Дослiдження випадкових процесiв у трубчастих областях

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИIНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.21

ДОСЛIДЖЕННЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ У ТРУБЧАСТИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.05 - теорiя ймовiрностей i математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiЇ на здобуття наукового

ступенядоктора фiзико-математичних наук

ГАСАНЕНКО Вiталiй Олексiйович

Київ - 2006

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Iнститутi математики НАН України.

Науковий консультант: доктор фiзико-математичних наук,професор, академiк НАН України

КОРОЛЮК Володимир Семенович,Iнститут математики НАН України,радник при дирекцiї.Офiцiйнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО Юрiй Васильович,Київський нацiональний унiверситетiменi Тараса Шевченка,професор кафедри теорiї ймовiрностейта математичної статистики;доктор фiзико-математичних наук, професор

ЛIФШИЦЬ Михайло Анатолiйович,Санкт-Петербурзький державний унiверситет,професор кафедри теорiї ймовiрностейта математичної статистики;доктор фiзико- математичних наук, професор

МАХНО Сергiй Якович,Iнститут прикладної математикиi механiки НАН України,завiдувач вiддiлу теорiї ймовiрностейта математичної статистики.

Провiдна установа: Iнститут кiбернетикиiменi В.М.Глушкова НАН України, м.Київ.

Захист вiдбудеться “23 ” травня 2006 р. О 15:00 годинi на засi-даннi спецiалiзованої вченої ради Д 26.206.02 Iнституту математикиНАН України за адресою 01601, м.Київ, вул. Терещенкiвська,3.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Iнституту мате-матики НАН України.Автореферат розiсланий “19 ” квітня 2006 р.Учений секретарспецiалiзованої вченої ради Г.П.Пелюх

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. В дисертацiї дослiджуються проблеми, по-в'язанi з перебуванням випадкових процесiв у областях, залежнихвiд часу. Такi проблеми мають мiсце в сучасних дослiдженнях з ма-тематичної статистики, оптимального керування,теоретичної фiзикита у багатьох прикладних задачах для випадкових процесiв. У мате-матичнiй статистицi це, наприклад, задачi секвенцiального аналiзу,процедури перевiрки гiпотез. Оптимальне керування технологiчни-ми процесами викликає потребу в обчисленнi рiзноманiтних ризикiв,якi формулюються у термiнах ймовiрностей перебування певних ви-падкових процесiв у нормативних областях. В теоретичнiй фiзицiдобре вiдома проблема оцiнювання мiри траекторiй стохастичної ди-намiчної сиcтеми, якi належать околу фiксованої функцiї. Отже, ве-лике значення має розробка методiв обчислення та оцiнювання ймо-вiрностей перебування випадкових процесiв в областях, залежних вiдчасу. В теорiї випадкових процесiв цiй проблематицi присвячено бага-то праць, проте iнтерес до неї не зменшується. Не останню роль вцьому вiдiграє той факт, що математичнi сподiвання функцiоналiввiд траекторiй випадкових процесiв до моменту виходу з трубча-стих областей є розв'язками певних рiвнянь з частинними похiдни-ми, iнтегро-диференцiальних рiвнянь з початково-крайовими умова-ми на цих областях. Таким чином, умови iснування розв'язкiв цихрiвнянь формулюються в термiнах крайових задач для випадковихпроцесiв. У проведених дослiдженнях цей зв'язок використовується у зво-ротному напрямку: для обчислення вказаних математичних сподi-вань аналiзуються вiдповiднi початково-крайовi задачi для рiвняньз частинними похiдними та iнтегро-диференцiальних рiвнянь Точне формульне розв'язання цих проблем, за деякими винятка-ми, неможливе. Водночас дослiдженню асимптотик при стисканнiобластi перебування, розбiжностi її границь та перебування на вели-кому промiжку часу присвячено багато праць. Важливi результати в цьому напрямку отримали В.С.Королюк,А.В.Скороход, I.М.Коваленко, I.I. Гiхман, М.I.Портенко, Г.Н. Сита,Г.Л. Кулiнич, О.К. Закусило, А.А. Дороговцев, С.В. Нагаєв, А.А.Боровков, А.А. Новiков, А.А.Могульський, М.А.Лiфшиц, A. Renyi, L.A. Shepp, P.Salminen, G. Prato, J.Mogyorodi, A.Milian. В працях цих авторiв доведено формули наближення до шуканихфункцiоналiв перебування, а також проведено дослiдження поведiн-ки траєкторiй стохастичних систем вiдносно областей перебування.Певний клас динамiчних проблем дослiдження траєкторiй (напри-клад, число перетинiв, потiк моментiв перетинiв границь областей)формулюються у термiнах процесiв, що рiдшають. В основному до-слiджувались областi перебування зi сталими границями та встанов-лювалась форма головного члену наближення. А для процесiв, щорiдшають, встановлювались необхiднi та достатнi умови наближеннябiльш простими процесами. Важливою задачею є доведення вказаних формул наближеннядля областей, залежних вiд часу, та встановлення членiв наближе-ння бiльш високого порядку. Для процесiв, що рiдшають, - посла-блювати достатнi умови наближення та обчислювати характеристи-ки граничних процесiв у тих конкретних проблемах, де виникаютьтакi процеси.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, тема-ми. Робота виконана в Iнститутi математики НАН України у вiддiлiтеорiї випадкових процесiв згiдно з загальним планом дослiдженьв рамках науково-дослiдної теми "Методи дослiдження локальноїта асимптотичної поведiнки систем, якi не описуються класичнимистохастичними рiвняннями"номер реєстрацiї 0101 U 00109. Такожчастина дисертацiйної роботи виконувалась у рамках проекту "Не-класична теорiя дифузiйних процесiв"Державного фонду фундамен-тальних дослiджень, номер державної реєстрацiї 01.07/ 00103.

