Детермінований хаос у динамічних системах з обмеженим збудженням

Відмітимо, що каскад біфуркацій подвоєння відбувається на дуже малому по довжині інтервалі зміни N_1. Ще меншим є інтервал існування одномодового хаотичного атрактора. Так, при N_1=-0.10165 одномодовий атрактор зникає і в системі виникає хаотичний атрактор зовсім іншого типу. На рис. 7в--д наведено різні проекції хаотичного атрактора, який виникає в

системі при N_1=-0.10165. Насамперед, він відрізняється від одномодового атрактора збудженням коливань по другій домінантній моді. Крім того, помітно, що у кілька разів зростають амплітуди хаотичних коливань по першій домінантній моді. В зв'язку з цим, у кілька разів зростає об'єм області фазового простору, в якій локалізуються траєкторії виниклого хаотичного атрактора. Так, на рис. 7в можна помітити невелику, густо затемнену, область в околі точки (1,0). Ця затемнена область приблизно відповідає області локалізації у фазовому просторі зниклого одномодового атрактора.

На рис. 7д наведений збільшений фрагмент проекції хаотичного атрактора в околі точки (1,0). Уважне вивчення цього фрагмента дозволяє виявити помітну подібність між ним і відповідною проекцією одномодового атрактора (рис. 7а). Це прояснює механізм виникнення "двомодового"\, хаотичного атрактора, що виникає в результаті переміжності між зниклим хаотичним одномодовим атрактором і сідловим граничним циклом, який існував по сусідству з областю локалізації у фазовому просторі одномодового хаотичного атрактора. При N_1=-0.10165 одномодовий атрактор та сідловий цикл зникають і в системі (21) виникає новий хаотичний атрактор, рух траєкторій по якому включає три фази: ламінарну, турбулентну і ще одну, яку назвемо груболамінарною. Ламінарній фазі відповідають близькі до періодичних рухи в околі зниклого граничного циклу (див. густо прокреслені траєкторії ліворуч вгорі на рис. 7в). В непередбачений наперед момент часу відбувається турбулентний сплеск і траєкторії відходять в область зниклого одномодового хаотичного атрактора (густо затемнена область в околі точки (1,0) на рис. 7д). Далі, на протязі достатньо тривалого часу, траєкторії здійснюють хаотичні блукання вздовж витків зниклого хаотичного атрактора. По аналогії з термінологією, введеною в статистичній фізиці, назвемо цю фазу руху груболамінарною. Потім, в непередбачений момент часу, відбувається новий турбулентний сплеск і траєкторія повертається в область зниклого граничного циклу. Вищеописаний процес повторюється нескінченне число разів. Таким чином, має місце переміжність, відмінна від класичних типів, розглянутих Помо і Манневіллем. Відзначимо, що виникнення двомодового хаотичного атрактора супроводжується більш ніж трикратним збільшенням величини максимального ляпуновського характеристичного показника системи (21).

На рис. 7е наведена проекція перерізу Пуанкаре двомодового

хаотичного атрактора при N_1=-0.10165$. Як видно з рисунків, переріз Пуанкаре втрачає стрічкову структуру, яка існувала в перерізі одномодового атрактора, і набуває вигляду деякої хаотичної точкової множини. Проте, уважний погляд на рис. 7е дозволяє помітити, що складовою частиною перерізу Пуанкаре двомодового хаотичного атрактора є стрічка зниклого одномодового атрактора. Природно, що для двомодового хаотичного атрактора неможлива будь-яка одновимірна дискретна апроксимація.

На рис. 8а-в наведені, відповідно, проекції фазового портрету та перерізу Пуанкаре розвиненого хаотичного атрактора системи, які побудовані при N_{1}=-0.25. Він має дуже складну структуру проекцій фазового портрету. Проекція перерізу Пуанкаре (рис. 8в) повністю

втрачає квазістрічкову структуру й набуває вигляду деякої розвиненої хаотичної точкової множини. Неможливою, і в цьому випадку, стає будь--яка одновимірна дискретна апроксимація відображення Пуанкаре. Розвинені хаотичні атрактори типу наведеного на рис. 8 є найбільш характерними для системи (21). Вони існують при переважній більшості значень N_1 з відрізка [-0.373, -0.10165].

