Еквівалентність за Марковим просторів і відображень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Пирч Назар Михайлович

УДК 512.546

ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ ЗА МАРКОВИМ ПРОСТОРІВ І ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2007

ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана на кафедрі геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Протасов Ігор Володимирович,

провідний науковий співробітник кафедри дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка,

доктор фізико-математичних наук, доцент

Забавський Богдан Володимирович,

професор кафедри алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ

Захист відбудеться 22 лютого 2007 року о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова 5.

Автореферат розіслано 22 січня 2007 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. М-еквiвалентнiсть двох тихоновських просторів означає ізоморфність вільних топологічних груп в сенсі Маркова над цими просторами.

Це поняття допускає природну теоретико-категорну інтерпретацію: ізоморфізми, що реалізують М-еквівалентність - це ізоморфізми в категорії Клейслі

монади в категорії тихоновських просторів, породженої функтором вільної топологічної групи.

Вільні топологічні групи вперше з'явились у праці Марков А.А. О свободных топологических группах // Докл. АН СССР ? 1941. ? т.31 ? №4 ? С. 299-301. А. А. Маркова як інструмент для побудови ненормальних відокремлюваних (гаусдорфових) топологічних груп. В цій же праці було поставлено питання про ін'єктивність функторів вільної та вільної абелевої топологічної групи. Це питання було негативно розв'язане іншим російським математиком М. І. ГраєвимГраев М.И. . Свободные топологические группы // Изв. АН СССР ? 1948. ? т.12 , №3. ? с. 279-324. . Природним чином постало питання про вивчення спільних і відмінних властивостей різних топологічних базисів однієї і тієї ж самої вільної топологічної групи. Значний поступ у вивченні даної проблеми стався у 80-их ? 90-их роках минулого століття і пов'язаний він був зі школою професора О.В. Архангельського в Московському університеті.

Перший загальний метод побудови М-еквівалентних просторів був запропонований В.В. ТкачукомТкачук В.В. Об одном методе построения М -эквивалентных пространств // Успехи матем. наук ? 1983. ?Т.38 , №6. ? C.127-128. і пов'язаний він був з поняттям Александровського дубліката. Інший метод, так званий метод паралельних ретрактів, був запропонований О.Г. Окунєвим у 1985 році. Спираючись на цей метод, ОкунєвOkunev O.G. A method for constructing examples of M-equivalent spaces // Topol. Appl. ? 1990. ? V. 36 ? P. 157-171; Correction: Topol. Appl. ? 1993. ? V. 49. ? P.191-192. побудував приклади, з яких випливало, що цілий ряд топологічних властивостей не зберігаються відношенням М-еквівалентності. У праці Ткачук В.В. Двойственность относительно функтора и кардинальные иварианты типа числа Суслина // Мат. заметки ? 1985 ?Т.37, №3 ? С.441-451. В.В. Ткачук встановив, що існують М-еквівалентні простори, елементи першого з яких не виражаються через елементи другого у вигляді слів, довжини яких обмежені в сукупності. Ще одним методом для отримання нових пар М-еквівалентних просторів є конструкції і функтори, що зберігають М-еквівалентність. До числа таких належать прямі топологічні суми, тихоновські добуткиОкунев О.Г. М-эквивалентность произведений // Труды Моск. Матем. Общ. ? 1995. ?Т.56 ? С.192-205., конуси, поповнення за ДьєдоннеТкаченко М.Г. О полноте свободных абелевых топологических групп // Докл. АН СССР? 1983. ? Т.269. ? С.299-303.

Слід зауважити, що вивчення М-інваріантних властивостей тихоновських просторів тісно пов'язане з питанням про те, які топологічні властивості зберігаються при переході від топологічного простору до його вільної топологічної групи.

Дослідження М-інваріантних властивостей тихоновських просторів розпочав М.І. Граєв. Він встановив, що до числа таких властивостей належать, зокрема, компактність та зв'язність. Широкі класи М-інваріантних властивостей дозволяють виділити “інваріантні теореми” О.В. Архангельського Архангельский А.В. О соотношениях между инвариантами топологических групп и их подпространств // Успехи мат. наук. ? 1980. ?Т.35, №3. ? С.3-22. та В.Г. Пєстова Пестов В.Г. Некоторые топологические свойства сохраняемые отношением М-эквивалентности // Успехи мат. наук ? 1984. ?Т.39, №6. ? С.203-204.. Питання про М-інваріантність розмірностей було позитивно розв'язане В.Г. Пєстовим для розмірності dim і негативно Ю.А. Буровим для розмірностей ind та Ind.

