Асоціати та розклади багатомісних операцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

СОХАЦЬКИЙ ФЕДІР МИКОЛАЙОВИЧ

УДК 512.548

АСОЦІАТИ ТА РОЗКЛАДИ БАГАТОМІСНИХ ОПЕРАЦІЙ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2007

ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана у Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського та в Інституті математики НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік Академії наук Республіки Молдова,

ЧОБАН Митрофан Михайлович,

ректор Тираспольського державного університету;

доктор фізико-математичних наук, професор,

НОВІКОВ Борис Володимирович,

Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, кафедра теорії функцій та функціонального аналізу;

доктор фізико-математичних наук, доцент

КРУГЛЯК Станіслав Аркадійович,

Інститут підготовки кадрів зовнішньої розвідки України професор спец. кафедри №5.

Провідна установа:

Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України

Захист відбудеться 19.06.2007 року о _15_годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розісланий 17.05.2007 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Композиція багатомісних операцій і функцій отримала свій розвиток та застосування в різних галузях математики: в універсальній алгебрі - при розгляданні структурних питань використовуються клони операцій, поліноми та поліноміальні алгебри; в теорії багатомісних квазігруп - при побудові одних квазігрупових операцій за допомогою інших із збереженням різних властивостей -- таких, як ортогональність, оборотність; в логіці та дискретній математиці -- при розгляданні питань функційної повноти та виразимості довільної функції через функції даного набору; в теорії алгоритмів -- при побудові алгоритмів та рекурсивних функцій; в криптографії -- при побудові одних кодів за допомогою інших; в топології -- при розгляді кола задач, пов'язаних з тринадцятою проблемою Ґільберта тощо.

Результати, отримані лише за допомогою суперпозицій, розповсюджуються на різноманітні підмножини функцій, які інваріантні відносно суперпозицій. Такими підмножинами є, наприклад, множина неперервних функцій довільного топологічного простору, множина ізотонних функцій довільної впорядкованої множини тощо. Те ж саме можна сказати відносно безповторної композиції та інваріантних відносно неї множин: множини оборотних (квазігрупових та доквазігрупових) операцій. Це означає, що переважна частина отриманих результатів істинна і для топологічних, напівтопологічних, паратопологічних та впорядкованих багатомісних квазігруп.

Серед напрямків дослідження композицій найбільш відомими є такі: виділення та вивчення багатомісних операцій, які найпростіші для вивчення алгебричними методами; вивчення методів зведення довільних операцій до найпростіших; дослідження можливості та однозначності подання операцій через операції даного класу чи через нерозкладні операції та встановлення існування і вивчення останніх; вивчення та розв'язування функційних рівнянь; вивчення алгебр операцій та їх класів.

Найпростішою для вивчення багатомісною операцією є операція багатомісної групи. Можливість її досконалого вивчення пояснюється тим, що: по-перше, вона визначувана тотожностями; по-друге, є ітерацією бінарної групи, її автоморфізму та певного елемента (теорема Глускіна-Хосу); по-третє, занурима в похідну бінарної групи (теорема Поста). З іншого боку, кожна множина підстановок m-елементної множини містить підмножину, яка є (n+1)-арною підгрупою бінарної симетричної групи і не є її (k+1)-арною підгрупою для всіх k<n (якщо m<, то n ділить m). В теорії напівгруп такі підмножини вивчались Є.С. Ляпіним Ляпин Е.С. Полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты //Алгебр. действия и упорядоченности. Межвуз. сб. науч. Трудов. - Л., 1983. - С. 82-88., Л.Н.Бобріковою Бобрикова Л.Н. О полугруппах, у которых всякое подмножество n-замкнуто // Тези Міжнар. алгебр. конф. (Україна, Слов'янськ, 1997). - Київ, 1997. - С. 3. та іншими. Наприклад, непарні підстановки є тернарною підгрупою довільної бінарної симетричної групи, але не є її бінарною підгрупою.

Вперше ідею про розширення поняття групи було висловлено Е. Каснером в 1904 році, проте формальне означення дано в дисертації В. Дьорнте в 1928 році, яка була виконана під керівництвом Е.Ньотер. Література з теорії багатомісних груп є багатою і різноманітною. До монографій, які частково чи цілком присвячені теорії багатомісних груп, відносяться монографії А.К. Сушкевича Сушкевич А.К. Теория обобщенных групп. - Харьков-Киев: ДНТВУ, 1937. - 176 с., В.Д. Білоусова Белоусов В.Д. n-Арные квазигруппы. - Кишинев: Штиинца, 1972. - 227 с., А.Г. Куроша Курош А.Г. Общая алгебра. - М.: Наука, 1974. - 159 с., С.А. Русакова Русаков С.А. Алгебраические n-арные системы. Силовская теория n-ных групп. - Минск: Навука i тэхнiка, 1992. - 264 с.^, Русаков С.А. Некоторые приложения теории n-арных групп. - Минск: Беларуская навука, 1998. - 182 с., А.М. Гальмака Гальмак А.М. n-Арные группы. Часть I. - Гомель, 2003. - 196 с., Я. Ушана Uљan Janez. n-Groups in the light of the neutral operations // Mathematica Moravica. - 2003. - Special Vol. - 162 p., а оглядова стаття К. Глазека Gіazek K. Bibliography of n-group (polyadic groups) and some group-like n-ary systems // Makedonian Academy of sciences and art, Proceedings of the Symposium “n-ary Sructures”. - Skopje, 1982. - Part I, II. - p. 253-289. з теорії багатомісних груп містить близько 450 джерел.

Визначення багатомісної групи таке ж саме як і в бінарному випадку: багатомісною групою називається асоціативна квазігрупа. При цьому операція називається квазігруповою, якщо вона оборотна на кожному місці, та асоціативною, якщо результат її дворазового застосування до однієї і тієї ж послідовності не залежить від розташування дужок. Але, на відміну від бінарного випадку, асоціативність багатомісної операції визначається не однією тотожністю, а серією тотожностей, кожна з яких стверджує про незмінність результату при “пересуванні” дужок з i-го на j-те місце. Ці тотожності називаються тотожностями частинної асоціативності, а для фіксованих i, j така тотожність називається (i;j)-асоціативністю.

