Випадкові фрактальні множини з марковськими подрібненнями

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

ДК 517.518.1+515.127.1+519.518.22

Випадкові фрактальні множини з марковськими подрібненнями в

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Шпілінська Ольга Леонідівна

Донецьк 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті монокристалів Науково-технологічного концерну “Інститут монокристалів” НАН України, м. Харків.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Інституту монокристалів Науково-технологічного концерну “Інститут монокристалів” НАН України Вірченко Юрій Петрович.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділу фрактального аналізу Інституту математики НАН України Працьовитий Микола Вікторович;

кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри прикладної математики і теорії систем управління ДонНУ, Мельник Сергій Анатолійович.

Захист відбудеться 10 жовтня 2007 p. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К.11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114 м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114 м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 4 вересня 2007 p.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О.А. Довгоший

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Темою роботи є створення методу побудови розподілів імовірностей випадкових множин спеціального типу, що називаються стохастичними фракталами. В роботі цим терміном позначені такі множини в , для яких реалізації з імовірністю одиниця мають розмірність Хаусдорфа, що відрізняється від їх топологічної розмірності. Основна увага приділяється синтезу розподілів імовірностей на з такою структурою вимірності, у рамках якої всі замкнені нерегулярні підмножини з складають клас множин повної міри. Створення методів синтезу стохастичних фракталів дуже важливе з прикладної точки зору, наприклад, з метою застосування у статистичній фізиці фрактально неупорядкованих середовищ. Математичне моделювання просторового розподілу такого роду стохастичних фізичних структур засновано на випадкових множинах у , яки володіють замкненістю, щільністю в собі, але мають настільки малу лебегову міру, яку в ідеалізованому випадку зручніше вважати нульовою, тобто використовувати фрактальні множини. З цієї причини структуру вимірності для випадкових фрактальних множин не можна вводити так, як це робиться, наприклад, для сепарабельних випадкових множин, оскільки міра множин з порожньою внутрішністю в цій конструкції дорівнює нулю. У зв'язку з цим, природно вивчати стохастичні фрактали на основі вивчення їх покриттів. Відповідна структура вимірності повинна визначатися випадковими послідовностями замикань відкритих множин у , що збігаються. Це призводить до того, що розподіл імовірностей стохастичної множини повинний визначатися нескінченним набором розподілів імовірностей на подрібненнях простору занурення. Дисертація присвячена вирішенню проблеми синтезу таких розподілів імовірностей у найпростішому випадку, коли простір занурення фракталів є одновимірним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводилися в Інституті монокристалів НАН України, згідно з планами науково-дослідницьких робіт у рамках наступних тем: "Дослідження фрактальних властивостей неорганічних кристалів" (номер держ. реєстрації 0101U003718), "Дослідження ефектів нелінійності й хаотичності в конденсованих середовищах" (номер держ. реєстрації 0101U003489), "Дослідження нерівноважних фазових переходів у конденсованих середовищах", (номер держ. реєстрації 0198U004257).

Мета й задачі дослідження. Мета роботи - створення методу ймовірнісного опису випадкових множин у , реалізації яких з імовірністю одиниця замкнені (замкнені праворуч), мають потужність континуума і лебегову міру нуль, а також вивчення конкретних моделей таких випадкових множин, що в дисертації називаються випадковими множинами з марковськими подрібненнями.

При написанні дисертаційної роботи вирішувалися такі задачі:

1. Побудувати ймовірнісний простір випадкових множин з марковськими подрібненнями.

2. Вивчити питання сепарабельності за Матероном випадкових множин з марковськими подрібненнями.

3. Визначити характер поведінки таких метричних характеристик, як розмірність Хаусдорфа та клітинна розмірність для реалізацій випадкових множин з марковськими подрібненнями.

4. Розробити єдиний імовірнісний підхід для побудови ймовірнісного простору довільних замкнених множин.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження роботи є стохастичні фрактали в . множина марковський подрібнення сепарабельність

Предмет дослідження. Предметом дослідження є спеціальний клас випадкових множин в що називаються випадковими множинами з марковськими подрібненнями.