Детально вивчались біфуркації, які мають місце в системі при зміні параметрів N_3 (мультипараметр, який залежить від частоти основного тону коливань вільної поверхні рідини і від характеристик електродвигуна) і (коефіцієнт демпфірування). Було встановлено, що перехід до хаосу відбувається через каскад біфуркацій подвоєння періоду і через переміжність. Також знову була виявлена та описана переміжність "хаос--хаос,, яка відбувається за сценарієм, відмінним від класичних сценаріїв Помо-Манневілля. На інтервалах хаотичності біфуркаційних параметрів були виявлені численні вікна періодичності і вивчена поведінка системи при проходженні цих вікон. Також були виділені області в фазовому просторі, в яких хаотичний атрактор є єдиним атрактором системи (21).

Зупинимося на деяких особливостях переходу до хаосу при зміні значення N_3. Так, при N_3=-0.38 в системі існує стійкий граничний цикл. При зменшенні значень N_3 починається нескінченний каскад біфуркацій подвоєння періоду, який закінчується виникненням хаотичного атрактора при N_3 -0.395. Виниклий хаотичний атрактор існує на дуже малому інтервалі зміни N_3 і вже при N_3=-0.39504 в результаті переміжності змінюється хаотичним атрактором іншого типу. Знову виниклий хаотичний атрактор існує вже на значно більшому інтервалі зміни N_3. Дана ситуація нагадує розглянуту раніше при вивченні біфуркацій по параметру N_1, причому також біля правого порога існування хаосу. Проте в останньому випадку є одна істотна відмінність. Як граничні цикли, так і хаотичний атрактор не є одномодовими. В них присутні коливання по обох домінантних модах.

На рис. 9а-б наведені проекції фазових портретів хаотичних атракторів побудованих відповідно при N_3=-0.39503 і N_3=-0.39504. Хаотичний атрактор наведений на рис. 9 б відрізняється від хаотичного атрактора наведеного на рис. 9а помітним збільшенням амплітуд коливань по обох домінантних модах. Це приводить до істотного збільшення об'єму області у фазовому просторі, в якій локалізується виниклий атрактор. Як добре видно із цих рисунків, фрагмент проекції хаотичного атрактора при N_3=-0.39504$ якісно подібний до хаотичного атрактора при N_3=-0.39503. Ці рисунки проясняють механізм переміжності при виникненні одного атрактора з іншого. В точці біфуркації хаотичний атрактор з рис. 9а зникає і в системі (21) виникає атрактор нового типу, рух траєкторій по якому складається із двох фаз. Одну з них, яку, як і раніше, будемо називати груболамінарною, представляють хаотичні блукання траєкторій виниклого атрактора в околі траєкторій зниклого атрактора. В непередбачуваний момент часу траєкторії

"зриваються" й прямують у віддалені області фазового простору. Це турбулентна фаза рухів траєкторій. Потім траєкторії знову повертаються в область зниклого атрактора. Цей процес повторюється нескінченне число разів.

На рис. 9в-г наведені проекції розподілу інваріантної міри по фазовим портретам хаотичних атракторів при N_3=-0.39503 (в) і при N_{3}=-0.39504 (г). На рис. 9г густо затемнені ділянки відповідають груболамінарній фазі переміжності, а більш світлі - турбулентним сплескам. З цього рисунку чітко видно, що тривалість груболамінарної фази значно перевищує тривалість турбулентної фази. Розподіл інваріантної міри по фазовому портрету хаотичного атрактора на рис. 9в є досить рівномірним, що характерно для хаотичних атракторів, які виникають по сценарію Фейгенбаума. Тут також добре помітна якісна подібність рис. 9в та рис. 9г, яка показує, що зникаючий хаотичний атрактор служить "основою, груболамінарної фази виникаючого атрактора.

На рис. 9д-е наведені перерізи Пуанкаре площиною beta=-0.5 цих атракторів. Обидва перерізи Пуанкаре є точковими хаотичними множинами. Один з перерізів (рис. 9е), як фрагмент, містить множину, якісно подібну до другого перерізу (рис. 9 д), що зайвий раз підтверджує наявність у системі переміжності типу "хаос--хаос". Таким чином, тут також реалізується переміжність, відмінна від класичних сценаріїв Помо--Манневілля.