При вивченні основ теорії багатомісних груп природним є питання про залежність між тотожностями частинної асоціативності. Вперше це питання вивчалось в праці Х. Терстона Thurston H.A. Partly associative operations.- J. London Math. Soc. - 1949. - Vol. 24. - P. 260-271., в якій дано певну відповідь в класі сюр'єктивних групоїдів зі скороченнями. Проте ці статті не були відомі широкому загалу і тому їх результати не ввійшли до зазначених вище монографій. Більше того, В.Д. Білоусов⁴ відмічає дану задачу як невідому і формулює її узагальнений варіант не лише для операцій, а й для довільних елементів позиційних алгебр спеціального типу, окремим випадком яких є позиційна алгебра операцій. Характерною особливістю цих алгебр є те, що нульарні елементи утворюють в ній підгрупу (інші суперпозиції для нуль-арних елементів не визначені), яка для алгебр операцій є деякою групою підстановок базової множини. Такі алгебри ми називатимемо груповими. Одним із їх прикладів є позиційна алгебра квазігрупових операцій. Іншими прикладами групових позиційних алгебр є певні позиційні алгебри мультиоперацій, поліоперацій, підстановок тощо. Проте доведено Сохацкий Ф.Н. О позиционных алгебрах // Матем. исслед. - 1983. - Вып. 71. - С.104-117., що клас позиційних алгебр збігається з класом позиційних алгебр операцій, а клас групових позиційних алгебр збігається з класом позиційних алгебр доквазігрупових операцій, тобто операцій групоїдів, в яких є підмножина, яка є його підквазігрупою, і всі трансляції, що визначені елементами цієї підмножини, є підстановками базової множини. Отже, твердження, які можна виразити мовою позиційних суперпозицій, досить довести для позиційних алгебр операцій. Тому в даній праці розглядаються лише позиційні алгебри операцій.

В дисертації вивчаються частинно асоціативні елементи довільної позиційної алгебри, які задовольняють певні умови. В позиційних алгебрах операцій ці умови випливають із сюр'єктивності та ін'єктивності операцій. При цьому багатомісна операція називається ін'єктивною, якщо для довільних різних елементів на кожному місці існує трансляція, яка відображає ці елементи також у різні елементи. В дисертації, використовуючи оригінальний метод доведення, встновлено, що кожний (n+1)-арний частинно асоціативний сюр'єктивно-ін'єктивний групоїд є асоціатом сорту (r;s;n), де r|s|n, тобто (i;j)-асоціативний для всіх пар (i;j) таких, що

i?j?0 (mod r)

та

i?j (mod s).

Паралельно з питанням про залежність між тотожностями частинної асоціативності в працях різних авторів вивчалось питання про розкладання таких операцій, тобто про можливість подання у вигляді композиції інших операцій, що визначені на цій же множині. Те, що частинно асоціативна квазігрупова операція розкладається за допомогою деякої групової операції та деяких квазігрупових операцій тривіально випливає із теореми, яка відома як теорема Білоусова про чотири квазігрупи. Проблемним є питання про описання їх повних Розклад операцій із Ц називаємо повним, якщо кожна операція із Ц має цей розклад і, навпаки, довільна ним визначена операція належить множині Ц. розкладів.

В 1963 році М. Хосу Hosszu M. On the explicit form of n-group operations // Rabl. Math. - 1963.- Vol. 10, № 1-4. - P. 87-92. знаходить повний розклад операції багатомісної групи, а в 1965 році Л.М. Глускін Глускин Л.М. По зиционные оперативы // Мат.сб. - 1965. - Т.68(110), № 3. - C.444-472. встановлює повний розклад операцій nр-оперативів з оборотними елементами, окремим випадком яких є багатомісні напівгрупи. Згодом теорему про описування розкладів операцій в багатомісних групах стали називати теоремою Глускіна-Хоссу. В 1972 році В.Д. Білоусов⁴ знаходить повний розклад (i;j)-асоціативних квазігрупових операцій та ставить питання про описування розкладів операцій, що задовольняють умову загальної асоціативності. Питання про повне розкладання операцій частинно асоціативних групоїдів залишалось відкритим.

Зазначені питання, за умов існування в багатомісному групоїді елементів з певними властивостями, вивчались і іншими авторами. Серед них Б.Трпеновкі, Ґ. Чупона (1961,1970), Б. Трпеновкі (1963), Є.І. Соколов (1976), В.А. Дудек (1980,1986), З. Стояковіч, Д. Пауніч (1983), Я. Ушан (1999) та інші. Проте умови, що накладались, були настільки сильними, що операція виявлялась похідною від бінарної напівгрупи чи групи.

В дисертації знайдено повний розклад операції довільного асоціату, який має частково оборотний елемент, і встановлено, що вивчення таких асоціатів зводиться до вивчення асоціатів сорту (s;n), тобто сорту (1;s;n), з оборотними елементами. Такі асоціати названо оноїдами. Кожний моноїд є оноїдом, навпаки вірно лише для бінарних оноїдів. При цьому число s названо степенем асоціативності, а найменший із степенів -- періодом асоціативності. Доведено, що підмножина оборотних елементів збігається з квазігруповим підасоціатом, який названо поліагрупою сорту (s;n).

З доведеного, зокрема, випливає, що довільна поліагрупа (Q;f) сорту (s;n), подібно до багатомісної групи, є ітерацією деякої бінарної групи (Q;+), її автоморфізму ц та певного елемента a, і алгебру (Q;+,ц,a) названо алгеброю розкладу. Цим самим встановлено зв'язок між поліагрупами та алгебрами розкладів, тому в дисертації вивчається питання про видозміну основних алгебричних понять (ізоморфізм, гомоморфізм, підполіагрупа, конгруенція тощо) при переході від поліагруп до груп розкладу і навпаки. Зокрема, знайдено алгоритм описання поліагруп з точністю до ізоморфізму за модулем бінарних груп та описано поліагрупи, що визначені над циклічними групами.

Для багатомісних груп структурні питання досліджувались в монографії С.А. Русакова⁶, але там обрано інший підхід, а саме, будується загальна теорія груп, в яких бінарні групи є окремим випадком.

