Оцінки точності різницевих схем з урахуванням початково-крайового ефекту

Размещено на http://allbest.ru

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

УДК 519.6

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ОЦІНКИ ТОЧНОСТІ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ З УРАХУВАННЯМ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВОГО ЕФЕКТУ

01.01.07-- обчислювальна математика

ДЕМКІВ Любомир Ігорович

КИЇВ-- 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Хіміч Олександр Миколайович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу програмного забезпечення та рішень задач

кандидат фізико-математичних наук, доцент Кутнів Мирослав Володимирович, Національний університет “Львівська політехніка”, доцент кафедри прикладної математики

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка МОН Ураїни, м. Львів, кафедра обчислювальної математики

Захист відбудеться “03” жовтня 2006 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України: 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3

Автореферат розісланий “ 30” серпня 2006р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Значне число задач фізики та техніки при дослідженні їх за допомогою математичного моделювання приводять до лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними (рівняння математичної фізики).

Одним із самих розповсюджених чисельних методів є метод сіток. Це обумовлено його універсальністю та простотою реалізації.

Теорія методу сіток або, як її ще називають, теорія різницевих схем була створена завдяки працям Вазова В., Форсайта Дж., Bramble J.H., Годунова С.К., Kreiss H.O., Марчука Г.І., Lax P.D., Richtmyer R.D., Тихонова А.М., Самарського О.А., Яненка М.М., Макарова В.Л., Лазарова Р.Д. і багатьох інших.

При розв'язуванні методом сіток задач математичної фізики у канонічних областях, тобто таких, що утворені координатними поверхнями (лініями), давно було помічено такий факт. Чим ближче вузол сітки знаходиться до границі сіткової області, тим точність розв'язку відповідної сіткової схеми стає вищою.

Кількісні оцінки цього крайового ефекту у спеціальних вагових нормах для задачі Діріхле для еліптичного рівняння другого порядку були вперше анонсовані В.Л. Макаровим у 1987р. у Доповідях АН Болгарії. До останнього часу ідеї, викладені у зазначеній роботі, не мали розвитку.

Подібна ситуація виникає при досдідженні точності різницевих схем для нестаціонарних задач математичної фізики відносно часової змінної $t$ .

Практика показує, що чим ближче вузол просторово-часової сітки до шару $t=0$ , тим вища швидкість збіжності відповідної різницевої схеми (початковий ефект). Кількісні дослідження початкового ефекту різницевих схем в літературі не проводились.

Важливість дослідження початково-крайового ефекту традиційних різницевих схем та їх модифікацій не викликає сумніву, є актуальним і фактично формує новий напрямок в теорії методу сіток.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі обчислювальної математики в рамках науково-дослідних тем "Чисельно-аналітичні методи розв'язування диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами та обробка інформаційних даних" (номер держреєстрації 0101U000371) 2001-2005 рр. та "Методи теорії наближень та чисельні методи для дослідження та керування нелінійними фізичними процесами в реальних неоднорідних середовищах" (номер держреєстрації 0105U000773) 2004-2005 рр.

Мета і завдання дослідження. Для вивчення крайового ефекту дослідити властивості різницевих функцій Гріна стосовно їх поведінки біля границі області.

На основі цих властивостей одержати нові вагові оцінки точності різницевих схем, що апроксимують крайові задачі для рівнянь еліптичного типу з різними крайовими умовами. Дослідити початковий ефект різницевих схем, що апроксимують початково-крайові задачі для рівнянь параболічного типу. Отримані теоретичні результати підтвердити чисельними експериментами. При цьому розглянути як лінійний, так і квазілінійний випадки та знайти достатні умови, які б забезпечували гладкість вхідних даних диференціальних задач, що гарантувало б справедливість всіх наведених апріорних оцінок.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використовується теорія різницевих схем, теорія рівнянь з частинними похідними, функціональний аналіз.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

· Для лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле в 1-D, 2-D знайдено вагові апріорні оцінки, що враховують початково-крайовий ефект.

· Для задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними у прямокутнику знайдено вагові оцінки точності відповідної різницевої схеми, що враховують крайовий ефект. При цьому було використано оригінальні оцінки різницевої функції Гріна.

