Узагальнені види збіжності у задачах теорії банахових просторів і теорії міри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Узагальнені види збіжності у задачах теорії банахових просторів і теорії міри

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Те, що звичайної збіжності послідовностей недостатньо для вимог аналізу, вже стає очевидно з класичної теорії інтегрування. Першим успішним узагальненням поняття межі, що було введено з метою коректного визначення інтеграла, була збіжність по спрямованості, яку було розроблено в 1922 р. Муром і Смітом. Це узагальнення, що є альтернативою секвенціальной збіжності, широко використовується і зараз. У процесі розвитку функціонального аналізу і загальної теорії топологічних просторів все ширше використовується поняття фільтру і збіжності за фільтром, яке було введене в 1937 р. Анрі Картаном і одержало подальший розвиток в роботах Бурбакі. Саме цьому виду збіжності присвячена дисертаційна робота.

Збіжність за фільтром - це природне узагальнення звичайної межі послідовності. Вона успішно заміняє збіжність за Муром-Смітом і знайшла безліч застосувань. Цей вид збіжності відіграє важливу роль у загальній топології, теорії моделей, функціональному аналізі й у будь-якому іншому розділі математики, де важливо здійснювати однаковим чином вибір граничної точки у певного класу послідовностей. Фільтри й ідеали (двоїсте поняття з абстрактної алгебри) - важливий інструмент для багатьох побудов в теорії відносин порядку і теорії решіток. Ультрафільтри й максимальні ідеали використовуються для одержання множини точок топологічного простору, чиї замкнуто-відкриті множини є ізоморфними вихідній булевій алгебрі (теорема Стоуна про подання для булевої алгебри). Велика кількість літератури присвячена вивченню фактор-кілець за ідеалами.

Особливу роль у розвитку теорії узагальненої межі відіграло поняття статистичної збіжності, яка є цікавим прикладом збіжності за фільтром. Визначення статистичної збіжності було введене Фастом і Штейнгаусом в 1951 р., використовуючи асимптотичну щільність d(A) = lim_n>?|{k ? n: k є A}| / n (її ще називають природною щільністю) множини A в N: послідовність (x_n) статистично збігається до x, якщо d({k: |x_k - x|> е}) = 0 для кожного е > 0. Активно статистична збіжність стала досліджуватися під цією назвою відносно недавно, проте, вона з'являлася і використовувалася в літературі в різних видах з 1913 р. Статистична збіжність обговорювалася в аналізі Фур'є, в ергодичній теорії, у теорії чисел. В останні роки узагальнення статистичної збіжності з'явилися у вивченні сильного інтегрального підсумовування, у вивчені локально опуклих просторів, структури ідеалів обмежених неперервних функцій у локально компактних просторах. Також відома характеризація банахових просторів, які мають сепарабельний спряжений простір через слабку статистичну збіжність. Інтерес до теорії статистичної збіжності та її застосувань зумовив розвиток узагальнень самого поняття статистичної збіжності. Ряд авторів замінили асимптотичну щільність щільністю, що породжена матрицею підсумовування, лакунарною послідовністю, або, у більш загальному вигляді, статистична збіжність задавалася скінченно-адитивною функцією щільності, що задовольняє деяким елементарним аксіомам. Узагальнення поширилися аж до фільтра або ідеалу підмножин N.

Щоб вільно користуватися збіжністю за фільтром, потрібно розібратися, які з відомих теорем математичного й функціонального аналізу переносяться на цей вид збіжності, та яким чином можливість такого перенесення залежить від властивостей фільтра. Незважаючи на свою актуальність, дивним чином коло цих задач виявилось до цього часу майже не дослідженим. Є низка сучасних робіт, сконцентрованих на вивченні деяких елементарних властивостей статистичної збіжності та різних узагальнень цього поняття, у тому числі, які є еквівалентними збіжності за фільтром. Деякі роботи дають опис певних класів просторів за допомогою статистичної збіжності. І зовсім небагато робіт присвячено класифікації фільтрів, на які поширюються класичні теореми про збіжність функцій або елементів абстрактного банахого простору. У даній дисертаційній роботі розглядається саме останній клас задач.

