Математичне моделювання поверхні тривимірного тіла з використанням інтерлінації функцій

Размещено на http://allbest.ru

26

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

ім. А. М. ПІДГОРНОГО

УДК 519 : 687

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХНІ ТРИВИМІРНОГО ТІЛА З ВИКОРИСТАННЯМ ІНТЕРЛІНАЦІЇ ФУНКЦІЙ

01.05.02- Математичне моделювання та обчислювальні методи

Пасічник Валентина Олексіївна

Харків - 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українській інженерно-педагогічній академії, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Литвин Олег Миколайович, Українська інженерно-педагогічна академія, завідувач кафедри прикладної математики

Офіційні опоненти - доктор технічних наук, доцент, Гребеннік Ігор Валерійович, Харківський національний університет радіо електроніки, професор кафедри системотехніки

кандидат технічних наук, Сущик Костянтин Володимирович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, молодший науковий співробітник відділу обчислювальних методів і систем перетворення інформації

Провідна установа - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ

Захист відбудеться “ 21 ” червня 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “ 19 ” травня 2007 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук О.О. Стрельнікова

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Побудова і використання математичної моделі поверхні тривимірного тіла є однією з найбільш відомих прикладних задач, які знаходять широке застосування в різноманітних галузях людської діяльності.

Прикладом використання математичної моделі поверхні тривимірного тіла є цифрова модель рельєфу Землі (DEM). Найбільш розповсюдженими засобами цифрового представлення рельєфу є растрове представлення та особлива модель просторових даних, яка основана на використанні нерегулярної трикутної сітки на поверхні Землі, та апроксимує рельєф багатогранною поверхнею з висотними відліками у вузлах цієї сітки. Очевидно, що врахування аналітичних виразів для опису рельєфу Землі може зменшити число експериментальних даних про поверхню. Враховуючи величезну роль такої інформації для людства (наприклад, при прогнозуванні тиску, температури, напрямку і сили вітру, тощо), питання зображення такого рельєфу з мінімальною кількістю даних є надзвичайно актуальним.

Інший важливий приклад необхідності опису поверхні з мінімальною кількістю даних виникає в методі скінченних елементів для розрахунку напружено-деформованого стану деталей та корпусів машин, суден, літаків, тощо. Згідно з теорією методу скінченних елементів, сітка вузлів повинна враховувати геометрію поверхні і біля точок з концентрацією напруження згущуватися, а біля точок, де немає концентрації напруження - розріджуватися.

Зокрема, в швейній промисловості у дослідженнях широко використовуються сучасні комп'ютерні технології для математичного моделювання тих або інших частин поверхні тіла людини.

Таким чином, актуальною є розробка та дослідження методів та алгоритмів опису поверхонь тривимірних тіл за допомогою таких функцій, у яких всі параметри знаходяться шляхом мінімізації деякого критерію та мінімізується кількість використаних параметрів.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано у межах наукових досліджень, здійснюваних в Українській інженерно-педагогічній академії за держбюджетною темою № 04-02 ДБ “Нові високоефективні методи розв'язання плоскої та просторової задач комп'ютерної томографії, основані на використанні сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації функцій” (№ ДР 0104U000940).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова математичної моделі поверхні тривимірного тіла, основаної на використанні сплайн-інтерполяції та сплайн-інтерлінації функцій з оптимальним вибором кількості та значень всіх параметрів цієї математичної моделі.

Для досягнення цієї мети поставлені та розвязані такі задачі:

- побудова математичної моделі поверхні тривимірного тіла з використанням інтерлінації функцій;

- побудова математичної моделі поверхні тривимірного тіла у вигляді сплайн - інтерлінації з використанням сум Фур'є на лініях перетину поверхні горизонтальними площинами;

- розробка методу оптимізації кількості та значень параметрів математичної моделі поверхні тривимірного тіла у вигляді сплайн-інтерполяції з використанням сплайнів першого та другого степеня по кожній змінній;

- розробка програмного забезпечення для реалізації запропонованих методів; проведення обчислювального експерименту з метою тестування розроблених алгоритмів оптимізації математичної моделі на прикладі поверхні манекена.

Об'єктом дослідження є процес математичного моделювання поверхні тривимірного тіла, яка може бути однозначно описана в циліндричній системі координат.

Предметом дослідження є математична модель поверхні тривимірного тіла, яка може бути однозначно описана в циліндричній системі координат, за умови найкращого наближення її до експериментально заданої поверхні, і метод розв'язання задачі оптимізації параметрів моделі та їх кількості.