Методи дослідження. Методи дослідження засновані на методах загальної теорії міри, методі твірної функції, методах теорії гіллястих випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, одержані в дисертаційній роботі, є новими і наведені з повними доведеннями. Основними результатами, що виносяться на захист, є наступні:

1. Побудований імовірнісний простір випадкових множин з марковськими подрібненнями з реалізаціями у фіксованому відрізку.

2. Встановлений критерій несепарабельності за Матероном випадкових множин з марковськими подрібненнями.

3. Доведена невипадковість розмірності Хаусдорфа-Безиковича та отримано формулу для клітинної розмірності випадкових реалізацій множин з марковськими подрібненнями.

4. Побудована структура вимірності для довільних замкнених праворуч випадкових множин з , як сепарабельних за Матероном, так і несепарабельних.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. У дисертації наведено теоретичні дослідження, які можуть бути використані в теорії міри, в теорії випадкових множин. Ці результати також можуть мати застосування у статистичній фізиці фрактально неупорядкованих конденсованих середовищ.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач та загальний план роботи належать науковому керівнику Ю.П. Вірченко. Всі основні результати дисертації одержані автором самостійно.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались та обговорювались на:

1. Міжнародній конференції студентів і молодих вчених по теоретичній та експериментальній фізиці "Еврика-2001" (Львів, 16-18 травня 2001 року);

2. ІX Міждержавній конференції "Радіаційна пошкоджуваність і конструкційна здатність матеріалів" (Бєлгород, 12-15 листопада 2001 року);

3. XXІV Конференції молодих вчених механіко-математичного факультету МДУ ім. М.В. Ломоносова (Москва, 8-13 квітня 2002 року);

4. ІX Міжнародній науковій конференції ім. М.Ф. Кравчука (Київ, 16-20 травня 2002 року);

5. V Міжнародній конференції з математичного моделювання (Херсон, 9-14 вересня 2002 року);

6. Міжнародній конференції "Колмогоров та сучасна математика" (Москва, 16-21 червня 2003 року);

7. VІ Міжнародній конференції з математичного моделювання (Херсон, 9-14 вересня 2003 року);

8. Воронезькій зимовій математичній школі 2004 (Воронеж, 19-24 січня 2004 року);

9. X Міжнародній науковій конференції ім. М.Ф.Кравчука (Київ, 13-15 травня 2004 року);

10. Міжнародній конференції "Сучасні проблеми теорії ймовірностей і перспективи її розвитку" (Чернівці, 19-24 липня 2005 року);

11. VІІ Міжнародній конференції з математичного моделювання (Феодосія, 6-10 вересня 2005 року);

12. XІ Міжнародній науковій конференції ім. М.Ф.Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006 року)

Матеріали роботи доповідалися й обговорювалися на семінарі відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівник семінару - член.-кор. НАНУ, д.ф.-м.н. М.І. Портенко), на семінарі відділу фрактального аналізу Інституту математики НАН України (керівник семінару - д.ф.-м.н. М.В. Працьовитий), на семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичній статистики КНУ імені Тараса Шевченка (керівник семінару - д.ф.-м.н. Ю.В. Козаченко). Дисертація повністю доповідалась на семінарі з математичного моделювання фізичних процесів при Відділенні математики Фізико-технічного інституту низьких температур (керівник семінару - член.-кор. НАНУ, д.ф.-м.н. Є.Я. Хруслов); на семінарі відділу конденсованого стану Інституту монокристалів НАНУ (керівник семінару - д.ф.-м.н. В.В. Яновський).

Публікації. Матеріали дисертації були опубліковані в 18 наукових публікаціях, у тому числі 10 статтях у фахових наукових виданнях та 6 тезах виступів на конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел, що містить в собі 57 найменувань. Повний обсяг роботи складає 167 сторінок, у тому числі основного тексту 162 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність питань, що розглядаються, сформульовані мета дисертації, наукова новизна та практична цінність роботи. Наведено короткий огляд змісту за розділами.