Кожна теорема класичного аналізу, функціонального аналізу або теорії міри, яка формулює властивість послідовностей, приводить до класу фільтрів, для яких ця теорема виконується. Іноді такий клас фільтрів тривіальний, але в деяких випадках цей підхід приводить до нового класу фільтрів і характеризування цього класу може бути досить непростим завданням. Серед таких класів для теорії міри і інтеграла, перш за все, актуальним є дослідження «лебегівських» фільтрів (для яких виконується теорема Лебега про мажоровану збіжність); «єгорівских» фільтрів, які відповідають теоремі Єгорова про майже рівномірну збіжність; а також фільтрів F, для яких з поточкової F-збіжності випливає F-збіжність за мірою. Для теорії банахових просторів можна виділити клас фільтрів, для яких виконується критерій слабкої збіжності в C(K), тобто поточкова і слабка збіжності за фільтром обмежених послідовностей у C(K) є тотожними, і клас «шуровських» фільтрів, для яких сильна і слабка збіжності у банаховому просторі ?₁ співпадають. Також доцільно розглянути для фільтрів теорему Рейнвотера про перевірку слабкої збіжності на крайніх точках. Актуальними задачами також є характеризація фільтрів, для яких виконується аналог добре відомих властивостей послідовностей дійсних чисел у загальних топологічних або метричних просторах. Окремою актуальною задачею в даній тематиці є визначення збіжності ряду за фільтром і розгляд для нього варіантів теореми Рімана про перестановку рядів.

Однією з причин вивчення даних питань є те, що вони дають можливість побачити в новому світлі класичні результати. Наприклад, відомо, що теорема про мажоровану збіжність може бути виведена з теореми Єгорова. Питання чи виконується зворотне не має сенсу в класичному контексті: якщо обидві теореми правдиві, то як можна побачити, що одна з них не виводиться з іншої? Але якщо подивитися на відповідні класи фільтрів, то питання набуває сенсу, і насправді існують «лебегівські» фільтри, які не є «єгорівськими» (зокрема фільтр статистичної збіжності).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі теорії функцій та функціонального аналізу механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н.?Каразіна. Результати дисертації є складовою частиною держбюджетних науково-дослідних робіт «Аналітичні та алгебраїчні методи дослідження функціональних просторів, напівгруп, ймовірносних законів» (номер державної реєстрації 0103U004224) та «Алгебраїчні та аналітичні методи дослідження груп, класів функцій, операторів та пов'язаних з ними об'єктів'' (номер державної реєстрації 0106U003141).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є перенесення відомих теорем о послідовностях на збіжність за фільтром.

Задачі дослідження.

Визначення, дослідження властивостей, характеризація та наведення прикладів фільтрів, що відображують наступні теореми:

- теореми про граничні точки і збіжні підпослідовності в R;

- теореми про збіжність у теорії міри та інтегралу: теорема Єгорова і теорема Лебега про мажоровану збіжність;

- теореми про слабку збіжність у банахових просторах: ?₁ теорема Шура, критерій слабкої збіжності у C(K), теорема Рейнвотера про перевірку слабкої збіжності на крайніх точках;

- теорема Рімана про збіжність рядів.

Об'єктом дослідження є фільтри, збіжність за фільтрами і пов'язані з ними питання математичного аналізу, теорії міри та теорії банахових просторів.

Предметом дослідження є властивості фільтрів, що відображують відомі теореми про збіжність послідовностей у функціональних або в абстрактних просторах.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються загальні методи функціонального аналізу, класичного анализу, теорії міри, теорії банахових просторів, топології і теорії множин.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі вперше:

- знайдено характеризацію таких фільтрів F, для яких множина F-граничних точок послідовності дійсних чисел може бути будь-якою замкненою підмножиною в R; дану властивість поширено на нескінченний топологічний простір; всі аналітичні фільтри мають цю властивість;

- знайдено характеризацію таких фільтрів F, для яких у кожної F-граничної точки послідовності дійсних чисел існує F-збіжна до цієї точки F-підпослідовність; дану властивість поширено на топологічні та метричні простори; охарактеризовані аналітичні P-фільтри з цією властивістю;

- знайдено характеризацію «єгорівських» фільтрів, для яких виконується теорема Єгорова про майже рівномірну збіжність; доведено, що для фільтра F виконується теорема Лебега про мажоровану збіжність тоді й тільки тоді, коли з поточкової F-збіжності випливає F-збіжність за мірою; отримано характеризацію «лебегівських» фільтрів; встановлено, що клас «єгорівських» фільтрів є власною підмножиною класу «лебегівських» фільтрів, зокрема, фільтр статистичної збіжності є «лебегівським», але не є «єгорівським»; також встановлено, що не існує вільних «лебегівських» ультрафільтрів;

