Особенности стиля математического мышления. Компьютерное моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Особенности стиля математического мышления

Мышление - это познавательная деятельность человека. Продуктами или результатом мышления является мысль (понятие, смысл, идея). Мышление противопоставляют «низшим» способам освоения мира в форме ощущения или восприятия, которые свойственны, в том числе и животным. Многие философы называли мышление сущностным свойством человека. Так Рене Декарт утверждал «Я мыслю, следовательно, я существую», Паскаль называл человека мыслящим тростником.

В философии различают три вида мышления: наглядно - действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами); наглядно-образное Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления. Приемы математического мышления (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т.д.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при изучении математики. В философии различают три вида мышления: наглядно-действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами); наглядно-образное (мышление с помощью наглядных образов); теоретическое (в форме абстрактных понятий и суждений).С развитием математики как науки изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие математическое мышление, существенно выросла роль проблемы развития мышления в процессе усвоения математических знаний. Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности человека, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении системой математических знаний.

Представляет интерес характеристика А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической формы - стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в других науках.

Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления).

Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность.

В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода[9].

Для того чтобы сделать такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например, II 3, -это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собою разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.

В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания”.

Выделив основные черты математического стиля мышления, А.Я. Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер, а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, - писал Кант, - не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”[10].

Взаимодействие конкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых понятий и философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, - “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”, “производная” и т.п.

Методы математики

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики -- создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика -- обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, -- то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику -- количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде -- одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием -- обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[16]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель. Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики -- создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика -- обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, -- то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику -- количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде -- одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием -- обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Сущность экономико-математического моделирования

Моделирование (от французского слова modele - аналог, отображение, описание, образ, математическое выражение) - проведение исследований экономических явлений и процессов посредством создания моделей объектов. Сущность его состоит в создании такого аналога изучаемых явлений, процессов и предметов, в котором бы были отражены важнейшие их особенности, внутренние структурные и причинно - следственные взаимосвязи, закономерности и условия развития, а также исключены несущественные свойства.

Переход АПК к рынку поставил перед экономической наукой ряд сложных проблем, связанных с анализом последствий принимаемых решений и прогнозированием функционирования АПК в новых условиях. Решение данных задач во многом связано с разработкой адекватной системы экономико-математических моделей, которые могут и должны найти свое место в процессе анализа и прогнозирования развития АПК и аграрной науки. Более того, современная методология исследования АПК и научно-технической сферы должна включать в качестве своего важнейшего элемента систему экономико-математических моделей и электронно-вычислительных средств с программой реализации. Использование их в этих целях позволяет:

лучше понимать многообразие взаимосвязей и факторов;

обосновывать причинно-следственные зависимости;

изучать функционирование системы, когда натурный эксперимент приводит к значительным потерям времени и обходится часто очень дорого, а иногда и просто нереален в силу непредсказуемости экономических последствий;

возможность разработки различных вариантов изучаемого производственного процесса в широком диапазоне исходных условий и предположений;

синтезировать на модельном уровне стратегии управления и оценивать целесообразность их реализации на практике.

В экономике применяются абстрактные модели. Они должны отражать реальную действительность и используются в том случае, когда невозможно исследовать явление, процесс в естественных условиях. Модели применяются при анализе экономических явлений, процессов прогнозирования и планирования во всех сферах и на всех уровнях АПК.

Модели могут быть построены в форме формул, числовых выражений, таблиц (матриц), графов, логических выражений (например, блок - схема алгоритмов и программ расчетов) и др. Соответственно модели подразделяются на экономико-математические (экономико-статистические, тренды, модели уравнения, неравенств, тождеств, регрессий, экономико-метрические и др.), макроэкономические, матричные, сетевые, числовые, имитационные и другие.

В экономике чаще всего используются экономико-математические модели, так как они более удобны для изучения сложных систем. Экономико-математическая модель представляет собой математическое описание изучаемого явления, процесса или объекта.

По уровню агрегирования все известные модели можно разделить на:

метамодели (блоки сельского хозяйства и продовольствия в моделях глобального развития);

макромодели (рациональные модели сельского хозяйства и пищевой промышленности);

региональные модели;

многопродуктовые модели;

модели продуктовых подкомплексов;

модели агропромышленных формирований и специализированных предприятий;

модели отдельных социально-экономических процессов и явлений.