Розділ 1 є оглядовим. Він присвячений огляду літератури з питань, яким присвячена дисертація та введенню необхідних для викладу матеріалу дисертації понять і формулюванню основних математичних результатів, пов'язаних з цими поняттями.

Поняття фракталів тісно пов'язане із поняттям розмірності Хаусдорфа. Для побудови міри Хаусдорфа, а також визначення розмірності Хаусдорфа-Каратеодори в використовуються покриття довільної підмножини . Позначимо клас усіх напівінтервалів у .

Означення. Клас підмножин назвемо покриттям множини , якщо

(відповідно, замкненим покриттям називається ). Замкнене, не більш ніж зліченне покриття назвемо -покриттям (), якщо для всіх виконується нерівність .

Сімейство усіх -покрить множини позначимо . Визначимо для кожного фіксованого і кожного функцію від параметру

Означення. -мірою Хаусдорфа множини називається функціонал

Означення. Розмірністю Хаусдорфа-Безіковича підмножини називається ненегативне число

Випадковою множиною на будемо називати будь-який імовірнісний простір , у якому простором елементарних подій є підмножина . Подіями в цьому ймовірнісному просторі є класи підмножин з . Структура вимірності на будується на основі -алгебри , що є сімейством випадкових подій. Позначимо .

Означення. Випадковою замкненою множиною на будемо називати випадкову множину , у якій -алгебра є мінімальною -алгеброю, що містить в собі всі елементи сімейства . При цьому розподіл імовірностей такий, що для будь-якої випадкової події клас також є випадковою подією в імовірнісному просторі і має місце рівність .

Означення. Випадкова замкнена множина є сепарабельною у (за Матероном), якщо існує зліченна, усюди щільна множина , для якої виконується .

У розділі 2 вводиться поняття про випадкові множини з марковськими подрібненнями, будується їх імовірнісний простір, встановлюється зв'язок між множинами з марковськими подрібненнями і марковськими гіллястими випадковими процесами з одним типом часток. Доведено редукційну формулу для розподілів імовірностей на подрібненнях ,

клітинного подрібнення. Введено поняття стохастичної самоподоби випадкових множин і доведено, що множини з марковськими подрібненнями мають цю властивість.

Опишемо загальну конструкцію ймовірнісного простору множин з марковськими подрібненнями в просторі занурення . Зафіксуємо значення натурального числа , що будемо називати параметром дрібнення. Для кожного , при заданих і , визначимо подрібнення порядку напівінтервала

Означення. Послідовність назвемо клітинним подрібненням напівінтервалу .

Для фіксованого кожному непорожньому підкласу зіставимо підмножину Клас усіх таких підмножин позначимо . Поряд з цим введемо для кожного класу підмножини і відповідний клас усіх таких підмножин

Для фіксованого визначимо оператор . Нехай _ічне представлення довільного числа , де , . Позначимо через , відповідно, рівність визначає дію цього оператора на число , а для

Означення. Оператором огрубіння -ого порядку, , будемо називати оператор , що для кожного діє відповідно до формули

Позначимо через .

Означення. Для кожного фіксованого дія оператора визначається формулою Пов'язаний з ним оператор діє на кожну множину так, що

Позначимо через клас усіх замкнених підмножин .

Теорема. Клас усіх граничних множин , кожна з яких побудована на основі деякої послідовності , яка не розширюється, збігається з .

При фіксованому кожну випадкову реалізацію будь-якої випадкової замкненої множини можна представити у вигляді границі , де послідовність випадкових множин

не розширюється. У зв'язку з цим, структура вимірності для множин з марковськими подрібненнями вводиться на основі випадкових подій . На таких подіях задається розподіл імовірностей . Розглянемо -алгебру , що є мінімальною -алгеброю, яка містить сімейство випадкових подій

Лема. При фіксованому , мінімальна алгебра , що містить усі події , , є кінцевою. Послідовність алгебр розширюється та існує теоретико-множинна границя яка є алгеброю.

