Моделювання, практична стійкість і оптимізація систем зі зміною вимірності фазового простору

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. З аналізу наукових публікацій можна зробити висновок, що вдалий вибір моделі при дослідженні тих або інших проблем відіграє ключову роль їх успішного розв'язання. Подолання суттєвих труднощів розв'язування задач керування складними об'єктами, проблем розпізнавання образів і цифрової обробки інформації, апроксимації експериментальних даних на основі методів псевдоінверсії, проблем практичної стійкості пучків траєкторій та інших у значній мірі пов'язані з тим, що математичні моделі досліджуваних процесів мають вигляд систем диференціальних або різницевих рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. Тобто, потрібно розглядати моделі динамічних систем, які при певних значеннях часового параметра можуть змінювати розмірність вектора фазового стану. Отже, на траєкторії системи накладаються проміжні умови в задані моменти часу, які дозволяють враховувати особливості процесів, що моделюються. Частинним випадком таких умов є умови миттєвої зміни розмірності вектора фазового стану, що має неабиякий практичний інтерес, зокрема, при оптимізації пучків заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах, при побудові оптимального портфеля цінних паперів, при апроксимації експериментальних даних у реальному режимі часу на основі методів псевдообернення та в ряді інших прикладних задач. Розв'язування цих задач досить часто пов'язано з застосуванням методів практичної стійкості та методів недиференційованої оптимізації, теорія яких розвинута в працях Б.М. Бублика, Ф.Г. Гаращенка, М.Ф. Кириченка, Ф.П. Васильєва, А.М. Гупала, Ю.М. Даніліна, В.Ф. Дем'янова, Ю.М. Єрмойлєва, М.М. Мойсеєва, О.Г. Наконечного, Б.М. Пшеничного, Р.П. Федоренка, В.В. Федорова, А.О.Чикрія, Н.З. Шора та інших вчених. Вона набула подальшого розвитку для систем з розривними траєкторіями у працях Л.Т. Ащепкова, В.В. Величенка, В.К. Горбунова, С.В. Ємельянова, В.В. Остапенка, Ф.О. Сопронюка, В.А. Троїцького. Розвиток теорії оптимізації динаміки пучків відображений у працях Т.Ф. Ананьїної, Б.М. Бублика, Ф.Г. Гаращенка, М.Ф. Кириченка, О.Б. Куржанського, Д.О. Овсяннікова. Тому тема дисертаційної роботи актуальна як з математичної, так і прикладної точки зору, оскільки пов'язана з розробкою методів практичної стійкості та параметричної оптимізації для систем зі зміною вимірності фазового простору і застосуванням цих методів до розв'язання різних прикладних задач. Основні результати дисертаційної роботи одержані завдяки працям М.Г. Четаєва, М.Ф. Кириченка, Б.М. Бублика, Ф.Г. Гаращенка, їх численних учнів та послідовників і знайшли застосування при розв'язуванні проблем стійкості, практичної стійкості та структурно-параметричної оптимізації.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів дослідження та побудова критеріїв практичної стійкості динамічних систем, математична модель яких описує фазовий стан, що змінює розмірність у певні моменти часу, а також параметрична оптимізація функціонала типу максимуму за початковими даними на розв'язках систем диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору.

Для досягнення поставленої мети потрібно розв'язати наступні задачі:

1. Окреслити доцільність досліджень реальних систем на основі математичних моделей зі зміною вимірності фазового простору методами практичної стійкості, ввівши відповідні означення.

2. Сформулювати та довести теореми про практичну стійкість динамічних систем з постійно діючими збуреннями та без них з урахуванням зміни вимірності фазового простору.

3. Розробити та теоретично обґрунтувати алгоритми побудови критеріїв практичної стійкості динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору.

4. Побудувати і обґрунтувати алгоритми параметричної оптимізації за критерієм якості, який є функцією максимуму за початковими умовами від кінцевого стану на розв'язках систем зі зміною вимірності фазового простору.

5. Розробити алгоритмічне та програмне забезпечення для апробації одержаних результатів та провести комп'ютерні експерименти.