Для багатомісних групоїдів (Q;f) взагалі, і для багатомісних груп зокрема, особливу роль відіграє поняття косого елемента ы до елемента u, який визначається рівністю f (ы,u, ..., u)=u. В багатомісних квазігрупах зіставлення u > ы є перетворенням базової множини і його називають косою операцією. Підтвердженням важливості є той факт, що клас багатомісних груп і поліагруп можна розглядати як многовид сигнатури (f; Ї ). Тому серед задач, поставлених в процесі розвитку теорії багатомісних груп, є низка питань, які стосуються вивчення властивостей косої операції у багатомісних групах і, особливо, її співвідношення з основною операцією групи. Останній огляд таких задач дано В.А. Дудеком Dudek W.A. On some old and new problems in n-ary groups // Quasigroups and Related Systems. - 2001. - T.8. - P.15-36.. В даних дослідженнях дається повна відповідь на частину з них. А саме, ми опишемо клас поліагруп, в яких коса операція: 1) є регулярною у відношенні до основної операції (до вивчення проблеми 14); 2) є її ендоморфізмом (проблема 1); 3) має скінченний порядок (проблема 9); 4) є сталою операцією (проблема 5).

Застосування теорії квазігруп в різних галузях математики (геометрія, комбінаторика, теорія автоматів, теорія кодування тощо) привело до необхідності класифікації та систематизації квазігрупових операцій, що визначені на одній і тій же множині. Проте, кількість класів квазігрупових операцій не те, що за відношенням ізоморфності, а навіть за відношенням ізотопності досить значна. Так, наприклад, кількість класів ізотопності на множині із п'яти елементів -- 2, на множині із шести елементів -- 22, на множині із семи елементів -- 563, на множині з восьми елементів -- понад 1,5 мільйони. Отже, потрібний дещо інший підхід, який дозволить будувати квазігрупи з потрібними властивостями.

В.Д. Білоусов Белоусов В.Д. Скрещенные изотопии квазигрупп // Матем. исслед. - 1990. - Вып. 113. - С. 14-20. запропонував розглядати на бінарних квазігрупах узагальнення ізотопії -- ліву схрещену ізотопію, суть узагальнення якої полягає в тому, що ліва компонента ізотопії замінюється бінарною лівооборотною операцією. Так само визначається права схрещена ізотопія. Там же доведено, що ліві схрещені автотопії утворюють групу і описано групи ліво схрещених автотопій бінарних груп.

В цій праці для багатомісних операцій вводяться поняття схрещеної ізотопії, сильного та слабкого схрещеного ізоморфізму. Доведено, що на фіксованій множині множини зазначених однотипних ізотопій та ізоморфізмів утворюють групи, які діють на множині багатомісних операцій, а також досліджено їх базові властивості. Наприклад, схрещені автотопії довільної операції є групою, між цілком роздільною і нероздільною квазігрупами існує лише схрещена ізотопія максимального типу тощо.

Бінарною IP-лупою (Inverse Property) називається лупа (Q;·), в якій виконуються тотожності

x^-1(xy)=y

та

(xy) y^-1=x.

Про важливість цього класу говорить хоча б той факт, що лупами Муфанг є точно ті лупи, для яких кожна ізотопна їй лупа має властивість IP. Багатомісне узагальнення IP-луп та інших луп, які мають властивість оборотності, було введено в [⁴] і подальший розвиток отримало в працях Л.А. Соколова, В.Д. Білоусова, Л.Ф. Урсу, В.І. Оноя та інших. Одне з питань, які поставали при їх досліджені -- це: чи можливо побудувати нетривіальну багатомісну IP-лупу за допомогою безповторної композиції бінарних IP-луп? В даній роботі дається повна (негативна) відповідь на поставлене питання.

Прирівнюючи два розклади однієї і тієї ж операції з необхідністю приходимо до потреби розв'язування функційних рівнянь. Маючи розв'язки відповідних рівнянь можна описати певні розклади функцій. Так, наприклад, розв'язавши загальне рівняння асоціативності над множиною скінченних сильно залежних операцій, дисертанту Sokhatsky F. The Deepest Repetition-Free Decompositions of Non-SingularFunctions of Finite Valued Logics, Proceeding of The Twenty-Sixth International symposium on Multiple-Valued Logic (May 29-31, 1996, Santiago de Compostela, Spain), P.279-282. вдалося встановити майже однаковість повних розкладів сильнозалежних функцій скінченної множини за допомогою безповторних композицій. Метод, запропонований раніше А.В. Кузнєцовим Кузнецов А.В. О безповторных контактных схемах и безповторных суперпозициях функций алгебры логики // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. - 1958. - Т. 51. - С. 186-225. для булевих функцій, виявився, як показано Л.М. Сосинським Сосинский Л.М. О представлении функций бесповторными суперпозициями в трехзначной логике. - В кн.: Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1964. - Вып. 12. - С.57-68., придатним для k-значних функцій при k=3 і непридатним при k>3.

З іншого боку, поняття функційного рівняння в алгебрі дуже близьке до поняття тотожності. Проте ці поняття є поняттями не лише формально різними, але вони різні і по суті. Наприклад, тотожності

(x · y) \ z = x \ (y · z), (1)

(x y) \\ z=x // (y z) (2)

в класі ізотопів груп є різними і, навіть, нерівносильними. Справді, групові ізотопи з тотожністю (1) в класі лінійних ізотопів абелевих груп визначають підклас комутативних груп, а групові ізотопи з тотожністю (2) -- визначають ізотопи груп, які не завжди є групами, тому ці підкласи не однакові. Очевидно, що підмноговиди квазігруп, які визначаються цими тотожностями, різні, тому тотожності нерівносильні. В той же час істинність тотожностей (1), (2) в квазігрупах (Q;·;\;/) та (Q; ;\\;//) відповідно означає, що послідовності операцій (·;\;\;·) та (;\\;//;) є розв'язками одного й того ж загального функційного рівняння асоціативності

F₁(F₂(x;y);z)=F₃(x;F₄(y;z)).

Із сказаного випливає, що вивчення функційних рівнянь можна розглядати як синтезоване вивчення тотожностей, оскільки одне й те ж функційне рівняння об'єднує всі тотожності, які мають однакову зовнішню структуру.