· Для всіх вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, у випадку умов Діріхле в термінах гладкості вхідних даних знайдені достатні умови, що гарантують справедливість цих оцінок.

· Для звичайного диференціального рівняння другого порядку з крайовими умовами третього роду знайдено вагові апріорні оцінки точності модифікованої різницевої схеми (через перехід до системи рівнянь першого порядку), що враховують крайовий ефект як для розв'язку, так і для його похідної.

Показано, що використання традиційної різницевої схеми для одержання відповідних вагових апріорних оцінок накладає більш жорсткі умови на гладкість розв'язку вихідної диференціальної задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати є внеском в теорію різницевих схем.

Оскільки в дисертації не використовуються "екзотичні" різницеві схеми, а лише традиційні або їх модифікації, то результати, одержані в дисертації, можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, які приводять до лінійних (квазілінійних) рівнять параболічного та еліптичного типів (задач гідродинаміки, механіки, електродинаміки тощо).

Розроблена методика одержання вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, може бути використана при дослідженні інших класів задач математичної фізики та для неканонічних областей. Матеріали дисертації можуть бути використані при читанні спецкурсів у класичних та політехнічних університетах.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримано автором самостійно. В публікаціях, що написані у співавторстві, науковому керівнику чл.-кор. НАН України Макарову В.Л. належить постановка задачі та участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на Міжнародній науковій конференції "Обчислювальна математика та математичні проблеми механіки" (Дрогобич, 2001р.), Міжнародному симпозіумі " 4th IMACS Symposium on Mathematical Modelling" (Відень, Австрія, 2003р.), Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2003р.), Міжнародній конференції "Numerical Analysis and Applications" (Руссе, Болгарія, 2004р.), Міжнародній конференції "Large-Scale Scientific Computations" (Созополь, Болгарія 2005р.), Міжнародній конференції "Applications of Mathematics in Engineering and Economics" (Созополь, Болгарія, 2005р.), семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика" (Інститут математики НАН України, 2005р.). Результати, що складають перший розділ дисертації удостоєно грамоти Президій НАН України на конкурсі молодих вчених і студентів вищих навчальних закладів у 2001р.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в десяти роботах. Серед них п'ять статей [1-5] та п'ять тез доповідей на конференціях [6-10].Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 129 сторінок, складається зі вступу, семи розділів, висновку та списку використаних джерел з 64 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі наводиться загальна характеристика дисертаційної роботи: обґрунтовується актуальність вибраної теми, анонсуються основні отримані результати та висвітлюється їх практичне та теоретичне значення.

Перший розділ дисертації присвячено огляду літератури на тему роботи. Проведено аналіз відомих на даний час результатів, які стосуються теорії різницевих схем, наведено постановки задач, розглянутих у дисертаційній роботі. параболічний квазілінійний рівняння

Другий розділ роботи присвячено знаходженню апріорних оцінок точності різницевих схем для звичайних диференціальних рівнянь.

Коефіцієнти $k(x); q(x); f(x)$ є кусково-гладкими функціями зі скінченним числом точок розриву.

Для розв'язання цієї задачі шляхом апроксимації за допомогою різницевої схеми введено сіткову область:

Сітку задано так, щоб точки розриву функцій $k(x); q(x); f(x)$ збігалися з вузлами сітки. У точках розриву розв'язок задачі підпорядковано умовам неперервності .

Доведено, що для задачі існує тільки одна точна триточкова різницева схема, яка має єдиний розв'язок, що співпадає з розв'язком у вузлах сітки ${ _{h $ . Для збуреної різницевої схеми доведено теорему про коефіцієнтну стійкість.

У підрозділі 2.2 було застосовано метод розвинення у ряд Тейлора. Для підтвердження отриманих теоретичних результатів у підрозділі 2.3 було проведено кілька практичних експериментів.

Результати розрахунків наведено в таблиці 2.1. Для розв'язування прикладів було використано пакет Maple, Digits=40.