Введемо в розгляд -алгебру , яка є мінімальною -алгеброю, що містить сімейство випадкових подій

Теорема. Мінімальна -алгебра , у якій усі класи випадкових реалізацій для всіх множин , при всіх значеннях , є випадковими подіями, збігається з мінімальною -алгеброю, що містить алгебру .

Розподіл імовірностей , що відповідає випадковим множинам з марковськими подрібненнями визначається за допомогою завдання розподілів імовірностей для компонентів випадкової послідовності . При цьому ймовірності , зв'язуються рекурентним співвідношенням, а саме, для будь-якої пари , , при , має місце

Нехай функція визначає розподіл імовірностей на . Тоді коефіцієнт є умовною ймовірністю Вона визначається марковською умовою подрібнення

Означення. Випадковою множиною на з марковським подрібненням при фіксованому значенні параметра дрібнення назвемо ймовірнісний простір , у якого - клас усіх замкнених підмножин з , - мінімальна -алгебра, що містить алгебру , яка породжена елементами сімейства , і розподіл імовірностей такий, що ймовірності на подрібненні відрізка з параметром дрібнення задовольняють умові

а при вони визначаються ненегативною функцією , , що задовольняє умовам нормування і .

Теорема. Простір у ймовірнісному просторі випадкових множин з марковськими подрібненнями складається з усіх класів реалізацій , де - довільна замкнена підмножина в .

Означення. Випадкову подію , що відноситься до ймовірнісного простору випадкової множини у , будемо називати незалежною від при фіксованому напівінтервалі , , якщо, для будь-якої реалізації , кожна реалізація , що задовольняє умові , також належить .

Означення. Випадкову множину у будемо називати стохастично самоподібною з показником , якщо для будь-якого , і будь-якої випадкової події , що не залежить від , має місце рівність де .

Наступна теорема доводить, що випадкові множини з марковськими подрібненнями на стохастично самоподібні з показником .

Теорема. Для будь-якої пари множин і при такої, що , імовірності , , що відповідають випадковим множинам з марковськими подрібненнями, задовольняють тотожності

Розділ 3 присвячений встановленню основних властивостей множин з марковськими подрібненнями. Доводяться теореми про невипадковість розмірності Хаусдорфа-Безіковича реалізацій цих множин і про збіг цієї розмірності для всіх частин кожної з реалізацій, що вирізаються напівінтервалами клітинного подрібнення. Отримано формулу для обчислення невипадкової клітинної розмірності реалізацій. Вивчається питання про сепарабельність за Матероном випадкових множин з марковськими подрібненнями.

Дослідження розмірності реалізацій випадкових множин з марковськими подрібненнями засноване на тому, що відповідна кожній такій множині послідовність розподілів імовірностей індукує випадковий марковський гіллястий процес з одним типом часток. Введемо функцію , визначену для кожної множини , за наступним правилом Для випадкової множини з марковськими подрібненнями з параметром дрібнення і розподілом імовірностей на розглянемо випадкову послідовність , де реалізації цієї множини.

Теорема. Нехай - випадкова множина з марковськими подрібненнями з параметром дрібнення і розподілом імовірностей на . Тоді функціонал на , розглянутий як випадкова послідовність , є випадковим марковським гіллястим процесом Гальтона-Ватсона, у якого умова розгалуження

визначається умовними ймовірностями

Обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича можна здійснювати обмежуючись покриттями на основі подрібнення , тобто ототожнюючи її з величиною де

Розглянемо випадкову величину Розмірність називається клітинною розмірністю , при цьому виконується .

Теорема. Функціонал від реалізацій випадкової множини з марковським подрібненням з параметром дрібнення і розподілом імовірностей на приймає з імовірністю одиниця значення

Теорема. Розмірність Хаусдорфа-Безіковича реалізацій випадкової множини з марковськими подрібненнями з параметром дрібнення і розподілом імовірностей на є невипадковою.

Дамо необхідні і достатні умови для того, щоб множина з марковським подрібненням була сепарабельною за Матероном.