- доведено, що клас фільтрів F, для яких поточкова і слабка збіжності за фільтром обмежених послідовностей у C(K) є тотожними, не зміниться, якщо ми обмежимо розгляд цієї властивості тільки на C [0,1]; показано, що ця властивість еквівалентна виконанню теореми Рейнвотера про перевірку слабкої збіжності на крайніх точках; встановлено, що є ультрафільтри, для яких ця властивість не виконується, та за припущенням континуум гіпотези є ультрафільтри, для яких ця властивість виконується; це доводить, що дана властивість строго слабша, ніж вимога від фільтра F теореми про мажоровану збіжність;

- отримано необхідну і достатню умову на фільтр F, за яких сильна і слабка F-збіжності в банаховому просторі ?₁ співпадають («шурівські» фільтри); встановлено, що за припущенням континуум гіпотези існує «шурівський» ультрафільтр;

- доведено, що теорема про слабку секвенціальну повноту простору ?₁ не виконується для жодного ультрафільтру та виконується для кожного фільтру, породженого матрицею підсумовування, зокрема, для фільтра статистичної збіжності (він не є «шурівським»); доведено, що якщо виключити в певному сенсі ультрафільтри, то та сама достатня умова, яку ми маємо для «шурівських» фільтрів, є достатньою і для теореми про слабку секвенціальну повноту ?₁;

- знайдено характеризації фільтрів F, для яких послідовність членів F-збіжного ряду (а) F-збігається до 0, (б) має збіжну до 0 підпослідовність; знайдено необхідні та достатні умови варіанту теореми Рімана про перестановку рядів у вигляді тотожності області граничних точок та області F-сум збіжного за фільтром F ряду.

Практичне значення отриманих результатів. У дисертації проведено фундаментальні теоретичні дослідження, які можуть бути використані в загальній теорії збіжності, у теорії міри та інтегралу, у теорії банахових просторів, у топології, у теорії рядів та в інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач належать науковому керівнику. Усі результати дисертації отримані автором самостійно. У публікаціях [2, 7] автору дисертації належать всі результати окрім результатів про «фільтри другої категорії».

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на IV літній школі «Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis» (Львів-Козьова, 2006 р.), на міжнародній конференції «Modern Analysis and Applications», присвяченій 100-річчю М.Г. Крейна (Одеса, 2007 р.), на міжнародній студентській конференції у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна (Харків, 2007 р.), на семінарі з функціонального аналізу університету Гранади, на семінарі з функціонального аналізу в Львівському національному університеті імені Івана Франка, та на семінарі з функціонального аналізу в Чернівецькому національному університеті ім. Ю. Федьковича.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 6 наукових публікаціях, у тому числі в 4 статтях у журналах з переліку ВАК України і 2 тезах виступів на конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновку та списку використаних джерел, який містить 107 найменувань та займає 10 сторінок. Загальний об'єм роботи складає 131 сторінку.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику кандидату фізико-математичних наук, доценту Кадецю Володимиру Михайловичу за підтримку, вболівання за результат та приклад високого професіоналізму.

Основний зміст роботи

інтеграл мажорований банановий ріман

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета та задачі, об'єкт та предмет дослідження, розкрита наукова новизна отриманих результатів.

У розділі 1 дисертаційної роботи наведені відомі раніше результати, які мають відношення до теми роботи, визначено напрямок досліджень та подано огляд літератури.

Фільтр на множині - це непусте сімейство підмножин , що задовольняють наступним аксіомам:

· ;

· якщо , то ;

· для кожного , якщо , то .

Послідовність у топологічному просторі називається -збіжною до (пишемо , або ), якщо для кожного околу точки множина належить .

- це фільтр Фреше. Фільтр - вільний, якщо він містить фільтр Фреше (). Всі фільтри нижче вважаємо вільними.

Ідеал на множині - це непусте сімейство підмножин , що задовольняють наступним аксіомам:

· та ;

· якщо , то ;

· для кожного , якщо , то .

Якщо - це фільтр, то - це ідеал, що відповідає .

Якщо - це ідеал, то - це фільтр, що відповідає .

Підмножина називається -стаціонарною, якщо вона має непустий перетин з кожним елементом фільтра . Сімейство всіх -стаціонарних множин називається коідеалом і позначається як .

