Вычисление пределов
Применение правила Лопиталя и метода интегрирования. Частный вид наклонной асимптоты. Глобальные и локальные экстремумы. Участки монотонности и точки экстремумов. Определение объема тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.10.2015 |
| Размер файла | 145,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Российская Федерация
Министерство образования и науки
ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет»
Институт дистанционного образования
«Управление персоналом»
Контрольная работа
По дисциплине: Математика
Выполнила:
Студентка 1 курса
Факультета заочного обучения
Нуриева Д.Ж.
Специальность: 080400.62
Проверил:
Хохлов Алексей Григорьевич
Задание 1
асимптота экстремум абсцисса
Вычислить предел
Решение:
Так как при получим неопределенность вида . Для нахождения предела применим первый замечательный предел и его следствия.
Поэтому получаем
Применяем правило Лопиталя:
Снова применяем правило Лопиталя:
Таким образом,
Задание 2
Найти асимптоты функции
Решение:
Так как в точках функция имеет разрыв, то прямые есть вертикальные асимптоты.
Найдем наклонные асимптоты вида
,
где ,
Получаем
,
Получили частный вид наклонной асимптоты - горизонтальную асимптоту
Задание 3
Определить глобальные экстремумы при х[3,4]
Решение:
Глобальные экстремумы могут находиться либо в точках локальных экстремумов либо на концах промежутков. Поэтому найдем локальные экстремумы и если они принадлежат промежутку, то вычислим в них значение функции.
Находим первую производную и приравниваем ее к нулю:
,
Точка - подозрительная на экстремум. Но так как она не принадлежит указанному в условии задач промежутку, то находим значения функции только на концах промежутка.
, .
Таким образом, глобальный минимум . Глобальный максимум -
Задание 4
Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
Решение:
Найдем первую производную и приравняем ее к нулю:
,
Подозрительные на экстремум точки:
Рассмотрим поведение производной:
Таким образом, график функции на участке монотонно убывает. На участке - монотонно возрастает. Так как в точках производная меняет знак с минус на плюс, то эти точки - точки локального минимума. Так как в точке производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка локального максимума.
Построим эскиз графика
Задание 5
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Решение:
Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
Получили подозрительную на перегиб точку: .
Рассмотрим поведение второй производной:
На участке вторая производная отрицательная, значит график функции выпукл вверх. На участке вторая производная положительная, значит график функции выпукл вниз Таким образом, точка - точка перегиба.
Задание 6
Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
Решение:
а) В точке функция терпит разрыв, значит, областью определения функции является . Прямая - вертикальная асимптота.
б) , . Таким образом, областью значения является вся числовая ось ординат.
в) Пересечение с осями координат: если , то . То есть с осями координат график функции не пересекается.
г) Проверим четность, нечетность. Так как , то функция нечетная.
д) Найдем асимптоты. - вертикальная асимптота.
Наклонные асимптоты ищем в виде
,
где , .
Получаем
,
Таким образом, наклонная асимптота имеет вид
е) Найдем участки монотонности и точки экстремумов. Определим первую производную и приравняем ее к нулю:
Критические точки: . Рассмотрим поведение первой производной:
Таким образом, на участке график функции монотонно возрастает. На участке - монотонно убывает. Точка - локальный максимум. Точка - локальный минимум.
ж) Найдем участки выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
Точек перегиба нет
Рассмотрим поведение второй производной:
Таким образом, на участке график функции выпукл вверх. На участке - выпукл вниз.
з) Построим график функции
Задание 7
Найти локальные экстремумы функции
Решение:
Для нахождения локального экстремума решим систему уравнений:
Получаем
Отсюда получаем единственную стационарную точку .
Для определения характера этой точки рассмотрим , где
, ,
Итак, , , и тогда . Так как и , то точка - точка минимума.
Задание 8
Определить экстремумы функции ,если , х>0, у>0
Решение:
Для нахождения экстремумов в заданной области мы находим локальные экстремумы и наибольшие и наименьшие значения на границах области.
Рассмотрим систему уравнений
Отсюда
Получили бесконечное количество точек, которые не соответствует условию задачи . Поэтому из рассмотрения этот ряд точек исключаем.
Теперь рассмотрим границу нашей области: . Выразим отсюда . Подставляя это в функцию получаем функцию одной переменной:
Найдем локальные экстремумы для этой функции:
,
По условию задачи , поэтому рассмотрим только точку .
Тогда из уравнения находим что .
По условию задачи , поэтому точка нас удовлетворяет.
Получили точку , значение функции в которой равно .
Таким образом, наибольшее значение функция достигает в точке А, где . Наименьшего значения нет.
Задание 9
Найти неопределенный интеграл
Решение:
Выделим полный квадрат в знаменателе
Так как табличный интеграл
,
где , то
Применим метод интегрирования по частям
Пусть , тогда
Тогда
Задание 10
Вычислить
Решение:
Пусть теперь . И если раньше переменная х менялась от 0 до 1, то теперь переменная t меняется тоже от 0 до 1. Получаем
Задание 11
Определить объем тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми
Решение:
Изобразим на координатной плоскости фигуру:
Так как объем тела вращения плоской фигуры находится по формуле
Тогда
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
контрольная работа [425,4 K], добавлен 18.10.2010Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. Нахождение локальных экстремумов функции. Интегральное исчисление функции, пределы интегрирования. Практический пример определения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми.
контрольная работа [950,4 K], добавлен 20.01.2014Решение задач по геометрии. Составление кроссвордов на тему "Тела и фигуры вращения". Математика и история. Модель "Седла" - пример криволинейной поверхности. Изучение основных тел. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Теорема Пифагора.
творческая работа [688,6 K], добавлен 13.04.2014Изменение порядка интегрирования функции. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск предела интегрирования. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [249,8 K], добавлен 28.03.2014Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры. Первая и вторая теоремы Гульдина. Нахождение объема тела вращения плоской фигуры. Использование интеграла вместо обыкновенной суммы.
курсовая работа [275,3 K], добавлен 30.12.2011Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Изменение порядка интегрирования функции. Поиск предела интегрирования. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора.
контрольная работа [233,2 K], добавлен 28.03.2014Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013Исследование функции на четность-нечетность, экстремумы и интервалы монотонности, наличие асимптот и построение ее графика. Точки пересечения с осями координат. Расчет площади, ограниченной графиками функций. Поиск длины дуги кривой, заданной уравнением.
контрольная работа [95,2 K], добавлен 28.03.2014Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008