Зупинимося тепер на поведінці системи при проходженні параметра N_3 через вікно періодичності. Припустимо, що N_3 [-0.828, -0.825]. В цьому вікні періодичності атрактором системи є граничний цикл. На рис. 9ж наведена проекція фазового портрета граничного циклу, побудованого при значенні N_3=-0.825. Спостерігається структура типова для граничних циклів

(замкнутість траєкторії в фазовому просторі). При невеликому збільшенні N_3 граничний цикл зникає, і в системі (21) виникає хаотичний атрактор. На рис. 9 з--и наведені проекції фазового портрета і розподілу інваріантної міри хаотичного атрактора, побудовані при N_3=-0.824. Останній рисунок є гарною ілюстрацією типу переходу від регулярного атрактора до хаотичного. На рис. 9и чітко проглядається густо прокреслена область, що практично співпадає зі зниклим граничним циклом. Вона є ламінарною фазою переміжності "граничний цикл - хаос". Відповідно, світліші ділянки характеризують турбулентну фазу цієї переміжності.

В підрозділі 6.3 вивчаються коливання вільної поверхні рідини циліндричного бака, частково заповненого рідиною, який збуджується електродвигуном обмеженої потужності в вертикальному напрямку. З робіт Дж.Майлса було відомо, що при вертикальному збудженні бака з рідиною детермінований хаос в цій системі неможливий. Але в роботах Дж.Майлса ця задача розглядалась в ідеальній постановці. Т.С.Краснопольською було проведено узагальнення математичних моделей Дж.Майлса на випадок неідеального збудження. Саме така, енергетично коректна, узагальнена математична модель системи "бак з рідиною--електродвигун"\, розглядалась в підрозділі 6.3.

Проведені дослідження дозволили встановити існування детермінованого хаосу і у випадку вертикального збудження коливань. Знайдено кілька типів хаотичних атракторів системи. З'ясовано сценарії переходів до хаосу. Побудовано і ретельно вивчено перерізи і відображення Пуанкаре та розподіли спектральних густин хаотичних атракторів. Проведено порівняння поведінки системи в ідеальному і неідеальному випадках.

ВИСНОВКИ

Таким чином, у дисертації отримані наступні нові наукові результати.

Для маятникових систем:

1. Застосовано новий підхід, завдяки якому побудовано енергетично коректні математичні моделі деяких маятникових систем як у вигляді систем диференціальних рівнянь без відхилення аргумента, так і у вигляді систем диференціальних рівнянь з запізненням, а також у вигляді систем диференціальних рівнянь нейтрального типу.

2. Вперше показано існування хаотичних атракторів у розглянутих маятникових систем, незважаючи на те, що їхнє існування в деяких випадках раніше вважалося неможливим.

3. Докладно проаналізований вплив параметрів маятника й джерела збудження його коливань (електродвигуна) на виникнення, розвиток і зникнення детермінованого хаосу. Описані сценарії переходу від регулярних коливань до хаотичних, і навпаки.

4. Отримано фазопараметричні характеристики та спектри ляпуновських характеристичних показників систем. Побудовано та детально проаналізовано фазові портрети, перерізи й відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри і розподіли спектральної густини хаотичних атракторів.

5. Встановлено, що запізнювання в системах "маятник--електродвигун" може відігравати роль своєрідного енергетичного регулятора, що приводить до істотного збільшення кількості усталених режимів взаємодії, сприяє появі незвичайних усталених режимів, при яких швидкість обертання вала двигуна досягає значень, які перевищують швидкість обертання вала без коливального навантаження, та відіграє роль керуючого впливу при стабілізації коливань маятника.

Для систем "генератор--випромінювач":

1. Досліджено нову математичну модель, що описує процес взаємодії коливальних режимів п'єзокерамічного випромінювача та задавального електрогенератора.

2. Вивчено вплив зміни параметрів генератора (ємності, індуктивності, опору, характеристик лампи) на виникнення усталених режимів коливань системи.