1. Питання практичної стійкості розв'язків динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору

Нехай деяке розбиття відрізка , де , , , . Припустимо, що динаміка системи задана у вигляді:

, (1)

за умов зміни вимірності фазового простору

, , (2)

де - вектор фазових координат розмірності , - вектор-функції розмірності , які задовольняють умови теореми існування і єдиності розв'язку системи (1) при , , - вектор-функції розмірності , які задають зміну вимірності фазового стану системи (1) в моменти часу , та - вектори з нульовими компонентами, , , символ - тут і надалі позначає операцію транспонування.

Означення 1.1. Незбурений рух , , системи (1) за умов (2) назвемо -стійким, якщо при , , як тільки .

Надалі вважатимемо, що - замкнені множини векторів допустимих фазових станів системи (1) за умов (2) при , для яких , , є внутрішньою точкою, - множина допустимих початкових станів системи (1.1) при , - скалярний добуток двох векторів та однакової розмірності.

Для побудови ефективних методів перевірки практичної стійкості динамічних систем розглядається множина початкових станів виду:

,

де додатно визначена матриця розміру , - деяка стала.

Означення 1.3. Незбурений рух системи (1) за умов (2) , , називатимемо -стійким, якщо при , для всіх початкових умов .

Означення 1.4. Якщо , то незбурений рух системи (1) за умов (2) , , називатимемо -стійким.

Вивчатимуться також питання практичної стійкості систем зі зміною вимірності фазового простору з постійно діючими збуреннями:

(3)

за умов зміни вимірності фазового простору (2), де - постійно діючі збурення при із заданої області , .

Припустимо, що функції , задовольняють умови теореми про існування та єдиність розв'язку системи (3) при , , при , , , тобто це вектори відповідної розмірності з нульовими компонентами.

Означення 1.9. Незбурений рух , , , ,…, , системи (3) за умов (2) назвемо внутрішньо -стійким, якщо при , , як тільки , , , , ,..., , .

Означення 1.10. Рух , , , ,..., , системи (3) за умов (2) називається зовнішньо -стійким, якщо для будь-яких , , , , ,..., , , знайдеться хоча б один проміжок і хоча б один момент часу , для якого .

Тут , - множини допустимих початкових станів системи (3) при , , - доповнення до множини , - порожня множина.

Теорема 1.1. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно визначені функції Ляпунова , які задовольняють умови:

, , ; (4)

при , , ; (5)

для будь-якого

; (6)

, (7)

то незбурений рух , , , системи (1), (2) -стійкий.

Теорема 1.2. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно визначені функції Ляпунова , , які задовольняють умови (5)-(7) і , то незбурений рух , , , системи (1), (2) -стійкий.

Теорема 1.3. Нехай система (1), (2) -стійка, функції однакової розмірності . Якщо існують обернені функції , тобто , , то знайдуться функції Ляпунова , , , які задовольняють умови теореми 1.2.

Сформульована і доведена теорема 1.4 про асимптотичну стійкість, а також теореми про -стійкість незбуреного розв'язку , , системи (1), (2).

для лінійних систем:

, (8)

за умов зміни вимірності фазового простору

, (9)

обґрунтовано конструктивні критерії -стійкості та -стійкості, якщо області початкових значень або , або відповідно.

Нехай - матричний розв'язок задачі Коші:

, , , , ,

де - одинична матриця порядку , ; , , .

2. Проблеми структурно-параметричної оптимізації для динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору

В даному розділі наведені конструктивні алгоритми обчислення градієнта функціонала якості перехідного процесу за різними параметрами на траєкторіях динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. Для обчислення градієнта функціонала в заданому напрямку використовуються спряжені змінні, за допомогою яких легко обчислити частинні похідні. Значення спряжених змінних можна знайти як розв'язки спряжених систем лінійних диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору.

Нехай динаміка об'єкта описується системою диференціальних рівнянь:

за умов зміни вимірності фазового простору:

,

де - вектор фазового стану об'єкта розмірності , , - вектор параметрів оптимізації розмірності з опуклої компактної множини , - вектор-функції розмірності , які неперервні за сукупністю аргументів разом зі своїми частинними похідними по і по компонентах векторів та , - диференційовні вектор-функції розмірності , які задають зміну вимірності фазового простору системи в моменти , , причому , , - замкнена обмежена множина.