Методи дослідження. При виконанні даного дослідження використані методи сплайн-інтерполяції функцій однієї та двох змінних та методи інтерлінації функцій двох змінних при побудові математичної моделі поверхні тривимірного тіла; наближення функцій з використанням сум Фур'є при описі замкнених ліній, що лежать на поверхні тривимірного тіла; загальна теорія наближення функцій, заданих експериментальними даними, - при виборі вигляду функціонала, мінімізація якого лежить в основі запропонованого методу побудови математичної моделі поверхні тривимірного тіла; основні твердження теорії функцій багатьох змінних про знаходження їх оптимальних значень - при побудові систем лінійних та нелінійних рівнянь для знаходження невідомих параметрів шуканої математичної моделі.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

- вперше побудована математична модель поверхні тривимірного тіла в циліндричній системі координат за допомогою інтерлінації функцій;

- вперше при описі поверхні формулами сплайн-інтерлінації запропоновано використовувати суми Фур'є для опису замкнених ліній, отриманих при перетині поверхні тривимірного тіла горизонтальними площинами;

- вперше створено і досліджено оптимізаційний метод знаходження кількості та значень параметрів математичної моделі;

- отримали подальший розвиток методи інтерлінації функцій двох змінних при побудові математичної моделі поверхні тривимірного тіла.

Практичне значення отриманих результатів. В дисертаційній роботі створено загальний метод конструювання наближеного зображення поверхні тривимірного тіла, яка може бути однозначно описана в циліндричній системі координат, за допомогою формул сплайн-інтерлінації. Вперше розроблено метод оптимального вибору кількості кривих, що лежать на перетині горизонтальних та вертикальних площин з поверхнею тривимірного тіла та параметрів, що відповідають за їх геометричне розміщення. Результати дисертаційної роботи знайшли своє запровадження на державному підприємстві “Запорізьке машинобудівне конструкторське бюро “Прогрес” імені академіка О.Г.Івченка”, а також були використані при виконанні держбюджетної науково-дослідної теми 04-02-ДБ „Нові високоефективні методи розв'язання плоскої та просторової задач комп'ютерної томографії, основані на використанні сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації функцій”. Відповідні акти наведені в додатках до дисертаційної роботи. Теоретичні результати дисертаційної роботи були використані для створення і оптимізації математичної моделі поверхні манекена у швейній промисловості і підтверджені результатами обчислювального експерименту, проведеного з використанням програмних засобів, створених дисертантом.

Особистий внесок здобувача. Усі основні наукові результати дисертаційної роботи отримані особисто автором. У роботах, написаних у співавторстві, дисертанту належать такі результати: у роботі [1] - запропонований алгоритм оптимального вибору числа горизонтальних перерізів манекена та їх розміщення для наближення поверхні манекена за допомогою сплайн-інтерлінації функцій; у роботі [2] - запропонований алгоритм оптимального вибору числа горизонтальних та вертикальних перерізів манекена та їх розміщення для наближення поверхні манекена білінійними сплайнами (лінійними за кожною змінною); у роботі [3] - аналітичний огляд методів математичного моделювання поверхонь тривимірних тіл, обґрунтування вибору методу для математичного моделювання поверхні манекена в швейній промисловості; у роботі [4] - аналіз існуючих методик оптимального опису поверхонь тривимірних об'єктів; у роботі [7] - обґрунтування необхідності включення для студентів спеціальності 7.010104 “Професійне навчання. Технологія текстильної та легкої промисловості” курсу “Математичні методи та моделі в розрахунках на ПЕОМ”; у роботі [8] - запропонований загальний алгоритм використання методу R-функцій академіка В.Л. Рвачова для опису поверхні манекена; у роботі [9] - аналіз обчислювальних аспектів методу оптимізації математичної моделі поверхні тривимірного тіла; формули, які дозволяють значно скоротити час обчислень.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи розглядались на міжнародній науковій конференції “Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXII)” (Кацивелі - Київ, 2005), на семінарах з обчислювальної та прикладної математики при кафедрі прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії в 2001-2007 рр. (керівник д.ф.-м.н., проф. Литвин О.М.), на наукових конференціях УІПА (2001, 2003 - 2006 рр.), на спільних семінарах кафедри прикладної математики та кафедри технології швейного виробництва УІПА (2005 - 2007 рр.), на міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми розвитку легкої та харчової промисловості” (Євпаторія - Луганськ, 2005).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 9 праць, у тому числі 4 статті в наукових журналах, які входять до переліку ВАК України, 4 доповідей та тез, опублікованих в матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація містить вступ, чотири розділи, висновки по роботі, 7 додатків, 23 рисунка, 4 таблиці та список використаних джерел з 115 найменувань на 11 сторінках. Повний обсяг дисертації складає 210 с., з них 129 с. основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

швейний манекен математичний фур'є

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень за темою дисертаційної роботи, формулюються мета і задачі досліджень, вказується об'єкт, предмет та методи досліджень, відзначаються наукова новизна й практичне значення отриманих результатів, особистий внесок автора в роботах, що виконано у співавторстві, а також апробація результатів дисертації та кількість публікацій за темою дисертаційної роботи.