Таблиця 2.1

	Приклад 2.1	Приклад 2.2
$N$	$err$	$p$	$err$	$p$
16	$0.584*10^{-7 $		$0.449*10^{-6 $
32	$0.991*10^{-9 $	5.880	$0.702*10^{-8 $	5.998130
64	$0.161*10^{-10 $	5.937	$0.109*10^{-9 $	5.999280
128	$0.258*10^{-12 $	5.967	$0.171*10^{-11 $	5.999883
256	$0.408*10^{-14 $	5.983	$0.268*10^{-13 $	5.999970
512	$0.642*10^{-16 $	5.991	$0.419*10^{-15 $	5.999989
1024	$0.100*10^{-17 $	5.995	$0.655*10^{-17 $	5.999998

У третьому розділі, отримані результати було узагальнено на випадок параболічних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. У підрозділі 3.1 спочатку знайдено оцінки точності, що враховують крайовий ефект, а потім - початковий.

У пункті 3.1.1 було досліджено крайовий ефект. Використовуючи оператор точних триточкових різницевих схем побудовано різницеву схему. Точність різницевої схеми характеризується ваговою апрiорною оцінкою в явному вигляді.

У пункті 3.1.2 при дослідженні оцінок, які враховують початковий ефект, було доведено теорему.

У підрозділі 3.2 отримані в попередньому підрозділі результати узагальнено на двовимірний випадок. Для побудови різницевої схеми, якою апроксимовано задачу, було введено сіткову область. За допомогою операторів точних різницевих схем побудовано різницеву схему .

В цьому підрозділі також доведено другу основну нерівність для різницевого оператора другого порядку та знайдено оцінку різницевої функції Гріна. Отримано вагові апріорні оцінки точності різницевої схеми з врахуванням початкового та крайового ефектів відповідно.

В четвертому розділі знайдено оцінки точності різницевих схем для квазілінійних параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект. В підрозділі 4.1 встановлено вагові апріорні оцінки точності різницевих схем, що враховують крайовий ефект.

Розглянуто початково-крайову задачу для квазілінійного параболічного рівняння. Були використано оцінки для функції Гріна.

Для підтвердження справедливості теоретичних результатів, отриманих в розділі, були розв'язані практичні задачі.

На кожному кроці за $t$ відповідне нелінійне рівняння розв'язувалось методом Ньютона. Для всіх $N$ для досягнення потрібної точності достатньо було зробити 3 - 4 ітерації за методом Ньютона.

Для практичної оцінки швидкості збіжності будемо використовувати величини при $tau =h$

Результати обчислень наведено в таблиці 4.1. Для чисельних розрахунків було використано пакет Maple 9.5.

Таблиця 4.1

$N$	$err_{1 $	$p_{1 $	$err_{2 $	$p_{2 $	$err_{3 $	$p_{3 $
4	$0.393*10^{-4 $		$0.144*10^{-3 $		$0.215*10^{-4 $
8	$0.171*10^{-4 $	1.1998	$0.105*10^{-3 $	0.4633	$0.994*10^{-5 $	1.1189
16	$0.382*10^{-5 $	2.1626	$0.399*10^{-4 $	1.3962	$0.277*10^{-5 $	1.8407
32	$0.860*10^{-6 $	2.1531	$0.120*10^{-4 $	1.7249	$0.752*10^{-6 $	1.8841
64	$0.194*10^{-6 $	2.1442	$0.345*10^{-5 $	1.8072	$0.196*10^{-6 $	1.9364
128	$0.443*10^{-7 $	2.1348	$0.890*10^{-6 $	1.9560	$0.500*10^{-7 $	1.9723

Отже, бачимо, що чисельні розрахунки підтверджують теоретичні результати.

П'ятий розділ присвячений дослідженню квазілінійних еліптичних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, що враховують крайовий ефект.

В цьому розділі одержано вагові апріорні оцінки, які враховують крайовий ефект, для традиційних різницевих схем, які апроксимують з другим порядком крайову задачу

У першому підрозділі п'ятого розділу, використовуючи дискретний аналог принципу Бернштейна та другу основну нерівність для різницевого оператора другого порядку (яка доведена в третьому розділі), знайдено оцінку різницевої функції Гріна.

Для підтвердження отриманих результатів у підрозділі 5.3 було проведено кілька чисельних експериментів

Результати обчислень наведено в таблиці 5.1. Для чисельних розрахунків було використано Fortran PowerStation 4.0.