Одним з вагомих результатів, встановлених Граєвим, була класифікація вільних і вільних абелевих топологічних груп над зліченними компактними просторами. Розвиваючи цей напрям, голландський математик Я. Баарс Baars J. Equivalence of certain free topological groups // Com. Math. Univ. Carolinae ? 1992? V.33. ? P.125-130. побудував класифікацію вільних (абелевих) топологічних груп над сепарабельними локально компактними нульвимірними метризованими просторами.

Поняття М-еквівалентних відображень було введено О.Г. Окунєвим. М-еквівалентні відображення або відображення, які продовжуються до одного і того ж самого гомоморфізму вільних топологічних груп, є подальшим і набагато складнішим етапом у вивченні М-еквівалентних просторів.

Вивчення М-еквівалентних властивостей неперервних відображень тісно пов'язане з питанням про те, які топологічні властивості відображень зберігаються при переході від неперервного відображення до його продовження до неперервного гомоморфізму вільних топологічних груп.

Вивчення топологічних властивостей, що характеризують розміщення підпростору у цілому просторі, є на сьогодні одним з перспективних напрямків досліджень у загальній топології. Дотичним до теорії вільних топологічних груп його зробили Граєв, Ткаченко і Дікранян Dikranjan D., Tkachenko M. Weakly complete free topological groups// Topol. Аppl. ? 2001.?V.112. ? P. 259-287., які встановлювали ті відносні топологічні властивості, що зберігаються при переході від простору і його підпростору до вільної топологічної групи і підгрупи, породженої даним підпростором.

Тематика паратопологічних груп має свою понад столітню історію. Тому природнім чином постало питання про існування вільних об'єктів у категорії (абелевих) паратопологічних групп та їхніх неперервних гомоморфізмів. Це питання було позитивно розв'язане Ромагуерою, Санчесом і Ткаченком Romaguera S., Sanchis M., Tkachenko M. Free paratopological groups // Topol. Proc. ? 2002. ? V.27.? P. 1-28., які встановили, що для кожного топологічного простору існують вільна і вільна абелева паратопологічні групи, у які цей простір вкладається.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри алгебри і логіки та кафедри геометрії і топології механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань держбюджетної теми “Тополого-алгебраїчні структури та їх застосування”, номер державної реєстрації 0104U002128.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи - застосування методів топологічної алгебри, зокрема, теорії топологічних та паратопологічних груп, теорії лінійних топологічних просторів до вивчення вільних об'єктів у категоріях топологічної алгебри.

Об'єктом і предметом дослідження є вільні топологічні та паратопологічні групи, вільні локально опуклі простори, їхні підгрупи та неперервні гомоморфізми.

Для досягнення поставленої проблеми необхідно вирішити такі задачі:

1. Встановити методи побудови М-еквівалентних просторів.

2. Розглянути М-еквівалентні відображення, запропонувати якісно нові методи побудови таких відображень.

3. Ввести поняття М-еквівалентних пар, запропонувати методи побудови таких пар, встановити зв'язок з М-еквівалентними відображеннями.

4. Розглянути конструкції ї функтори, що зберігають відношення М-еквівалентності просторів.

5. Встановити тополого-алгебраїчні властивості вільних паратопологічних груп.

6. Розглянути ізоморфізми вільних паратопологічних груп та вільних однорідних просторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У дисертаційній роботі

1. Введено поняття ортогональних ретрактів тихоновського простору та подано їх застосування до побудови М-еквівалентних просторів.

2. Запропоновано нові методи побудови еквівалентних відображень та подано класифікацію відображень, що мають праві обернені з точністю до еквівалентних просторів.

3. Введено поняття М-еквівалентних пар, запропоновано методи побудови таких пар, встановлено зв'язок з М-еквівалентними відображеннями.

