Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

УДК 517.95

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ

РІВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМ

САЛДІНА НАТАЛІЯ ВОЛОДИМИРІВНА

Львів - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Іванчов Микола Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Матійчук Михайло Іванович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, професор кафедри диференціальних рівнянь;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Мединський Ігор Павлович, Національний університет "Львівська політехніка", доцент кафедри прикладної математики.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ рівнянь математичної фізики (м. Донецьк).

Захист відбудеться 22 березня 2007 р. о 1530 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий "19" лютого 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

Анотації

Салдіна Н.В. Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2007.

Дисертація присвячена дослідженню обернених задач для параболічних рівнянь з виродженням та встановленню умов коректності визначення залежного від часу старшого коефіцієнта. У дисертаційній роботі за допомогою властивостей функцій Гріна, методу інтегральних рівнянь та теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено існування та єдність класичних розв'язків обернених задач для параболічних рівнянь з виродженням, коли невідомий залежний від часу коефіцієнт прямує до нуля при t, прямуючому до +0, за степеневим законом. Вивчено вплив молодших членів на умови однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта в повному параболічному рівнянні другого порядку у випадку слабкого та сильного степеневого виродження. Знайдено умови коректної розв'язності оберненої параболічної задачі з довільним прямуванням до нуля старшого коефіцієнта.

Ключові слова: обернена параболічна задача, сильне степеневе виродження, слабке степеневе виродження, функції Гріна, теорема Шаудера, інтегральні нерівності. задача коефіцієнт степеневий

Салдина Н.В. Обратные задачи для параболических уравнений с вырождением. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2007.

Диссертация посвящена исследованию обратных задач для параболических уравнений с вырождением и нахождению условий однозначного определения зависящего от времени старшего коэффициента.

В первой главе приведен обзор работ по коэффициентным обратным задачам для параболических уравнений, прямым задачам для параболических уравнений с вырождением и обратным задачам для уравнений в частных производных с вырождением.

Во второй главе исследована обратная задача нахождения зависяшего от времени неизвестного коэффициента, который ведет себя как степенная функция. Для случая слабого вырождения рассмотрены первая и вторая краевые задачи для уравнения теплопроводности и полного параболического уравнения. Исследование существования и единственности решения этих обратных задач сводится к установлению условий существования и единственности решения эквивалентного интегрального уравнения или системы интегральных уравнений. Существование решения получено с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного оператора. Доказательство единственности основано на свойствах интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Установлено, что в случае полного параболического уравнения от младших членов не требуется стремление к нулю при

В третьей главе исследована обратная задача нахождения старшего коэффициента, зависящего от времени, в уравнении теплопроводности и полном параболическом уравнении в случае сильного степенного вырождения. Для уравнения теплопроводности доказана глобальная (по времени) теорема существования и единственности. Для полного параболического уравнения приведены условия на младшие коэффициенты, которые обеспечивают существование и единственность решения задачи. В отличие от случая слабого вырождения, от младших коэффициентов требуется стремление к нулю по степенному закону.

В четвертой главе доказывается существование и единственность решения обратных задач нахождения зависящего от времени старшего коэффициента, поведение которого при t > +0 определяется некоторой заданной функцией. Дается определение слабого и сильного вырождения. В первом параграфе рассмотрено уравнение теплопроводности и определены условия глобального по времени существования и единственности. В следующем параграфе исследовано влияние младших членов на разрешимость обратных задач для общего параболического уравнения в случаях слабого и сильного вырождения.

Ключевые слова: обратная параболическая задача, сильное степенное вырождение, слабое степенное вырождение, функции Грина, теорема Шаудера, интегральные неравенства.

Saldina N.V. Inverse problems for degenerate parabolic equations. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree (Ph.D) on speciality 01.01.02 - Differential Equations. Ivan Franko Lviv National University. Lviv, 2007.