Таблиця 5.1

	Приклад 5.1	Приклад 5.2
N	err	p	err	p
4	$2.792*10^{-3 $		$5.782*10^{-2 $
8	$2.405*10^{-3 $	1.23	$1.458*10^{-2 $	1.78
16	$7.682*10^{-4 $	1.77	$3.686*10^{-3 $	1.90
32	$1.999*10^{-4 $	1.91	$9.241*10^{-4 $	1.96
64	$5.093*10^{-5 $	1.96	$2.315*10^{-4 $	1.98
128	$0.266*10^{-5 $	1.98	$8.597*10^{-5 $	1.99

Проведені експерименти показують непокращуваність за порядком теоретичних вагових апріорних оцінок.

Метою шостого розділу є розвиток вищезазначених ідей на випадок квазілінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з умовами третього роду.

На відміну від попередніх розділів роботи, у цьому розділі показано, що при наближенні до відповідної частини границі області збільшується швидкість збіжності не самого розв'язку, а швидкість збіжності його першої похідної. Для цього було використано спеціального вигляду різницеву схему другого порядку точності.

В першому підрозділі розглянуто крайову задачу з умовами третього роду. За допомогою заміни можна перейти від умови третього роду до умови Неймана. Функція $f(x,u(x))$ задовольняє умову Ліпшиця

Побудуємо модифіковану різницеву схему. З цією метою задачу переписано у вигляді крайової задачі для системи диференціальних рівнянь першого порядку. Для апроксимації даної задачі різницевою схемою, введено сітку.

З наближенням до границі області з права, швидкість збіжності похідної розв'язку збільшується, а з наближенням до границі зліва, збільшується швидкість збіжності самого розв'язку. Причому ці швидкості збіжності є величинами порядку $O(h^2 )$ .

В другому підрозділі цього розділу проведено чисельний експеримент, результати якого підтверджують теоретичні твердження.

Обчислення проводились з використанням пакету Maple 9. Результати обчислень наведено в таблиці.

У сьомому розділі розглянуто третю крайову задачу для звичайного диференціального рівняння другого порядку на відрізку. Для традиційної різницевої схеми, що апроксимує цю задачу, було знайдено вагові апріорні оцінки точності. Ці оцінки показують як збільшується порядок точності наближення першої похідної розв'язку при наближенні до границі відрізку.

Для простоти в цьому розділі розглянуто лінійний випадок, але аналогічні результати можна було б отримати і у випадку квазілінійного рівняння. Отже, в цьому розділі досліджено крайову задачу з умовами третього роду

Отже, бачимо, що чисельні розрахунки підтверджують теоретичні результати.

Щоб перейти від крайових умов третього роду до умов Неймана, зроблено таку заміну:

Для простоти покладено ${k(x)equiv 1$, хоча отримані результати можна узагальнити і на випадок змінного коефіцієнта ${k(x)$ .

Функції ${q(x)$ та ${f(x)$ продовжено парним чином через кінці відрізка $[0,; 1]$ вправо та вліво.

Таблиця 6.1

N	$err_{1 $	$p_{1 $	$err_{2 $	$p_{2 $	$err_{3 $	$p_{3 $	$err_{4 $	$p_{4 $
4	0.127		0.237		$0.441*10^{-1 $		$0.545*10^{-1 $
8	$0.351*10^{-1 $	1.8544	$0.673*10^{-1 $	1.8204	$0.118*10^{-1 $	1.8943	$0.150*10^{-1 $	1.8611
16	$0.919*10^{-2 $	1.9364	$0.177*10^{-1 $	1.9212	$0.303*10^{-2 $	1.9694	$0.386*10^{-2 $	1.9574
32	$0.234*10^{-2 $	1.9708	$0.455*10^{-2 $	1.9635	$0.762*10^{-3 $	1.9927	$0.973*10^{-3 $	1.9884
64	$0.592*10^{-3 $	1.9861	$0.115*10^{-2 $	1.9825	$0.190*10^{-3 $	1.9986	$0.243*10^{-3 $	1.9969
128	$0.148*10^{-3 $	1.9932	$0.290*10^{-3 $	1.9913	$0.476*10^{-4 $	1.9999	$0.610*10^{-4 $	1.9992

ВИСНОВКИ

1. Для одно- та двовимірних лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле знайдено вагові апріорні оцінки, які враховують початково-крайовий ефект.