4. Подано конструкції і функтори, що зберігають відношення М-еквівалентності просторів.

5. Досліджено тополого-алгебраїчні властивості вільних паратопологічних груп.

6. Досліджено ізоморфізми вільних паратопологічних груп та вільних однорідних просторів.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Її результати можна застосовувати для проведення наукових досліджень в топологічній алгебрі, зокрема, в теорії топологічних груп, та загальній топології. Матеріали дисертації можуть бути використані при читанні спеціальних курсів та веденні наукових семінарів у Львівському національному університеті, Київському національному університеті, Чернівецькому національному університеті.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені у дисертацію, одержані здобувачем самостійно. Деякі з результатів опубліковані у співавторстві з М. Зарічним, Т. Банахом та О. Равським. З цих публікацій у дисертацію внесено лише результати, одержані автором. У роботі [11] автору, зокрема, належать твердження 1 і 2. У роботі [1] автору належить теорема 2.1 та приклад, що з неї випливає. У роботі [6] автору належать твердження 2.2, 2.6, 2.10, 2.15, 3.4, 3.5, 3.8, наслідок 3.6.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на Першій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу (Козьова, 22-31 липня 2003 р.); на Четвертій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Львів, 4-9 серпня 2003 р.); на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004 р.); на міжнародній конференції ”Геометрична топологія: нескінченно-вимірна топологія, абсолютні екстензори і застосування” (Львів, 26-30 травня 2004 р.); на міжнародній конференції присвяченій 125-ій річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 27 червня-3 липня 2004 р.); на Другій літній школі з алгебри і топології (Долина, 2-14 серпня 2004 р.); на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 24-27 травня 2005 р.); на П'ятій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 20-27 липня 2005 р.); на Третій літній школі з алгебри, аналізу і топології (Козьова, 9-20 серпня 2005 р.); на міжнародній конференції ”Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, 17-20 листопада 2005 р.), на Четвертій літній школі з алгебри, топології, функціонального і стохастичного аналізу (Козьова, 17-29 липня 2006 р.), на міському алгебраїчному семінарі (м Львів, 2006р.); на науковому семінарі кафедри геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у роботах [1-18], з яких 4 - у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації - 160 сторінок. Список використаних джерел включає 110 найменувань і займає 13 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професорові М.М. Зарічному.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Коротко охарактеризуємо зміст роботи.

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена мета і об'єкти дослідження. Основна частина дисертації поділена на 5 розділів.

У першому розділі робиться огляд літератури і дається короткий виклад результатів дисертаційної роботи.

Другий розділ “Еквівалентність тихоновських просторів” присвячений методам побудови еквівалентних просторів та конструкціям і функторам, що зберігають відношення М-еквівалентності тихоновських просторів. Топологічні простори та називаються М-еквівалентними (), якщо вільні топологічні групи та є топологічно ізоморфними. Топологічні простори та називаються А-еквівалентними (), якщо вільні абелеві топологічні групи та є топологічно ізоморфними.

Для топологічного простору через позначимо простір квазікомпонент простору .

Твердження 2.9. Нехай і простори та тихоновські.

Нехай ? підгрупа симетричної групи. Через позначається функтор G-симетричного степеня.

Твердження 2.10. Нехай і топологічний простір є k-простором. Тоді.

Джойн топологічних просторів і ? це факторпростір добутку за таким відношенням еквівалентності: кожна точка утотожнюється з точкою для довільних і; аналогічно кожна точка утотожнюється з точкою для довільних і.

Скажемо, що трійка тихоновських просторів задовольняє умову Окунєва, якщо простір є локально компактний або простір є k-простором.

Твердження 2.14. Нехай і трійка задовольняє умову Окунєва.

Також у цьому підрозділі доводиться, що такі конструкції і функтори як букети, функтор вільної топологічної напівгрупи, приведені добутки, функтор вільної абелевої топологічної напівгрупи, функтор вільного топологічного моноїда з фіксованою точкою, функтор вільного абелевого топологічного моноїда з фіксованою точкою при певних умовах зберігають ізоморфізми вільних чи вільних абелевих топологічних груп.