Для визначимо наступні множини:

- слід на (фільтр на ).

- найменший фільтр на , що містить слід .

Приклад 1.4. Фільтри, що породжені матрицею підсумовування.

Матриця - це матриця підсумовування, якщо

1. для всіх ;

2. для всіх ;

3. ;

4.  для всіх .

Для матриці підсумовування і позначимо

і .

Фільтр , що породжений матрицею підсумовування визначається ідеалом . Якщо для всіх і для , ми отримуємо фільтр статистичної збіжності.

Приклад 1.5. Фільтри, що підсумовуються.

Нехай така функція, що . Фільтр, що підсумовується визначається ідеалом

Твердження 1.1. Нехай - топологічний простір, і - це фільтр на . Тоді наступні умови еквівалентні:

(1) -збіжна до ;

(2) -збіжна до для кожного ;

(3) - гранична точка для кожного ;

(4) -збіжна до для кожного ультрафільтра .

Підпослідовність виду називається -підпослідовністю, якщо .

- це множина меж -підпослідовностей послідовності .

Точка називається -граничною точкою послідовності , якщо належить до замикання для кожного . Множину всіх -граничних точок послідовності позначаємо через .

Твердження 1.2. Нехай - топологічний простір, і - це фільтр на . Тоді наступні умови еквівалентні:

(1) ;

(2) для кожного околу точки існує така стаціонарна множина , що ;

(3) існує ультрафільтр такий, що .

Ідеал щільний, якщо кожна нескінченна множина містить нескінченну підмножину .

Означення 1.1. Фільтр називається -фільтром, якщо для кожної послідовності множин існує така множина , що для всіх . Ідеал називається -ідеалом, якщо - це -фільтр.

Теорема 1.1. Нехай - метричний простір і - фільтр. Якщо є дискретним, то -збіжність співпадає зі збіжністю на деякому елементі . Якщо у є гранична точка, то цей збіг має місце тоді й тільки тоді, коли - це -фільтр.

Означення 1.3. Відображення називається субмірою на , якщо

1. і для кожного ;

2. тоді ;

3. тоді .

Субміра напівнеперервна знизу (н.н.з.), якщо для кожного виконано

Для н.н.з. субміри визначимо та ідеал

Теорема 1.2. Ідеал є аналітичним -ідеалом тоді й тільки тоді, коли для деякої н.н.з. субміри .

Означення 1.4. - добуток Фубіні фільтрів визначається так: , якщо .

Ідеали і ізоморфні, якщо існує така бієкція , що . Фільтри і ізоморфні (пишемо ), якщо ізоморфні відповідні ідеали і .

У підрозділі 1.4 наводиться огляд відомих у літературі узагальнень на фільтри та ідеали класичних теорем аналізу та теорії міри.

У розділі 2 - «Теореми про граничні точки та підпослідовності для фільтрів» - узагальнено на збіжність за фільтром дві відомі властивості звичайного поняття збіжності про граничні точки послідовності. Перша властивість говорить, що множина граничних точок послідовності дійсних чисел може бути будь-якою замкненою підмножиною в . Друга - для кожної граничної точки послідовності дійсних чисел існує збіжна до цієї точки підпослідовність.

Означення 2.1. Фільтр має властивість , якщо відображення , що ставить у відповідність кожній послідовності множину її -граничних точек , сюр'єктивно.

Теорема 2.1. Нехай - фільтр на . Наступні умови еквівалентні:

(1) для кожного нескінченого хаусдорфового топологічного простору і для кожного сепарабельного підпростору в існує така послідовність , що ;

(2) існує нескінчений хаусдорфів топологічний простір , існує нескінчений сепарабельний підпростір в і існує така послідовність , що ;

(3) існує розбиття , де ;

(4) існує нескінченна кількість ультрафільтрів, що мажорують .

Теорема 2.2. Кожен аналітичний фільтр має властивість .

Означення 2.2. Фільтр має властивість , якщо для будь-якої послідовності і існує , для якого (тобто -збіжна до -підпослідовність).

Теорема 2.3. Нехай - фільтр на . Наступні умови еквівалентні:

(1) для кожного топологічного простору і послідовності , якщо , то існує , для якого ;

(2) для кожного ультрафільтра існує , для якого .

