Типовой расчет по теории вероятностей и математической статистике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Воронежский институт МВД России

Кафедра высшей математики

Радиотехнический факультет

Кафедра высшей математики

Контрольная работа

Типовой расчет по теории вероятностей и математической статистике

Выполнила: А.В. Масуфранова

Курсант 22 взвода

Преподаватель: профессор

полковник полиции И.В. Атласов



Типовой расчет по теории вероятностей

Задача 1

Студенты выполняют экзаменационную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для получения положительной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи зашифровано пять ответов, из которых только один правильный. Студент N плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

Решение:

P(A) = - классическая конструкция вероятности

m - число благоприятных исходов этого события;

n - общее число всех возможных исходов этого события.

А =

В =

Вероятность правильного решения задачи: P(A) =

Вероятность неправильного решения задачи: P(В) =

Получить положительную оценку можно дав 2 либо же 3 правильных ответа. Вероятность получить 3 правильных ответа:

P () = P(A)*P(А)*P(А)- теорема умножения независимых событий

P () = = 0,008

Вероятность получить 2 правильных ответа:

Студент N может получить правильный ответ в 1 и 2 задаче, или в 1 и 3, или 2 и 3, а это три варианта!

P () = P(A)*P(А)*P(В)*3

P () = = 0,096

Р (С) = P ()+ P ()

Р (С) = 0,008 + 0,096 = 0,104

вероятность того, что студент получит положительную оценку

Ответ: 0,104

Задача 2

Первая урна содержит 3 красных, 2 белых и 1 синий шар. Вторая урна содержит 4 белых и 2 синих шара. Бросается игральная кость. Если на ней выпало 1 или 6 очков, вынимается шар из первой урны, в противном случае из второй. Вытащен синий шар.

Какова вероятность, что он взят из второй урны?

Решение:

Классическая конструкция вероятности

P(A) =

m - число благоприятных исходов этого события;

n - общее число всех возможных исходов этого события

Обозначим через А событие того, что вытащен синий шар.

Можно сделать два предположения:

1) Вытащен синий шар из первой урны (гипотеза В1)

2) Вытащен синий шар из второй урны (гипотеза В2)

Искомую вероятность того, что синий шар вытащен из второй урны, найдем по формуле Байеся:

(B2) =

По условию задачи имеем:

P(B1) =

вероятность того, что шар вытащен из первой урны (выпало 1 или 6 очков)

P(B2) =

вероятность того, что шар вытащен из второй урны (выпало 2,3,4 или 5 очков)

(А) =

вероятность того, что вытащенный из первой урны шар синий)

(А) =

вероятность того, что вытащенный из второй урны шар синий)

Искомая вероятность:

(B2) = (/ ( ) = 0, 8

Ответ: 0,8

Задача 3

Караван из 4 судов пересекает минное поле, вероятность подрыва для каждого из судов считается равной 0,1.

Найти вероятность того, что не менее половины судов уцелеет.

Решение:

P = 0,1 - вероятность подрыва для одного судна

Q = 1- 0,1 = 0,9 - вероятность того, что одно судно уцелеет не взорвется

А =

(А) =

вероятность того, что уцелеет два судна по формуле Бернулли

n = 4, m = 2:

(А) = = = 0, 049

=

вероятность того, что уцелеет три судна по формуле Бернулли

() =

- вероятность того, что уцелеет четыре судна по формуле Бернулли

n = 4, m = 3:

() = = *0,001*0,9 = 0,0036

() =

вероятность того,

n = 4, m = 4:

() = = *0,0001*1 = 0,0001

С =

Р(С) = (А)+ ()+ () = 0,049+ 0,0036+ 0,0001 = 0,0527-.

Ответ: 0, 0527

Задача 4

Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, переложен один шар в другую урну, в которой находилось 3 черных шара и один белый. После перемешивания из последней урны вынимают 3 шара.

Построить *… отклонение числа черных шаров, вынутых из второй урны.

Найти вероятность того, что из нее будет извлечено:

а) по крайней мере, два черных шара;

б) не более двух черных шаров.

Решение:

Случайная величина - число черных шаров, вынутых из второй урны, может принимать значения

Гипотезы:

из первой урны вытащен белый шар;

из второй урны вытащен черный шар;

Вероятности гипотез (по классическому определению вероятностей):

среди трех шаров, вынутых из второй урны, черных нет (вытянуты три белых шара}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза - из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза - из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

{среди трех шаров, вынутых из второй урны, есть один черный шар (и соответственно два белых шара}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза - из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза - из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

{среди трех шаров, вынутых из второй урны, есть два черных шара (и соответственно один белый шар}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза - из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.