Знаючи розв'язки функційного рівняння можна виділити зовнішні ознаки розташування змінних у відповідних тотожностях, які гарантують групоїдам, в яких вони істинні, виконання певних властивостей. Так, наприклад, з теореми Білоусова про чотири квазігрупи випливає, що довільна квазігрупа, в якій виконується тотожність вигляду

...(...x...y...)...z...= ...x...(...y...z...)... (3)

ізотопна деякій групі (на інших місцях в тотожності знаходяться довільні інші змінні). Цей факт був встановлений в працях В.Д. Білоусова Белоусов В.Д. Одна теорема об уравновешенных тождествах // Матем. исслед. - 1983. - Вып. 71. - С. 22-24. ^, Белоусов В.Д. Квазигруппы с вполне сократимыми уравновешенными тождествами // Матем. исслед. - 1985.- Вып. 83. - С.11-25., М.А. Тейлора Taylor M.A.. A generalization of a theorem of Belousov // Bull. London Math. Soc. - 1978. - Vol.10, № 3. - P. 285-286., А. Крапєжа Krapeћ A., Taylor M.A. Belousov equations on quasigroups // Aequationes Math. - 1987. - Vol. 34. - P.174-185.^, Krapeћ A.,Taylor M.A. Gemini functional equations on quasigroups // Publ. Math.- Debrecen. - 1995. - Vol. 47, №3-4. - P. 281-292.. В праці дисертанта Сохацкий Ф.Н. О разложении операций с помощью бесповторной суперпозиции. Дисc. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Кишинёв, 1986. - 120 с. доведено, що скінченний групоїд з тотожністю (3) ізотопний деякому моноїдові, якщо він має ліві і праві оборотні елементи.

В монографії з функційних рівнянь Я. Ацела і Ж. Домбра Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными: Пер. с англ..- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.- 432 с. окрема глава присвячена функційному рівнянню бісеметрії, тобто медіальності, на квазігрупових операціях і їх зв'язку з сітками та номограмами. А в монографії Я. Ацела Aczйl J. Lectures on Functional equations and their Application. - New York and London.: Akademic press, 1966. - 510 p. велика увага надається вивченню функційних рівнянь транзитивності, асоціативності та іншим, які згодом в працях А. Крапєжа Krapeћ A. Strictly quadratic functional equations on quasigroups. I // Publ. Inst. Math. (Beograd). - 1981. - Vol. 43, № 29. - P. 125-138. названі квадратичними, тобто це такі рівняння, в яких кожна предметна змінна має точно дві появи, а якщо ці появи знаходяться по різні сторони рівності, то таке рівняння називається врівноваженим. Зауважимо, що коли принаймні одна предметна змінна має лише одну появу у функційному рівнянні і дане рівняння має розв'язок на множині квазігрупових операцій деякої множини Q, то множина Q є одноелементною. Клас врівноважених функційних рівнянь і тотожностей детально вивчався в багатьох працях різних авторів. Тому постало питання системного вивчення функційних рівнянь на квазігрупових операціях. В даній праці вперше розроблено понятійний апарат для системного вивчення функційних рівнянь на квазігрупових операціях, їх класифікації з точністю до парастрофної еквівалентності та застосування в теорії квазігруп для аналізу тотожностей на ізотопність квазігрупи, в якій вони виконуються, деякій (комутативній) групі та визначення різних типів лінійності ізотопії.

Широке застосування композицій багатомісних операцій потребує вивчення її алгебричних властивостей. Проте, на відміну від композицій одномісних функцій, композиція багатомісних функцій не є алгебричною операцією, оскільки арність її не визначена. Отже, для застосування до їх вивчення методів і результатів універсальних алгебр розглядають на множині всіх функцій обмеження композиції, яке є алгебричною операцією, його називають суперпозицією. При цьому вивчають такі набори суперпозицій, які породжують всю композицію, тобто коли довільна функція є композицією інших функцій, і тоді вона ж є результатом застосування до цих же функцій суперпозицій даного набору. Такі набори суперпозицій називатимемо повними.

Проте різноманітні застосування багатомісних функцій вимагають вивчення і спеціальних композицій. Наприклад, оборотність операцій інваріантна при довільній безповторній композиції, але не інваріантна при повторній, тому актуальною є задача вивчення суперпозицій, які породжують безповторну композицію. Чи, наприклад, критерій ортогональності операцій, яка важлива при вивченні комбінаторних питань, зручно виражати через суперпозицію Мана, що також є підставою для їх вивчення. Перше питання, яке постає при такому вивченні, -- які основні властивості таких суперпозицій? Інакше кажучи, якими є алгебри операцій, сигнатурою яких є відповідний набір суперпозицій? Відповідь на це питання, як правило, дається за допомогою знаходження аксіоматики абстрактного класу зазначених алгебр операцій. Тому виникає задача про знаходження абстрактних характеристик класів алгебр операцій, тобто знаходження необхідних і достатніх умов належності однотипної алгебри до абстрактного класу алгебр операцій. Здебільшого знаходження кожного класу алгебр операцій чи функцій потребує індивідуального підходу Дудек В.А., Трохименко В.С. Алгебры Менгера многоместных функций, Chiєinгu: S.n., 2006 (Centrul Ed. USM). - 237 с.. Проблемним було питання про знаходження абстрактної характеристики класів алгебр операцій, сигнатура яких містить суперпозиції Мана. К.А.Зарецький Зарецкий К.А. Абстрактная характеристика биполугруппы бинарных операций.// Мат. заметки. - 1965. - Т.1, № 5. - С.525-530., В.С.Трохименко Трохименко В.С. Об алгебрах бинарных операций.// Матем. исслед. - 1972. - T.7. - Вып. 2. - С. 253-261. та Т.Якубов Якубов Т.О., О (2,n)-полугруппе n-арных операций // Изв. АН Молдавск. ССР. - 1974. - С. 29-46.

вивчили деякі частинні випадки.

В даній дисертації визначено нові повні набори суперпозицій (Т-клони) і встановлено аксіоматику відповідних класів алгебр операцій. Розроблено метод знаходження абстрактних класів алгебр операцій, сигнатура яких містить суперпозиції Мана.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження багатомісних функуцій є частиною наукових планів Вінницького державного педагогічного університету ім. М. Коцюбинського та державних наукових тем, які виконувались у цьому університеті під науковим керівництвом дисертанта:

№ 44/5 АН „Дослідження багатомісних функцій за допомогою суперпозицій” (1990-1994 роки);

№ 82 „Дослідження багатомісних функцій та операцій над ними” (1995-1996 роки);

№ 44/2 „Дослідження багатомісних функцій та відповідних алгебр” (1997 - 1999 роки);

№ 95 „Дослідження багатомісних функцій та відношень алгебричними методами” (2000 - 2001 роки).