У підрозділі 2.2 вводиться поняття ортогональних ретракцій тихоновського простору і подається їхнє застосування до побудови еквівалентних просторів. Ретракції і топологічного простору називаються ортогональними, якщо відображення і є сталими відображеннями на .

Скажемо, що відношення еквівалентності , задане на множині тихоновських просторів, задовольняє умову адитивності, якщо для довільних тихоновських просторів, і. Скажемо, що відношення еквівалентності , задане на множині тихоновських просторів, задовольняє умову Окунєва, якщо для довільного ретракту довільного тихоновського простору (тут на задана R-факторна топологія, через позначено простір, утворений додаванням до простору однієї ізольованої точки).

Теорема 2.20. Нехай - деяке відношення еквівалентності, що задовольняє умови адитивності та Окунева. Нехай і - ортогональні ретракти простору такі, що. Тоді фактор-простори та -еквівалентні.

До відношень, що задовольняють умови адитивності та Окунєва, належать відношення, які породжують ізоморфізми вільних (абелевих) топологічних груп, (рівномірні) гомеоморфізми вільних абелевих топологічних груп, (лінійні, рівномірні) гомеоморфізми просторів неперервних дійснозначних функцій у топології поточкової збіжності.

У третьому розділі “Еквівалентність відображень тихоновських просторів” розглядаються М-еквівалентні відображення. Нагадаємо, що неперервні відображення, називаються М-еквівалентними, якщо існують топологічні ізоморфізми і такі, що, де, ? гомоморфізми, що продовжують відображення і відповідно. Нагадаємо, що ізоморфізм називається спеціальним, якщо, де ? гомоморфізм, що продовжує функцію тотожньо рівну 1 на. еквівалентність простір тихоновський

Встановлено аналог теореми про спеціальні ізоморфізми для М-еквівалентних відображень.

Теорема 3.7. Нехай, ? М-еквівалентні відображення. Тоді існують спеціальні топологічні ізоморфізми і такі, що.

Наводиться метод побудови М-еквівалентних відображень.

Теорема 3.10. Нехай- тихоновський простір, і - його ретракції на один і той самий ретракт . Тоді відображення і є М-еквівалентними.

Використовуючи цей метод, подається перелік властивостей, що не зберігаються відношенням М-еквівалентності відображень. Зокрема, встановлюється, що досконалість, компактність, псевдокомпактність, скінченність, монотонність, розмірність, нульвимірність, потужність, функціональна відкритість, властивість бути локальним гомеоморфізмом не зберігається відношенням М-еквівалентності відображень у класі факторних відображень.

Для деяких відображень є можливим повністю описати клас відображень М-еквівалентних до даного відображення. Позначимо через відображення з простору у одноточковий простір, через- гомеоморфізм простору, через- ущільнення з дискретного простору потужності на простір, через - вкладення простору у простір його поповнення за Дьєдонне.

Теорема 3.18. Нехай - тихоновський простір. Тоді:

Аналогічні твердження справедливі для відношення А-еквівалентності.

Досліджено А-еквівалентність відображень тихоновських просторів, що мають праві обернені. Отримано класифікацію таких відображень.

Теорема 3.20. Наступні умови еквівалентні для двох ретракцій:

1) відображення і є А-еквівалентними;

2) R-факторні відображення є А-еквівалентними;

3) і .

У розділі 4 “Еквівалентність пар тихоновських просторів” вводиться поняття М-еквівалентності пар тихоновських просторів. Нехай є підпростором тихоновського простору, є підпростором тихоновського простору. Скажемо, що пара топопологічних просторів є М-еквівалентною парі топологічних просторів, якщо існує топологічний ізоморфізм, такий, що.

Це поняття є зручним для дослідження тих топологічних властивостей, що характеризують розміщення підпростору у просторі, які зберігаються при переході до групової оболонки підпростору у вільній топологічній групі простору. До таких властивостей, як було раніше встановлено, належать замкненість, секвенціальна замкненість, b-замкненість, -замкненість. У роботі встановлено, що до числа таких властивостей також належать властивість бути всюди щільною множиною, - множиною, функціонально обмеженою множиною. Таким чином, всі вищеперелічені відносні топологічні зберігаються відношенням М-еквівалентності пар

Спираючись на метод паралельних ретрактів О.Г. Окунєва, подано метод побудови М-еквівалентних пар.