2) Если верна вторая гипотеза - из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

среди трех шаров, вынутых из второй урны, все три черных шара (и соответственно нет белых шаров}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза - из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза - из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

вероятность отклонение распределение ковариация регрессия



Закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0	0,2	0,6	0,2

Функция распределения выглядит следующим образом

Математическое ожидание равно:

Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно

Найдем вероятность того, что из второй урны будет извлечено:

а) по крайней мере, два черных шара;

б) не более двух черных шаров.

Задача 5

Плотность распределения случайной величины X имеет вид

Найти:

а) коэффициент А;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание E (x);

г) вероятность P ().

Решение:

,

a) Значение постоянной A определяем из свойства плотности распределения:

б) При x

При 0tgx

При x

Таким образом, функция распределения F(x) имеет вид:

в) E(X) = = (x* tgx) -

= =

г) Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение из интервала ().

Воспользуемся формулой: P () =

Задача 6

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

Случайные величины Y = exp(-2X) и Z = -4X-3 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) функцию распределения случайной величины Y;

б) моменты E(Z), D(Z), K(X,Z).

Решение:

а) X распределена на , поэтому случайная величина Y = exp(-2X) распределена на

Если X = 0; Y = 1

Если X

(a) = P(Y<t) = P = P = P =

Нижний предел интегрирования должен быть положителен, и это выполняется при заданном интервале:

at (0;1)

F()) = -

Для вычисления находим разность в т. - и , получаем:

(t) = - = t,

функция распределена равномерно.

б)

= t+dt =

E(Z) = E(-4X-5) = -4-5 = -7

D(X) = -- = 0

D(Z) = D(-4X-5) = 0

K(X,Z) =



Типовой расчет по математической статистике

Тема 1. Оценивание, проверка статистических гипотез

Задание: По выборке объема n = 200 чисел:

а) проведем группировку данных с числом интервалов, равным 12;

б) построим гистограмму;

в) найдем эмпирическую функцию распределения (ЭФР) и построим ее график;

г) найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

д) найдем доверительный интервал для математического ожидания с заданной надежностью (доверительной вероятностью);

е) на основании критериев согласия Пирсона проверим гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

1. Проведение группировки, построение гистограммы, ЭФР и нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии

Пусть дана выборка:

-0,327	0,407	-0,026	0,019	0,717	0,486	0,924	0,528	-0,010	-0,693
-0,038	-1,662	0,640	0,566	0,293	1,168	1,235	-0,717	-0,100	0,026
1,374	2,043	-0,489	1,113	-1,747	0,938	0,592	0,295	1,119	0,208
0,308	-0,535	1,615	-1,028	0,958	-0,660	1,538	0,756	1,306	0,632
0,244	2,134	0,112	-1,352	-0,601	-0,035	0,933	1,057	0,058	-3,285
1,486	-1,330	-1,231	-0,388	-0,778	-2,394	-0,654	0,134	1,763	-1,052
-1,772	0,403	0,694	0,308	-0,761	-0,391	-0,803	-0,976	1,697	-0,646
-0,873	1,439	-1,192	0,681	0,564	0,440	1,328	0,533	-0,151	-2,209
-1,574	-0,892	-0,097	-1,347	-0,603	0,885	-2,623	-0,809	-0,872	0,409
-0,795	-0,679	-0,871	-1,085	-0,873	0,711	1,203	1,181	-0,861	0,598
-0,203	0,578	-1,211	-1,845	1,357	-0,404	1,266	0,462	-0,859	1,227
-0,852	0,615	-2,627	1,011	-0,504	-0,383	1,177	0,942	-2,268	0,069
0,022	-1,295	-1,375	1,630	-0,703	0,128	0,214	0,418	1,656	-1,571
-0,604	0,952	0,026	-0,161	0,621	1,093	-0,467	0,564	-0,994	-1,802
-0,318	-0,619	-0,708	0,368	-0,100	0,472	-0,699	-0,764	0,344	1,286
-0,941	0,512	-0,155	0,887	-1,350	-0,784	0,692	0,267	-1,310	0,563
0,292	0,051	-0,432	-0,253	-0,802	0,093	0,153	-1,221	0,234	0,480
0,934	0,169	0,096	1,269	-0,965	-0,048	0,636	-0,287	0,088	1,454
1,316	-0,445	0,559	-1,028	0,465	-0,394	1,334	0,105	0,908	-0,040
0,333	-0,532	0,020	0,117	-0,325	-1,218	-1,240	-1,401	-1,864	0,179

Наименьший элемент выборки a = -3,285, наибольший b = 2.134

= 0,4445

Округляя, получаем h = 0,4;

12h = 12*0,4 = 4.8.

Удобно взять = -3 и = 2.