3. В даній детермінованій системі було виявлено кілька типів хаотичних атракторів, у тому числі й два типи гіперхаотичних.

4. Встановлено та пояснено помітні відмінності у фазових портретах, перерізах і відображеннях Пуанкаре, розподілах інваріантної міри й спектральної густини в існуючих у системі хаотичних атракторів.

5. Показано, що системі властиві багато з існуючих в нелінійній динаміці сценаріїв переходу від регулярних рухів до хаотичних. Виявлено переходи "порядок--хаос" за сценарієм Фейгенбаума, через переміжність першого типу за Помо--Манневіллем, жорсткі переходи до хаосу.

6. Для вивчення впливу різноманітних факторів запізнювання побудовано математичну модель системи в вигляді системи диференціальних рівнянь з відхиленням аргумента.

7. Показано, що фактори запізнювання істотно впливають на динаміку системи. При змінах значень запізнювання в системі спостерігається велика розмаїтість змін типу усталених режимів вигляду " хаос--порядок" або " порядок--хаос".

8. Встановлено, що існування детермінованого хаосу в системі пояснюється, головним чином, взаємодією між підсистемами (генератором і випромінювачем), а не автономними властивостями кожної з підсистем окремо.

Для систем "бак з рідиною--електродвигун":

1. Вивчено вплив параметрів бака, рідини та джерела збудження коливань (електродвигуна) на появу, розвиток і зникнення детермінованого хаосу в системі.

2. Встановлено існування кількох типів хаотичних атракторів досліджуваних детермінованих динамічних систем типу "бак з рідиною--електродвигун", у тому числі так званих одномодових і двоходових атракторів.

3. Виявлено і описано новий сценарій переходу до хаосу, який узагальнює класичний сценарій Помо--Манневілля.

4. Побудовано і ретельно проаналізовано основні характеристики хаотичних атракторів системи, а саме, ляпуновські характеристичні показники, фазові портрети, перерізи та відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри, розподіли спектральної густини.

5. Виявлено існування хаотичних атракторів у випадку параметричного резонансу в системі, що раніше вважалося неможливим.

6. Показано, що перехід до хаосу може відбуватися за різними сценаріями, такими як: каскад біфуркацій подвоєння періоду (сценарій Фейгенбаума), переміжність (класична і узагальнена), жорсткий перехід.

7. Виділені випадки, в яких хаотична динаміка отриманої системи диференціальних рівнянь п'ятого порядку може бути апроксимована за допомогою одновимірного дискретного відображення.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Бояршина Л.Г., Краснопольская Т.С., Подчасов Н.П., Пучка Г.Н., Холопова В.В., Швец А.Ю. Нелинейная динамика осесимметричных тел, несущих жидкость. - К.: Наук. думка, 1992. --- 184 с.

2. Краcнопольская Т.С., Швец А.Ю. Взаимодействие маятниковых систем с неидеальным источником энергии при наличии запаздывания // Theoretical and Applied Mechanics. - 1985. - Vol. 16, № 3. - P. 16---18.

3. Краcнопольская Т.С., Швец А.Ю. Запаздывание как энергетический регулятор при стабилизации маятника неидеальным источником энергии // Машиноведение. - 1985. - № 5. - С. 32-37.

4. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю. Высокочастотная стабилизация маятника неидеальным источником энергии при наличии запаздывания} // Прикл. мех. - 1985. - Т. 21, № 10. - С. 102---109.

5. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Резонансное взаимодействие маятника с механізмом возбуждения при наличии запаздывания воздействий // Прикл. мех. - 1987. - Т. 23, № 2. - С. 82-89.

6. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Хаотические режимы взаимодействия в системе "маятник--источник энергии" // Прикл. мех. - 1990. - Т. 26, № 5. - С. 90---96.

7. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Регулярные и хаотические поверхностные волны в жидкости при ограниченном возбуждении колебаний цилиндрического бака // Прикл. мех. - 1990. - Т. 26, № 8. - С. 85---93.

8. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Свойства хаотических колебаний жидкости в цилиндрических баках // Прикл. мех. - 1992. - Т. 28, № 6.- С. 52 -61.

9. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Хаотические колебания сферического маятника как эффект взаимодействия с источником энергии // Прикл. мех. - 1992. - Т. 28, № 10. - С. 61-68.

10.{ Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Структура хаоса при колебаниях жидкости в цилиндрических баках // Мат. методы исслед. прикладных задач динамики тел, несущих жидкость. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1992. - C. 52-66.

11. Краснопольская~Т.~С., Швец~А.~Ю. Параметрический резонанс в системе "жидкость в баке--электродвигатель" // Прикл. механика. - 1993. - Т. 29, № 9. - С. 52---61.

12. Краcнопольская~Т.С., Швец~А.Ю Детерминированый хаос в системе генератор-пьезокерамический излучатель // Нелинейная динамика. - 2006. - Т. 2, № 1. - С. 55-74.

13. Швец~А.Ю. Влияние переменного запаздывания на устойчивость колебаний маятника с вибрирующим подвесом // Укр. мат. журн. - 1985. - Т. 37, № 1. - С. 127-129.

14. Швец~А.Ю. Резонансные колебания маятника при учете факторов переменного запаздывания // Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений : Сб. научн. тр. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. - C. 173-179.

15. Швец~А.Ю. Динамическая устойчивость системы "маятник--эксцентриковый возбудитель" при учете запаздывания // Математическая физика и нелинейная механика. - 1987. - №8(42). - С. 29-34.

16. Швец А.Ю. Хаотические режимы взаимодействия в детерминированной системе "генератор--пьезокерамический излучатель" // Вопросы аналитической механики и ее применений: Праці Ін--ту математики НАН України. - 1999. - Т. 26. - C. 407-419.

17. Швец~А.Ю. Влияние запаздывания на режимы взаимодействия в системе

"генератор--пьезокерамический излучатель" // Вопросы механики и ее приложений: Праці Ін--ту математики НАН України. - 2002. - Т. 44. - C. 346-358.

18. Швец~А.Ю. Карта динамических режимов физического маятника при органиченном возбуждении // Зб. праць Ін--ту математики НАН України. - 2004. - Т.1, № 2. - С. 197-209.

19. Швець О.Ю., Краснопольська Т.С. Динамічний хаос в п'єзокерамічних системах обмеженої потужності. Частина 1 // Наукові вісті Нац. тех. ун-ту України "КПІ". - 2006, № 2. - С. 150-158.

20. Швець О.Ю., Краснопольська Т.С. Динамічний хаос в п'єзокерамічних системах обмеженої потужності. Частина 2 // Наукові вісті Нац. тех. ун-ту України "КПІ". - 2006, № 3. - С. 147---154.

21. Швець О.Ю. Детермінований хаос при коливаннях фізичного маятника // Наукові вісті Нац. тех. ун-ту України "КПІ". - 2006, № 4. - С. 85---91.

22. Швец А.Ю. Сценарии переходов "порядок--хаос" при резонансних колебаниях жидкости в цилиндрических баках // Зб. праць Ін--ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 1. - С. 216-249.

23. Швец~А.Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 4. - С. 534-548.

24. Швец А.Ю. Динамический хаос в системе "бак с жидкостью электродвигатель" // Динамические системы. - 2007. - № 22. - С. 46-62.

25. Krasnopolskaya~T.S., Shvets~A.Yu. Chaotic oscillations of a spherical pendulum as the effect of interaction with excitation device // Complexity in Physics and Technology. -Singapore: World Scientific. - 1992. - P. 77-89.

26. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaos in vibrating systems with limited power--supply // Chaos. - 1993. - Vol. 3, № 3. - P.387-395.

27. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic surface waves in limited power-supply cylindrical tank vibrations // J. Fluids & Structures. - 1994. - Vol. 8, № 1. -P. 1-18.

28. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Deterministic chaos in a system generator - piezoceramic transducer // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. - 2006. - Vol. 6, № 4. - P. 367-387.

29. Краcнопольская Т. С., Швец А. Ю. Хаотические режимы движения в системах с ограниченным возбуждением // Всесоюзная конференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Тез. докл., Ч.1. - Тернополь. - 1989. - С. 219---220.

