Неопределённый интеграл

Размещено на http://allbest.ru

Методические указания

Неопределённый интеграл

1.Основные понятия

интеграл функция уравнение

Функция называется первообразной для функции , если .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается . Если - какая- либо первообразная для , то .

Нахождение неопределённых интегралов называется интегрированием.

2.Таблица основных интегралов

3.Основные правила интегрирования

1. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3. Вид формул интегрирования не изменится, если независимую переменную x заменить любой дифференцируемой функцией от x, т. е. если и - дифференцируемая функция, то .

4. Если - дифференцируемая функция, то . При применении этого правила можно использовать таблицу основных дифференциалов.

Таблица основных дифференциалов.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) ,

16) ,

17) .

Решение примерного варианта типового расчёта.

Пример 1. Воспользуемся следующим свойством неопределённого интеграла:

и таблицей основных интегралов.

а) , ( интеграл №3 ),

б) ( интеграл №5 ),

в) ( интеграл №9 ).

Пример 2. Воспользуемся алгебраическим тождеством: и правилами интегрирования 1 и 2.

а)

б)

Пример 3 и 4. Решаем методом подведения функции под знак дифференциала.

а)

;

б)

;

в)

.

Пример 5. При интегрировании чётных степеней синуса или косинуса применяются формулы понижения степени:

.

а)

;

б)

.

Пример 6. При интегрировании нечётных степеней синуса или косинуса поступают следующим образом: от нечётной степени функции sinkx или coskx отделить сомножитель в первой степени, подвести его под знак дифференциала:

,

а оставшуюся чётную степень функции sinkx или coskx преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество: .

а)

.

б)

.

Интегралы в примерах 7, 8 и 9 вычисляются методом интегрирования по частям по формуле: , где . При интегрировании этим методом важно правильно разбить подынтегральное выражение на две части: u и dv. Если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на одну из функций: синус, косинус или показательную функцию, то через u обозначают многочлен, а через dv - всё остальное.

Если под знаком интеграла содержатся логарифмическая или обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, то их обозначают через u, а через dv - всё остальное.

Пример 7.

а)

б)

Пример 8.

Пример 9.

Примеры 10 и 11 содержат квадратный трёхчлен в знаменателе. Поэтому, сначала из квадратного трёхчлена выделяется полный квадрат по формуле:

а затем знаменатель упрощается с помощью замены переменной: .

Пример 10. а) .

В знаменателе - квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

б) .

В знаменателе - квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:



Пример 11. а) .

В знаменателе - квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

б)

.

В знаменателе - квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

Пример 12 содержит под знаком интеграла дробно - рациональную функцию. Если под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе), то её можно представить в виде суммы простейших дробей:

а) ;

б) ;

в) .

Пример 12. а) .

Разложим знаменатель на множители:

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители

,

где и - корни соответствующего квадратного уравнения

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведём дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю

.

Приравняем числители дробей:

.

Так как полученные многочлены должны быть тождественно равны, то их значения должны быть равны при любых значениях x. Подставим значения x, равные корням знаменателя, в последнее равенство.

Окончательно имеем:



б)

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведём дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю

Приравняем числители дробей:

.

Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

при

при

при

Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Окончательно имеем:

в)

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведём дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю

.

Приравняем числители дробей:

.

Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

при

при

при

Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Окончательно имеем:

В примерах 13 и 14 под знаком интеграла содержатся корни различных степеней из x или из линейного выражения ax+b. В этом случае применяется подстановка:

или

,

где n - наименьшее общее кратное всех степеней корней из x или из линейного выражения ax+b, встречающихся в подынтегральном выражении.

Пример 13.

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе), поэтому сначала выделяем целую часть этой дроби, разделив числитель на знаменатель «уголком».

Тогда .

Окончательно имеем:

Пример 14.

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе равна степени многочлена в знаменателе), поэтому сначала выделяем целую часть этой дроби. Для этого вычтем и добавим 1 в числителе и разложим на два слагаемых.

Окончательно имеем:

Пример 15*.

.

Интеграл вычислим отдельно (интегрирование по частям).

.

Интегрируем ещё раз по частям, не меняя обозначений.

.

.

Перенесём в правую часть равенства с противоположным знаком.



,

.

В результате получим:

.

Пример 16*. .

В знаменателе - квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

Пример 17*.

Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

. Тогда

Обозначим:

При вычислении интегралов №18, 19 и 20 следует пользоваться справочником: Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986 (1998 и др.)(*). Возможно использование других справочников. Вначале следует внимательно ознакомиться с содержанием и структурой раздела « Таблица неопределённых интегралов»: из каких частей состоит раздел и какие вводятся обозначения.

Пример 18.

В таблице неопределённых интегралов справочника (*) в разделе «Интегралы от иррациональных функций. Интегралы, содержащие » находим формулу №245:

, где

, вычисляется по формуле №241.

В нашем примере:

По формуле №245 имеем:

,

а в формуле №241 значению соответствуют три первых строки. Так как , то выбираем из двух первых. При этом первая - при любого знака, а вторая - только для . Выбираем первую.

Окончательно имеем:

Пример 19.



В таблице неопределённых интегралов справочника (*) в разделе «Интегралы от иррациональных функций. Интегралы, содержащие » находим формулу №162:

,

где . В данном интеграле

Окончательно имеем:

Пример 20. .

В таблице неопределённых интегралов справочника (*) в разделе «Интегралы от тригонометрических функций. Интегралы, содержащие косинус» находим формулу №317:

, n - целое,

Эту формулу применяем несколько раз, пока не получим интеграл вида:

или .

Размещено на Allbest.ru

...