Мета i завдання дослiдження. Побудувати повнi розкладифункцiоналiв перебування випадкових процесiв iз певних класiв уобластях, що звужуються або розширюються. Пошук нових точнихформул ймовiрностей перебування. Для процесiв з перемiшуванням,що рiдшають, _ доведення граничних теорем та застосування апро-ксимуючих формул у вiдомих математичних моделях iз бiологiї, си-стем обслуговування, теорiї лiчильникiв тощо.

Наукова новизна одержаних результатiв.* Для одновимiрних дифузiйних процесiв отримано алгоритмиповного розкладу ймовiрностi перебування у малих областях. Основацих алгоритмiв редукцiя цiєї проблеми до крайових задач з малим параметром. Доведено асимптотичну незалежнiсть моменту виходу iз малоїобластi та стану дифузiйного процесу.* Знайдено новi достатнi та необхiднi умови про невихiд iз ймовiр-нiстю одиниця дифузiйного процесу iз певної областi. Цi результатиузагальнюють класичнi результати G.Prato та є аналогами резуль-татiв F.Hartman про iнварiантнi множини для звичайних диферен-цiальних рiвнянь. Для вiнерового процесу виконано повний розклад перебуванняу малих областях за мiнiмальних умов на гладкiсть меж. Основа ал-горитму розкладу є редукцiя цiєї проблеми до збуреної задачi Кошiу просторi послiдовностей. Одержано новi точнi формули перебування вiнерового процесуу симетричних областях. Доведено принцип iнварiантностi перебування нормованих сум,якi побудованi на стацiонарних послiдовностях випадкових величин,у певнiй областi за слабших умов на коефiцiєнт перемiшування, нiжу вiдомiй працi С.А.Утєва.* Отримано новi результати про асимптотики ймовiрностi пере-бування вiнеровим процесом у областях, залежних вiд часу, на вели-кому промiжку часу.* Побудовано повний розклад ймовiрностi перебування процесуПуассона у криволiнiйнiй смузi, межi якої розбiгаються. Розклад ба-зується на iдеї В.С.Королюка застосовувати для такого роду задачтеорiю примежового шару.* Доведено точнi формули для перебування маркованих процесiву монотонно зростаючих та монотонно спадаючих областях. Такожвизначенi функцiї розподiлу для числа перетинiв цих областей. Доведено нову граничну теорему для процесiв, що рiдшають.Ця теорема є базовою для визначення нових достатнiх умов набли-ження процесами вiдновлення процесiв, що рiдшають, iз вiдомих ма-тематичних моделей: потокiв вiдмов у системах обслуговування, мо-ментiв збудження нейрона, моментiв конденсацiї точок.* Отримано новi достатнi умови перебування керованої динамi-чної системи у фiксований час у наперед заданiй множинi станiв вумовах стохастичного збурення. Показано, що у загальному випадкуймовiрнiсть руйнацiї будiвельних споруд при стохастичних впливах визначається у статичному станi стохастичним степеневим рядом.