У першому розділі виконано огляд літератури та аналіз стану проблеми наукових досліджень за темою дисертаційної роботи.

Значний вклад в розробку математичної моделі поверхні тривимірного тіла внесли П.Л. Чебишов, В.Л. Рвачов, Ю.Г. Стоян, О.М. Литвин, Т.І. Шейко, К.В. Максименко-Шейко, А.В. Толок, А.М. Мацевитий, Р.А. Уваров, М.І. Гіль, С.В. Яковлев, І.В. Гребеннік, Т.Є. Романова, С.Б. Шеховцов та ін. Важливі проблеми конструювання систем автоматизованого проектування одягу досліджуються в працях О.Б.Коблякової, М.М.Раздомахіна, А.Л.Славінської, С.Г.Кулешової, М.В.Стебельского, П.К.Абдуліна, В.Д.Фроловского, I.Семенової, V.Savchenko, I.Hagiwara, В.Г.Єщенка, О.Б.Булатової, О.Ю.Ніцина та інших.

Аналіз сучасного стану проблеми моделювання поверхонь тривимірних тіл свідчить про те, що при її розв'язанні перевага надається дискретним моделям поверхні тривимірного тіла, тобто набору точок на поверхні досліджуваного тіла. Таким чином, актуальною є розробка та дослідження методів та алгоритмів опису поверхонь тривимірних тіл, які б використовували математичний апарат, що дозволяє включати в математичну модель і системи точок на поверхні досліджуваного тіла, і системи ліній, і частини поверхонь. Таким математичним апаратом є теорія інтерлінації функцій двох та інтерфлетації функцій трьох змінних.

Інтерлінація функцій дозволяє шукати оптимальну поверхню у такому вигляді, у якому в математичній моделі поверхні параметри частин ліній, або елементів поверхонь, що використовуються, є невідомими. І при цьому забезпечується автоматичне виконання деяких технологічних вимог - неперервність поверхні, неперервність її кривини, опуклість чи вгнутість деяких частин поверхні тощо.

В другому розділі визначено клас тривимірних тіл, поверхні яких можуть бути однозначно описані в циліндричній системі координат, викладено основні положення теорії інтерлінації функцій двох змінних стосовно її використання при побудові математичних моделей поверхонь об'єктів класу . Така математична модель будується у вигляді формул інтерлінації з деякою кількістю ліній на поверхні та з невідомими параметрами, що визначають геометричне положення вказаних ліній. Такими лініями можуть бути горизонтальні лінії, що лежать у площинах, перпендикулярних вертикальній осі. Крім того, вказані лінії можуть утворюватися в результаті перетину поверхні тривимірного тіла площинами, у яких лежить вертикальна вісь і які створюють різні кути з площиною . Деякі лінії можуть задаватися дослідником. Такий підхід до побудови математичної моделі з використанням інтерлінації функцій дозволяє включати також для опису поверхні тривимірного тіла частини відомих поверхонь.

Позначимо через - клас поверхонь, які однозначно можуть бути описані в циліндричній системі координат рівнянням: , , , , де - однозначна функція двох аргументів, - відстань від осі до поверхні тіла, яка відповідає заданим значенням та . До таких тіл можна віднести широкий клас об'єктів, наприклад, корпус турбіни, водонапірні вежі, манекен, що використовується у швейній промисловості тощо.

Хай нам задана функція двох змінних і система ліній або , , .

Означення 1. Слідом функції на лінії будемо називати функцію однієї змінної (, або , або параметра ) , або , або , яка у кожній точці цієї лінії приймає такі ж значення, як і функція : .

Означення 2. Інтерлінацією функції називається відновлення (можливо, наближене) функції у точках між лініями , за допомогою її слідів на цих лініях.

У роботі наведені явні формули для математичних моделей з використанням раціональної, поліноміальної, сплайн-інтерлінації функцій та сплайн-інтерполяції, а також у неявній формі за допомогою R-функцій. Досліджена математична модель поверхні тривимірного тіла з використанням сплайн-інтерлінації функцій та сум Фур'є для горизонтальних перерізів.

В теоремі 1 наведено явний вигляд для операторів раціональної інтерлінації функцій на М () прямих в та доведено їх інтерлінаційні властивості.

Хай прямі , задані нормальними рівняннями , , , - вектор нормалі до прямої ; _. Введемо функції , , . Очевидно, , . Будемо розглядати функції , де - функції однієї змінної.