Теорема. Нехай є випадковою множиною з марковським подрібненням у , з параметром дрібнення і розподілом імовірностей на . Якщо для всіх виконується нерівність тоді випадкова множина несепарабельна за Матероном. Якщо існує таке, що виконується рівність

тоді така випадкова множина сепарабельна за Матероном.

З цієї теореми випливає, що поняття сепарабельності за Матероном ніяк не зв'язано з поняттям клітинної розмірності.

У розділі 4 вводиться поняття булівського предкільця і доводиться теорема про однозначність продовження міри з предкільця на мінімальну -алгебру. Вводиться c_система випадкових подій, на основі якої здійснюється ймовірнісний опис випадкових множин у із замкненими праворуч реалізаціями на основі системи багатоінтервальних функцій розподілу і доводиться теорема про те, що ця -система є предкільцем. Встановлюється, яким властивостям повинні задовольняти багатоінтервальні функції розподілу для того, щоб мало місце однозначне продовження міри, визначеної на -системі, на мінімальну -алгебру, що цю систему містить.

Нехай - одиниця булівської системи множин.

Означення. Клас множин із будемо називати предкільцем, якщо він містить множини , і задовольняє наступним умовам:

(a) якщо і належать класу , то існує кінцевий диз'юнктивний клас непорожніх множин з такий, що множина може бути представлена у вигляді

(b) якщо , то існує кінцевий диз'юнктивний клас непорожніх множин з такий, що

Основна властивість предкільця множин дається наступною теоремою.

Теорема. Нехай - предкільце з одиницею і - сімейство кінцевих диз'юнктивних

класів множин з . Тоді клас множин, обумовлений формулою є алгеброю. Ця алгебра є мінімальною, що містить систему .

Явна побудова мінімальної алгебри , що містить задане фіксоване предкільце , дозволяє довести однозначність продовження на адитивної міри, визначеної на .

Теорема. Якщо на предкільці визначена адитивна, обмежена функція , то така функція однозначним чином продовжується до адитивної функції , визначеної на мінімальній алгебрі , що містить предкільце .

Задача продовження міри з предкільця на породжувану ним мінімальну -алгебру вирішується таким самим чином, як і у випадку півкільця.

Теорема. Нехай скінченна адитивна міра на предкільці множин задовольняє умові -півадитивності, для будь-якого і зліченного класу множин з , що покриває множину , . Тоді існує єдина -адитивна міра на мінімальній -алгебрі , що задовольняє умові для будь-якого набору , такого, що та для якої має місце для всіх .

Позначимо - простір елементарних подій - випадкових реалізацій , що є підмножинами . Нехай , - кінцевий упорядкований набір неперетинних напівінтервалів , , , де при . Сукупність усіх таких наборів з довільною довжиною позначимо . Позначимо сукупність усіх таких наборів довжини .

Поряд з упорядкованими наборами будемо розглядати упорядковані набори , , , . Кожну пару таку, що , можна розглядати як однозначну функцію . Цю функцію будемо називати індикаторною. Якщо набір є образом набору , то будемо писати . При цьому вважається, що кожну компоненту з набору можна отримати застосуванням відображення до відповідного компоненту набору , тобто . Сімейство всіх пар будемо позначати символом . Це сімейство можна розглядати як розшарування на сімействі з базою , де кожен шар , є сімейством упорядкованих наборів .

Введемо загальне позначення для індикаторних функцій на класі всіх напівінтервалів , що містяться в , кожна з яких однозначно породжується довільною підмножиною . А саме, визначимо для кожного напівінтервалу і довільної фіксованої множини число заповнення

Означення. Сімейство класів випадкових реалізацій з , де

, будемо називати -системою. Елементи цього сімейства будемо називати циліндричними випадковими подіями.

Означення. Дві пари і будемо називати еквівалентними, якщо події і збігаються.

Відношення еквівалентності розбиває сімейство на класи еквівалентних пар , що пов'язані з однією циліндричною подією .

Теорема. -система циліндричних подій , є булівським предкільцем.

Опишемо класи підмножин у , що складають простір елементарних подій у ймовірнісному просторі випадкових множин. Елементарними подіями назвемо такі елементи мінімальної -алгебри , що не можуть бути розкладені на диз'юнктивну пару , .