Практичне значення одержаних результатiв.Дисертацiйнаробота носить теоретичний характер, отриманi результати та роз-виненi методи можуть мати подальше застосування у рiзних роздi-лах теорiї випадкових пролцемсiв та математичної статистики, теорiїоптимального керування,теорiї рiвнянь математичної фiзики.

Особистий внесок здобувача.Всi результати роботи автор отри-мав самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї.Результати, що складають змiст дисертацiї, доповiдались на се-мiнарах в Iнститутi математики НАН України, в Iнститутi кiберне-тики НАН України, в Київському нацiональному унiверситетi iменiТараса Шевченко, в Нацiональному технiчному унiверситетi Укра-їни "КПI", Iнститутi математики в Санкт-Петербурзi, в Iнститутiматематики в Новосибiрську, в Унiверситетах мiст Барселона (Iспа-нiя), Будапешт (Угорщина), Салерно (Iталiя). Результати дисерта-цiйної роботи доповiдались, зокрема, на таких наукових конференцi-ях: International workshop on free boundary flows and related problemsof analysis, Kiev, September 25-30, 2005; International conference "Smalldeviations and related topics, II"St. Petersburg, September 12-19, 2005;Мiжнародна конференцiя пам'ятi В.Я.Буняковського, Київ,16-21 сер-пня 2004; Друга мiжнародна наукова практична конференцiя "Вiд-критi еволюцiонуючi системи"1-30 грудня 2003 року; Conference Dedicated to the 90-th Anniversary of B.V.Gnedenko, June 3-7, 2002, Kyiv, Ukraine; Український математичний конгрес 21-23 серпня, 2001 року, Київ; International conference "Stochastic Analysis and its Applications",June 10-17 , 2001, Lviv, Ukraine; 12-th European Simulation Symposium 2000, September 28-30, 2000, Hamburg, Germany; The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics, June 8-12,1999,Kyiv,Ukraine; The 12-th Prague Conference, Information Theory; Statistical Decision Functions. Random Processes, August 29 September 2, 1994; Третi Боголюбовськi читання; Мiжнародна наукова конференцiя: Асимптотичнi та якiснi методи в теорiї нелiнiйних коливань, Київ-Україна, 18-23 серпня,1997; III Международная научная школа "Эволюционные стохастические системы: теория и применения в физике и биологии"(Кацивели, Республика Крым, Украина, 3-14 мая 1992 года); The 6-th USSR-Japan.Symposium on Probability Theory, Kiev, August 5-10, 1991; IV USSR-JAPANSymposium on Probability Theory and Mathematical Statistics,August 23-29, 1982, Tbilisi.

Публiкацiї.Основнi результати дисертацiї опублiкованi в 27 пра-цях [1-27] в провiдних фахових виданнях.