The thesis is devoted to investigation of the inverse problems for degenerate parabolic equations and determination the major time-dependent coefficient. In the thesis by means of properties of Green functions, method of integral equations, using Schauder theorem we obtain the conditions of the existence and uniqueness of the classic solutions of the inverse problems for degenerate parabolic equations, when unknown time-dependent coefficient vanishes at the initial moment as a power function. The influence of minor terms on the possibility of determination of time-dependent coefficient in the complete parabolic equation in the cases of weak and strong power degeneration is studied also. It is obtained the conditions of the solvability of the inverse problem for parabolic equation in which the major unknown coefficient arbitrarily tends to zero.

Key words: inverse parabolic problem, weak and strong power degenerations, Green functions, Schauder theorem, integral inequalities.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія обернених задач, у порівнянні з теорією диференціальних рівнянь, частиною якої вона є, має недовгу історію. Завдяки широкому застосуванню в металургії, медицині, економіці, космічних дослідженнях та інших галузях, вона почала бурхливо та динамічно розвиватися з початку 70-х років минулого століття. Своїм виникненням теорія обернених задач завдячує практичній задачі розвідки корисних копалин - визначенню властивостей та розташування тіла за даними дистанційних вимірювань. На відміну від прямих задач, що пов'язані з моделюванням наслідку при заданій причині, в обернених задачах визначають причину за відомим наслідком. До теорії обернених задач звертаються у тих випадках, коли визначити ту чи іншу невідому характеристику неможливо, наприклад, через недоступність матеріалу чи середовища, або коли проведення безпосередніх вимірювань є неможливим. У 1935 році А.М. Тихоновим була досліджена задача із зворотнім напрямком часу і показана характерна відмінність обернених задач від прямих, яка полягала у порушенні звичних причинно-наслідкових зв'язків. Великий інтерес викликають обернені параболічні задачі і серед них так звані коефіцієнтні задачі, в яких ставиться питання визначення невідомого коефіцієнта або вільного члена рівняння. У роботах, які з'явилися у сімдесятих роках минулого століття, було встановлено умови однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта температуропровідності в одновимірному рівнянні теплопровідності, коли в умові перевизначення задається значення теплового потоку або похідної від невідомої функції на краю тіла. Ці результати належать B.F. Jones і J.R. Cannon. Дослідженню коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь присвячено цілий ряд робіт М.І. Іванчова, А.Д. Іскендерова, М.В. Клібанова, О.І. Кожанова, М.М. Лаврентьєва, О.І. Прилєпка, Є.Г. Саватєєва, V. Isakov, A. Lorenzi, W. Rundell та інших.

Прямі задачі для параболічних рівнянь з виродженням описують різноманітні фізичні процеси, такі як опріснення морських вод, явища в плазмі, рух газів та рідин в пористому середовищі. Дослідження таких задач було проведено у працях В.П. Глушка, Т.Д. Джураєва, С.Д. Івасишена, О.С. Калашнікова, М.І. Матійчука, І.П. Мединського, О.А. Олійник, І.Д. Пукальського, Є.В. Радкевича, С.А. Терсенова, W.T. Ford, M.C. Waid та інших. Незважаючи на велику кількість праць, присвячених прямим задачам для параболічних рівнянь з виродженням та оберненим коефіцієнтним задачам, обернені задачі для рівнянь з виродженням практично не розглядались. Тільки в працях Т.Єлдесбаєва та М.М. Гаджієва досліджено обернені задачі з виродженням для еліптичних та гіперболічних рівнянь, в яких невідомий коефіцієнт та вільний член залежать від просторових змінних. Питання вивчення коректної розв'язності обернених задач для параболічних рівнянь у випадку, коли невідомий коефіцієнт спричиняє виродження, залишалося відкритим. Тому дослідження обернених задач для параболічних рівнянь зі слабким та сильним виродженням, а також вивчення впливу поведінки молодших коефіцієнтів на розв'язність задачі, є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідних державних тем "Розробка теорії класичних та некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей" (номер держреєстрації 0103U001908) та "Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних" (номер держреєстрації 0106U001284), що виконуються у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення коректної розв'язності обернених параболічних задач з виродженням.