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є вивчення багатомісних функцій та операцій за допомогою суперпозицій. В даній роботі пропонується подальше їх вивчення, а саме:

1) знайти залежність між тотожностями частинної асоціативності і описати врівноважені тотожності, які з них випливають;

2) знайти повні розклади операцій в асоціатах з частково оборотними елементами;

3) дослідити властивості оборотних та косих елементів в асоціатах;

4) знайти залежність між алгебричними поняттями асоціата та відповідними алгебричними поняттями в його алгебрі розкладу;

5) описати поліагрупи, в яких операція взяття косого елемента є сталою, має скінченний порядок, є автоморфізмом поліагрупи тощо;

6) визначити та дослідити властивості понять схрещеної ізотопії та схрещеного ізоморфізму для багатомісних операцій;

7) знайти будову розкладів операцій в багатомісних квазігрупах з властивістю оборотності, надасоціативних квазігрупах та надасоціативних ізотопах груп;

8) визначити основи вивчення функційних рівнянь з точністю до парастрофної рівносильності та їх застосувань до дослідження тотожностей на квазігрупах;

9) визначити повний набір суперпозицій функцій та знайти абстрактну характеристику класу відповідних алгебр операцій;

10) описати основні залежності між суперпозиціями Менгера, Манна та комутуваннями операцій.

Об'єктом дослідження є багатомісні операції, що визначені на довільній множині. Це спричинює вивчення супутніх об'єктів -- таких, як асоціати та поліагрупи, n-арні групи та напівгрупи, функційні рівняння на квазігрупових операціях, тотожності в квазігрупових алгебрах, алгебри операцій.

Предметом дослідження є асоціативність, розклади, схрещена ізотопія багатомісних операцій; класифікація функційних рівнянь та абстрактні характеристики алгебр багатомісних операцій.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи функційних рівнянь, методи дослідження багатомісних операцій за допомогою суперпозицій, методи теорії квазігруп, методи знаходження абстрактних характеристик алгебр операцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати цієї дисертації є новими. Відмітимо деякі основні з них:

1) описано залежності між тотожностями частинної асоціативності в класі сюр'єктивно-ін'єктивних групоїдів;

2) знайдено повний розклад операцій асоціатів з частково оборотними елементами;

3) зведено вивчення асоціатів з частково оборотними елементами до вивчення асоціатів з оборотними елементами, тобто до оноїдів;

4) доведено, що множина всіх оборотних елементів оноїда є його підквазігрупою, тобто поліагрупою, і збігається з групою оборотних елементів довільного його моноїда розкладу, а період асоціативності оноїда, який визначений автоморфізмом ц і елементом a, дорівнює кількості різних косих до будь-якого з оборотних елементів та з довжиною орбіти елемента a дії циклічної групи <ц>;

5) знайдено розв'язання системи функційних рівнянь асоціативності від однієї змінної над множиною операцій з оборотними елементами довільної множини, кожна з яких має оборотний елемент, та над квазігруповими операціями дійсної топологічної прямої;

6) знайдено описання поліагруп з точністю до ізоморфізму та їх алгебричних понять за модулем бінарних груп та дано повний опис поліагруп, групи розкладу яких є циклічними;

7) знайдено метод визначення формул класу алгебр розкладів поліагруп даного класу та класу поліагрупових замикань даного класу бінарних груп;

8) описано поліагрупи, в яких коса операція є: регулярною, сталою, ендоморфізмом поліагрупи або скінченного порядку;

9) визначено поняття схрещених ізотопій, слабких та сильних ізоморфізмів, доведено, що вони утворюють групи, та визначено властивості дій цих груп на множині багатомісних операцій;

10) знайдено повні розклади роздільних квазігрупових операцій з властивістю оборотності та операцій надасоціативних ізотопів груп;

11) розроблено понятійний апарат для вивчення функційних рівнянь на квазігрупових операціях та їх застосування до аналізу тотожностей на квазігрупах і отримано такі результати: описано властивості самодостатніх наборів підтермів; описано загальні парастрофно нескоротні квадратичні функційні рівняння від трьох і чотирьох предметних змінних; знайдено ознаки для тотожностей, які гарантують квазігрупі, в якій вони виконуються: ізотопності деякій (комутативній) групі, лінійності та алінійності ізотопа групи, скінченності коефіцієнтів лінійності; знайдено метод описання ізотопного замикання класів груп, а також ізотопних замикань спеціальних видів;

12) знайдено метод описання ізотопних замикань класів бінарних груп;

13) знайдено новий повний набір суперпозицій, абстрактну характеристику відповідних алгебр та встановлено зв'язок із клонами;

14) знайдено абстрактну характеристику класу всіх унітарних позиційних алгебр операцій;

15) розроблено метод знаходження абстрактних характеристик алгебр операцій, сигнатура яких містить суперпозиції Манна та знайдено абстрактну характеристику (розширених) мультинапівгрупових алгебр багатомісних операцій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і можуть бути застосованими як в алгебрі, так і в інших галузях науки: в топології, дискретній математиці, багатозначній логіці, теорії кодування, теорії функційних рівнянь тощо.

Подальший розвиток ідей, удосконалення та застосування результатів дисертації спостерігається в працях Я. Ушана (Сербія), В. Дудека (Польща), В.С. Трохименка (Україна), Г.Б. Бєлявської (Молдова), Є.А. Кузнєцова (Молдова), М.М. Глухова (Москва), В.О. Щербакова (Молдова), А.В. Черьомушкіна (Москва), Д. Кротова (Новосибірськ), О.Ю. Кірнасовського (Ізраїль), Р.Ф. Коваль (Україна), О.В. Юркевич (Україна) та інших.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що включені в дисертацію, належать дисертантові.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включених до цієї дисертації, висвітлено на:

— Дев'ятнадцятій Всесоюзній алгебричній конференції (Львів, 1987);

— Бакинській міжнародній топологічній конференції (Баку, 1987);

— Третьому Всесоюзному симпозіумі з теорії напівгруп (Свердловськ, 1988);

— Другій Всесоюзній конференції з прикладної логіки (Новосибірськ, 1988);

— Міжнародній конференції з алгебри (Новосибірськ, 1989);

— Десятій Всесоюзній конференції з математичної логіки (Алма-Ата, 1990);