В зависимости от целевого назначения все модели подразделяются на аналитические и прогнозные (краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные). Краткосрочное прогнозирование предполагает горизонт прогнозирования до года с разбивкой по месяцам. Среднесрочное и долгосрочное прогнозирование отличаются горизонтами прогнозирования, но в том и другом случае задача, как правило, решается с шагом 1 год. Соответственно меняются качественные характеристики и количественные показатели факторов, определяющих динамику процесса.

Модели, в которых описывается моментное состояние экономики, называются статистическими. Модели, в которых рассматривается развитие процесса во времени, с учетом обратных связей, относятся к классу динамических. Модели, предназначенные для описания наблюдаемых явлений, принято называть дескриптивными. В свою очередь, если модель предназначена для нахождения желательного (оптимального) состояния объекта исследования, ее относят к так называемым нормативным моделям.

Если модель допускает аналитическое описание составляющих ее процессов, а решением задачи является единственно возможный результат, такая модель является детерминированной. Модели, в которых параметры представлены случайными величинами, а результат определяется не однозначно, относятся к стохастическим.

В зависимости от представления переменных (непрерывные или дискретные величины) выделяется класс непрерывных и дискретных моделей. Если модель содержит только эндогенные переменные (то есть экономический процесс определяется только внутренними для настоящей системы факторами), то ее относят к так называемым закрытым (замкнутым) моделям. Открытые модели, напротив, позволяют анализировать влияние экзогенных (внешних) факторов на объект исследования.

Компьютерное моделирование

Компьютерная модель (англ. computer model), или численная модель (англ. computational model) -- компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров (вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы. Компьютерные модели стали обычным инструментом математического моделирования и применяются в физике, астрофизике, механике, химии, биологии, экономике, социологии,метеорологии, других науках и прикладных задачах в различных областях радиоэлектроники, машиностроения, автомобилестроения и проч. Компьютерные модели используются для получения новых знаний о моделируемом объекте или для приближенной оценки поведения систем, слишком сложных для аналитического исследования.

Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу их возможности проводить т. н. вычислительные эксперименты, в тех случаях когда реальные эксперименты затруднены из-за финансовых или физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат. Логичность иформализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемого объекта-оригинала (или целого класса объектов), в частности, исследовать отклик моделируемой физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.

Построение компьютерной модели базируется на абстрагировании от конкретной природы явлений или изучаемого объекта-оригинала и состоит из двух этапов -- сначала создание качественной, а затем и количественной модели. Компьютерное же моделирование заключается в проведении серии вычислительных экспериментов накомпьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта и, при необходимости, последующее уточнение модели и т. д.

К основным этапам компьютерного моделирования относятся:

§ постановка задачи, определение объекта моделирования;

§ разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия;

§ формализация, то есть переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы;

§ планирование и проведение компьютерных экспериментов;

§ анализ и интерпретация результатов[2].

Различают аналитическое и имитационное моделирование. При аналитическом моделировании изучаются математические (абстрактные) модели реального объекта в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, а также предусматривающих осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению. При имитационном моделировании исследуются математические модели в виде алгоритма(ов), воспроизводящего функционирование исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Практическое применение

Компьютерное моделирование применяют для широкого круга задач, таких как:

· анализ распространения загрязняющих веществ в атмосфере

· проектирование шумовых барьеров для борьбы с шумовым загрязнением

· конструирование транспортных средств

· полетные имитаторы для тренировки пилотов

· прогнозирование погоды

· эмуляция работы других электронных устройств

· прогнозирование цен на финансовых рынках

· исследование поведения зданий, конструкций и деталей под механической нагрузкой

· прогнозирование прочности конструкций и механизмов их разрушения

· проектирование производственных процессов, например химических

· стратегическое управление организацией

· исследование поведения гидравлических систем: нефтепроводов, водопровода

· моделирование роботов и автоматических манипуляторов

· моделирование сценарных вариантов развития городов

· моделирование транспортных систем

· имитация краш-тестов

Различные сферы применения компьютерных моделей предъявляют разные требования к надежности получаемых с их помощью результатов. Для моделирования зданий и деталей самолетов требуется высокая точность и степень достоверности, тогда как модели эволюции городов и социально-экономических систем используются для получения приближенных или качественных результатов.

Библиографический список

математический мышление моделирование

Гильде В. Зеркальный мир. - М., Мир, 2007г.

Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005 г.

Юшкевич А.П. история математики. Т.1-3.-М., Наука,2007 г.

Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии.-М., Наука, 2005 г.

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - Физматлит,2007 г.

Размещено на Allbest.ru