Теорема 1. Оператор

,

де

,

, ,

задовольняє властивості

,

.

В теоремі 2 наведено явні вирази для операторів поліноміальної інтерлінації функцій на М () взаємно перпендикулярних прямих, та доведено їх інтерлінаційні властивості. Хай функція . Введемо позначення:

,,

де , - базисні поліноми Лагранжа степеня , відповідно: , .

Теорема 2. Оператор є оператором інтерлінації, що інтерлінує функцію на площинах та , тобто

, .

В роботі наведений приклад відновлення поверхні еліпсоїда з півосями з використанням узагальненої циліндричної системи координат. Цей приклад показує, що цю поверхню можна точно відновити за відомими її лініями при та за допомогою операторів поліноміальної інтерлінації.

Зауважимо, що оператори поліноміальної інтерлінації зберігають клас неперервності у всіх точках, де наближувана функція є неперервною, включаючи точки, де перетинаються різні прямі, тобто вони не привносять ніяких особливостей у наближуючі оператори. Але при цьому у випадку великої кількості ліній інтерлінації з обчислювальної точки зору слід надавати перевагу операторам локальної сплайн-інтерлінації, які при побудові використовують сплайни невисокого порядку.

Оператори поліноміальної інтерлінації лежать в основі побудови операторів сплайн-інтерлінації. В теоремі 3 наведено формули для операторів сплайн-інтерлінації на системі прямих, які отримуються перетином поверхні тривимірного тіла площинами та , та доведено їх інтерлінаційні властивості.

Теорема 3. Якщо функції та є сплайнами відповідного порядку з властивостями , , , , то оператори

,

, ,

,

є операторами сплайн-інтерлінації з властивостями:

, .

В роботі також розглядається новий метод побудови математичної моделі поверхні тривимірного тіла у вигляді сплайн-інтерлінації функцій, коли сліди замінюються сумами Фур'є порядку за змінною . Цей метод досліджений з обчислювальної точки зору на прикладі математичної моделі поверхні манекена у четвертому розділі.

Серед методів, що можуть бути використані для опису поверхні тривимірного тіла, найбільш універсальними є зображення поверхні у вигляді сітчатого каркаса за відомою системою точок , або у вигляді рівняння , або у вигляді системи рівнянь (1), що зв'язує декартові координати з циліндричними координатами :

(1)

Для оптимізації математичної моделі поверхні тривимірного тіла потрібно мати математичну модель у вигляді, що має достатню кількість параметрів, вибором яких можна з потрібною точністю наблизитись до поверхні, заданої експериментальними даними. Тому найбільш перспективними є опис математичної моделі у вигляді рівняння або у вигляді системи рівнянь (1), у яких функції та визначаються аналітично.

Ефективним методом побудови математичної моделі у вигляді рівняння є метод R-функцій академіка В.Л.Рвачова. Але для його реалізації потрібно вміти описувати рівняння окремих частин поверхні тривимірного тіла за допомогою відомих поверхонь (еліпсоїдів, параболоїдів, гіперболоїдів тощо). Для манекена, зокрема, ця задача не розв'язана у загальному вигляді.

Аналіз результатів другого розділу дозволяє стверджувати, що ефективною математичною моделлю поверхні тривимірного тіла класу , яка може бути використана для оптимізації, є модель у вигляді системи рівнянь (1), у якій невідому функцію можна з достатньою точністю наблизити за допомогою відповідних формул сплайн-інтерлінації або сплайн-інтерполяції.

У третьому розділі досліджується оптимізація математичної моделі поверхні тривимірного тіла у вигляді сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерполяції функцій.

Зокрема, у п.3.1. викладено метод оптимізації математичної моделі поверхні тривимірного тіла з використанням сплайн-інтерлінації функцій та сум Фур'є на системі горизонтальних ліній на поверхні, алгоритм якого складається з наступних кроків.

Крок 1. Вважаємо відомим набір точок , , на поверхні тривимірного тіла. Наближуємо функцію в (1) двовимірним сплайном степеня за кожною змінною. Зокрема, для цей сплайн буде мати вигляд

,

.

Крок 2. Задаємо кількість () і деяке початкове наближення для параметрів .

Будуємо математичну модель поверхні тривимірного тіла, використовуючи невідомих горизонтальних перетинів , , у вигляді сплайн-інтерлінації з використанням знайдених сум Фур'є по змінній і сплайна за змінною степеня . Зокрема, у випадку цей сплайн можна зобразити у вигляді:

,

;

.

Ця функція має наступні властивості

незалежно від вибору чисел та функцій .

Крок 3. Знаходимо невідомі числа та функції , із умови мінімуму виразу

. (2)

Крок 4. Перевіряємо умову

де - заданий дослідником набір точок.