Безпосередніми задачами є:

1) встановлення існування та єдиності класичного розв'язку оберненої задачі для параболічного рівняння з виродженням, коли невідомий залежний від часу старший коефіцієнт прямує до нуля при t> +0 за степеневим законом;

2) визначення впливу молодших членів на умови однозначної ідентифікації залежного від часу коефіцієнта в повному параболічному рівнянні другого порядку у випадку слабкого та сильного степеневого виродження;

3) знаходження умов коректної розв'язності оберненої параболічної задачі із довільним прямуванням до нуля старшого коефіцієнта.

Об'єкт дослідження: обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням.

Предмет дослідження: умови існування та єдиності розв'язку коефіцієнтних обернених задач знаходження старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні з виродженням.

Методи дослідження: метод функцій Гріна (при зведенні оберненої задачі до еквівалентної системи рівнянь); метод нерухомої точки (при знаходженні розв'язків операторних рівнянь); метод інтегральних рівнянь (при знаходженні розв'язків інтегральних рівнянь, еквівалентних оберненим задачам, та при доведенні єдиності розв'язків обернених задач); метод інтегральних нерівностей (при встановленні апріорних оцінок розв'язків систем рівнянь, що еквівалентні оберненим задачам).

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримані такі результати:

1) встановлено умови однозначного визначення коефіцієнта в рівнянні теплопровідності, який залежить від часової змінної та поводить себе як степенева функція tв, у випадках слабкого (0 < в < 1) та сильного (в ? 1) виродження;

2) встановлено вплив молодших членів та вільного члена повного параболічного рівняння на умови ідентифікації невідомого старшого коефіцієнта, залежного від часу, у випадках сильного та слабкого степеневого виродження;

3) встановлено умови однозначного визначення невідомого залежного від часу старшого коефіцієнта, поведінка якого при t > +0 визначається деякою заданою функцією загального вигляду, в рівнянні теплопровідності та параболічному рівнянні у випадках сильного та слабкого виродження.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер і можуть розглядатися як певний внесок в теорію обернених задач для параболічних рівнянь. Їх результати можуть бути використані при подальших дослідженнях обернених задач з виродженням та практичному розв'язанні таких задач.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1, 5] М.І. Іванчову належить формулювання задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: Міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, Україна, 2004); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, Україна, 2004); Міжнародній конференції "Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования" (Ханти-Мансійськ, Росія, 2005); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача (Львів, Україна, 2005); Міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations-2005" (Алушта, Україна, 2005); Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-річчю Я.Б. Лопатинського (Львів, Україна, 2006); Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, Україна, 2006); засіданнях міського семінару з диференціальних рівнянь у Львівському національному університеті імені Івана Франка (2004-2006); засіданнях наукового семінару з обернених задач у Львівському національному університеті імені Івана Франка (2005-2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 14 працях, з них 8 у наукових журналах та збірниках наукових праць, 6 у матеріалах і тезах наукових математичних конференцій. Серед публікацій є 8 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 118 найменувань. Загальний об'єм дисертації 144 сторінок, з яких 11 сторінок займає список використаних джерел.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, вказується мета та задачі дослідження, наукова новизна, викладено зв'язок дисертації з науково-дослідною роботою кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка, де вона виконана, дається інформація про апробацію основних результатів дисертаційної роботи і практичне значення одержаних результатів, вказано кількість публікацій та структуру дисертації.

У першому розділі подається короткий огляд тих праць, які безпосередньо стосуються теми дисертаційної роботи.

Другий розділ "Обернені задачі для параболічних рівнянь зі слабким степеневим виродженням" складається з трьох підрозділів та присвячений дослідженню обернених задач визначення невідомого коефіцієнта при старшій похідній, який залежить від часу і поводить себе при t+0 як tв, 0 < в < 1. Методика дослідження цих задач аналогічна до методики, розробленої для параболічних рівнянь без виродження, і полягає у зведенні обернених задач до одного інтегрального рівняння або до системи інтегральних рівнянь. Доведення єдиності базується на властивостях інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду.