2. Для задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними у прямокутнику знайдено вагові оцінки точності відповідної різницевої схеми, які враховують крайовий ефект. При цьому були використані оригінальні оцінки різницевої функції Гріна.

3. Для всіх вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, у випадку умов Діріхле в термінах гладкості вхідних даних знайдені достатні умови, які гарантують справедливість цих оцінок.

4. Для звичайного диференціального рівняння другого порядку з крайовими умовами третього роду знайдені вагові апріорні оцінки точності модифікованої різницевої схеми (через перехід до системи рівнянь першого порядку), що враховують крайовий ефект як для розв'язку, так і для його похідної. Показано, що використання традиційної різницевої схеми для одержання відповідних вагових апріорних оцінок накладає більш жорсткі умови на гладкість розв'язку вихідної диференціальної задачі.

5. Проведено ряд чисельних експериментів, що підтверджують теоретичні результати.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Макаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект // Доповіді НАН України.-2003.-№2.-С.26-32.

2. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of the difference schemes for quasi--linear parabolic equations taking into account the initial-boundary effect // Comput. Methods Appl. Math. -2003. -Vol.3, №.4. -P.579-595.

3. Makarov V.L., Demkiv L.I., Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Lect. notes Comput. Sc. - 2005, vol.3401. -P. 80 - 90

4. Makarov V., Demkiv L. Taking into account the third kind conditions in weight estimates for difference schemes // Lect. notes Comput. Sc. -2006. -Vol.3743. -P.687 - 694.

5. Makarov V., Demkiv L. Estimates of accurancy of difference schemes for ordinary differential equations with third kind boundary conditions// Softtrade. - 2006. - P. 139 - 145.

6. Mакаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь з врахуванням початково-крайового ефекту // Міжнар. конф. ”Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки”.-Дрогобич:Дрогобицький держ. пед. ун-т. ім. Івана Франка, 2001. - С.9 - 10.

7. Mакаров В., Демків Л. Оцінки точності традиційних різницевих схем для квазілінійних параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект // Всеукр. конф. ``Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. -Львів:Львівський нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2003. - С.87.

8. Demkiv L.I. Research into initial-boundary effects of the physical processes // Proc. 4th IMACS Symp. on Math. Mod., Vienna(Austria). - 2003. -P.301.

9. Makarov V.L., Demkiv L.I. Taking into account the third kind conditions in weight estimates for difference schemes // Proc. 5th Intern. Conf. "Large Scale Scientific Computations" (LSSC'05). -Sozopol (Bulgaria):Inst. for Parallel Processing, Bulg. Acad. of Sci., 2005. -P.B-42.

10. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Proc. Third Intern. Conf. on Numer. Anal. and Appl. (NA&A'04). -Rousse(Bulgaria):Univ of Rousse, 2004. -P.27.

АНОТАЦІЯ

Демків Л.І. “Оцінки точності різницевих схем з урахуванням початково-крайового ефекту”. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації розглянуто початково-крайові задачі для лінійних та квазілінійних одно- та двовимірних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами, а також задачу Діріхле для двовимірних квазілінійних рівнянь еліптичного типу зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними.

Одержано нові вагові апріорні оцінки точності різницевих схем, що апроксимують згадані задачі, з врахуванням початково-крайового ефекту. Методика базується на вагових оцінках різницевих функцій Гріна, які є більш точними в порівнянні з відомими.

Запропоновано два підходи до одержання вагових апріорних оцінок точності різницевих схем у випадку крайових умов третього роду, що базуються на традиційних різницевих схемах та модифікованих.

Оскільки в дисертації не використовуються "екзотичні" різницеві схеми, а лише традиційні та їх модифікації, то одержані результати можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, які виникають в гідродинаміці, механіці, електродинаміці тощо.

Ключові слова: різницеві схеми, крайові умови, початкові умови, диференціальні рівняння, функція Гріна, апріорні оцінки.

АННОТАЦИЯ

Дэмкив Л. И. “Оценки точности разностных схем с учётом начально-краевого эффекта”.-Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Значительное количество задач физики и техники при исследовании их с помощью математического моделирования приводят к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнения математической физики).