Означення. Точка називається правою (лівою) граничною точкою множини , якщо існує незростаюча (неспадаюча) послідовність , що збігається до точки .

Позначимо операцію, що полягає в приєднанні до усіх його правих граничних точок символом cl. Множину , що задовольняє умові , будемо називати замкненою праворуч.

Теорема. Будь-яка елементарна подія мінімальної - алгебри є класом множин з , якому відповідає замкнена праворуч підмножина з , Навпаки, кожен клас реалізацій , обумовлений множиною , , є елементарною подією в .

Теорема. Нехай ненегативна функція , задана на сімействі і задовольняє умовам:

Погодженості

для кожного набору такого, що , , де - операція проектування, яка полягає у викреслюванні з набору тих напівінтервалів і відповідних їм чисел з набору , що відсутні в наборі ;

нормування

однозначності

для довільних еквівалентних пар , ;

незалежності границі

від шляху граничного переходу по множинах . Тоді функція однозначно визначає розподіл імовірностей на мінімальній -алгебрі за допомогою продовження по -адитивності.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена створенню аналітичного апарату для ймовірнісного опису стохастичних геометричних структур в , що являють собою стохастичні фрактали та встановленню основних властивостей множин з марковськими подрібненнями. Перелічимо основні висновки, що витікають з результатів проведених досліджень.

Доведено теорему про невипадковість фрактальної розмірності для довільних випадкових множин з марковськими подрібненнями. Доведено, що такі випадкові множини є, у загальному випадку, несепарабельними за означенням Матерона.

Розроблений формалізм визначення розподілів імовірностей для побудови довільних випадкових замкнених множин в на основі часткових багатоінтервальних розподілів імовірностей. З цією метою було введено абстрактне поняття булівского предкільця і доведено теорему про однозначне продовження міри, заданої на предкільці, на мінімальну -алгебру, що його містить. Було встановлено, що сукупність випадкових подій, на основі яких повиннний будуватися розподіл імовірностей для випадкових множин, саме і складає булівське предкільце. Це дозволило ввести для випадкових множин у поняття багатоінтервальних розподілів імовірностей і довести для них аналог теореми колмогоровського типу про те, що повний набір часткових багатоінтервальних розподілів, зв'язаних умовами погодженості, однозначно визначає розподіл імовірностей для випадкових замкнених множин.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Точечные случайные поля с марковскими измельчениями и геометрия фрактально неупорядоченных сред // Теор. и мат. физ. 2000. 124, №3. C. 490-505.

2. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Стохастические фракталы с марковскими измельчениями // Теор. и мат. физ. 2001. 128, № 2. C. 178-192.

3. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное моделирование фрактально структурированных сред // Научные ведомости, Белгород. 2001. №2(15). C. 73-76.

4. Вірченко Ю.П., Шпілінська О.Л., Динамічні системи фрагментаціі та стохастична геометрія фрактально неупорядкованих середовищ // Вісник Львівського Університету, сер.фіз. 2001. 34. C. 94-98.

5. Vіrchenko Yu.P., Shpіlіnskaya O.L. Stochastіc Refіnements and Nonseparable Random Structures // Problems of Atomіc Scіence and Technology. Serіes Nuclear Physіcs Іnvestіgatіons. 2001. №6. P. 234- 237.

6. Vіrchenko Yu.P., Shpіlіnskaya O.L. Nonseparable random poіnt sets and probabіlіstіc modellіng of fractally unordered solіd medіa // Dopovіdі NANU. 2003. №1. C. 58-63.

7. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное моделирование фрактально структурированных сред // Вісник Запорізьского Університету, фізико-математичні науки, біологічні науки. 2002. №1. C. 152-155.

8. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Несепарабельные фрактальные точечные случайные поля // Вестник Херсонского Государственного технического университета. 2002. №2 (15). C. 131-133.

9. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. О понятии фрактальной размерности точечных множеств в евклидовых пространствах // Вестник Херсонского государственного технического университета. 2003. 3 (19). C. 69-72.

10. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное пространство стохастических фракталов // Укр. матем. журн. 2004. 56, №11. C. 1467-1483.

11. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Одноинтервальное распределение вероятностей несепарабельных случайных множеств в // Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности. Международная Академия Наук Высшей Школы. Санкт-Петербургское отделение. Санкт-Петербург. 2005. С. 20-24.

12. Vіrchenko Yu.P., Shpіlіnskaya O.L. Margіnal probabіlіty dіstrіbutіons of random sets іn wіth markovіan refіnements // Theory of stochastіc processes. 2005. 11 (27). №3-4. P. 121 - 130.

13. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л., Несепарабельные фрактальные точечные случайные поля // Труды XXІV Конференции молодых учёных (8-13 апреля 2002 г., Москва) М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Часть ІІ. 2002. С. 198-201.

14 Vіrchenko Yu.P., Shpіlіnskaya O.L. Random Poіnt Fіelds wіth Markovіan Refіnements and the Stochastіc Geometry of Fractally Dіsordered Medіa // Abastracts Іnternatіonal Conference Kolmogorov and Contemporary Mathematіcs (Moscow, June 16-21, 2003) M.: MSU. 2003. P. 583.

15. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Математическая модель стохастического фрактала с неслучайной фрактальной размерностью // Материалы работы Воронежской математической зимней школы (19-24 января 2004г., Воронеж) В.: ВорГУ. 2004. С. 31-33.

16. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное пространство стохастических фракталов // Матеріали X Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (13-15 травня 2004р., Київ) К.: НТУУ (КПІ). 2004. С. 583.

17. Vіrchenko Yu.P., Shpіlіnskaya O.L. Dіstrіbutіon functіons of random sets іn wіth markovіan refіnements // Abastracts Іnternatіonal Conference Modern Problems and New Trends іn Probabіlіty Theory (Chernіvtsі, Ukraіne, June 19-26, 2005) K.: Іnst. of Math. 2005. v.І. P. 49-50.

18. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Редукционная формула для случайных множеств с марковскими измельчениями в // Матеріали XІ Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006р., Київ) К.: НТУУ (КПІ). 2006. С. 689.

АНОТАЦІЯ

Шпілінська О.Л. Випадкові фрактальні множини з марковськими подрібненнями в . - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Інститут монокристалів Науково-технологічного концерну "Інститут монокристалів" НАН України, Харків, Украна, 2006.

Дисертація присвячена створенню аналітичного апарату для ймовірнісного опису стохастичних геометричних структур в евклідовому прострорі, які є стохастичними фракталами. Реалізації такого роду випадкових множин з імовірністю одиниця мають потужність континууму і нульову лебегову міру. У дисертації особлива увага приділяється аналізу випадковим множинам з марковськими подрібненнями.

Ключові слова: гіллястий випадковий процес, клітинна розмірність, клітинне подрібнення, марковський ланцюг, марковське подрібнення, міра Хаусдорфа, простір занурення, розподіл імовірностей, розмірність Хаусдорфа, c-системи, співвідношення погодженості, стохастична визначеність, стохастична інваріантість, стохастична міра, стохастична самоподоба, стохастичний фрактал, точкова випадкова множина.

АННОТАЦИЯ

Шпилинская О.Л. Случайные фрактальные множества с марковскими измельчениями в . - Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Институт монокристаллов Научно-технологического концерна “Институт монокристаллов” НАН Украины, Харьков, Украина, 2006.

Диссертация посвящена созданию аналитического аппарата для вероятностного описания стохастических геометрических структурах в , представляющих собой стохастические фракталы. Такого рода случайные множества обладают с вероятностью единица реализациями, которые имеют мощность континуума и нулевую лебегову меру. Более подробно в диссертации анализируются введенные в ней случайные множества с марковскими измельчениями.

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цель и задачи исследования, приведены основные результаты роботы.

Первый раздел посвящен обзору литературы по научному направлению, которому посвящена диссертация, введению необходимых для изложения материала диссертации понятий и формулировке используемых основных математических результатов, связанных с этими понятиями.