Твердження 4.8. Нехай - паралельні ретракції, задані на просторі, - R-факторні простори топологічного простору, - R-факторні відображення,- підмножина в просторі.

Використовуючи цей метод, наводиться цілий ряд топологічних властивостей (що характеризують розміщення підпростору у просторі), що не зберігаються відношенням М-еквівалентності пар. Серед таких: властивість бути ретрактом, околовим ретрактом, деформаційним ретрактом, властивість бути С-вкладеною, P- вкладеною підмножинами.

Встановлено аналог теореми О.Г. Окунєва про спеціальні ізоморфізми для М-еквівалентних пар.

Теорема 4.23. Якщо, то існує спеціальний топологічний ізоморфізм такий, що.

Одним з обгрунтувань доцільності введення понять М-еквівалентності та А-еквівалентності пар є наступна теорема, що подає зв'язок між А-еквівалентністю пар та А-еквівалентністю відображень.

Теорема 4.30. Нехай- топологічні простори, - їхні замкнені підмножини, - R-факторні відображення. Тоді відображення і є А-еквівалентними (L-еквівалентними, l-еквівалентними) тоді і тільки тоді, коли пари і є А-еквівалентними (L-еквівалентними, l-еквівалентними).

Ця теорема, зокрема, дає можливість встановити класифікацію пар-ретрактів.

Теорема 4.34. Наступні умови еквівалентні для двох ретракцій,:

1) ретракції і є А-еквівалентними відображеннями;

2) R-факторні відображення є А-еквівалентними;

3) вкладення є А-еківалентними відображеннями;

4) пари і є А-еквівалентними;

5) і.

При зіставленні теореми 4.39 з класифікацією вільних (абелевих) топологічних груп над зліченними компактними просторами отримаємо таку теорему.

Теорема 4.37. Нехай - зліченні компактні простори, а - їхні замкнені підпростори. Тоді наступні умови еквівалентні:

(I);

(II) існують зліченні ординали такі, що простір гомеоморфний простору ординалів з порядковою топологією, простір гомеоморфний простору ординалів, простір гомеоморфний простору ординалів, простір є гомеоморфний простору ординалів і виконуються нерівності при.

У п'ятому розділі вивчаються тополого-алгебраїчні властивості вільних (абелевих) паратопологічних груп і з допомогою цих властивостей досліджуються ізоморфізми вільних паратопологічних груп та вільних однорідних просторів.

Для паратопологічної групи через позначається абстрактна група , наділена максимальною груповою топологією, яка мажорується топологією .

Теорема 5.4. Для кожного функціонально гаусдорфового простору має місце.

Оскільки вільні паратопологічні групи існують над класом усіх топологічних просторів, то в роботі природньо акцентується увагу на аксіомах відокремлення для вільних (абелевих) паратопологічних груп.

Теорема 5.17. Вільна абелева паратопологічна група простору є простором.

Підмножину всіх слів групи, що у нескоротній формі мають довжину, будемо позначати через .

Кажуть, що паратопологічна група містить належну множину , якщо є дискретною підмножиною в , є замкненою підмножиною і підгрупа групи породжена множиною є всюди щільною в .

Теорема 5.21. Наступні умови є еквівалентними для довільного топологічного простору :

1) простір є -простором,

2) простір є -простором,

3) підпростір замкнений у ,

4) підпростір є множиною типу у ,

5) підпростір дискретний у ,

6) підпростір є -простором,

7) підпростір замкнений у ,

8) паратопологічна група містить замкнену належну множину,

9) паратопологічна група містить належну множину,

10) підпростір замкнений у для всіх натуральних ,

11) підпростір замкнений у для деякого натурального ,

12) комутант групи замкнений у .

Нагадаємо означення деяких кардинальних інваріантів топологічного простору.

Зауважимо, що у наведених нижче означеннях і .

Екстент:, - замкнений дискретний підпростір в .

Спред:, - дискретний підпростір в .

Число Ліндельофа: для довільного відкритого покриття V простору існує підсім'я UV така, що і.

