Численные методы решения нелинейных уравнений. Комбинированный метод
Комбинированный метод как метод уточнения корней нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. Нахождение интервала с существующим единственным корнем. Сохранение знаков на исследуемом отрезке. Сокращение интервалов путём половинного деления.
| Рубрика | Математика |
| Вид | отчет по практике |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.10.2015 |
| Размер файла | 64,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнёва»
Институт информатики и телекоммуникаций
Кафедра прикладной математики
Отчет по учебной практике
Численные методы решения нелинейных уравнений. Комбинированный метод
Выполнили:
студенты гр. БПМ 14-01
Новикова Галина
Матюшкин Иван
Проверил преподаватель:
Лыткина Лидия Ивановна
Красноярск 2015
Введение
Комбинированный метод.
Комбинированный метод - метод уточнения корней нелинейных (алгебраических или трансцендентных) уравнений. Представляет собой одновременное использование метода хорд и метода Ньютона (метода касательных). За счёт того что интервал в котором находиться корень сокращается одновременно с двух сторон, метод является достаточно эффективным.
Для того чтобы научиться применять комбинированный метод необходимо уметь:
- отделять корни (находить интервалы в которых существует единственный корень);
- пользоваться методом хорд;
- пользоваться методом касательных.
Рис. Графическое изображение применения комбинированного метода
Теоретическая часть.
Пусть дана некоторая функция f(x)=0 и найден некоторый интервал [a,b], в котором существует только один из корней уравнения. ( f(a)f(b)<0; )
f'(x) и f"(x) сохраняют знак на исследуемом отрезке. Если на интервале знаки изменяются, нужно сократить интервал путём половинного деления. Для удобства предположим что найденный интервал удовлетворяет следующим условиям: f'(x)>0, f"(x)>0, x ?[a,b].
Используя метод хорд и метод Ньютона находим одновременно значения по недостатку и по избытку корня о, применяя формулы:
; (1)
; (2)
За мы выбираем отрицательную границу интервала, за - положительную.
После применения формул интервал сократится с обеих сторон и будет иметь вид [ ].
Таким образом, сокращаем до тех пор, пока не достигнем необходимой точности е. Проверить это можно по формуле: е.
В итоге за приблизительное значение корня можно взять:
Практическая часть.
В качестве примера рассмотрим уравнение f(x) и найдём приближенное значение одного из его корней.
Найдём интервал внутри которого есть корень:
|
- ? |
0 |
2 |
+ ? |
|
|
- |
- |
+ |
+ |
[0;2] - найденный интервал.
Половинным делением сократим интервал:
f(1)=-0.6; => [1;2]
Примем за , за = 2. Тогда применяя формулы (1) и (2) получим:
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1,096774194 |
1,175195407 |
1,198698185 |
1,19999652 |
||
|
1,490909091 |
1,257385884 |
1,202864935 |
1,200007639 |
Уже при первых 4 шагах видно, что корень уравнения в этом интервале ~1,2.
Подставим это значение в уравнение и убедимся:
Этот результат демонстрирует эффективность комбинированного метода.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ.
творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.
курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Биография Исаака Ньютона, его основные исследования и достижения. Описание порядка нахождения корня уравнения в рукописи "Об анализе уравнениями бесконечных рядов". Методы касательных, линейной аппроксимации и половинного деления, условие сходимости.
реферат [1,6 M], добавлен 29.05.2009Трансцендентное уравнение: понятие и характеристика. Метод половинного деления (дихотомии), его сущность. Применение метода простой итерации для решения уравнения. Геометрический смысл метода Ньютона. Уравнение хорды и касательной, проходящей через точку.
курсовая работа [515,8 K], добавлен 28.06.2013Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Два вида погрешностей, возникающих при решении задач. Нахождение нулей функции. Метод половинного деления. Метод хорд.
курс лекций [81,2 K], добавлен 06.03.2009Сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Описание программного обеспечения и тестовых задач.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 26.02.2011Анализ методов решения систем нелинейных уравнений. Простая итерация, преобразование Эйткена, метод Ньютона и его модификации, квазиньютоновские и другие итерационные методы решения. Реализация итерационных методов с помощью математического пакета Maple.
курсовая работа [820,5 K], добавлен 22.08.2010Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011Итерационные методы (методы последовательных приближений) для решения уравнений. Одношаговые итерационные формулы. Метод последовательных приближений Пикара. Возникновение хаоса в детерминированных системах. Методы решения систем алгебраических уравнений.
контрольная работа [166,2 K], добавлен 04.09.2010Структура и принципы решения линейных уравнений. Метод Крамера и Гаусса, Ньютона, половинного деления, секущих. Отличительные особенности и условия применения графического метода. Содержание теоремы Штурма. Принципы и основные этапы поиска интервалов.
реферат [948,7 K], добавлен 30.03.2019Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010Методы решения нелинейных уравнений: касательных и хорд, результаты их вычислений. Алгоритм и блок схема метода секущих. Исследование характерных примеров для практического сравнения эффективности рассмотренных методов разрешения нелинейных уравнений.
дипломная работа [793,2 K], добавлен 09.04.2015Векторная запись нелинейных систем. Метод Ньютона, его сущность, реализации и модификации. Метод Ньютона с последовательной аппроксимацией матриц. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Пример реализации метода Ньютона в среде MATLAB.
реферат [140,2 K], добавлен 27.03.2012