Теорема 2.4. Нехай - фільтр на . Наступні умови еквівалентні:

(1) для кожного метричного простору і послідовності , якщо , то існує , для якого ;

(2) існує метричний простір , який має граничну точку, такий, що для кожної послідовності , якщо , то існує , для якого ;

(3) для кожної спадної послідовності , існує , для якого , .

Теорема 2.5. Нехай - аналітичний -фільтр, з відповідною н.н.з. субмірою . Для виконання властивості необхідно і достатньо, щоб .

Теорема 2.6. Нехай - матриця підсумовування. Наступні умови еквівалентні:

(1) фільтр має властивість ;

(2) ;

(3) існує таке , що для кожного існує така послідовність індексів , що , .

Твердження 2.1. Існує матриця підсумовування , відповідний фільтр якої є ізоморфним . При цьому умова (3) теореми 2.2.4. для не виконана.

Наслідок 2.1. У класі фільтрів, що породжені матрицями підсумовування, властивість виконана тоді й тільки тоді, коли - це фільтр Фреше.

Теорема 2.7. Кожний фільтр , що підсумовується має властивість .

Теорема 2.8. Нехай - нескінченний метричний простір, - фільтр на . Наступні умови еквівалентні:

(1) для кожної послідовності в існує така послідовність , що і , тобто (більш того, можна вважати, що );

(2) - -фільтр.

Означення 2.3. називається діагональним фільтром, якщо для кожної спадної послідовності елементів фільтра і для кожного існує така множина , , що для всіх .

Теорема 2.9. Нехай - метричний простір, що містить деяку граничну точку. Фільтр на діагональний тоді й тільки тоді, коли для кожної -збіжної до послідовності в у кожної -підпослідовності існує -підпослідовність , що збігається до .

Наслідок 2.2. Фільтр не є діагональним тоді й тільки тоді, коли існує і бієкція така, що .

Означення 2.4. Фільтр на називається блокостійким, якщо для кожного і будь-якого його розбиття на скінченні множини існує таке , , що для всіх .

Твердження 2.3. Нехай - аналітичний -фільтр, з відповідною н.н.з. субмірою . Наступні умови еквівалентні:

(1) - блокостійкий фільтр;

(2) для кожного не збігається до 0;

(3) для кожного існує , таке, що - фільтр Фреше. Тобто для будь-якого ідеал не щільний.

Наслідок 2.3. Блокостійкий аналітичний -фільтр повинен бути ізоморфним або .

Твердження 2.4. Нехай - матриця підсумовування. Наступні умови еквівалентні:

(1) - блокостійкий фільтр;

(2) для кожного не збігається до 0;

(3) для кожного існує , таке, що - фільтр Фреше. Тобто для любого ідеал не є щільним.

Для фільтра, що породжений матрицею підсумовування, мають місце обидва випадки наслідку 2.3.

У розділі 3 - «Збіжність за фільтром у теорії міри» - вивчаються узагальнення на фільтри класичних результатів теорії міри та інтеграла Лебега. Наведено зв'язок між -збіжністю за мірою, майже скрізь і з виконанням теореми Лебега про мажоровану збіжність для фільтрів. Отримано характеризації лебегівських і єгорівських фільтрів.

Означення 3.1. Фільтр називається єгорівським (), якщо для кожного простору з мірою , для кожної поточково -збіжної до 0 послідовності вимірних функцій і для кожного існує така множина з мірою , що .

Теорема 3.1. тоді й тільки тоді, коли для кожного простору з мірою , для кожної послідовності такої, що поточково -збігається до 0 і для кожного існує такий елемент , що .

Теорема 3.2. Нехай - матриця підсумовування. Фільтр тоді й тільки тоді, коли - блокостійкий, тобто коли він є ізоморфним або .

Теорема 3.3. Нехай і - фільтри, що породжені матрицями підсумовування і відповідно. Якщо і не є щільним ідеалом, то будь-який фільтр , для якого виконано , не є єгорівським.

Теорема 3.5. Нехай - фільтр на і - послідовність вимірних функцій на . Наступні умови еквівалентні:

(1) -збігається до 0 за мірою;

(2) кожне містить таку нескінченну підмножину , що збігаються майже скрізь до 0 вздовж ;

(3) для кожного існує така нескінченна підмножина , що збігаються за мірою до 0 вздовж .

Означення 3.3. Фільтр лебегівський (), якщо для кожного простору з мірою , для кожної поточково -збіжної до 0 послідовності вимірних функцій таких, що мажоруються деякою виконано .

