного розв'язку x(t,x₀) системи (14) послідовність V(x_n) n=1,2... не зростає, та для деякій функції aK:

1) a(||y||)?V(x);

2) ,,

то нульовий розв'язок системи (14) y-стійкий.

Теорема 5. Якщо існує функція V(x)C¹ (D) така, що:

1) якщо в деякому околі B_h для будь-якого розривного розв'язку x(t,x₀) системи (14) послідовність V(x_n) n=1,2... не зростає та ;

2) та для деякій функції aK a(||y||)?V(x);

3) для деякій функції цP ,,

то нульовий розв'язок системи (14) асимптотично y-стійкий.

У встановлених вище умовах y-стійкості і асимптотичної y-стійкості не накладалися обмеження на послідовність t_k(x₀). Припустимо тепер, що для будь-якої послідовності t_k(x₀) k=1,2,... справедлива нерівність t_k+1(x₀)-t_k(x₀) ? , k ?1.

Теорема 6. Якщо існує функція V(x)C¹ (D) така, що

1) для деякій функції aK: a(||y||)?V(x);

2) для деякій функції цP ,;

3) для деякій функції шP V(x+I(x))? ш(V(x)), ,

4) існує а₀ : для будь якого а(0, а₀] виконується нерівність

,

то нульовий розв'язок системи (14) y-стійкий.

Теорема 7. Якщо існує функція V(x)C¹ (D) така, що

1) для деякій функції aK: a(||y||)?V(x);

2) для деякій функції цP ,;

3) для деякій функції шP V(x+I(x))? ш(V(x)), ,

4) існує а₀>0 і г>0 : для будь якого а(0, а₀] виконується нерівність

то нульовий розв'язок системи (14) асимптотично y-стійкий.

З використанням результатів підрозділу 4.4 у підрозділі 4.5. доведена наступна теорема.

Теорема 8. Якщо існує неперервно дифереційовна в D функція V(x), така, що:

1) a(||y||)?V(x) ?b(||y||),

2) , ,

3) ?V(x), xS,

для деяких функції цР, aK, , то система стабілізована за змінними y.

П'ятий розділ присвячено стабілізації механічних систем за допомогою імпульсних керувань.

У підрозділі 5.1 розглядається голономна механічна система, рух якої описується рівняннями Лагранжа другого роду

,

де - кінетична енергія системи, q_i - узагальнені координати, Q_i - узагальнені сили, які беруться за керування.

При застосуванні імпульсних дій функція стрибків є ненульовою лише для компонент фазового вектора, які відповідають узагальненим швидкостям. Траєкторія системи у конфігураційному просторі розривів не має.

У підрозділі 5.2 розглядаються механічні системи, що підпорядковані неголономним в'язям

.(15)

У якості керувань вибираються (n?m) узагальнених швидкостей, або незалежних квазішвидкостей

.(16)

Тоді, розв'язавши n рівнянь (15), (16) відносно швидкостей, отримаємо систему керування

.

Система є керованою, але не задовольняє умови Фробеніуса і Брокетта, і тому не може бути стабілізована гладким керуванням.

У підрозділі 5.3 розглянуто таку неголономну систему: колесо з тонким скругленним краєм або з поперечною насічкою, що котиться без проковзування, а при русі в поперечному напряму ковзає й не обертається.

Рис. 1. Колесо з поперечною насічкою.

За допомогою методу, викладеного в підрозділі 5.2, у рівняння руху цих систем введені керування. Отримано систему керування

(17)

За допомогою заміни змінних система (17) зводиться до вигляду:

(18)

Система (18) є керованою, але при цьому не задовольняє умові Брокетта і не може бути стабілізована ні гладким, ні розривним керуванням за всіма змінними. Вона також не задовольняє теоремі 1, що не дозволяє побудувати розривне керуванням, що стабілізує систему за змінними x₁, x₂, x₃. Для системи (18) побудовано імпульсне керування, яке стабілізує систему за частиною змінних.

Тут л, б₁, б₂ - дійсні сталі величини, які задовольняють умови л>0, .

Таким чином для даної механічної системи розв'язано задачу стабілізації за частиною змінних за допомогою імпульсного керування.

ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено умови стабілізовності за частиною змінних керованих механічних систем, які описуються диференціальними рівняннями, в класах розривних та імпульсних керувань. Одержано такі результати.