Сім'я U називається сіткою топологічного простору , якщо для довільної точки і довільного околу точки існує множина U така, що .

Сіткова вага:- сітка для .

Щільність:.

Наступна теорема встановлює зв'язок між кардинальними інваріантами топологічного простору і його вільної (абелевої) паратологічної групи

Теорема 5.22. Нехай є -простором.

Нагадаємо, що топологічний простір називається функціонально гаусдорфовим, якщо його точки розділяються неперервними відображеннями у одиничний відрізок. Паратопологічна група називається b-віддільною, якщо топологічна група є гаусдорфовою. Паратопологічна група називається MAP-групою, якщо допускає неперервний мономорфізм на компактну гаусдорфову групу.

Теорема 5.24. Наступні умови еквівалентні для довільного топологічного простору :

1) топологічний простір є функціонально гаусдорфовим,

2) вільна (абелева) паратопологічна група топологічного простору є MAP-групою

3) вільна (абелева) паратопологічна група топологічного простору є b-віддільною

4) вільна (абелева) паратопологічна група топологічного простору є функціонально гаусдорфовою.

Теорема 5.25 Неперервна сюр'єкція є факторною тоді і тільки тоді, коли гомоморфізм, що її продовжує відкритий.

У праці Бельнов В.К. Размерность топологически однородных пространств и свободные однородные пространства // Докл. АН СССР ? 1978. ? Т.238, №4? С. 781-784. В.К. Бєльнов ввів категорію однорідних просторів та їхніх морфізмів. У цій же праці було розглянуто поняття вільного однорідного простору над довільними топологічним простором. У праці Мегрелишвили М.Г. Топологические пространства с изоморфными свободными пространствами // Сообщ. АН Грузинской ССР ? 1981. ? Т.103, №3 ? С. 549-552. М.Г. Мегрелішвілі встановив, що існують негомеоморфні топологічні простори з топологічно ізоморфними вільними однорідними просторами. Як наслідок, виникло природне питання про зіставлення ізоморфних класифікацій вільних однорідних просторів, вільних (абелевих) паратопологічних груп та вільних (абелевих) топологічних груп, яке розв'язується у підрозділі 5.3.

ВИСНОВКИ

У дисертації автором отримані такі результати:

- встановлено конструкції і функтори, що зберігають відношення М-еквівалентності тихоновських просторів

- введено поняття ортогональних ретрактів, встановлено критерій, коли дві підмножини тихоновського простору є ортогональними ретрактами і доведено, що R-факторні простори тихоновського простору за його еквівалентними ортогональними ретрактами будуть знову еквівалентними просторами,

- встановлено, що дві ретракції, задані на тихоновському просторі на один і той самий ретракт, є М-еквівалентними відображеннями, подано класифікацію А-еквівалентних відображень, що мають праві обернені з точністю до А-еквівалентних просторів,

- для дослідження відносних топологічних властивостей вільних топологічних груп введено поняття М-еквівалентності пар топологічних просторів, встановлено ті топопологічні властивості, які зберігаються, і ті, які не зберігаються відношенням М-еквівалентності пар,

- досліджено тополого-алгебраїчні властивості вільних (абелевих) паратопологічних груп, зокрема, встановлено аксіоми відокремлення, які зберігаються при переході від топологічного простору до його вільної (абелевої) паратопологічної групи.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Pyrch N.M., Zarichnyi M.M., On a generalization of Okunev's construction // Алгебраїчні структури та їх застосування. - Київ: Інститут математики НАН України, 2002. - С.346-350.

2. Pyrch N. M., Orthogonal retractions and M-equivalence // Математичні Студії, -2003. - Т.20, №2. - С.151-161.

3. Пирч Н. М. М-еквівалентність пар // Науковий збірник “Прикладні проблеми математики і механіки”, випуск 2, Львів, 2004, - С.74-79.

4. Pyrch N.M., M-equivalence of mappings // Математичні Студії, - 2005, - Т. 24, №1. - С.21-30.

5. Пирч Н.М. М-еквівалентність пар і відображень // Математичні методи та фізико-механічні поля, - 2006. - Т. 49, №2. - С. 21-26.