30. Краcнопольская Т. С., Швец А. Ю. Хаос в колебательных системах с ограниченным возбуждением // Нелинейные колебания механических систем. Тез. докл. II Всесоюзной конференции, Ч.1 - Горький: Изд-во Горьковского гос. ун-та. - 1990. - С. 91-92.

31. Краcнопольская Т. С., Швец А. Ю. Структура хаоса в баках с жидкостью // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики --- Вторые боголюбовские чтения. Тез. докл. - Киев. - 1992. - С. 78.

32. Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Хаос и гиперхаос в детерминированных системах "пьезокерамический преобразователь--генератор" // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннот. докл. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та. - 2006.- Т. 1. - С. 74.

33. Швец А.Ю. Хаотизация движений в некоторых динамических системах с ограниченным возбуждением при учете факторов запаздывания // Шестая Крымская Международная школа "Метод функцій Ляпунова - 2002". Тез. докл. - Симферополь: Изд-во Таврического нац. ун-та. - 2002. - С. 125.

34. Швец~А.Ю.{\it Бифуркации "порядок--хаос, в динамических системах с органиченным возбуждением, обусловленные влиянием запаздывания} // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. -Kyiv. - 2003. - P. 378.

35. Швец Г.А., Швец А.Ю. Хаос в детерминированных динамических системах типа "генератор--излучатель" при учете ограниченности возбуждения и факторов запаздывания // Седьмая Крымская Международная школа "Метод функций Ляпунова --- 2004". Тез. докл. - Симферополь: Изд-во

Таврического нац. ун-та. -2004. - С. 156.

36. Швец А.Ю. Мультипараметрические карты динамических режимов маятника при ограниченном возбуждении // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. - Kyiv. - 2005. - P. 224.

37. Швец А.Ю. Гиперхаос в детерминированной динамической системе "генератор--пьезокерамическийизлучатель" // Зб. праць акустичного сімпозіуму "Консонанс - 2005". - Київ: Ін--т гідромеханіки НАН України. - 2005. - С. 309-314.

38. Швец~А.Ю. Об особенностях перехода к детерминированному хаосу в некоторых гидродинамических системах // Междунаодная конференция "Анализ и особенности", посвященная 70-летию В.И. Арнольда. - М., Мат. ин--т РАН. - 2007. - С. 114---116.

39. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaos in dynamics of machines with a limited ьpower-supply // 8-th World Congr. on the Theory of Machines and Mechanisms. Eds. M. Okrolnick,L. Pust. Prague: Czechoslovak Acad. Sci, 1991. - Vol. 1- P. 181-184.

40. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaotic behaviour of surface waves in a tank // Abstracts International colloquim Euromech 275. - Lisboa: Institute of Super Technics, 1991. - P. 45.

41. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Low-dimensional models of chaotic surface waves in cylindrical and spherical tanks // 1-st European Fluid Mechanics Conference. - Cambridge: University of Cambridge, 1991. - P.~81.

42. Krasnopolskaya T. S.,Shvets A. Yu. Chaos in vibrating systems with a limited power supply // Abstracts of ``CHAOS---IV'': American-Russian-Ukrainian Conference on Chaos. -Kiev, 1992. - P. 35.

43. Krasnopolskaya T. S.,Shvets A. Yu. Chaos in nonlinear systems with a limited power supply // International Conference Nonlinear Differential Equations, Kiev. - 1995. - P. 88.

44. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic interaction between fluid vibrations in a cylindrical tank and electromotor // Flow Induced Vibration. - Rotterdam: A.A.Balkema. Brookfield. - 1995. - P. 269-280.

45. Shvets A.Yu. Delay as a controlling factor in the oscillating system "pendulum--non ideal inducer" // Abstracts of International Conference of Nonlinear Oscillations "ICNO-XI". - Budapest, 1987. - P.332.

46. Shvets A.Yu. Chaotic Oscillation Of Pendulum Systems As Effect Of The Interaction With The Excitation Arrangement // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. Mechanical Systems. - Kyiv., 1999. - P. 100---101.

47. Shvets A.Yu. Delay influence on chaotic oscillations in some systems with limited power--supply} // Український Математичний Конгрес - 2001. Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки. - Київ: Ін--т математики НАН України, 2001. - С. 54-55.