У першому підрозділі досліджено випадок рівняння теплопровідності зі слабким степеневим виродженням. В області QT {0 < x < h, 0 < t < T} розглядається рівняння теплопровідності

ut = a(t) uxx + f (x, t), (x, t) QT, (1)

з невідомим коефіцієнтом a (t) > 0, t (0, T], з початковою умовою

u(x, 0) = ц(x), x [0, h], (2)

крайовими умовами

u(0, t) = м 1(t), u(h, t) = м 2(t), t [0, T] (3)

та умовою перевизначення

a(t) ux(0, t) = м 3 (t), t [0, T]. (4)

Під розв'язком задачі (1)-(4) розуміємо пару функцій (a(t), u(x, t)) з класу C[0,T]ЧC2,1(QT)?C1,0(), a(t)>0, t (0,T], таких, що існує скінченна границя де 0 < в < 1- задане число, і задовольняються рівняння (1) та умови (2)-(4).

Умови існування та єдиності розв'язку задачі (1)-(4) встановлено у таких теоремах.

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови:

1) цC1[0, h], мiC1[0, T], i =1,2; м 3C[0, T]; f C1,0 ();

2) ц'(x) > 0, x [0,h]; t [0, T]; м 3(t) > 0, t (0, T], існує скінченна границя f(x, t) ? 0; (x, t)

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0).

Тоді існує розв'язок задачі (1)-(4).

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови:

1) ц 2[0, h], мiC1[0, T], i = 1,2; f C1,0 ();

2) м 3(t) ? 0, t (0, T] та існує

Тоді задача (1)-(4) не може мати двох різних розв'язків.

При доведенні теореми 2.1 розв'язок прямої задачі (1)-(3), записаний за допомогою функції Гріна першої крайової задачі для рівняння (1), підставляємо в умову перевизначення (4) і отримаємо рівняння стосовно невідомої функції a(t), яке еквівалентне оберненій задачі (1)-(4):

t [0, T], (5)

Для доведення існування розв'язку рівняння (5) застосовуємо теорему Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Доведення теореми 2.2 проводимо від супротивного. Припускаючи існування двох розв'язків (a(t), u(x, t)), i = 1,2 задачі (1)-(4), для їхньої різниці a(t) ? a1(t) - a2(t), u(x, t) ? u1(x, t) - u2(x, t) отримаємо задачу

ut = a1(t) uxx+ a(t) u2xx, (x, t) QT,

u(x, 0) = 0, x [0, h],

u(0, t) = u(h, t) = 0, t [0, T],

a1(t)ux(0, t) = - a(t)u2x(0, t), t [0, T].

Дана задача зводиться до інтегрального рівняння Вольтерра другого роду стосовно невідомої функції a(t) з ядром, яке має інтегровну особливість.

У другому підрозділі розглядається задача для повного параболічного рівняння

ut = a(t) tв uxx+ b(x, t) ux+ c(x, t)u + f (x, t) (6)

з умовами (2)-(4). Поява молодших членів робить неможливим зображення розв'язку в явному вигляді, тому обернена задача (6), (2)-(4) зводиться до системи рівнянь стосовно невідомих функцій (a(t), u(x, t), v(x, t)), де v(x, t) ? ux(x, t). Для отриманої системи рівнянь встановлено апріорні оцінки розв'язків і показано, що для неї задовольються умови теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Умови існування та єдиності розв'язку наведені в теоремах 2.3 та 2.5.

Теорема 2.3. Припустимо, що виконуються умови:

1) ц C1[0, h], мiC1[0, T], i =1,2; м 3C[0, T]; b, c, fC() і f(x, t), c(x, t), b(x, t) задовольняють умову Гельдера в області за змінною x з показником б, 0 < б < 1 рівномірно відносно t [0, T];

2) ц'(x) > 0, x [0, h]; м 3(t) > 0, t [0, T]; 0 < в < 1;

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0).

Тоді можна вказати таке число t0, 0 < t0 ? T, яке визначається вихідними даними задачі, що існує розв'язок задачі (6), (2)-(4) (a(t), u(x, t)) з класу C[0, t0]ЧC2,1()? C1,0(), причому a(t) > 0, t [0, t0].