— Межнародній конференції з алгебри (Барнаул, 1991);

— Тpетій межнаpодній конфеpенції з алгебpи (Кpаснояpск, 1993);

— Колоквіумі з напівгруп (Сегед, 1994);

— Міжнародному когресі з математики (Цюріх, 1994);

— Міжнарожній алгебричній конференції пам'яті Ляпіна (Санкт-Петербург, 1995);

— Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях”, присвячена пам'яті професора П.С. Казимірського (Львів, 1995);

— П'ятій Міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (Київ, 1996);

— Конференції з універсальної алгебри та теорії решіток (Сегед, 1996);

— Міжнародній алгебричній конференції, присвяченій памяті професора Л.М. Глускіна (Слов'янськ, 1997);

— Другій міжнародній алгебричній конференції в Україні (Вінниця, 1999);

— Третій міжнародній алгебричній конференції в Україні (Суми, 2001);

— Четвертій міжнародній алгебричній конференції в Україні (Львів, 2003);

— Другій математичній конференції республіки Молдова (Кишинів, 2004);

— П'ятій міжнародній алгебричній конференції в Україні (Одеса, 2005);

— звітних наукових конференціях Вінницького державного педагогічного університету 1999-2002 років;

— Вінницьких міських семінарах з алгебри і дискретної математики;

— алгебричних семінарах з алгебри і математичної логіки при Інституті математики АН Молдови у Кишиневі,

— семінарі відділу алгебри Інституту математики НАН України у Києві;

— семінарі Київського національного університету ім. Тараса Шевченка;

— семінарі Львівського національного університету ім. Івана Франка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 21 статті та 37 тезах.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків та бібліографії, що містить 262 найменування. Повний обсяг роботи складає 334 сторінок, із них бібліографія складає 23 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В першому розділі дисертації здійснено огляд літератури і відомих результатів з даної тематики; введено необхідні означення і позначення, які застосовуються в даній дисертації; а також впорядковано понятійний апарат, який використовується в подальщому. Він включає в себе широко застосовні поняття в тому вигляді, в якому вони використовуються в тексті. Результати цього розділу не є новими.

В другому розділі „Асоціативність багатомісних операцій” вивчається асоціативність багатомісних операцій. Групоїд (Q;f) арності n+1 називається: (i;j)-асоціативним, якщо

f(x₀, ..., x_i-1, f(x_i, ..., x_i+n), x_i+n+1, ..., x_2n)=f(x₀, ..., x_j-1, f(x_j, ..., x_j+n), x_j+n+1, ..., x_2n),

є тотожністю; асоціатом сорту (r;s;n), де r|s|n, якщо він є (i;j)-асоціативним для всіх i, j таких, що

i?j (mod s)

i?j?0 (mod r);

сюр'єктивним, якщо f є сюр'єктивним відображенням Qⁿ⁺¹ на Q; i-ін'єктивним, якщо для довільних різних елементів x, y знайдуться елементи a₀, ..., a_n такі, що

f(a₀, ..., a_i-1, x, a_i+1, ..., a_n) ? f(a₀, ..., a_i-1, y, a_i+1, ..., a_n);

ін'єктивним, якщо він є i-ін'єктивним для всіх i. При s=1 отримуємо асоціативний групоїд, тобто (n+1)-арну напівгрупу. Покладемо

M:={(i₁;j₁), ..., (i_m;j_m)}, s:= НСД{ j₁ - i₁, ..., j_m - i_m, n}, r:=НСД{i₁, ..., i_m, s, n}. (4)

Теорема. 2.2.3. Нехай (n+1)-арний групоїд (Q;f ) є сюр'єктивним та i-ін'єктивним для всіх для всіх i, кратних r. Тоді, при позначеннях (4), рівносильні такі умови:

1) групоїд (Q;f ) є (i,j)-асоціативним для всіх (i,j) із множини M;

2) групоїд (Q;f ) є (r,r+s)-асоціативним;

3) групоїд (Q;f ) є асоціатом сорту (r,s,n).

З цієї теореми випливає результат Х. Терстона¹¹. Координатою даної появи символа н в слові щ назвемо кількість предметних символів (предметних змінних та констант), які знаходяться в щ ліворуч від даної появи н в щ.

В напівгрупі довільної арності результат багаторазового застосування операції не залежить від розташування дужок. В асоціатах це не так: в довільному асоціаті (Q;f ) сорту (r;s;n) довільна рівність х=щ є тотожністю, якщо слова х і щ мають однакові послідовності предметних символів, координати кожної появи функційного символу f діляться на r, а між появами в х та появами в щ можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій координати відповідних появ конгруентні за модулем s (теорема 2.3.2, наслідок 2.3.3). Звідси випливає інший результат Х. Терстона Thurston H.A. A note on continued products // J. London Math. Soc. - 1952. - Vol. 27. - P. 239-241..

Елемент a групоїду (Q; f ) називається: i-оборотним, якщо ним визначений i-тий зсув л_i,a, що визначається рівністю

л_i,ax:=f (a,...a,x,a,...,a)

(число i є координатою змінної x в лівій частині), є підстановкою множини Q; оборотним, якщо він є i-оборотним для всіх i. Елемент асоціату сорту (r;s;n) назвемо частково оборотним, якщо він є i-оборотним для всіх i, кратних r.

Теорема. 2.5.1. Нехай (Q;f ) --асоціат сорту (r,s,n), де s<n, тоді для будь-якого частково оборотного елемента 0, існує єдина четвірка (+,ц,a,g) операцій арностей 2, 1, 0, r-1 відповідно, таких, що (Q;+) є моноїдом з нейтральним елементом 0, автоморфізмомом ц та оборотним елементом a, і виконуються залежності:

g(0,...,0)=0, ц^s/r(a) = a, ц^n/r(x)+ a = a+x,

f(x₀, ..., x_n)= x₀ + g(x₁, ..., x_r-1) + ц(x_r + g(x_r+1, ..., x_2r-1))+...+

+ц^n/r-1(x_n-r + g(x_n-r+1, ..., x_n-1))+ ц^n/r(x_n) + a.

З цієї теореми випливають результати Л.М. Глускіна Глускін Л.М. О позиционных оперативах // Докл. АН СССР. - 1968. - T. 182, №5. - C.1000-1003., М. Хоссу¹⁴ та теорема 8.3 В.Д. Білоусова із [⁴].