Теорема 3.6. Нехай - фільтр на і - простір з мірою. Наступні умови еквівалентні:

(1) для кожної послідовності із поточкової -збіжності до 0 випливає, що ;

(2) для кожної поточково -збіжної до 0 послідовності вимірних функцій таких, що мажоруються деякою виконано ;

(3) кожна поточково -збіжна до 0 послідовність вимірних функцій -збігається до 0 за мірою.

Наслідок 3.2. .

Теорема 3.7. Якщо - фільтр, що породжений матрицею підсумовуван-ня , то .

Теорема 3.8. тоді й тільки тоді, коли існує така борелівська міра на , що

(1) ;

(2) для кожного множина є -нульовою.

Приклад 3.3. Якщо , то він є єгорівським фільтром.

Теорема 3.9. тоді й тільки тоді, коли існує така борелівська міра на , що можна знайти , для якого

. (3.7)

Умову (3.7) можна замінити наступною: для кожної нескінченної підмножини

(3.8)

Наслідок 3.4. Нехай - стандартна міра добутку на . Якщо , то .

Наслідок 3.5. Якщо - фільтр, що підсумовується або фільтр, що породжений матрицею підсумовування, то .

Наслідок 3.6. Ультрафільтри не є лебегівськими і, отже, не є єгорівськими.

Наслідок 3.7. Якщо , то існує така множина , що кожний фільтр не є лебегівським.

У розділі 4 - «Слабка і поточкова F-збіжності в C(K)» - вивчаються фільтри, для яких виконується критерій слабкої збіжності в C(K). Доведено, що ця властивість фільтрів еквівалентна виконанню теореми Рейнвотера, еквівалентна виконанню теореми Лебега про мажоровану збіжність на відрізку з мірою Лебега та слабша ніж лебеговість фільтру.

Означення 4.1. Нехай - компакт і - регулярний борелівський заряд на . Фільтр називається С-лебегівським по відношенню до на (), якщо для кожної рівномірно обмеженої послідовності функцій , яка поточково -збігається до 0, .

Означення 4.2. Фільтр називається С-лебегівським (), якщо для кожного компакту і регулярного борелівського заряду на , фільтр є С-лебегівським по відношенню до на .

Теорема 4.1. Наступні умови еквівалентні:

(1) є С-лебегівським фільтром;

(2) для кожного компакту , кожної регулярної борелівської ймовірнісної міри на і для кожної послідовності вимірних за Борелем множин із поточкової -збіжності до 0 випливає, що ;

(3) для кожного компакту , кожної регулярної борелівської ймовірнісної міри на і для кожної рівномірно обмеженої послідовності вимірних за Борелем функцій , яка поточково -збігається до 0, .

Твердження 4.1. є С-лебегівським фільтром тоді й тільки тоді, коли для кожного компакту кожна обмежена поточково -збіжна до 0 послідовність функцій слабко -збігається до 0.

Означення 4.3. називається рейнвотерівським фільтром, якщо для кожного банахового простору і для кожної обмеженої послідовності із того, що для кожної крайньої точки кулі випливає, що слабко -збігається до 0.

Теорема 4.2. Наступні умови еквівалентні:

(1) є С-лебегівським фільтром;

(2) для кожного метричного компакту , кожної регулярної борелівської ймовірнісної міри на фільтр є С-лебегівським по відношенню до на .

(3) є рейнвотерівським фільтром.

Теорема 4.3. тоді й тільки тоді, коли , де - це міра Лебега на .

Теорема 4.4. Існує не С-лебегівський ультрафільтр.

Теорема 4.5. За припущенням континуум гіпотези існує С-лебегівський ультрафільтр.

У розділі 5 - «Слабка і сильна F-збіжності в ?₁» - узагальнюються на збіжність за фільтром і вивчаються теорема Шура про збіг слабкої та сильної збіжностей в банаховому просторі і теорема про слабку секвенціальну повноту .

Означення 5.1. Фільтр називається простим шурівським фільтром, якщо для кожної послідовності , яка покоординатно збігається до 0, із слабкої -збіжності до 0 випливає, що .

Теорема 5.1. Фільтр є простим шурівським фільтром тоді й тільки тоді, коли є блокостійким фільтром.

Зауваження 5.1. Якщо звузити означення 5.1 тільки на обмежені послідовності, клас простих шурівських фільтрів не зміниться.