Теорема 2.5. Припустимо, що виконуються умови:

1) ц C2[0, h], мiC1[0, T], i =1,2; b, c, f C1,0 ();

2) м 3(t) ? 0, t [0, T].

Тоді задача (6), (2)-(4) не може мати двох різних розв'язків (ai(t), ui(x, t)), i = 1,2, з класу C[0, T]ЧC2,1(QT)?C1,0(), причому ai(t) > 0, i = 1,2, t [0, T].

Зауважимо, що за рахунок додаткових обмежень на вихідні дані встановлено також існування глобального за часом розв'язку задачі (6), (2)-(4).

У третьому підрозділі розглядається обернена задача для повного параболічного рівняння у випадку крайових умов другого роду:

ut = a(t) uxx+ b(x, t) ux+ c(x, t)u + f (x, t), (x, t) QT, (7)

u(x, 0) = ц(x), x [0, h], (8)

ux(0, t) = м 1(t), ux(h, t) = м 2(t), t [0, T], (9)

u(0, t) = м 3(t), t [0, T]. (10)

Наступними замінами v(x, t) ? ux(x, t) та u(x, t) = м 3(t) + задача (7)-(10) зводиться до задачі з крайовими умовами першого роду відносно функції v(x, t):

vt=a(t)vxx+b(x,t)vx+(bx(x, t)+c(x,t))v+cx(x, t)(м 3(t)+)+fx(x, t), (x, t) QT, (11)

v(x, 0) = ц'(x), x [0, h], (12)

v(0, t) = м 1(t), v(h, t) = м 2(t), t [0, T], (13)

a(t)vx(0, t) = м 4(t), t [0, T], (14)

де м 4(t) =- b(0, t)м 1(t) - c(0, t)м 3(t) -f(0, t).

Під розв'язком задачі (11)-(14) розуміємо пару функцій (a(t), v(x, t)) з класу C[0, T]ЧC2,1(QT)?C1,0(), a(t) > 0, t (0, T], яка задовольняє рівняння (11), умови (12)-(14) і для якої існує скінченна границя де 0 < в < 1--задане число.

Умови існування та єдиності розв'язку задачі (11)-(14) викладені у наступних теоремах.

Теорема 2.6. Припустимо, що виконуються умови:

1) цC2[0, h], мiC1[0, T], i =; b, c, f C1,0(); bx, cx, fx задовольняють умову Гельдера в області за змінною x з показником б, 0 < б < 1 рівномірно відносно t [0, T];

2) ц''(x) > 0, x [0, h]; м 4(t) > 0, t (0, T]; існує границя 0 < в < 1;

3) ц'(0) = м 1(0), ц'(h) = м 2(0), ц(0) = м 3(0).

Тоді можна вказати таке значення t0, 0 < t0 ? T, яке визначається вихідними даними, що розв'язок задачі (11)-(14) існує при x [0, h], t [0, t0].

Теорема 2.8. Припустимо, що виконуються умови:

1) цC3[0, h], мiC1[0, T], i =; b, c, f C2,0 ();

2) м 4(t) ? 0, t (0, T], 0 < в < 1.

Тоді задача (11)-(14) не може мати двох різних розв'язків.

Аналогічно до попереднього підрозділу, накладаючи ряд додаткових умов на вихідні дані, встановлено глобальне за часом існування розв'язку задачі (11)-(14).

У третьому розділі "Обернені задачі для параболічних рівнянь із сильним степеневим виродженням" розглядаються задачі визначення залежного від часу невідомого коефіцієнта при старшій похідній, який поводить себе при t > +0 як tв, в ?1. Перший підрозділ присвячено розгляду рівняння теплопровідності. В області QT розглядаємо рівняння (1) з невідомим коефіцієнтом a(t) > 0, t (0, T], з початковою умовою (2), крайовими умовами (3) та умовою перевизначення (4).

Під розв'язком задачі (1)-(4) розуміємо пару функцій (a(t), u(x,t)) з класу C[0,T]ЧC2,1(QT)?C(), ux(0, t) C(0, T], a(t) > 0, t (0, T], таких, що існує скінченна границя де в ?1 - задане число, і задовольняються рівняння (1) та умови (2)-(4).