48. Shvets A.Yu., Krasnopolskaya T.S. Hyper--chaos in piezoceramic systems with limited power--supply // IUTAM Symposium on hamiltoinian dynamics, vortex structures, turbulens. - Moscow: MIRAN. - 2006. - P.130-132.

49. Shvets A.Yu., Krasnopolskaya T.S. The New Scenario of Transition to Deterministic Chaos in One Hydrodinamic System at Limited Excitation // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. - Kyiv, 2007. - P. 357.

50. Shvets A.Yu. The Deterministic Chaotic Oscillations of a Spherical Pendulum with Limited Excitation // Lyapunov Memorial Conference. - Kharkiv. - 2007. - P. 153-154.

АНОТАЦІЇ

Швець О.Ю. Детермінований хаос у динамічних системах з обмеженим збудженням. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -диференціальні рівняння. Нац. техн. ун--т України "КПІ", Київ, 2007.

Досліджено виникнення, розвиток та зникнення детермінованого хаосу в деяких прикладних динамічних системах з обмеженим збудженням -- таких, як маятникові системи, системи "генератор--випромінювач, і системи "бак з рідиною--електродвигун". Виявлено існування в досліджуваних системах різних типів хаотичних атракторів, в тому числі і гіперхаотичних. Побудовано і ретельно вивчено фазові портрети, перерізи і відображення Пуанкаре, розподіли спектральних густин і інваріантних мір хаотичних атракторів. Встановлено існування різноманітних сценаріїв переходу від регулярних рухів до хаотичних, таких як сценарій Фейгенбаума, переміжність за Помо--Манневіллем, жорсткі переходи до хаосу. Виявлено новий сценарій переходу до хаосу, який узагальнює сценарій Помо-Манневілля. Знайдені й вивчені спектри ЛХП (ляпуновських характеристичних показників) та фрактальні розмірності хаотичних атракторів. Побудовані та досліджені фазо параметричні характеристики розглянутих систем. Виявлено випадки, в яких дослідження динаміки багатовимірної динамічної системи може бути проведено за допомогою одновимірного дискретного відображення.

Вивчено вплив різних факторів запізнення на динамічну стабілізацію маятникових систем як при обмеженому, так і при необмеженому збудженні. Досліджено вплив факторів запізнення на хаотизацію систем "генератор--випромінювач".

Ключові слова: динамічна система, обмежене збудження, запізнення, хаотичний атрактор, переріз і відображення Пуанкаре, спектр ЛХП, спектральна густина.

Швец А.Ю. Детерминированный хаос в динамических системах с ограниченным возбуждением. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Нац. техн. ун-т Украины "КПИ", Киев, 2007.

Применен новый подход, благодаря которому построены энергетически корректные математические модели некоторых маятниковых систем как в виде систем дифференциальных уравнений без отклонения аргумента, так и в виде систем дифференциальных уравнений с отклонением аргумента. Установлено существование хаотических аттракторов у таких систем, несмотря на то, что их существование в некоторых случаях раньше считалось невозможным. Подробно проанализировано влияние параметров маятника и источника возбуждения его колебаний (электродвигателя) на возникновение, развитие и исчезновение детерминированного хаоса. Получены фазопараметрические характеристики и спектры ляпуновских характеристических показателей рассмотренных маятниковых систем. Построены и детально проанализированы фазовые портреты, сечения и

отображения Пуанкаре, распределения естественной инвариантной меры и распределения спектральной плотности хаотических аттракторов.

Исследовано влияние различных факторов запаздывания на динамическую стабилизацию колебаний маятников при ограниченном возбуждении. Установлено, что запаздывания в системах "маятник-электродвигатель" могут играть роль своеобразного энергетического регулятора. Его наличие приводит к существенному увеличению количества установившихся режимов взаимодействия и способствует появлению новых необычных установившихся режимов, при которых скорость вращения вала двигателя достигает значений, превышающих скорость вращения вала без колебательной нагрузки. В ряде случаев запаздывание является управляющим воздействием при стабилизации колебаний маятника.