6. Pyrch N. M., Ravsky O.V., On free paratopological groups // Математичні Студії, - 2006. - Т.25, №2. - P.115-125.

7. Pyrch N.M, On isomorphisms of free topological groups // Тези доповідей четвертої міжнародної алгебраїчної Конференції в Україні, 4-9 серпня 2003 р. - Львiв, 2003. - P.189-190.

8. Пирч Н. М. М-еквівалентність відображень // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів, 24-26 травня 2004р., - С.126-128.

9. Pyrch N.M., On orthogonal retractions // Proc. International conference “Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”, Lviv, May 26-30, 2004, - P.57-59.

10. Pyrch N.M., and Ravsky O.V. Free paratopological groups: separation properties // Proc. International conference “Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”, Lviv, May 26-30, 2004, - P.60-61.

11. Banakh T., Pyrch N. Free paratopological groups: isomorphic classification // Тези доповідей міжнародної конференції присвяченої до 125-ої річниці від дня народження Ганса Гана, Чернівці , 27 червня - 3 липня, 2004, - С.122-123.

12. Pyrch N. On A-equivalence of mappings having right inverse // Тези доповідей міжнародної конференції присвяченої до 125-ої річниці від дня народження Ганса Гана, Чернівці , 27 червня - 3 липня, 2004, - С.156-157.

13. Pyrch N., A method for constructing examples of M-equivalent mappings // Друга лiтня школа з алгебри i топологiї, Долина, 2-14 серпня, 2004, - С.32-33.

14. Пирч Н. М. М-еквівалентність пар // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів, 24-27 травня 2005р., - С.238-239.

15. Pyrch N. Isomorphisms of free abelian toplogical groups of G-symmetric products and smash products // Тези доповідей п'ятої міжнародної алгебраїчної конференції в Україні, 20-27 липпня 2005 р. - Одеса, 2005. - С. 166-167.

16. Pyrch N. M. M-equivalence of Cylinders, Cones and Joins // Третя лiтня школа з алгебри, аналiзу i топологiї, Львiв-Козьова, 9-20 серпня, 2005, - С.146-147.

17. Pyrch N.M. On isomorphisms of free paratopological groups and free homogeneous spaces // Тези доповідей міжнародної конференції , “Математичний аналіз і суміжні питання”, Львів, 17-20 листопада, 2005, - С.87.

18. Pyrch N.M. The continuity of the inverse in free paratopological groups // Четверта літня школа з алгебри, топології, функціонального і стохастичного аналізу, м. Козьова, 17-29 липня, 2006 - С. 165-166.

АНОТАЦІЇ

Пирч Н.М. Еквівалентність за Марковим просторів і відображень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандитата фізико -математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів 2006.

Дисертація присвячена вивченню ізоморфізмів вільних топологічних та паратопологічних груп. Як було встановлено М.І. Граєвим, два негомеоморфні простори можуть мати топологічно ізоморфні вільні топологічні групи. У 80-их роках представниками школи проф. О.В. Архангельського було зроблено значний поступ у вивченні поняття М-еквівалентності. Розвиваючи метод “паралельних ретрактів” О.Г.Окунєва, ми пропонуємо метод “ортогональних ретрактів” для побудови М-еквівалентних просторів .

У дисертації автором проведено дослідження поняття М-еквівалентності відображень. Зокрема, запропоновано нові методи побудови таких відображень, встановлено перелік властивостей відображень, що не зберігаються відношенням М-еквівалентності. У абелевому випадку подано класифікацію відображень, що мають праві обернені. Введено поняття М-еквівалентності пар топологічних просторів, подано опис М-еквівалентності пар в термінах М-еквівалентності відображень.

У дисертації проведено дослідження тополого-алгебраїчних властивостей вільних (абелевих) паратопологічних груп і вказано на можливість чи неможливість перенесення раніше встановлених результатів, що стосуються поняття М-еквівалентності, на випадок вільних паратопологічних груп. Подано перелік функторів-рефлексій, що зберігають ізоморфізми вільних (абелевих) паратопологічних груп та вільних однорідних просторів.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані у топологічній алгебрі, загальній топології і функціональному аналізі.