Умови існування та єдиності задачі (1)-(4) у випадку сильного степеневого виродження викладені у наступній теоремі.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови:

1) цC2[0, h], мiC1[0, T], i = 1,2; м 3 C[0, T], f C2,0 ();

2) ц'(x) ? 0, x [0, h]; f(0, t) -(t) > 0, (t) -f(h, t) ? 0, t [0, T]; м 3(t) > 0, t 0, T], існує скінченна границя fx(x, t) ? 0, (x, t);

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0).

Тоді існує єдиний розв'язок задачі (1)-(4).

Існування розв'язку доводиться за допомогою теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора, одним із етапів якої є отримання апріорних оцінок розв'язків рівняння (5). На відміну від випадку слабкого виродження, доведення як існування, так і єдиності розв'язку вимагало створення нових підходів. Зокрема, знаходження апріорних оцінок розв'язків рівняння (5) та доведення єдиності розв'язку цього рівняння базується на використанні властивостей допоміжної функції

У другому підрозділі розглядається задача для повного параболічного рівняння (7) з умовами (2)-(4). На відміну від випадку слабкого виродження, від молодших коефіцієнтів вимагається прямування до нуля за певним степеневим законом. Умови, при яких відповідна обернена задача має єдиний розв'язок, наведені у наступній теоремі.

Теорема 3.2. Припустимо, що виконуються умови:

1) цC1[0, h], мiC1[0, T], i = 1,2; м 3C[0, T], b, c, f C1,0();

2) f(0, t) - (t) > 0, t [0, T]; м 3(t) > 0, t (0, T], існує границя

| b(x, t) | ? B, | c(x, t) | ? C, (x, t), гi > 0, i = 0,1, в ? 1, M, B, C > 0 - деякі константи;

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0).

Тоді можна вказати таке число t0, 0 < t0 ? T, яке визначається вихідними даними задачі, що існує єдиний розв'язок задачі (7), (2)-(4) (a(t), u(x,t)) з класу ?, ux(0, t) C(0, t0], a(t) > 0, t (0, t0], причому існує скінченна додатна границя

У четвертому розділі "Обернені задачі для параболічних рівнянь із загальним виродженням" досліджуються задачі із довільним прямуванням до нуля старшого коефіцієнта при t>+0. У першому підрозділі для рівняння теплопровідності вводиться поняття слабкого та сильного виродження і встановлюються умови коректної розв'язності відповідних обернених задач в обидвох випадках.

В обмеженій області QT розглянемо рівняння теплопровідності

ut = a(t)ш 0(t)uxx + f(x, t), (x, t) QT, (15)

з невідомим коефіцієнтом a(t) > 0, t [0, T], початковою умовою (2), крайовими умовами (3) та умовою перевизначення

a(t) ш 0(t) ux(0, t) = м 3(t), t [0, T]. (16)

Будемо вважати, що ш 0(t) - відома монотонно зростаюча функція, ш 0(t) > 0, t (0, T] та ш 0(0) = 0.

Означення. Виродження називатимемо слабким, якщо при t>+0 вираз прямує до нуля, та сильним, якщо він прямує до нескінченності, де

Під розв'язком задачі (15), (2), (3), (16) у випадку слабкого виродження ми розуміємо пару функцій (a(t), u(x, t)) з класу C[0, T]ЧC2,1(QT)?C1,0(), a(t)>0, t [0,T], яка задовольняє рівняння (15) та умови (2), (3), (16).

В теоремах 4.1 та 4.2 наведені умови існування та єдиності розв'язку даної задачі.

Теорема 4.1. При виконанні умови слабкого виродження та таких умов:

1) цC1[0, h], мiC1[0, T], i = 1,2; м 3C[0, T], ш 0 C[0, T], f C1,0 ();

2) ц'(x) > 0, x [0, h]; f(0, t) - (t) > 0, (t) - f(h, t) ? 0, t [0, T]; м 3(t) > 0, t (0, T], fx(x, t) ? 0, (x, t), ш 0(t) > 0-- монотонно зростаюча функція на [0, T], ш 0(0) = 0;

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0);

4) існує скінченна додатна границя,

розв'язок задачі (15), (2), (3), (16) існує.