Якщо ця умова не виконується, то збільшуємо на 1.

У п.3.2 викладено метод оптимізації числа горизонтальних перерізів і їх розміщення при наближенні поверхні тривимірного тіла білінійними або біквадратичними сплайнами, алгоритм якого складається з наступних кроків:

Крок 1. Наближуємо функцію двовимірним сплайном степеня за кожною змінною (аналогічно з кроком 1 попереднього алгоритму).

Крок 2. Будуємо математичну модель поверхні тривимірного тіла, використовуючи невідомих горизонтальних перетинів , , , у вигляді двовимірного сплайна за двома змінними степеня .

Зокрема, у випадку цей сплайн можна представити у вигляді

(3)

Крок 3. Знаходимо невідомі із умови мінімуму виразу

(4)

або його дискретного аналога

У пп.3.3. викладено метод одночасної оптимізації числа горизонтальних і вертикальних перерізів та їх розміщення при наближенні поверхні тривимірного тіла білінійними або біквадратичними сплайнами.

В загальній формі задача формулюється так: за відомими експериментальними даними , знайти найменше число горизонтальних перетинів та найменше число вертикальних перетинів - кутів , , , , які забезпечують задану точність наближення побудованої математичної моделі до експериментальних даних.

Критерій оптимальності полягає в тому, що оптимальні значення повинні забезпечувати відхилення від експериментальних даних, що не перевищує задану точність .

При цьому кількість використовуваних значень повинна бути мінімальною.

Опишемо загальний метод розв'язання задачі оптимізації числа горизонтальних і вертикальних перерізів та їх розміщення: , у якому функція будується аналогічно функції .

Задаємо значення та і знаходимо із системи

. (5)

Для ефективного виконання цього кроку, одночасно із поданням (3) використовувалось також і таке аналітичне представлення функції :

,

де для сплайн-функцій в роботі подано явні вирази.

Тоді система (5) буде СЛАР (при умові, що задані):

,

,

.

Якщо степінь сплайна дорівнює 1, зокрема, то для елементів матриць та в роботі написані явні аналітичні вирази.

Викладемо запропонований метод по кроках, вважаючи заданими експериментальні дані .

Крок 1. Задаємо початкове наближення для чисел і та розміщення горизонтальних і вертикальних перерізів , , , , .

Крок 2. Знаходимо перше наближення для невідомих значень шляхом розв'язання системи (5), в якій замість виразу підставлено вираз:

Крок 3. Вважаючи відомими значення , розв'язуємо мінімізаційну задачу по знаходженню оптимальних значень , яку можна сформулювати так:

(6)

В роботі дано ітераційний метод її розв'язання.

Крок 4. Використовуючи знайдені оптимальні значення , переходимо до кроку 2 і знаходимо друге наближення для невідомих. Цю процедуру повторюємо до тих пір, поки не буде виконуватись умова

.

Крок 5. Перевіряємо виконання умови

. (7)

Якщо ця умова виконується, то вважаємо формули (1), у яких замість підставлено формулу оптимальною моделлю поверхні тривимірного тіла у вигляді білінійного сплайна. Якщо ж умова (7) не виконується, то збільшуємо число і виконуємо кроки 1 - 5. Якщо знову умова (7) не виконується, то збільшуємо число кутів і виконуємо кроки 1 - 5.

Цей метод послідовного наближення за своєю суттю є узагальненням методу Зейделя розв'язання систем нелінійних рівнянь на досліджуваний тут випадок, коли за змінними функція є квадратичною функцією, а за змінними вона є нелінійною функцією, вигляд якої істотно залежить від вибору степеня сплайнів .

У четвертому розділі наведено аналіз результатів проведеного обчислювального експерименту з побудови математичної моделі поверхні манекена, у якій всі параметри знаходились згідно з методами та алгоритмами, описаними в попередніх розділах.

Практична реалізація відповідних алгоритмів пов'язана з наступними властивостями досліджуваних математичних моделей.

По-перше, координати ліній інтерлінації та вузлів сплайн-інтерполяції входять у математичну модель істотно нелінійно. Тому класичні методи математичного аналізу щодо мінімізації відповідного критерію за вказаними вузлами не можуть бути використані, бо похідні за координатами цих вузлів можуть мати дуже складні вирази.

Тобто, система рівнянь, яка отримується прирівнюванням відповідних похідних до нуля, буде системою нелінійних рівнянь. У зв'язку з цим в роботі використані прямі методи мінімізації функцій багатьох змінних, що не вимагають обчислення градієнта.

По-друге, коефіцієнти Фур'є та значення параметрів у вузлах сплайна входять у критерії мінімізації так, що відповідні похідні являють собою лінійні вирази.