Ключові слова: вільна топологічна група, М-еквівалентність просторів, М-еквівалентність відображень, М-еквівалентність пар, вільна паратопологічна група.

Пырч Н.М. Эквивалентность по Маркову пространств и отображений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2006.

Диссертация посвящена изучению изоморфизмов свободных топологических и паратопологических групп. Как установлено М.И. Граевым, свободные топологические группы двох негомеоморфных пространств могут быть топологически изоморфными. Дальнешее развитие теории М-эквивалентных простанств было во многом связано со школой професора А.В. Архангельского. Развивая метод “параллельных ретрактов” О.Г. Окунева, мы предлагаем метод “ортогональных ретрактов” для построения М-эквивалентных пространств. В диссертации мы установливаем, что такие конструкции и функторы как свободные (абелевы) топологические полугруппы и моноиды, пространства квазикомпонент, G-симметрические степени, приведенные произведения, джойны при определенных условиях сохраняют отношение М-эквивалентности.

В диссертации исследуется отношение М-эквивалентности отображений. Предложены методы построения М-эквивалентных отображений. Также предложены несколько способов вложения теории М-эквивалентных пространств в теорию М-эквивалентных отображений. В абелевом случае приводится классификация эквивалентных отображений с точностью до эквивалентных пространств.

В работе предложено понятие М-эквивалентных пар. Устанавливаются методы построения эквивалентных пар. С их помощью показано, что свойства быть ретрактом, окрестностным ретрактом, С-вложеным подпространством не являются М-инвариантами. Установлено, що свойства быть всюду плотным множеством, -множеством, функционально ограниченным множеством сохраняются отношением М-эквивалентности пар. Приводится классификация пар-ретактов с точностью до А-эквивалетных простанств, а также полная классификация пар вида , где ? счётное компактное пространство, ? замкнутое подпространство в .

В диссертации проведено исследование тополого-алгебраических свойств свободных (абелевых) паратопологических групп. В частности, исследуются аксиомы отделимости, кардинальные инварианты этих групп. Указано на возможность или невозможность перенесения установленных ранее результатов, которые касаются отношения М-эквивалентности, на случай свободных паратопологических групп. Подан перечень функторов-рефлексий, которые сохраняют изоморфизмы свободных (абелевых) парпатопологических групп и свободных однородных пространств.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в топологической алгебре, общей топологии и функциональном анализе.

Ключевые слова: свободная топологическая группа, М-эквивалентность простанств, М-эквивалентность отображений, М-эквивалентность пар, свободная паратопологичекая группа.

Pyrch N.M. On Markov equivalence of the spaces and mappings. - Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of Сandidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Lviv National Ivan Franko University, Lviv, 2006.

The thesis is devoted to investigation of the isomorphisms of the free topological and paratopological groups. It was proved by M. I. Graev that free topological groups of two nonhomeomorphic spaces can be topologically isomorphic. In the 80-th professor A.V. Arhangel'skii and his disciples made a progress in investigating of the M-equivalence. Following the ideas of the Okunev's “parallel retracts” method we propose an “orthogonal retract” method for constructing examples of M-equivalent spaces.

In the thesis the author investigates the relation of M-equivalence of the mappings. A new methods for constructing such mappings and the list of properties which are not preserved by the relation of M-equivalence are presented. In the abelian case the classification of the mapping having right inverse up to M-equivalent spaces is given. The notion of M-equivalent pairs is introduced, an the description of M-equivalent pairs in the terms of M-equivalent mappings is given.

In the thesis, topological and algebraic properties of the free (abelian) paratopological groups are investigated. It is pointed that some results established for free topological groups can be extended for paratopological case while some cannot. We give a functors-reflections which preserve isomorphisms of the free (abelian) paratopological groups and free homogeneous spaces.

The results of the thesis are of theoretical character and can be applied in the topological algebra, general topology and functional analisys.

Key words: free topological group, M-equivalent spaces, M-equivalent mappings, M-equivalent pairs, free paratopological group.

Підписано до друку 17.01.2007 р. Формат 60x84/16. Папір офсетний.

Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Зам 33. Наклад 100.

Відруковано в НВЕД УАД.

79008, м. Львів, пл. Митна, 1

Размещено на Allbest.ru

...