1. Для лінійних систем та нелінійних систем, які припускають точну лінеаризацію, запропоновано метод побудови динамічного зворотного зв'язку з використанням функції керованості, який стабілізує систему за частиною змінних за скінченний час.

2. Досліджена можливість застосування розривних керувань в задачі стабілізації за частиною змінних. Отримано необхідну умову стабілізації за частиною змінних автономної нелінійної системи у класі розривних керувань, що узагальнює умову Райєна.

3. Основні теореми другого методу Ляпунова поширені на задачі стійкості за частиною змінних для систем з імпульсною дією на множині фазового простору.

4. Поставлено задачі керування та стабілізації за частиною змінних неперервних динамічних систем за допомогою імпульсного керування.

5. Отримано достатні умови стабілізовності динамічних систем з імпульсним керуванням за частиною змінних.

6. Отримані теоретичні результати застосовано до механічних систем, на які накладено неголономні в'язи. Побудовано імпульсне керування, що робить стан рівноваги асимптотично стійким за частиною змінних.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кравченко Н.В. Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости / Н.В. Кравченко // Механика твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 179-184.

2. Кравченко Н.В. Устойчивость по части переменных для систем с импульсным воздействием на множестве фазового пространства / Н.В. Кравченко // Труды института прикладной математики и механики. - 2005. - Т. 10. - С. 114-119.

3. Ковалев А.М. Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // Український математичний журнал. - 2006. - №10. - С. 1434-1441.

4. Ковалев А.М. Задачи управления и стабилизации динамических систем с импульсным управлением с приложением в неголономной механике / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // Автомтика и телемеханика, 2007. - №8. - С. 163-178.

5. Kovalev A.M. Stabilization of systems with impulsive control with respect to all and part of the variables / A.M. Kovalev, N.V. Kravchenko, V.N Nespirnyy // Proceedings of 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. - Lodz, Poland. - 2003. - Vol. 1. - P. 345_351.

6. Ковалев А.М. Стабилизация по всем и по части переменных динамических систем с импульсным управлением / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // Материалы 11-й Международной научной конференции "Математические модели физических процессов". - Т.1. - Таганрог, изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та. - 2005. - С. 184-190.

7. Кравченко Н.В. Решение задачи синтеза управления с помощью функции управляемости / Н.В. Кравченко // Восьмая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Тезисы докладов, Донецк. 2002. с. 40.

8. Кравченко Н.В. Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений / Н.В. Кравченко // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докладов Международной конференции. - Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. - 2004. - с. 40.

9. Кравченко Н.В. Стабилизация систем с импульсным управлением по части переменных / Н.В. Кравченко // Междунар. Конф. "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем". Тезисы докладов конференции. - Киев: КНУ им. Т.Г.Шевченко. - 2005. - с. 86.

10. Кравченко Н.В. Достаточные условия стабилизации систем с импульсным управлением по части переменных / Н.В. Кравченко // Девятая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Тезисы докладов. - Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. - 2005. - с. 51.

11. Ковалев А.М. Стабилизация динамических систем импульсным управлением по всем и по части переменных и применение в механике / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // IX международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тез. докл.. - Москва: Изд во ИПУ РАН. - 2006. - С. 122-123.

12. Неспирный В.Н. Задачи управления и стабилизации неголономных механических систем / В.Н. Неспирный, Н.В. Кравченко // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докл. Международной конференции. - Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. - 2007. - С. 60-61.

13. Кравченко Н.В. Об импульсном управлении движением антропоморфного шагающего механизма / Н.В. Кравченко // Десятая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Тезисы докладов. - Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. - 2008. - с. 58.

АНОТАЦІЯ

Кравченко Н.В. Стабілізація динамічних систем за частиною змінних розривним та імпульсним керуванням із застосуванням до задач механіки твердих тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2009.

Дисертація присвячена проблемам стабілізації динамічних систем за частиною змінних. Для лінійних систем та нелінійних систем, які припускають точну лінеаризацію, запропоновано метод побудови динамічного зворотного зв'язку з використанням функції керованості, який стабілізує систему за скінченний час. Досліджена можливість застосування розривних керувань в задачі стабілізації за частиною змінних. Отримано необхідну умову стабілізації за частиною змінних автономної нелінійної системи у класі розривних керувань, що узагальнює умову Райєна. Основні теореми другого методу Ляпунова поширені на задачі стійкості за частиною змінних для систем з імпульсною дією на множині фазового простору. Поставлено задачі керування та стабілізації за частиною змінних неперервних динамічних систем за допомогою імпульсного керування. Отримано достатні умови стабілізовності динамічних систем з імпульсним керуванням за частиною змінних. Отримані теоретичні результати застосовано до механічних систем, на які накладено неголономні в'язі. Для неголономної системи побудовано імпульсне керування, що робить стан рівноваги асимптотично стійким за частиною змінних.