Тобто, прирівнюючи похідні за невідомими параметрами до нуля, отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

По-третє, в роботі використовуються стандартні процедури прямого методу мінімізації функцій багатьох змінних, у яких істотним є уміння задавати початкове наближення. Ці властивості були враховані при проведенні обчислювального експерименту. Зокрема, невідомі параметри у вузлах сплайна знаходились шляхом розв'язання систем лінійних рівнянь, а невідомі вузли сплайна знаходились прямим методом мінімізації, що прискорило час проведення обчислень.

Аналізуючи результати обчислювального експерименту, можна зробити наступний висновок: кількість коефіцієнтів Фур'є у сумах Фур'є, які наближують експериментальні дані з потрібною точністю, майже в три рази є меншою, ніж кількість точок на цих лініях. Тобто, отримана математична модель сама по собі вимагає значно меншої кількості даних для опису поверхні манекена із заданою точністю.

На рис.1-2 наведені просторові зображення одержаних поверхонь манекенів для . Результати обчислювального експерименту дозволяють зробити висновок: в межах технологічних вимог можна зменшити кількість горизонтальних перерізів, для яких знаходяться .

Рис. 1. Наближені зображення поверхні манекена.



Рис. 2. Наближені зображення поверхні манекена.

Після повного розв'язання задачі оптимізації, були отримані значення , які задовольняють умову (мм) (%), . З технологічної точки зору, якщо різниця між вхідними даними і нашою математичною моделлю не перевищує 3%, то таке наближення можна вважати достатнім.

На рис. 3 наведені просторові зображення одержаної поверхні манекена та поверхні оригіналу манекена.

Рис. 3. Наближені зображення поверхні манекена.

В пп.4.4. досліджені деякі питання чисельної реалізації запропонованих методів з використанням систем комп'ютерної математики. Перш за все відмітимо, що критерій для оптимізації (4) був замінений його дискретним аналогом, який отримується при заміні інтегралів по у формулі (4) квадратурною формулою центральних прямокутників.

Крім того, пропонується у випадку, якщо число непарне , замінити функціонал (4) функціоналом, який отримується шляхом заміни інтегралів виду квадратурними формулами парабол (Сімпсона). Досліджено також алгоритм вибору порядків тригонометричних поліномів, що описують експериментальні дані на горизонтальних лініях.

В пп.4.5. досліджується оптимізація обчислень в інтегральному методі найменших квадратів при наближенні функцій однієї та двох змінних, а також проводиться обґрунтування вибору критерію оптимізації математичної моделі.

В роботі також зроблений аналіз похибки математичного моделювання поверхні манекена та проаналізовані можливі застосування результатів даного дослідження.

У додатках розміщено допоміжний матеріал - таблиця експериментальних даних, опис пакетів програм по розв'язанню оптимізаційних задач, короткий перелік основних методів оптимізації функцій багатьох змінних, результати обчислювального експерименту по оптимізації математичної моделі поверхні манекена, акти про впровадження результатів дисертаційної роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розроблено й обґрунтовано новий метод побудови математичної моделі поверхні тривимірного тіла з використанням сплайнів та сплайн-інтерлінації функцій двох змінних та оптимізацією кількості горизонтальних і вертикальних перерізів та їх розміщення.

1. В роботі визначено клас тривимірних тіл, поверхні яких можуть бути однозначно описані в циліндричній системі координат. Вперше сформульовано і обґрунтовано загальний підхід до побудови математичної моделі поверхні тривимірного тіла класу на основі використання інтерлінації функцій. Експериментальними даними є система точок та деякі лінії на цій поверхні; опис поверхні проводиться у вигляді системи рівнянь, що зв'язує декартові координати з циліндричними координатами.

2. Вперше розроблений метод мінімізації кількості горизонтальних перетинів та їх розміщення в математичній моделі поверхні тривимірного тіла класу у вигляді сплайн-інтерлінації функцій з використанням сум Фур'є, порядок яких вибирається із умови досягнення заданої точності.

3. Вперше розроблений метод мінімізації кількості горизонтальних і вертикальних перетинів та їх розміщення в математичній моделі поверхні тривимірного тіла класу у вигляді сплайн-інтерполяції з використанням сплайнів першого та другого степеня по кожній змінній. Він дозволяє зменшити (порівняно з класичним наближенням інтерполяційними сплайнами) кількість точок на поверхні, потрібних для її відновлення.

4. Теоретичні результати дисертаційної роботи були використані для створення і оптимізації математичної моделі поверхні манекена у швейній промисловості.

5. Всі теоретичні висновки дисертаційної роботи підтверджені результатами обчислювального експерименту для манекену, проведеного з використанням програмних засобів, створених дисертантом. Це дозволяє використати отримані програмні засоби для оптимізації математичних моделей поверхонь інших тривимірних тіл класу .