Вважатимемо, що початковий момент і точки , в яких система (36) змінює вимірність фазового простору, залежать відповідно від векторних параметрів і , тобто:

, , .

За критерій якості функціонування системи за умов виберемо функціонал:

,

де - додатно-визначений функціонал від кінцевого стану системи за умов. Позначимо вектор параметрів , . Нехай - деякий фіксований набір параметрів, - одиничний вектор деякого напрямку в області параметрів. Знайдемо похідну функції (39) при у напрямку вектора , ,

,

на множині:

.

Теорема 2.1. Похідна функціонала в напрямку в області параметрів при фіксованих значеннях параметрів , , ..., на розв'язках системи обчислюється за формулою:

.

Спряжені змінні , , розмірність яких , є розв'язками наступних задач:

,

,

,

де , - функції Гамільтона-Понтрягіна, , .

Виписані також частинні випадки формули: коли точки перемикання та не залежать від параметрів оптимізації; коли параметрами оптимізації є набір точок перемикання або початкові значення.

Висновки

параметричний фазовий динамічний

В дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в галузі практичної стійкості, структурно-параметричної оптимізації та аналізу практичної стійкості динаміки пучків як систем зі зміною вимірності фазового простору.

Вони можуть бути використані при розв'язуванні задач оцінки областей практичної стійкості розв'язків динамічних систем, які змінюють розмірність вектора фазового стану за певних значень часового параметра, а також для задач параметричної оптимізації динаміки пучків систем зі зміною вимірності фазового простору з недиференційованими критеріями якості, зокрема для оптимізації динаміки пучка заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах.

Основними результатами дисертаційної роботи є:

* Доведено теореми про практичну стійкість динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору при відсутності та при наявності постійно діючих збурень.

* Обґрунтовано конструктивні критерії для аналізу практичної стійкості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору при відсутності та при наявності постійно діючих збурень.

* Виведені формули для обчислення похідних за напрямком одиничного вектора в області параметрів від функції максимуму за початковими даними на розв'язках динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. Розроблено числовий алгоритм мінімізації даної функції.

* Розроблено числові методи визначення параметрів для аналізу практичної стійкості за відповідними критеріями.

* Показано, що динаміка руху заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах у деяких випадках описується системою диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. Розроблено числові методи визначення оптимальних параметрів систем прискорення частинок з урахуванням поздовжніх коливань. Проведено відповідний обчислювальний експеримент.

Література

1. Гаращенко Ф.Г., Сопронюк Є.Ф. Теореми про практичну стійкість систем зі зміною вимірності фазового простору // Вісник Київського університету. Фізико-математичні науки. - 2003. - № 5. - С. 171-177.

2. Сопронюк Є.Ф. Практична стійкість лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору // Науковий Вісник Чернівецького Університету. Математика. - Випуск № 269. - Чернівці: 2005. - С.119-122.

3. Сопронюк Е.Ф. Практическая устойчивость систем с изменением размерности фазового пространства с постоянно действующими возму-щениями // Проблемы управления и информатики. - № 6. - 2005. - С. 5-15.

4. Сопронюк Є.Ф. Параметрична оптимізація в системах зі зміною вимірності фазового простору // Вісник Київського університету. Фізико-математичні науки. - Випуск № 2. - К.: - 2006. - С. 236-245.

5. Сопронюк Є.Ф. Оцінки областей практичної стійкості систем зі змінною структурою // Тези доповідей учасників міжнародної науково-практичної конференції “Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології” (19-21 травня 2004р. м. Чернівці). - Чернівці: “Рута”, 2004. - С. 76.

6. Сопронюк Є.Ф. Критерії практичної стійкості систем зі зміною вимірності фазового простору // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. (27 вересня - 1 жовтня 2004 р., м. Дрогобич). Тези доповідей. - Львів: Поліграфічний центр видавництва Національного університету “Львівська політехніка”, 2004. - 201 с.

7. Сопронюк Є.Ф. Критерії практичної стійкості лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору // International conference modern problems and new trends in probability theory. - Chernivtsi: Ukraine, 2005. - С. 102.

Размещено на Allbest.ru