Означення 5.2. Фільтр називається шурівським фільтром (), якщо для кожної послідовності із того, що слабко -збігається до 0 випливає, що .

Теорема 5.2. Якщо є діагональним і блокостійким фільтром, то - шурівський.

Теорема 5.3. Якщо , то , тобто діагональність не є необхідною умовою шуровості фільтра.

Означення 5.4. Фільтр називається сильно діагональним, якщо для кожної спадної послідовності елементів фільтра і для кожного існує така множина , , що для всіх .

Теорема 5.4. За припущенням континуум гіпотези існує сильно діагональний ультрафільтр, а отже існує шурівський ультрафільтр.

Означення 5.5. Фільтр називається слабко-повним (), якщо для кожної -збіжної в топології обмеженої послідовності її слабка -межа насправді належить .

Теорема 5.5. Ультрафільтр не може бути слабко -повним.

Теорема 5.6. для кожної матриці підсумовування .

Теорема 5.7. Нехай - діагональний і блокостійкий фільтр. Якщо для кожного фільтр не є ультрафільтром, то .

Означення 5.7. Фільтр на має подвійну властивість Шура, якщо фільтр , який визначається на базою, яка породжена множинами , , є шурівським фільтром.

Теорема 5.8. Кожен фільтр з подвійною властивістю Шура одночасно є слабко -повним і шурівським фільтром.

У розділі 6 - «Збіжність рядів за фільтрами» - узагальнюються на збіжність за фільтром ряди та вивчаються фільтри , для яких послідовність членів -збіжного ряду -збігається до 0 або має збіжну до 0 підпослідовність, а також досліджується варіант теореми Рімана для фільтрів у вигляді тотожності області граничних точок та області F-сум F-збіжного ряду.

Ряд збігається за фільтром до (пишемо ), якщо послідовність -збігається до .

Означення 6.1. Точка належить області -сум ряду , якщо існує перестановка така, що . Множина всіх таких точок називається областю -сум ряда і позначається .

Теорема 6.1. Нехай - фільтр на . Наступні умови еквівалентні:

(1) для кожної послідовності , ряд якої є -збіжним, множина співпадає з або є точкою ;

(2) для кожної послідовності , ряд якої є -збіжним, виконується умова ;

(3) .

Означення 6.2. Фільтр є здвигостійким фільтром, якщо для кожного .

Теорема 6.2. Нехай - фільтр на . Для того, щоб кожна послідовність , ряд якої є -збіжним, була -збіжною до 0, необхідно і достатньо, щоб був здвигостійким фільтром.

Означення 6.3. Фільтр є здвигостійким, якщо для кожного .

Теорема 6.3. Нехай - фільтр на . Для того, щоб кожна послідовність , ряд якої є -збіжним, мала збіжну до 0 підпослідовність, необхідно і достатньо, щоб був здвигостійким.

Наслідок 6.2. Якщо є здвигостійким -фільтром, то кожна послідовність , ряд якої є -збіжним, має збіжну до 0 -підпослідовність .

Прикладами здвигостійких фільтрів є ті і , для яких існує стала така, що для всіх і для всіх , відповідно.

Означення 6.5. Множина всіх точок , для яких існує перестановка і зростаюча послідовність чисел такі, що , називається областю граничних точок ряду і позначається .

Означення 6.6. Фільтр має властивість , якщо для кожного -збіжного ряду виконана рівність.

Означення 6.7. Фільтр має властивість необмежених пропусків, якщо існує така множина , , що послідовність чисел є необмеженою.

Теорема 6.5. Нехай - здвигостійкий фільтр, що має властивість необмежених пропусків. Тоді має властивість .

Теорема 6.6. Нехай - фільтр, який не є фільтром Фреше. Властивість необмежених пропусків є необхідною умовою для виконання властивості .

Твердження 6.4. Якщо фільтр містить арифметичну прогресію, тобто елемент вигляду , де і , то властивість не виконується.

Як наслідок маємо, що кожний ультрафільтр не має властивості . Приклади фільтрів з властивістю необмежених пропусків та фільтрів , які мають властивість дає наступна теорема.

Теорема 6.7. Нехай - -фільтр. Тоді:

(1) якщо - щільний ідеал, то фільтр має властивість необмежених пропусків.

(2) якщо і здвигостійкий, то має властивість необмежених пропусків і отже властивість .