6. Практичне значення результатів підтверджено їх впровадженням. Результати дисертаційної роботи були використані при виконанні держбюджетної науково-дослідної теми 04-02-ДБ „Нові високоефективні методи розв'язання плоскої та просторової задач комп'ютерної томографії, основані на використанні сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації функцій”. Запропоновані методи математичного моделювання використані на державному підприємстві “Запорізьке машинобудівне конструкторське бюро “Прогрес” імені академіка О.Г.Івченка”.

7. У подальшій роботі автор планує розвинути запропонований в даній роботі метод математичного моделювання поверхонь для тривимірних тіл більш складної форми, які не належать класу .

СПИСОК ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Литвин О. М., Пасічник В. О. Оптимізація горизонтальних перерізів математичної моделі поверхні манекена з використанням інтерлінації функцій // Доповіді НАН України. - 2004. - №2. - С.66-71.

2. Литвин О. М., Пасічник В. О. Оптимізація вертикальних перерізів математичної моделі поверхні манекена з використанням інтерлінації функцій // Доповіді НАН України. - 2005. - №6. - С. 63-68.

3. Литвин О. Н., Пасечник В. А. Оптимизация математической модели поверхности трёхмерного тела // Кибернетика и системный анализ. - 2006. - №1. - С. 103-112.

4. Литвин О. М., Пасічник В. О. Оптимальний вибір вузлів та числа горизонтальних і вертикальних перерізів поверхні манекена // Вісник Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля. - 2005. - №11. - С. 58-64.

5. Пасічник В. О. Оптимізація математичної моделі поверхні манекена у швейній промисловості // Праці міжнародної конференції “Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXII)”, присвяченої пам'яті академіка В.С.Михалевича. - Київ.: Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, 2005. - С.174-175.

6. Пасічник В. О. Про використання сплайн-інтерлінації функцій при описі поверхні манекена // Актуальні проблеми інженерної підготовки спеціалістів у вищих навчальних закладах інженерно-педагогічного профілю. - Харків: УІПА. - 2001. - С. 41-44.

7. Литвин О. М., Пасічник В. О. Деякі аспекти використання математичного моделювання поверхні манекена з використанням систем комп'ютерної математики Mathcad та Matlab // Збірник тез доповідей XXXVII науково-практичної конференції науково-педагогічних працівників, науковців, аспірантів та співробітників УІПА. - Харків. 2004. - С.57-59.

8. Литвин О. М., Пасічник В. О. Про використання R-функції для математичного моделювання поверхні манекена у швейній промисловості // Збірник тез доповідей XXXVIII науково-практичної конференції науково-педагогічних працівників, науковців, аспірантів та співробітників УІПА. - Харків. - 2005. - С. 97-98.

9. Литвин О. М., Пасічник В. О. Деякі аспекти оптимізації математичної моделі поверхні манекена // Збірник тез доповідей XXXIX науково-практичної конференції науково-педагогічних працівників, науковців, аспірантів та співробітників УІПА.-Харків. - 2006. - С. 81-82.

АНОТАЦІЯ

Пасічник В. О. Математичне моделювання поверхні тривимірного тіла з використанням інтерлінації функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02- математичне моделювання та обчислювальні методи - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2007.

У дисертаційній роботі формулюється і розв'язується задача розробки та дослідження методу побудови математичної моделі поверхні тривимірного тіла, яка може бути однозначно описана в циліндричній системі координат, з використанням інтерлінації та сплайн-інтерполяції функцій, у якому оптимально знаходяться не тільки всі параметри математичної моделі, але навіть їх кількість.

В роботі пропонується кілька критеріїв, які можуть бути використані для оптимального вибору числа ліній і відповідних параметрів для досягнення заданої точності наближення поверхні.

Всі вони основані на тому, що невідома поверхня в циліндричній системі координат апроксимується сплайном заданого порядку з невідомими координатами вузлів, а також з невідомими значеннями параметрів у цих вузлах або сплайн - інтерлінантом із невідомими слідами на деякій системі ліній на поверхні манекена.

Число цих ліній та їх розміщення знаходяться шляхом розв'язання відповідної оптимізаційної задачі.

Запропоновано і досліджено також математичну модель поверхні тривимірного тіла з використанням сплайн-інтерлінації функцій та сум Фур'є при описі деяких замкнутих ліній на поверхні.

Один з критеріїв оптимізації полягає в мінімізації суми квадратів віддалей від експериментально заданої моделі тривимірного тіла (у вигляді масиву точок на поверхні) до конструйованої.