Структура та об'єм роботи. Дисертацiя складається зi вступу,чотирьох роздiлiв, висновкiв та списку використаних лiтературнихджерел. Повний обсяг дисертацiї 293 сторiнки. Список лiтературимiстить 101 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовувається актуальнiсть теми, характеризуєтьсясучасний стан розглядуваних проблем та наведено стислий змiст ро-боти. У перших двох пiдроздiлах першого роздiлу дослiджуються сто-хастичнi диференцiальнi рiвняння у вузьких областях. Дослiджен-ня з асимптотичного аналiзу ймовiрностi перебування дифузiйногопроцесу у вузькiй трубчастiй областi традицiйно спираються на двапiдходи: ймовiрнiсний та аналiтичний. При ймовiрнiсному пiдходi ви-користовується так званий метод "замiни мiри", який зводить задачудля дифузiйних процесiв до задачi перебування вiнерового процесуу вузькiй смузi. Тут отримано результати по визначенню головногочлена асимптотики. Такий пiдхiд з успiхом використовувався в пра-цях А.А.Могульського, А.А. Новiкова, Г.М. Ситої, O. Zeitouni. Алепри цьому пiдходi залишається вiдкритим питання про отриманняподальших членiв розкладу. Аналiтичний пiдхiд пов'язаний з тимфактом, що математичне сподiвання деяких функцiоналiв вiд момен-ту виходу з трубчастих областей є розв'язком рiвнянь з частиннимипохiдними з певними умовами на межах цих областей. Використову-ючи цей зв'язок у зворотному напрямку, тобто аналiзуючи вiдповiднiмежовi задачi з частинними похiдними, отримуємо твердження дляймовiрностей перебування. В такий спосiб було отримано результа-ти для головного члена асимптотики дифузiйного процесу у роботахT.Fujita , S. Kotani , O. Zeitouni.Як приклад взаємодiї двох пiдходiв вiдзначимо статтю P.Salminen.Для розглянутої у цiй статi задачi спочатку виконується замiна мiри.А далi для аналiзу щiльностi будується початково-крайова задача,тобто використовується аналiтичний пiдхiд.Зазначимо також, що визначення асимптотичних розв'язкiв за-дач з частинними похiдними, до яких ми нарештi приходимо, у за-гальному випадку також є вiдкритою проблемою. Запропонованийметод розвинення розв'язкiв певних крайових задач з малим пара-метром є новим результатом для такого роду задач. У роздiлi 1 аналiтичним методом визначено алгоритм повногоасимптотичного розвинення ймовiрностi перебування для дифузiй-ного процесу. Розглянемо випадковий процес , який задовольняє стохасти-чне диференцiальне рiвняннядля всiх таких, що та для , коли . Такий процес називається випадковим дифузiйним процесом iз поглинанням. У пiдроздiлах 1.1 та 1.2 дослiджується момент поглинання: ,де та У пiдроздiлах 1.1, 1.2 отримано повний розклад для ймовiрностiневиходу _(t) iз тонкої областi на промiжку при фiксованому та .Ймовiрнiсть дорiвнює , де , є розв'язком такої початково-крайової задачi

З огляду на те, що в цiй задачi малий параметр входить до гра-ничних умов областi , виконується перетворення фазової областi в область зi сталими межами. Це приводить до появи малого параметра в операторнiй частинi задачi.У пiдроздiлах 1.1 та 1.2 використовуються iстотно рiзнi перетворе-ння. У першому пiдроздiлi це перетворення тiльки фазового простору. Його виконуємо за допомогою функцiї , де Доводимо, що загальний розв'язок вказаної крайової задачi має вигляд

Далi, доводимо справедливiсть алгоритму послiдовної побудови фун-кцiй . Цей алгоритм i визначає повне розвинення .Зокрема, за певних умов на гладкiсть меж та гладкiсть коефiцiєнтiв доведено, що головний член асимптотики має вигляд

Тут функцiї мають певне формульне зображення.У другому пiдроздiлi використовується перетворення, запропоно-ване I.I. Гiхманом та А.В. Скороходом. Це перетворення трансфор-мує фазовий простiр i виконує певну замiну часу. Наведемо основнутеорему iз цього пiдроздiлу.Позначимо