Составляем таблицу:

Таблица 1

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Границы интервалов	(-3;-2.6)	(-2.6;-2.2)	(-2.2;-1.8)	(-1.8;-1.4)	(-1.4;-1)	(-1;-0.6)	(-0.6;-0.2)	(-0.2; 0.2)	(0.2; 0.6)	(0.6;1)	(1; 1.4)	(1.4;1.8)
	-2.8	-2.4	-2	-1.6	-1.2	-0.8	-0.4	0	0.4	0.8	1.2	1.6
	2	3	3	6	17	32	19	31	32	22	19	7
	0.01	0.015	0.015	0.03	0.085	0.16	0.095	0.155	0.16	0.11	0.095	0.035

;

интервалов

.

Построим гистограмму (рис. 1):

Рисунок 1

Далее строим эмпирическую функцию распределения:

Она имеет вид: (x) = , значения этой функции заключены в промежутке . Из таблицы 1 находим:

График эмпирической функции распределения имеет вид: (Рис. 2)

Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии. В качестве таких оценок выбираем среднее выборочное значение = и выборочную дисперсию

где .

Результаты заносим в таблицу вида 2:

Рисунок 2

Таблица 2

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	-2,8	-2,4	-2	-6	-1,2	-0,8	-0,4	0	0,4	0,8	1,2	1,6
	0,01	0,015	0,015	0,03	0,085	0,16	0,095	0,155	0,16	0,11	0,095	0,035
	-0,028	-0,036	-0,03	-0,18	-0,102	-0,128	-0,038	0	0,064	0,088	0,114	0,056
	0,078	0,086	0,06	0,36	0,122	0,102	0,015	0	0,026	0,07	0,137	0,09

= -0,22

1,146

= 1,146 + 0,22 = 1,366

2. Построение доверительного интервала

Ввиду большого объема выборки доверительный интервал имеет вид:

доверительная вероятность.

Для определения t при использовании функции Лапласа Ф(t) = будем иметь следующее уравнение , для рассматриваемого примера будем иметь ,, откуда :

-t* = -0.22-1.95* = -0.24;

+t* = -0.22+1.95* = -0.20/

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (-0,24; -0,2), то есть -0,24-0.2.

3. Проверка статистических гипотез

Проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет нормальный закон распределения. Проверка гипотезы сводится к следующему алгоритму: Объединим в один интервал интервалы с малыми частотами так, чтобы в каждом из интервалов было не менее 6-8 элементов выборки. Вычислим статистику

,

где k- это число интервалов, - число элементов выборки в каждом из k интервалов, - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал, которая определяется по формуле:

= Ф()-Ф(), т.е.

Таблица 3

Интервалы	(-)	(-1,4;-1)	(-1;-0,6)	(-0,6;-0,2)	(-0,2;0,2)	(0,2;06)	(0,6;1)	(1;1,4)	(1,4;+)
		-0.84	-0.5	-0.15	0.18	0.53	0.87	1.22	1.56
Ф)		0.20045	0.30854	0.44038	0.57142	0.70194	0.80785	0.88877	0.94062
	0.11545	0.08145	0.10809	0.13184	0.13104	0.13052	0.10591	0.08092	0.05185
	14	17	32	19	31	32	22	19	7
	196	289	1024	361	961	1024	484	361	49
	23.09	16.29	21.618	26.368	26.208	26.104	21.182	16.184	10.37
	8.48	17.6	47.3	13.69	36.66	39.2	22.8	22.3	4.7

Ф) = 1- Ф);

Назначаем уровень значимости p = 0.05, число степеней свободы

r = k-3 = 9-3 = 6.

= 212, 4;

По таблице - распределения находим = 12, 59. Так как полученное нами значение = 12.4 12.59, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.



Тема 2. Ковариация и регрессия. Построение выборочного уравнения линии регрессии

	47	57	62	67
42	30	15	0	0	45
52	0	85	25	0	110
62	0	0	15	30	45
	30	100	40	30	n = 200

Расчет коэффициентов в выборочном уравнении линии регрессии:

= ; = ;

=

=

(X) = (Y) =

_{(X) = = 6.7}

_{(Y) = = 5.8}

Оценка коэффициента корреляции:

r_n(X,Y) = =

= = 0.24

Получим искомое выборочное уравнение линейной регрессии Y на X:

y(x) = + r_n(X,Y)(x - );



y(x) = 58 +0.24?( x - 52) ;

y(x) = 54,125 + 0,2?x + 10.8 ;

y(x) = 64.92 +0.2?x ;

Сравним оценки условных математических ожиданий, вычисленные

а) на основе последнего уравнения,

б) по данным таблицы.

а) Е(Y | X = 62) = 64.92 + 0.2*62 = 77.92;

б) Е(Y | X = 62) = (15*62+30*67)/62 = 73.95;

Размещено на Allbest.ru

...