Теоретичні результати застосовані до оптимізації математичної моделі поверхні манекена у швейній промисловості. Результати тестування показують, що можна побудувати математичну модель із потрібною точністю, але з меншим числом параметрів, ніж у класичному представленні поверхні сплайном.

Ключові слова: математична модель поверхні, інтерполяція, інтерлінація, сплайн-інтерполяція, сплайн-інтерлінація функцій, поверхня манекена, оптимізація.

АННОТАЦИЯ

Пасечник В. А. Математическое моделирование поверхности трёхмерного тела с использованием интерлинации функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02- математическое моделирование и вычислительные методы - Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2007.

В диссертационной работе формулируется и решается задача разработки и исследования метода построения математической модели поверхности трехмерного тела, которая однозначно может быть описана в цилиндрической системе координат, с использованием интерлинации и сплайн-интерполяции функций, в котором оптимально находятся не только все параметры математической модели, но также их количество.

Интерлинацией функции называется восстановление этой функции по известным её следам на заданной системе линий. Интерлинация является естественным обобщением интерполяции.

Благодаря тому, что информация о функции задаётся не отдельными значениями, а её следами на заданных линях (т.е. функциями одной переменной), операторы интерлинации имеют значительно лучшие аппроксимирующие свойства, чем классические операторы интерполяции.

В работе предлагается несколько критериев, которые могут быть использованы при оптимальном выборе числа линий и соответствующих параметров, характеризующих геометрическое расположение этих линий, для достижения заданной точности приближения. Все они основаны на том, что неизвестная поверхность в цилиндрической системе координат аппроксимируется сплайном заданного порядка с неизвестными координатами узлов, а также с неизвестными значениями параметров в этих узлах или сплайн - интерлинантом с неизвестными следами на некоторой системе линий на поверхности. Число этих линий и параметры их размещения находятся путем решения соответствующей оптимизационной задачи. Предложена и исследована также математическая модель поверхности трехмерного тела с использованием сплайн-интерлинации и сумм Фурье при описании некоторых замкнутых линий на поверхности.

Один из критериев оптимизации состоит в минимизации суммы квадратов расстояний от экспериментально заданной модели трехмерного тела (в виде массива точек на поверхности) до конструированной.

В работе большое внимание уделяется вычислительным аспектам реализации оптимизационных алгоритмов. В частности, создан пакет программ, позволяющий решить задачу оптимизации с использованием систем компьютерной математики Mathcad и Matlab. Учитывая, что критерий оптимизации по неизвестным параметрам в узлах является квадратичной функцией, а по неизвестным координатам узлов сплайнов - нелинейной более сложной функцией, в работе уделено особое внимание разработке алгоритмов уменьшения количества арифметических операций при минимизации.

Теоретические результаты применены при построении и оптимизации математической модели поверхности манекена в швейной промышленности. Результаты тестирования показывают, что можно строить математическую модель с необходимой точностью, но с меньшим числом параметров, чем в класическом представлении поверхности сплайном.

Ключевые слова: математическая модель поверхности, интерполяция, интерлинация, сплайн-интерполяция, сплайн-интерлинация функций, поверхность манекена, оптимизация.

ABSTRACT

Pasichnik V. A. Mathematical modelling of a three-dimensional body surface using the interlineation of functions. - Manuscript.

The Thesis for a Candidate of Technical Sciences degree in the speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods - The A.M.Pidgorny Institute for Problems in Mashinery of NAS of Ukraine, Kharkiv, 2007.

The problem to develop and research the method for creating the mathematical 3D body surface model which can be unambiguously described in cylinder coordinate system using the interlineation and spline-interpolation functions is formulated and solved in the dissertation.

This method allows us not only to determine parameters of mathematical model optimally but even their quantity.

Some criteria in the work are suggested to choose the optimal number of lines and appropriate parameters for reaching competent accuracy in surface approximation.

All of them are based on the fact that an unknown surface in cylinder coordinate system approximates by competent order spline with unknown knots' coordinates and unknown papameter values in these knots or by spline-interlineant with unknown traces on a line system on the 3D body.

The number of those lines and their location are found by determination the competent optimization task.

The mathematical 3D body surface model with a usage the spline-interlineation functions and Fourier's sums during description of a closed lines on a surface is suggested and investigated too.

One of the optimization criteria consists in looking for the least sum of squares of distances from an experimental 3D body surface model (as an array of points on a surface) to the constructed one.

Theoretical results are applied to the mannequin surface mathematical model optimization in sewing industry.

The results of testing show that we can build the mathematical model with an essential accuracy and less number of parameters than in the classic surface presentation by spline.

Keywords: mathematical model of a surface, interpolation, interlineation, spline-interpolation, spline-interination of fuunctions, a mannequin surface, optimization.

Размещено на Allbest.ru

...