Ключові слова: стабілізація, стійкість, зворотній зв'язок, стабілізація по відношенню до частини змінних, розривне керування, імпульсне керування, неголономні системи.

АННОТАЦИЯ

Кравченко Н.В. Стабилизация динамических систем по части переменных разрывным и импульсным управлением с приложением к задачам механики твердых тел. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2009.

Диссертация посвящена проблемам стабилизации динамических систем по части переменных.

Исследовалась задача стабилизации систем с помощью динамической обратной связи. Для линейных систем и нелинейных систем, которые допускают точную линеаризацию, предложен метод построения динамической обратной связи с использованием функции управляемости, который стабилизирует систему за конечное время. Эффективность найденных законов управления проиллюстрирована результатами численного интегрирования модельных трехмерных систем.

Исследована возможность применения разрывных управлений в задаче стабилизации по части переменных. Используя аппарат дифференциальных включений и степени отображений, доказано необходимое условие стабилизации по части переменных нелинейных автономных систем в классе разрывных управлений, которое обобщает условие Райена на случай стабилизации по части переменных.

Теория импульсных систем рассматривает преимущественно системы с внутренне присущей разрывной природой траекторий, которая никак не связана с управлением. Тем не менее, большинство систем, возникающих в механике и других приложениях, имеют непрерывную динамику. Использование для таких систем воздействий в виде мгновенных импульсов расширяет возможности управления. Рассмотрена возможность использования импульсных управлений для непрерывных динамических систем и исследованы свойства стабилизируемости и управляемости в классе таких обобщенных управлений. Использование импульсных управлений позволяет выбирать моменты, где траектория системы терпит разрыв, что делает класс управлений гораздо богаче. Поставлены задачи управления и стабилизации по части переменных непрерывных динамических систем с помощью импульсного управления.

Основные теоремы второго метода Ляпунова распространены на задачу устойчивости по части переменных для систем, которые подвергаются импульсному воздействию на множестве фазового пространства. На основе этих теорем с использованием метода управляемых функций Ляпунова получены достаточные условия стабилизируемости систем с импульсным управлением по части переменных.

Полученные теоретические результаты применены к механическим системам, на которые наложены неголономные связи. Рассмотрена система управления, описывающая движение механической системы, подчиненной неголономным связям. Полученная система управления является управляемой, но при этом не удовлетворяет условию Брокетта и не может быть стабилизирована ни гладким, ни разрывным управлением по всем переменным. А так же не удовлетворяет необходимому условию стабилизации по части переменных нелинейных автономных систем в классе разрывных управлений, что не позволяет построить разрывное управление, стабилизирующее систему по первым трем переменным. Для данной механической системы решена задача стабилизации по части переменных с помощью импульсного управления.

Ключевые слова: стабилизация, устойчивость, обратная связь, стабилизация по части переменных, разрывное управление, импульсное управление, неголономные системы.

ANNOTATION

Kravchenko N.V. Partial stabilization of dynamical systems by discontinuous and impulsive control with application to the problems of rigid bodies mechanics. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2009.

The thesis is devoted to stabilization problems of dynamic systems with respect to part of variables. The method of dynamic feedback construction for linear and nonlinear systems which admit exact linearization is offered. This method uses function of controllability and constructed feedback stabilizes the system in finite time. In the problem of partial stabilization, possibility of application of discontinuous control is investigated. The necessary condition for partial stabilizability of the autonomous nonlinear system in the class of discontinuous bounded feedback laws is obtained. This condition extends Ryan's condition to the case of partial stabilizability. The basic theorems of the second method of Lyapunov are generalized on the problem of partial stability for the systems with impulse effects on the set of phase space. The control and stabilization problems with respect to the part of the variables for continuous dynamic systems by impulsive control are stated. The sufficient condition of stabilizability of the dynamic systems with the impulsive control on part of variables is proved. A partial stabilization problem for nonholonomic mechanical systems is considered and solved for several examples by impulsive control.

Key words: stabilization, stability, feedback law, partial stabilization, discontinuous control, impulsive control, nonholonomic systems.

Размещено на Allbest.ru

...