Встановлено, що вивчення асоціатів сорту (r;s;n) з частково оборотними елементами зводиться до вивчення асоціатів сорту (s;n), тобто сорту (1;s;n), з оборотними елементами, які названі оноїдами (наслідок 2.6.1). Повний розклад операцій в оноїдах описує наступна теорема.

Теорема 2.6.2. Нехай (Q;f ) є (n+1)-арний оноїд періоду асоціативності s. Тоді для будь-якого його оборотного елемента 0 існує єдина трійка операцій (+, ц, a) така, що (Q;+) є напівгрупою з нейтральним елементом 0, автоморфізмом ц та оборотним елементом a, для яких виконуються такі залежності:

цⁿ (x)+a=a+x, ц^s (a)=a,

f(x₀,x₁,..., x_n) = x₀+ц x₁+ц²x₂+...+цⁿx_n+a.

І навпаки, якщо ендоморфізм ц і елемент a напівгрупи (Q;+) пов'язані першою і другою залежностями, то визначений третьою рівністю групоїд (Q;f ) є асоціатом сорту (1,s,n).

При цьому вживатимемо такі назви: (Q;+) -- моноїд 0-розкладу, ц -- автоморфізм 0-розкладу, a -- вільний член 0-розкладу, (+), ц, a -- компоненти 0-розкладу, а (Q;+,ц,a) -- алгебра 0-розкладу оноїда (Q;f).

Доведено, що множина всіх оборотних елементів оноїда є його підквазігрупою і дорівнює групі оборотних елементів довільного його моноїда розкладу (теорема 2.6.11).

В теорії багатомісних групоїдів специфічну роль відіграє поняття косого елемента. Елемент вⁱ називається i-тим косим до елемента a, якщо л_i,a(вⁱ)=a. Найменше з чисел s таких, що (Q;f ) є (1;1+s)-асоціативним, називається періодом асоціативності асоціату (Q;f ).

В напівгрупі довільної арності всі косі до одного й того ж елемента співпадають. В асоціатах це не так.

Теорема 2.6.12. Період асоціативності оноїда, який визначений автоморфізмом ц і елементом a, дорівнює кількості різних косих до будь-якого із оборотних елементів та довжині орбіти <ц>(a), де <ц> позначає групу автоморфізмів моноїда, утвореного автоморфізмом ц.

Функційним рівнянням (i;j)-асоціативності називається рівняння

F(x₀,..., x_i-1, F(x_i,..., x_i+n), x_i+n+1,..., x_2n)=F(x₀,..., x_j-1, F(x_j,..., x_j+n), x_j+n+1,..., x_2n).

Нехай, при позначеннях (1), система складається з функційних рівнянь (i;j)-асоціативності для всіх (i;j) M (див. (4)). Якщо всі вони залежать від однієї і тієї ж функційної змінної F арності n+1, то її називатимемо системою функційних рівнянь асоціативності від однієї функційної змінної, а трійку чисел (r;s;n) назвемо її сортом.

Теорема 2.7.1. Множина розв'язків системи функційних рівнянь асоціативності сорту (r;s;n) з однією функційною змінною над множиною всіх (n+1)-арних операцій множини Q, для кожної з яких в Q існує елемент, який є i-оборотним для всіх i, кратних r, дорівнює множині функцій f, які визначаються рівностями теореми 2.5.1, де a, ц, (+), g -- операції арностей 0, 1, 2, r-1 відповідно такі, що (Q;+) є моноїдом з нейтральним елементом, a -- його оборотний елемент, ц -- його автоморфізм.

Для квазігрупової операції f арності n+1 i-те ділення визначається за допомогою співвідношення

f ⁽ⁱ⁾(x₀,…,x_i-1, x_i, x_i+1,…,x_n)=y f(x₀,…,x_i-1, y, x_i+1,…,x_n)= x_i.

Квазігрупова операція називається: топологічною в топології T (впорядкованою на впорядкованій множині (Q;?)), якщо неперервна (монотонна) як сама операція, так і будь-яке її ділення.

Наслідок 2.7.4. Множина розв'язків системи сорту (r;s;n) функційних рівнянь асоціативності з однією функційною змінною над множиною всіх (n+1)-арних квазігрупових операцій топологічного простору числової прямої, в залежності від парності числа n/r, дорівнює:

1) у випадку, коли число n/r є непарним, множині функцій f, які визначаються рівністю

2) якщо ж число n/r є парним числом, то, множині функцій f, які описані в пункті 1) та функцій h, які визначаються рівністю

де (+) -- додавання чисел, g, g -- довільні топологічні (r-1)-арні квазігрупові операції, ш, ч -- довільні гомеоморфізми прямої, a,b -- довільні числа, коли s/r є числом парним і b=0, коли s/r є непарним.

Наслідок 2.7.5. Множина розв'язків системи сорту (r;s;n) функційних рівнянь асоціативності з однією функційною змінною над множиною всіх (n+1)-арних лінійно впорядкованих квазігрупових операцій множини дійсних чисел відносно звичайного порядку дорівнює множині функцій f, які визначаються рівністю із п.1) наслідку 2.7.4, де (+) -- додавання чисел, g -- довільна лінійно впорядкована (r-1)-арна квазігрупова операція, a -- довільне число, ш -- довільний автоморфізм впорядкованої множини дійсних чисел.

В третьому розділі вивчаються оноїди, в яких кожний елемент є оборотним. Такі асоціати є квазігрупами і в бінарному випадку це поняття збігається з поняттям групи. За аналогією з бінарним випадком їх названо поліадичними групами, а скорочено -- поліагрупами.

В підрозділі 3.2 вивчення всіх поліагруп зводиться до вивчення поліагруп мінімального сорту.

Групоїд (Q;g) називаємо k-им майже похідним (k-им похідним) поліагрупи (Q;f ) з групою розкладу (Q;+), якщо для деякого центрального в групі елемента c виконується рівність

g=L_c f ^k (відповідно g=f ^k),

де

L_c (x)=c+x, f ^k(x₀ , ..., x_kn):=f(…f(f(x₀..., x_n), x_n+1,…, x_2n), x_2n+1 ..., x_kn).

Зокрема, k-та майже похідна (Q;g) бінарної групи (Q;+) має вигляд

g(x₀,..., x_n)=x₀+x₁+...+x_k+c,

де елемент c комутує з усіма елементами групи (Q;+), і тому k-та майже похідна бінарної групи також є групою.