Исследована новая математическая модель, которая описывает процесс нелинейного взаимодействия пьезокерамического излучателя и задающего электролампового генератора. Изучено влияние параметров генератора (емкости, индуктивности, сопротивления и характеристик лампы) на возникновение установившихся режимов колебаний системы. Выявлено существование нескольких типов хаотических аттракторов, в том числе и два типа гиперхаотических. Установлены и объяснены заметные отличия в фазовых портретах, сечениях и отображениях Пуанкаре, распределениях инвариантной меры и спектральной плотности у существующих в системе "генератор--излучатель" хаотических аттракторов. Показано, что в системе имеют место многие из существующих в нелинейной динамике сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим. Выявлены переходы "порядок--хаос" по сценарию Фейгенбаума, через перемежаемость первого типа по Помо--Манневиллю, жесткие переходы к хаосу. Установлено, что существование детерминированного хаоса в системе объясняется, главным образом, взаимодействием между подсистемами (генератором и излучателем), а не автономными свойствами каждой из подсистем в отдельности. Исследовано влияние факторов запаздывания на хаотизацию системы "генератор--излучатель".

Изучено влияние изменения параметров бака, жидкости и источника возбуждения колебаний ь(электродвигателя) на появление, развитие и исчезновение детерминированного хаоса в динамической системе "бак с жидкостью--электродвигатель". Установлено существование нескольких типов хаотических аттракторов в рассмотренных детерминированных динамических системах, в том числе так называемых одномодовых и двумодовых аттракторов. Выявлен и описан новый сценарий перехода к хаосу, который обобщает классический сценарий Помо--Манневилля. Построены и тщательно проанализированы основне характеристики хаотических аттракторов системы "бак с жидкостью-электродвигатель", а именно, ляпуновские характеристические показатели, фазовые портреты, сечения и отображения Пуанкаре, распределения естественной инвариантной меры, распределения спектральной плотности. Виявлено существование хаотических аттракторов в случае параметрического резонанса в системе, что раньше считалось невозможным. Показано, что переход к хаосу может происходить по разным сценариям, таким как: каскад бифуркаций удвоения

периода (сценарий Фейгенбаума), перемежаемость (классическая и обобщенная), жесткий переход. Выделены случаи, в которых динамика рассматриваемой пятимерной динамической системы может бать аппроксимирована при помощи одномерного дискретного отображения. Локализованы области, в которых хаотический аттрактор является единственным аттрактором системы "бак с жидкостью--электродвигатель".

Ключевые слова: динамическая система, ограниченное возбуждение, запаздывание, хаотический аттрактор, сечение и отображение Пуанкаре, спектр ЛХП, спектральная плотность.

Shvets A.Yu. Deterministic chaos in dynamical systems with limited excitation. -

Manuscript.- Thesis on competition of a scientific degree of the doctor of physical and mathematical sciences on specialities 01.01.02 - differential equations. Nat. Tech. Univ. Of Ukraine "KPI", Kiev, 2007.

Origin, development and vanishing of the deterministic chaos in home applied dynamical systems with limited excitation, such as pendulum systems, systems "generator--transducer" and systems "tank with a fluid--electromotor" is explored. Existence in investigated systems different types of chaotic attractors, including hyperchaotic, is revealed. Phase portraits, sections and maps ofPoincar\'e, distribution of spectral densities and invariant measures of chaotic attractors are constructed and thoroughly studied. Existence manifold of scenarioes of transition from the regular motions to chaotic, such as Feigenbaum scenario, an intermittency on Pomeau--Manneville, rigid transition to chaos in studied systems is established. The new scenario transition to chaos, which generalized scenario of Pomeau--Manneville, is disclosed. Spectrums LCE (Lyapunov characteristic exponents) and fractal dimensionalities of chaotic attractors are found and investigated. Are constructed and explored phase-parametric characteristics of the considered systems. Cases in which examination of dynamic of a multidimensional dynamical system can be carried out by means of the one-dimensional discrete map are detected.

Influence of different factors of retardation on dynamical stabilization of pendulum systems is investigated both at limited, and at unlimited excitation. Influence of factors of retardation on a chaotization of systems "generator-transducer, is explored.

Key words: dynamical system, limited excitation, retardation, chaotic attractor, section and map of Poincare, spectrum LCE, spectral density.

Размещено на Allbest.ru