Теорема 1.2.1. Нехай виконуються умови:1) та задовольняють умову iснування єдиного розв'язку стохастичного диференцiального рiвняння;2) ;3) має третю, обмежену вiдносно , похiдну у точцi;(4) функцiї є неперервними.Тодi має мiсце асимптотичне зображення У цих пiдроздiлах доведено, що для має мiсце такий розклад:, де та є значеннями певних функцiй. Цi функцiї є розв'язками певних крайових задач параболiчного типу. У пiдроздiлi 1.3 дослiджується повний розклад функцiоналу вiдмоменту першого виходу m-вимiрного однорiдного дифузiйного про-цесу iз малої областi . Тут -- фiксована обмежена зв'язна область у i нуль належить до . Якщо }, то вказаний функцiонал має вигляд Проблема розкладу тут зводиться до розкладу розв'язку такоїпершої крайової задачi елiптичного типу з малим параметром:Тут _ вiдповiдно область та її межа, iМаємо спiввiдношення H Доведено, що розклад є таким: . Тут є значеннями певних функцiй, якi в свою чергує розв'язками певних елiптичних граничних задач.В умовах необхiдної гладкостi коефiцiєнтiв , якнаслiдок основної теореми про розклад доведено асимптотичну незалежнiсть моменту та значення самого процесу у цей момент. З цiєю метою доведено повний розклад за степенями малого параметра " рiзницi:де функцiї , є розв'язками певних систем елiптичних крайових задач у. Вказанi проблеми пiдроздiлу 1.3 дослiджувалась для малої кулi у працях H.Keisuke, M.Liao.У пiдроздiлi 1.4 встановлено необхiднi та достатнi умови невиходу m-вимiрного дифузiйного процесу iз певних множин з iмовiрнiстю одиниця. У пiдроздiлi 1.4 результати J.Aubin, G. Prato для однорiдних стохастичних диферецiальних рiвнянь поширюються на неоднорiдний випадок. Проблема iнварiантностi дослiджується також для вiдносно замкнених множин та неоднорiдних стохастичних диференцiальних рiвнянь. Цi результати базуються на використаннi теорем H.Kunita про апроксимацiю стохастичних диференцiальних рiвнянь звичайними диференцiальними рiвняннями, а також -- на результатах F. Hartman про iнварiантнi множини для цих рiвнянь. Доведенi результати привели до прозорих умов iнварiантностi для опуклих множин. Зокрема, доведено такий результат. Нехай --Тут , де евклiдiв простiр, , та -- -вимiрний вiнерiв процес.Позначимо через деякий iнтервал та зафiксуємо певну множину : .Позначимо функцiї в такий спосiб:

У пiдроздiлi 2.3 доведено також результат про випадок, коли межi є прямими лiнiями. Крiм цього, розглядається пiдхiд, пов'язаний iз застосуванням методу теплових потенцiалiв до вказаної крайової задачi теплопровiдностi. Цей пiдхiд для симетричних меж дозволив звести обчислення ймовiрностi перебування до розв'язку певного одновимiрного рiвняння Вольтерра.У пiдроздiлi 2.4 розглядається оцiнка похибки для вiдомого принципу iнварiантностi: коли ймовiрнiсть перебування нормованих наростаючих сум випадкових величин у криволiнiйних межах наближається за допомогою ймовiрностi перебування вiнерового процесу у вiдповiднiй областi.Завдяки працям А.В.Скорохода, Ю.В.Прохорова, В.С.Королюка, С.В.Нагаєва проблеми отримання остаточної оцiнки похибки у принципi iнварiантностi для наростаючих сум з незалежних випадкових величин було, в основному, розв'язано. Для залежних величин ця задача розглядалась у роботах А.В.Скорохода (для марковського ланцюга), а у функцiональних просторах _ у працях С.А.Утєва. Зокрема, у працi С.А.Утєва отримано оцiнки швидкостi збiжностi випадкових ламаних як випадкових елементiв простору D[0,1], побудованих

У пiдроздiлi 2.5 вивчається асимптотика ймовiрностi перебування вiнерового процесу у криволiнiйнiй областi Pт , коли T -> ?. При дослiдженнi використовуємо замiну мiри, як i в працi А.А.Новiкова.Але ця замiна дещо iнша, нiж у цiй працi. Отримано грубу асимптотику ln PT , T ! 1. Далi, застосовуючи формулу Феймана-Кацадо щiльностi, яка виникає при замiнi мiри, визначення ймовiрностi зводимо до розв'язку крайової задачi з частинними похiдними параболiчного типу. В такий спосiб можна визначати точну асимптотику. Вiдмiннiсть отриманих результатiв вiд вiдомих полягає у розглядi несиметричної областi перебування.У пiдроздiлi 3.1 дослiджується асимптотичний розклад ймовiрностi перебування пуассонового процесу мiж двома нелiнiйними межами, що вiддаляються одна вiд одної.