Во втором разделе вводится понятие случайных множеств с марковскими измельчениями, строится их вероятностное пространство, устанавливается связь между множествами с марковскими измельчениями и марковскими ветвящимися случайными процессами с одним типом частиц.

Вероятностное пространство случайных множеств с марковскими измельчениями полностью определяется значением параметра дробления и распределением вероятностей на конечной алгебре с атомами. Пространство элементарных событий этих случайных множеств состоит из всех классов эквивалентностей подмножеств отрезка , где эквивалентными считаются подмножества с совпадающими замыканиями. -алгеброй вероятностного пространства является минимальная -алгебра, содержащая все события , , , определяющие расположение случайного множества относительно клеточного измельчения отрезка . При этом распределение вероятностей полностью определяется вероятностями Pr , , которые связаны рекуррентно в марковскую цепь при изменении параметра m. Изучены основные свойства случайных множеств с марковскими измельчениями.

Доказана редукционная формула для распределений вероятностей на дроблениях , клеточного измельчения. Введено понятие стохастического самоподобия случайных множеств и доказано, что множества с марковскими измельчениями обладают этим свойством.

В третьем разделе устанавливаются основные свойства множеств с марковскими измельчениями. Доказывается теорема о неслучайности размерности Хаусдорфа-Безиковича их реализаций и о совпадении этой размерности для всех частей каждой из реализаций, вырезаемых полуинтервалами клеточного измельчения. Получена формула для вычисления неслучайной клеточной размерности реализаций. Изучается вопрос о сепарабельности по Матерону случайных множеств с марковскими измельчениями.

В четвёртом разделе вводится понятие булевского предкольца и доказывается теорема об однозначности продолжения меры с предкольца на минимальную -алгебру. Вводится -система случайных событий, на основе которой осуществляется вероятностное описание случайных множеств в с замкнутыми справа реализациями на основе системы многоинтервальных функций распределения, и доказывается теорема о том, что эта -система является предкольцом. Устанавливается какими свойствами должны обладать многоинтервальные функции распределения для того, чтобы имело место однозначное продолжение меры, определённой на -системе, на минимальную -алгебру, которая эту систему содержит.

В заключении формулируются основные результаты и обрисовываются дальнейшие возможности развития теории, изложенной в диссертации.

Ключевые слова: индикаторный случайный процесс, клеточная размерность, клеточное измельчение, марковское измельчение, марковская цепь, пространство погружения, процесс Гальтона-Ватсона, распределение вероятностей, размерность Хаусдорфа-Безиковича, сепарабельность, -алгебра, соотношения согласованности, случайное множество, -системы, стохастический фрактал, стохастическое самоподобие.

ABSTRACT

Shpіlіnskaya O.L. Random fractal sets wіth Markovіan refіnement іn . - Manuscrіpt. Thesis for a degree of candidate of physics and mathematics science by specіalіty 01.01.05 - Probabіlіty theory and statіstіc mathematіcs. - Іnstіtute for Sіngle Crystals, concern of Scіence and technology "Іnstіtute for Sіngle Crystals", Natіonal Academy of Scіences, Kharkіv, Ukraіne, 2006.

Thesis іs devoted to the buіldіng of the analytіcal technіque of the probabіlіstіc descrіptіon of random geometrіc structures іn representіng the stochastіc fractals. Such stochastіc sets have wіth the probabіlіty one the random realіzatіons whіch have the contіnuum cardіnalіty and the zero Lebesgue measure. Random sets wіth markovіan refіnements are іntroduced іn the thesis and are analyzed іn detaіls.

Keywords: іndіcator random process, cell dіmensіon, cell refіnements, markovіan refіnement, Markov chaіn, the embeddіng space, Galton-Watson process, probabіlіty dіstrіbutіon, Hausdorff-Besіkovіch dіmensіon, separabіlіty, -algebra, consіstency condіtіons, random set, -systems, stochastіc fractal, stochastіc selfsіmіlarіty.

Размещено на Allbest.ru

...