Натуральные числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Натуральные числа

Введение

Число понимается и принимается (многими) античными мыслителями как первая сущность, определяющая все многообразные внутрикосмические связи мира, основанного на мере и числе, соразмерного (симметричного) и гармоничного. Каким же мыслителям свойственен такой взгляд? Среди греческих мыслителей, прежде всего пифагорейцы, а вслед за ними и академики обращали особое внимание на роль числа в познании и конституировании мира: «Числу все вещи подобны», - утверждает Пифагор. Не следует, однако, понимать это утверждение так, как истолковывает его Аристотель, а именно, что все вещи состоят из числа, поскольку число допустимо лишь мыслить, но нельзя искать среди вещей. Как поясняет просвещенная Теано, «и многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем, он говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, так как в числе - первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе и т. д.».

Таким образом, число выступает как принцип познания и порождения, ибо позволяет нечто различать, мыслить как определенное, вносить предел в мир и мысль. Поэтому число - первое из сущего, чистое бытие, - как таковое оно есть нечто божественное: «…Природа числа, - говорит Филолай, - познавательна, предводительна и учительна для всех во всем непонятном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей - ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому, если бы не было числа и его сущности». Число есть чистое идеальное бытие, первый образ безобразного Блага и первый прообраз всего существующего. Поэтому число - наиболее достоверное и истинное, первое во всей иерархии сущего, начало космоса.

Число играет первенствующую роль и в так называемом неписанном, или эзотерическом, учении Платона, незафиксированном в текстах самого Платона и дошедшем до нас лишь в реконструированном виде из отдельных свидетельств его учеников и последователей. Согласно этому учению, следы которого мы находим у Аристотеля, его ближайшего ученика Теофраста и позднеантичных неоплатоников, в основе всего лежит единица - начало тождественности, принцип формы и неопределенная двоица - принцип инаковости, или материи, которыми и порождается вся иерархия сущего - эйдосы и числа, души и геометрические объекты, физические тела. Принцип числа оказывается тем основанием, на котором покоится (более позднее) античное миросозерцание с его обостренным переживанием бытия, присутствующего в космосе, но не смешанного с ним.

1. Число, как основное понятие математики

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Существует большое количество определений понятию «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 - около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский - родоначальник греческой стихийно-материалистической философии - учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное - кратной частью единицы, иррациональное - число, не соизмеримое с единицей».

2. Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.). Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь». О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек». Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка - сорок ведер и т.д. Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов. Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - мириада), равное 10 000, а за пределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» - 10¹², «леодр» - 10²⁴, «ворон» - 10⁴⁸, «колода» - 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует. В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х10¹⁶ , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности ?.

3. Аксиомы натуральных чисел

Как известно, аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых, основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Вошедшая во всеобщее употребление система аксиом натуральных чисел была предложена итальянским математиком и логиком, профессором Туринского университета Джузеппе Пеано (1858-1932) в статье «О понятии числа», опубликованной в 1891 г. Вот как формулировал Пеано свои пять аксиом:

О есть натуральное число.

Следующее за натуральным числом есть натуральное число.

О не следует ни за каким натуральным числом.

Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.

Аксиома полной индукции: если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Итак, с аксиоматической точки зрения мы имеем дело с двумя основными понятиями: «натуральные числа» (объект) и «непосредственно следует за» (соотношение). Эти понятия косвенно определяются системой аксиом. Излагаемая в настоящее время в учебных руководствах система аксиом натуральных чисел лишь по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа -- это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b установлено отношение «b следует за а» (число, следующее за а, обозначается а*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

Существует натуральное число 1, непосредственно не следующее ни за каким натуральным числом, т. е. для любого, а имеем: а*1. Для каждого натурального числа, а существует одно и только одно непосредственно за ним следующее натуральное число а*, т.е. а = b а* = b*.Любое натуральное число, кроме 1, непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом, т. е. если а1, то из а*=b*а=b. Аксиома индукции. Пусть М -- подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами: а) 1 принадлежит М, б) если натуральное число, а принадлежит М, то а* также принадлежит М; тогда множество М содержит все натуральные числа, т.е. М совпадает с N.

То, что в первоначальной формулировке (Пеано) первый элемент есть 0, а не 1, не имеет принципиального значения. Дело в том, что в настоящее время нуль причисляется не к натуральным, а к целым числам. Символы 1, 2, 3, ..., которыми обычно обозначают натуральные числа, были выработаны, как мы уже знаем, на протяжении веков. На основе аксиом 1--4 можно определить арифметические действия и построить всю арифметику натуральных чисел чисто дедуктивным путем. В частности, на основе аксиомы 4 доказывается следующее предложение: если некоторая теорема Т, в формулировку которой входит натуральное число n, верна для n=1 и в предположении, что она верна для n, будет верна и для n+1, то Т верна для любого натурального числа. Это предложение, эквивалентное аксиоме 4, называют принципом математической индукции. На этом принципе и основан метод математической индукции, с помощью которого доказывают многие теоремы арифметики, алгебры, теории чисел и геометрии. Под индукцией (от латинского inductio -- наведение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.

4. Функции натуральных чисел

Натуральные числа имеют две основные функции:

характеристика количества предметов;

характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.). Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи.

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида М_р = 2^р -1, где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М₂=3, М₃=7, М₅=31, М₇=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число М₁₁=2047=23 ^. 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М₂, М₃, М₅, М₇, М₁₃, М₁₇, М₁₉, М₃₁. То, что М₃₁ - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М₁₂₇=170141183460469231731687303715884105727 - простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М. Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М₆₁=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М₈₉ и М₁₀₇ - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М₅₂₁, М₆₀₇, М₁₂₇₉, М₂₂₀₃, М₂₂₈₁, М₃₂₁₇, М₄₂₅₃, М₄₄₂₃, М₂₆₈₉, М₉₉₄₁, М₁₁₂₁₃ - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М₂₁₆₀₉₁ имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р. Евклид доказал, что если р и 2^р-1 - простые числа, то число Р_р=2^р-1(2^р-1)=2^р-1М_р является совершенным. Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 1,2, ... ,2^р-1,М_р,2М_р, ... ,2^р-1М_р . Их сумма S_p=(1+2+ ... +2^р-1)(М_р+1)=(2^р-1) ^. 2^р=2 ^. 2^р-1 М_р. Вычитая из S само число Р_р , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р_р равна этому числу, следовательно Р_р - совершенное число. Числа Р₂=6 и Р₃=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р₅=496 и Р₇=8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа: Р₁₃=33550336, Р₁₇=8589869056, Р₁₉=137438691328, Р₃₁=2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р_р имеют очень много цифр. До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р_17, Р_19, Р₃₁ являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р_17, Р₁₉ нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам. Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р_р начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например: Р₂=110, Р₃=11100, Р₅ =111110000, Р₇ =1111111000000 и т.д. Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2. Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{р-1 .} М_р, где М_р - простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение (Брайен Такхерман, США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

математика аксиоматический двоица

Размещено на Allbest.ru