Висновки

У дисертації отримано фільтрові аналоги теорем класичного аналізу, теорії міри і теорії банахових просторів. Вперше розв'язано наступні запитання.

Охарактеризовані фільтри F, для яких множина F-граничних точок послідовності дійсних чисел може бути будь-якою замкненою підмножиною в R; дану властивість поширено на нескінченний топологічний простір; всі аналітичні фільтри мають цю властивість. Охарактеризовані фільтри F, для яких у кожної F-граничної точки послідовності дійсних чисел існує F-збіжна до цієї точки F-підпослідовність; дану властивість поширено на топологічні та метричні простори; охарактеризовані аналітичні P-фільтри з цією властивістю.

Надано характеризацію єгорівських фільтрів, для яких виконується теорема Єгорова про майже рівномірну збіжність; доведено, що для фільтра F виконується теорема Лебега про мажоровану збіжність тоді й тільки тоді, коли з поточкової F-збіжності випливає F-збіжність за мірою; отримано характеризацію лебегівських фільтрів; встановлено, що клас єгорівських фільтрів є власною підмножиною класу лебегівських фільтрів, зокрема, фільтр статистичної збіжності є лебегівським, але не є єгорівським; також встановлено, що не існує вільних лебегівських ультрафільтрів.

Доведено, що клас фільтрів F, для яких виконується критерій слабкої збіжності в C(K) не зміниться, якщо обмежити розгляд цієї властивості тільки на C [0,1]; показано, що ця властивість еквівалентна виконанню теореми Рейнвотера про перевірку слабкої збіжності на крайніх точках; встановлено, що є ультрафільтри, для яких ця властивість не виконується, та за припущенням континуум гіпотези є ультрафільтри, для яких ця властивість виконується; це доводить, що дана властивість строго слабша, ніж лебеговість фільтру.

Отримано необхідні і достатні умови на фільтр F, за яких сильна і слабка F-збіжності в банаховому просторі ?₁ співпадають (шурівськи фільтри); встановлено, що за припущенням континуум гіпотези існує шурівський ультрафільтр.

Доведено, що теорема про слабку секвенціальну повноту простору ?₁ не виконується для жодного ультрафільтру та виконується для кожного фільтру, який породжений матрицею підсумовування; доведено, що якщо вилучити в певному сенсі ультрафільтри, то та сама достатня умова, яку ми маємо для шурівських фільтрів, є достатньою і для теореми про слабку секвенціальну повноту ?₁.

Охарактеризовані фільтри F, для яких послідовність членів F-збіжного ряду (а) F-збігається до 0, (б) має збіжну до 0 підпослідовність; знайдено необхідні та достатні умови варіанту теореми Рімана про перестановку рядів, у вигляді тотожності області граничних точок та області F-сум F-збіжного ряду.

Публікації

1. Леонов О. Граничні точки послідовностей за фільтром / Олександр Леонов // Мат. вісник НТШ. - 2008. - Т. 5. - С. 117-125.

2. Aviles A. The Schur ?₁ theorem for filters / A. Aviles, B. Cascales, V. Kadets, A. Leonov // J. Math. Phys., Anal., Geom. - 2007. - Vol. 3, №4. - P. 383-398.

3. Kadets V. Dominated convergence and Egorov theorems for filter convergence / V. Kadets, A. Leonov // J. Math. Phys., Anal., Geom. - 2007. - Vol. 3, №2. - P. 196-212.

4. Kadets V. Weak and point-wise convergence in C(K) for filter convergence / V. Kadets, A. Leonov // J. Math. Anal. Appl. - 2009. - №350. - P. 455-463.

5. Leonov A. On the coincidence of limit point range and the sum range along a filter of filter convergent series / A. Leonov // Вісник Харківського національного університету, серія «Математика, прикладна математика і механіка» - 2008. - №826. - С. 129-135.

6. Leonov O. Dominated convergence and Egorov theorems for filter convergence / O. Leonov // Fourth Summer School «Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis», Invited Lectures and Abstracts of Research Reports, - Lviv, 2006. - P. 152.

7. Leonov A. On the Schur ?₁ theorem for filters / A. Leonov, A. Aviles, B. Cascales, V. Kadets // International Conference «Modern Analysis and Applications» (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein, Book of abstracts. - Kyiv, 2007. - P. 83-84.

Размещено на Allbest.ru

...