Теорема 4.2. Припустимо, що виконується умова

5) цC2[0, h], мiC1[0, T], i = 1,2; ш 0 C[0, T], f C1,0 (), м 3(t) ? 0, t (0, T];

існує границя ш 0(t) > 0, t (0, T], ш 0(0) = 0, виконується умова слабкого виродження.

Тоді задача (15), (2), (3), (16) не може мати двох різних розв'язків.

Під розв'язком задачі (15), (2), (3), (16) у випадку сильного виродження ми розуміємо пару функцій (a(t), u(x, t)) з класу C[0,T]ЧC2,1(QT)?C(), ux(0, t) C(0, T], a(t)>0, t [0, T], яка задовольняє рівняння (15) та умови (2), (3), (16).

Для випадку сильного виродження правильна наступна теорема.

Теорема 4.3. При виконанні умов 1)-3) теореми 4.1, умови сильного виродження та умови

6) існує скінченна границя

існує єдиний розв'язок задачі (15), (2), (3), (16).

У другому підрозділі досліджуються випадки слабкого та сильного виродження для повного параболічного рівняння. Розглянемо параболічне рівняння

ut = a(t) ш 0(t) uxx+ b(x, t) ux+ c(x, t)u + f (x, t), (x, t) QT, (17)

з початковою умовою (2), крайовими умовами (3) та умовою перевизначення (16). Умови існування та єдиності розв'язку задачі (17), (2), (3), (16) у випадку слабкого виродження визначені у наступних теоремах.

Теорема 4.4. Припустимо, що виконуються умови:

1) цC1[0, h], мiC1[0,T], i = 1,2; м 3, ш 0 C[0,T], f, b, c C() та задовольняють умову Гельдера в області за змінною x з показником б, 0 < б < 1 рівномірно відносно t [0, T];

2) ц'(x) > 0, x [0, h]; м 3(t) > 0, t (0, T], існує скінченна додатна границя ш 0(t)-- монотонно зростаюча функція на [0, T], ш 0(t) > 0, t (0, T], ш 0(0) = 0,

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0).

Тоді можна вказати таке число t0, 0 < t0 ? T, яке визначається вихідними даними задачі, що існує розв'язок задачі (17), (2), (3), (16) (a(t), u(x, t)) з класу ?C1,0 (), причому a(t) > 0, t [0, t0].

Теорема 4.5. Припустимо, що виконуються умови:

1) цC2[0, h], мiC1[0,T], i = 1,2; ш 0 C[0, T], b, c, f C1,0 ();

2) м 3(t) ? 0, ш 0(t) > 0, t (0, T], ш 0(0) = 0, існує скінченна границя

Тоді розв'язок (a(t),u(x,t)) задачі (17), (2), (3), (16) єдиний у класі C[0, t0] C2,1?C1,0 (), a(t) > 0, t [0, t0].

У випадку сильного виродження розглянемо рівняння

ut = a(t)ш 0(t) uxx+ b(x, t) ш 1(t) ux+ c(x, t) ш 2(t) u + f (x, t), (x, t) QT (18)

з умовами (2), (3), (16). Для цієї задачі правильна наступна теорема.

Теорема 4.6. Припустимо, що виконуються умови:

1) цC1[0, h], мiC1[0, T], i = 1,2; м 3, шi C[0, T], i =, f C1,0 (); b, c C () та задовольняють умову Гельдера в області за змінною x з показником б, 0 < б < 1 рівномірно відносно t [0, T];

2) f(0, t) - (t) > 0, t [0, T]; м 3(t) > 0, t (0, T], існує скінченна додатна границя шi(t) - монотонно зростаючі функції, шi(t) > 0, t (0, T],

шi(0) = 0,

3) ц(0) = м 1(0), ц(h) = м 2(0).

