Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОРБАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра алгебры и математической логики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В СТЕРЕОМЕТРИИ

Выполнил:

Студент

Шаранова Екатерина

Вячеславовна

Научный руководитель:

Горечин Егор

Николаевич

Тюмень 2015

Оглавление

Введение

1. Стереометрия

1.1 Предмет стереометрии

1.2 Аксиомы стереометрии

2. Прямоугольная система координат в пространстве

2.1 Координаты вектора

3. Векторный метод решения стереометрических задач

3.1 Аффинные задачи в стереометрии

3.2 Метрические задачи в стереометрии

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Векторный метод решения задач - один из самых проблемных вопросов в современной методике обучения математике. Несмотря на возможности векторного метода для решения большого круга задач, реализации внутри- и межпредметных связей, развития навыков математического моделирования, многие методисты отводят векторному аппарату незначительную роль в курсе математики.

Традиционно одной из самых сложных тем курса геометрии является тема «Применение векторов к решению задач». В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод является одним из широко употребляемых и современных методов решения задач.

Таким образом, учитывая все выше сказанное, можно выделить следующие цели изучения векторного метода при решении математических задач:

-дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

-использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

-формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность и др.

1. Стереометрия

1.1 Предмет стереометрии

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять. Простейшими и основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости, также геометрические тела и их поверхности.

В отличии от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отдельную от остальной части пространства поверхностью - границей этого тела. Так, например, граница шара (рис. 1, а) есть сфера, а граница цилиндра (рис. 1, б) состоит из двух кругов - оснований цилиндра и боковой поверхности.

При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое дает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств.

1.2 Аксиомы стереометрии

Плоскость - основная фигура, рассматриваемая в стереометрии. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру стоит представлять себе простирающейся неограниченной во все стороны. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система ряда аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть знакома нам из курса планиметрии.

Вот несколько аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве:

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. (Рис. 2)

2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Рис. 3)

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которых лежат все общие точки этих плоскостей. (Рис. 4) ВЕКТОР

Векторное решение многих стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии («чисто геометрически»). Причина этого «упрощения» заключается в том, что при векторном методе решения можно обойтись без тех дополнительных построений, которые следует выполнять (аргументированно!) при «чисто геометрическом» решении даже простых задач.

Вместе с тем, чтобы векторы стали аппаратом решения геометрических задач, необходимо уметь переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику (на «векторный язык»), затем выполнять соответствующие алгебраические операции над векторами и, наконец, полученный в векторной форме результат переводить «обратно», на «геометрический язык». Знание условий коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной форме решать аффинные задачи стереометрии -- задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей. Свойства скалярного произведения двух векторов, условия перпендикулярности двух векторов позволяют легко перевести в векторную форму отношения перпендикулярности прямых и плоскостей и с помощью векторов решать метрические задачи -- задачи, в которых находят расстояния, углы, площади, объемы геометрических фигур.

2. Прямоугольная система координат в пространстве

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (рис. 5). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка - началом координат.

Начало координат разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч - отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Первая координата точки М называется абсциссой и обозначается обычно буквой х, вторая - ординатой и обозначается буквой у, третья координата - аппликатой, буквой z. Если М(x; y; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.

2.1 Координаты вектора

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через iединичный вектор оси абсцисс, через j- единичный вектор оси ординат и через k - единичный вектор оси аппликат. Векторы i, j, k назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектора можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде

a=xi+yj+zk

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. аксиома пространство стереометрия векторный

Коэффициенты x, y и z в разложении вектора a по координатным векторам называются координатами вектора a в данной системе координат. Координаты вектора a будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: a{x; y; z}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0=0i+0j+0k, то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны.

Правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число:

1) Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2) Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3) Каждая координата произведения вектора на число равно произведению соответствующей координаты вектора на это число.

3. Векторный метод решения стереометрических задач

При решении геометрических задач, кроме традиционных методов с использованием алгебры и тригонометрии, могут применяться и другие методы, в частности, векторный. Умение пользоваться векторами требует определённых навыков. Надо научиться переводить геометрические утверждения на векторный язык, а также, наоборот, векторные соотношения истолковать геометрически. Векторный метод, как и любой другой, применим не всегда. Умение заранее предвидеть, годится ли он для решения конкретной задачи или нет, вырабатывается опытом.

Естественно вначале научиться применять векторы к решению планиметрических задач. Такие задачи можно найти в книге автора «Задачи по планиметрии и методы их решения» и других учебных пособиях.