Нехай поліагрупа (Q;f ) сорту (s,n) визначається парою (ц,a) над групою (Q;+), тоді її назвемо поліагрупою мінімального сорту, якщо n є порядком автоморфізму ц в групі зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+), а число s є періодом асоціативності.

Теорема 3.2.6. Будь-яка поліагрупа майже похідна від поліагрупи мінімального сорту, яка визначається над тією ж групою тим самим автоморфізмом, що і дана.

В підрозділі 3.3 з'ясовується які з підмножин є її підполіагрупами: теорема 3.3.1 та

Теорема 3.3.2. Підасоціат (H;f ) поліагрупи (Q;f ) сорту (s,n) буде її підполіагрупою тоді і тільки тоді, коли виконується одна з умов:

1) множина H замкнена стосовно взяття нуль-косого елемента;

2) множина H замкнена стосовно операції взяття e-оберненого елемента для деякого e H;

3) множина H замкнена стосовно операції взяття e-оберненого елемента для всіх e H.

Наслідок 3.3.4. Нехай (Q; f ) -- медіальна ідемпотентна поліагрупа і (+,ц, a) -- один із її розкладів, тоді a=0 і всі її підполіагрупи є точно блоками розбиття за інваріантними стосовно ц підгрупами групи (Q;+).

В підрозділі 3.4 вивчається залежність між гомоморфізмами, ізоморфізмами, конгруенціями поліагруп та їх відповідниками в алгебрах розкладів цих поліагруп. Критерій гомоморфізму та ізоморфізму поліагруп дано в наступній теоремі.

Теорема 3.4.4. Нехай (G;h) та (Q;f ) (n+1)-арні поліагрупи з розкладами (•, ш, b) та (+,ц, a) відповідно. Для того, щоб відображення г множини G на Q було гомоморфізмом (ізоморфізмом) поліагрупи (G;h) на поліагрупу (Q;f ), необхідно і достатньо існування гомоморфізму (ізоморфізму) и групи (G;•) в групу (Q;+) і елемента c Q таких, що виконується пункт 1) (пункт 2)):

1) г = L_c и, иш = ц I _c ^-1 и, и b = ц c + ц² c + … + цⁿ c + a;

2) г = R_c и, I_c и ш = ц и, и b = c+ цc + ц²c + … + ц^n-1c + a,

де

L_cx=c+x; R_cx=x+c; I_c x=c+x- c.

Підполіагрупу поліагрупи називаємо нормальною, якщо вона є блоком розбиття за деякою її конгруенцією. Конгруенції поліагрупи та будь-якої її алгебри розкладу збігаються (теорема 3.4.6). Підполіагрупа поліагрупи нормальна тоді і тільки тоді, коли вона є деяким блоком еквівалентності групи розкладу за деякою нормальною підгрупою групи розкладу (теорема 3.4.7). Звідси, зокрема, випливає, що в ідемпотентній поліагрупі кожний блок конгруентності є її нормальною підполіагрупою (наслідок 3.4.10).

В підрозділі 3.5 знайдено алгоритм описання поліагруп за модулем бінарних груп.

Автоморфізми ц і ш групи (Q;+) назвемо ізорівними, якщо існують автоморфізм и і елемент c групи (Q;+) такі, що

ш = и^-1цI^-1cи,

де I_c -- визначений елементом c внутрішній автоморфізм групи (Q;+).

Два елементи b, d із множини ka+Z(Q;+) назвемо (ц,k)-ізорівними, якщо існують автоморфізм и та елемент c такі, що

и ц = ц I _c ^-1 и, и b = ц c + ц² c + … + цⁿ c + d,

де n -- порядок ц в групі зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+).

Нехай Г_m -- повний набір попарно неізоморфних груп порядку m; P⁽⁺⁾ -- повний набір попарно неізорівних автоморфізмів кожний з яких має скінченний порядок в множині зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+); Q_ц,k -- повний набір (ц,k)-неізорівних елементів множини ka+Z⁽⁺⁾, де Z⁽⁺⁾ є центром групи (Q;+), а a -- будь-який елемент, що задовольняє умову

цⁿ(x)=a+x - a.

Теорема 3.5.8. Кожна поліагрупа порядку m, де m -- будь-яке кардинальне число, арності n+1 ізоморфна точно одній поліагрупі, яка рівністю

f(x₀,x₁,..., x_n) = x₀+ц x₁+ц²x₂+...+цⁿx_n+a (5)

визначається парою (ц,a), де цОP⁽⁺⁾, aОQ_ц,k, n кратне порядку автоморфізму ц в групі зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+) та (+)ОГ_m.

В підрозділі 3.6 проілюстровано отримані вище результати на прикладі поліагруп, що визначені над циклічними групами. А саме, дано повний опис з точністю до ізоморфізму та описано їх підполіагрупи.

Кожна така скінченна поліагрупа ізоморфна поліагрупі (Z_m;f_(?,a)), де Z_m та m>0, є кільцем лишків за модулем m, а ? -- його оборотний елемент та

?ⁿ=1, (?^s -1)a=0, f(x₀,...,x_n) = x₀ + ? x₁ + ?² x₂ + ... + ?^n-1x_n-1 + x_n + a.

Теорема 3.6.4. Кожна визначена над циклічною групою поліагрупа порядку m<? ізоморфна точно одній поліагрупі, яка визначена над Z_m парою (?,d), де ? -- оборотний елемент, а d є спільним дільником чисел 1+?+?²+…+?^n-1 та m.

З цієї теореми випливає, що з точністю до ізоморфізму простого порядку p>2 арності n+1 існує точно: 2p-3 поліагрупи, коли число n не ділиться на p, і точно 2p-2 поліагрупи, коли число n ділиться на p. З них (n+1)-арних груп точно p-2 в обох випадках (наслідок 3.6.6).

Кожна нескінченна (n+1)-арна поліагрупа з розкладом над циклічною групою ізоморфна точно одній поліагрупі (Z;f_(1,a)), де a = 0, 1, ..., [n/2], або поліагрупі (Z;f_(-1,0)), яка існує лише при парному n (теорема 3.6.8).

Описано їх напівгрупи ендоморфізмів, групи автоморфізмів та підполіагрупи (теореми 3.6.9, 3.7.4).

...