При решении методом сеток задач математической физики в канонических областях, то есть таких, которые ограничены координатными поверхностями (линиями), давно был замечен такой факт. Чем ближе узел сетки находится к границе сеточной области, тем точность решения соответствующей сеточной схемы повышается. Количественные оценки этого краевого эффекта в специальных весовых нормах для задачи Дирихле для элиптического уравнения второго порядка впервые были анонсированы В.Л. Макаровым в 1987г. в Докладах АН Болгарии. До последнего времени идеи, изложенные в упомянутой работе, не имели развития. Похожая ситуация возникает при исследовании точности разностной схемы для нестационарных задач математической физики относительно временной переменной $t$ . Практика показывает что чем ближе узел пространственно-временной сетки к слою $t=0$ тем выше скорость сходимости соответствующей разностной схемы (начальный эффект). Количественные оценки исследования начального эфекта разностных схем в литературе не приводились.

Диссертация посвящена получению весовых априорных оценок точности разностных схем с учетом начально-краевого эффекта. Работа состоит из введения, семи разделов и списка литературы.

Важность исследования начально-краевого эффекта традиционных разностных схем и их модификаций не вызывает сомнения, является актуальной и фактически формирует новое направление в теории метода сеток.

Для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа с постоянными коэффициентами и условиями Дирихле в 1-D, 2-D найдены весовые априорные оценки, которые учитывают начально-краевой эффект.

Для задачи Дирихле для квазилинейного элиптического уравнения с постоянными коэффициентами и смешанными производными в прямоугольнике найдены весовые оценки точности соответствующей разностной схемы, с учетом краевого эффекта. При этом были использованы оригинальные оценки разностной функции Грина.

Для всех весовых априорных оценок, с учетом начально-краевого эффекта, в случае условий Дирихле в терминах гладкости входных данных найдены достаточные условия, которые гарантируют корректность этих оценок.

Для обычного дифференциального уравнения второго порядка с краевыми условиями третьего рода найдены весовые априорные оценки точности модифицированой разностной схемы (через переход к системе уравнений первого порядка), с учетом краевого эффекта не только относительно его решения, но и его производной. Показано, что использование традиционной разностной схемы для получения соответственных весовых априорных оценок требуєт более жестких условий на гладкость решения исходной дифференциальной задачи.

В диссертации проведена серия чисельных экспериментов, которые подтверждают теоретические результаты.

Поскольку в диссертации не используются "экзотические" разностные схемы, а только традиционные и их модификации, то полученные результаты могут быть использованы при решении широкого класса практических задач гидродинамики, механики, електродинамики и т.д. Разработаная методика получения весовых априорных оценок, которые учитывают начально-краевой эффект, может быть использована при исследовании других классов задач математической физики и для неканонических областей. Материалы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов в класических и политехнических университетах.

Ключевые слова: разностные схемы, краевые условия, начальные условия, дифференциальные уравнения, функция Грина, априорные оценки.

ANNOTATION

Demkiv L.I. “Accuracy estimates of difference schemes taking into account initial-boundary effect”. -Manuscript.

Dissertation for the candidate of physics and mathematics degree (PhD) in speciality 01.01.07 - computational mathematics. - Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, 2006.

In this dissertation initial-boundary problems for linear and quasi-linear one- and two-dimensional parabolic type problems with constant coefficients have been considered. Also Dirichlet problem for two-dimensional quasi-linear elliptic type equation with variable coefficients and mixed derivatives.

New `weight' a priori accuracy estimates of difference schemes which approximate problems mentioned above, taking into account initial-boundary effect have been obtained. Methods are based on `weight' estimates of Green function which are more precise comparing to well-known.

Two approaches to obtaining of `weight' a priori accuracy estimates of difference scheme in the case of third kind boundary condition are proposed. They are based on traditional and modified difference schemes.

It is to be accentuated that no new or "exotic" difference scheme has been used, but well known. This provides usefulness of the obtained results for widespread range of application.

Key words: differential schemes, boundary conditions, initial conditions, differential equations, Green function, a priori estimates.

Размещено на Allbest.ru

...