В настоящей главе помещены планиметрические задачи, в § 3.1 -- задачи на параллельность, принадлежность трёх точек одной прямой и четырёх точек одной плоскости, на отношение отрезков параллельных прямых. Такие задачи называют аффинными. Для их решения используются операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число и их свойства. Задачи на вычисление расстояний, углов и некоторые другие, помещённые в § 3.2не могут быть решены только с помощью указанных операций и требуют применения скалярного произведения векторов. Такие задачи называются метрическими.

3.1 Аффинные задачи в стереометрии

Свойства аффинных преобразований:

1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость:

- каждая точка имеет образ и притом только один;

- разные точки имеют разные образы;

- каждая точка области значений имеет прообраз.

2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.

3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.

4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые - в пересекающиеся прямые, а параллельные - в параллельные.

5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.

7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7 , 12:5, 12:1

1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в которой проведены медианы (а быть медианой - это аффинное свойство), на медианах взяты пропорциональные отрезки ( при аффинном преобразовании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту задачу можно решить для “удобной” пирамиды, а затем с помощью аффинного преобразования перенести результат на произвольную.

2) Решим задачу для пирамиды, у которой три плоских угла при вершине прямые. Поместим новую пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ (рис. 6).

3) Проведем медиану OO1 на одной из граней. O1A1и O1B1 - средние линии треугольника АОВ. Точка, такая что. Тогда координаты точки К(), или, учитывая, что A1 и B1 середины соответственно ОА и ОВ, К(). На другой грани проведем медиану OO2. На ней отметим точку М, такую чтоOM:MO2=3:1.Аналогично находим координаты М(или М. Наконец, точка N лежит на медианеOO3иON:NO3=2:1, тогда Nили N(0.

Анализируя, выберем сами удобные числовые координаты для точек А(40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).

Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких точкахX`, Y`, Z` . Найдем сначала координаты точки X` (х; 0; 0). ТочкаX` (KMN), если существуют такие, что, допустим(это векторы). Запишем координаты векторов(15; -5; 1),(16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений. Решаем ее: умножим второе уравнение на 8, получим.Далее, сложив второе и третье, имеем. Откуда найдеми х.

Нам надо найти отношение.Значит, точка X` делит ребро ОА в отношении 12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон.

Решив задачу на “удобной” пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.

Если бы в условии данной задачи была предложена “удобная” пирамида, наверное, кто-то из учеников сделал хотя бы попытки решить задачу.Метод аффинных преобразований позволяет трудные факты свести к легкому доказательству.

3.2 Метрические задачи в стереометрии

1. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, у которой SA = = AB = 1. К - центр грани SCD. Вычислить угол между прямыми AS и ВК.Решение: решим задачу векторно-координатным методом. Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 7. Примем отрезок ОА за единичный.

Рис. .

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Из точки С опустить перпендикуляр на плоскость A1BD.

Решение: С1А1ВD - правильный тетраэдр (рис. 8), так как все его ребра являются диагоналями равных квадратов (граней куба). Построим его высоту С1К, учитывая, что точка К - это точка пересечения медиан треугольника, лежащего в основании тетраэдра. Полученная высота определит направление искомого перпендикуляра.

Прямая C1К перпендикулярна прямой А1N. Проведем через точку С прямую параллельно прямой С1К. Она пересечет прямую А1N в точке Н.

Прямая СН - искомый перпендикуляр.

Рис. 8

Заключение

При решении геометрических задач, кроме традиционных методов с использованием алгебры и тригонометрии, могут применяться и другие методы, в частности, векторный. Умение пользоваться векторами требует определённых навыков. Надо научиться переводить геометрические утверждения на векторный язык, а также, наоборот, векторные соотношения истолковать геометрически. Векторный метод, как и любой другой, применим не всегда. Умение заранее предвидеть, годится ли он для решения конкретной задачи или нет, вырабатывается опытом.

Следует отметить, что векторный аппарат применим к решению большого круга задач :

1. геометрических: аффинные и метрические задачи на плоскости, стереометрические задачи повышенного уровня сложности, задачи, в решении которых векторный метод сочетается с другими методами (метод преобразований, метод ГМТ, координатный метод и т.д.);

2. алгебраических: решение систем уравнений, смешанных систем, некоторые уравнения и неравенства (тригонометрические, иррациональные и т.п.), задачи на отыскание экстремума;

3. прикладных: задачи из курса механики, задачи из других разделов физики, задачи из других областей приложений математики.

Список использованной литературы

1. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Аганасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 11-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 206с.

2. Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения/ Э.Г. Готман - М.: МЦНМО, 2006. - 160с.

Размещено на Allbest.ru