Тоді можна вказати таке число t0, 0 < t0 ? T, яке визначається вихідними даними задачі, що існує єдиний розв'язок задачі (18), (2), (3), (16) (a(t), u(x, t)) з класу ?С(), ux(0, t) C(0, t0], a(t) > 0, t[0,t0].

Висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню обернених задач для параболічних рівнянь з виродженням та встановленню умов коректності визначення залежного від часу старшого коефіцієнта. У дисертації вперше отримані такі результати:

1) встановлено умови однозначного визначення коефіцієнта в рівнянні теплопровідності, який залежить від часової змінної та поводить себе як степенева функція tв у випадках слабкого (0 < в < 1) та сильного (в ? 1) виродження;

2) встановлено вплив молодших членів повного параболічного рівняння на умови ідентифікації невідомого старшого коефіцієнта, залежного від часу, у випадках сильного та слабкого степеневого виродження;

3) встановлено умови однозначного визначення невідомого залежного від часу старшого коефіцієнта, поведінка якого при t> +0 визначається деякою заданою функцією загального вигляду, в рівнянні теплопровідності та параболічному рівнянні у випадках сильного та слабкого виродження.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані при подальших дослідженнях обернених задач з виродженням та практичному розв'язанні таких задач.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Салдіна Н.В. Обернена задача для параболічного рівняння з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат.--2005.-- Вип. 64.--С.245-257.

2. Іванчов M.І., Салдіна Н.В. Обернена задача для рівняння теплопровідності з виродженням // Укр. мат. журнал.--2005.--Т.57, № 11.--С.1563-1570.

3. Салдіна Н.В. Обернена задача для параболічного рівняння зі слабким виродженням // Мат. методи та фіз.-мех. поля.--2006.--Т. 49, № 3.--С.7-17.

4. Салдіна Н.В. Ідентифікація старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні з виродженням // Наук. вісник Чернів. ун-ту. Математика.--2006.-- Вип. 288.--С.99-106.

5. Іванчов M.І., Салдіна Н.В. Обернена задача для параболічного рівняння з сильним степеневим виродженням // Укр. мат. журнал.--2006.--Т.58, № 11.--С.1487-1500.

6. Салдіна Н.В. Сильно вироджена обернена параболічна задача з загальною поведінкою коефіцієнтів // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат.--2006.-- Вип. 66.--С.186-202.

7. Салдіна Н.В. Сильно вироджена обернена параболічна задача із загальною поведінкою молодших членів рівняння // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ.--2007.--Вип. 12-13.--С.109-122.

8. Ivanchov M.I., Saldina N.V. An inverse problem for a strongly degenerate heat equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems.--2006.--Vol. 14, No.5.--P.465-480.

9. Салдіна Н.В. Обернена задача з виродженням для рівняння теплопровідності // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 27 червня - 3 липня 2004). Тези доповідей.--Чернівці: Видавничий центр Чернів. нац. ун-ту.--2004.--С.37.

10. Салдіна Н.В. Обернена задача для рівняння теплопровідності з виродженням // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 27 вересня-1 жовтня 2004). Тези доповідей --Львів: Поліграфічний центр Національного університету "Львівська політехніка".--2004.--С.190.

11. Салдіна Н.В. Обернена задача для параболічного рівняння з виродженням // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача (Львів, 24-27 травня 2005). Тези доповідей--Львів: Видавництво "Сплайн".--2005.--С.312.

12. Saldina N.V. On an inverse problem for a degenerate parabolic equation // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations-2005" (Alushta, 17-23 September 2005). Book of abstracts.--Видавництво "Норд Комп'ютер".--2005.--P.85.

13. Салдіна Н.В. Обернена задача для параболічного рівняння з сильним степеневим виродженням // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені акад. М.Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006). Тези доповідей--К.: НУТУ "КПІ".--2006.--С. 583.

14. Saldina N.V. An inverse problem for a generally degenerate heat equation // International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B. Lopatynsky (Lviv, September 12-17, 2006). Book of abstracts.--Lviv: Видавничий центр Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка.-- 2006.--P. 143.

Размещено на Allbest.ru

...