було одержано перетворення Лапласа моменту першого виходу про-цесу зi смуги зi сталими межами. Водночас для меж, якi вiд-даляються одна вiд одної, дослiдження асимптотики ймовiрностi пе-ребування є актуальною сучасною задачею. Про це свiдчать сучаснiдослiдження J.DeLucia, H.V.Poor, C.R.Loader. В.С. Королюком длядослiдження асимптотики розв'язку задач типу (0.3), коли .,був запропонований метод послiдовного вичерпування вiдхилення задопомогою побудови примежових шарiв. У пiдроздiлi 3.1 для асим-птотичного розв'язку (0.3) також будуються функцiї примежовихшарiв. Проте метод побудови є iстотно iншим, нiж у вiдповiднiйпрацi В.С. Королюка, Д.В. Гусака . У цiй працi регулярнi функцiїта функцiї примежового шару у асимптотичному розкладi розв'язку(0.3) визначались вiдповiдно за допомогою параболiчних рiвнянь тарiвнянь Вольтерра. Метод, справедливiсть якого доводиться у пiд-роздiлi 3.1, дозволяє будувати як регулярнi, так i примежовi функцiїза допомогою лише параболiчних рiвнянь. Останнє в деяких випад-ках приводить до явного їх зображення через тепловi потенцiали.Доведено, що шукане розвинення має вигляд

Тут функцiї vl, ul певним методом будуються за допомогою розв'яз-кiв, визначених крайових задач параболiчного типу.У пiдроздiлi 3.2 розглядається ймовiрнiсть перебування iз пев-ною умовою виходу у смугах, якi є або вузькими, або з межами, якiвiддаляються одна вiд одної, сум з випадкових величин та складногопроцесу Пуассона.Дослiджується задача про банкрутство для вузьких та широкихсмуг. Цю задачу для широких смуг у певнiй iнтерпретацiї розглянутоВ.С. Королюком Ю.В.Боровських,.

У пiдроздiлi 3.2 доведено також наслiдок iз цiєї теореми, якийвстановлює зв'язок iз результатом для аналогiчної задачi, розгляну-тої В.С. Королюком, Ю.В.Боровських, доведений iншим методом.У пiдроздiлi 3.3 дослiджується певний процес у нетривiальнихтрубчастих областях, коли ймовiрнiсть перебування має точний фор-мульний вираз через елементарнi функцiї. Процес є стрибкоподi-бним, причому змiна стану вiдбувається через експоненцiальнi ви-падковi промiжки часу. Новий стан визначається незалежно вiд ми-нулого за допомогою ймовiрнiсної мiри. Областi перебування аборозширюються, або звужуються за часом. Розглянуто також зада-чi визначення кiлькостi викидiв за межi таких областей. Наведемоозначення та деякi результати з цього пiдроздiлу.

Означення процесу, що рiдшає, складається з трьох частин: по-чатковий процес на осi часу t >= 0 ; правило вилучення точок iзпочаткового процесу; точковий процес, який виникає пiсля застосу-вання правила вилучення до початкового процесу (тобто сам процес,що рiдшає).А.Renyi в 1965 роцi запропонував таку схему прорiджування про-цесу вiдновлення: кожна точка з початкового процесу з ймовiрнiстюp залишається на осi t >= 0 , а з ймовiрнiстю 1 - p - лiквiдує-ться. А.Renyi отримав достатнi умови апроксимацiї цього процесу,що рiдшає, за допомогою процесу Пуассона при p -> 0 . Необхiднi тадостатнi умови для цiєї апроксимацiї було отримано у працях I.М.Коваленка та Б.В. Гнєденка

Пiсля цих робiт склалося враження, що дослiдження процесiв,що рiдшають, є задачами пiдсумовування випадкових величин у ви-падковiй кiлькостi без характерних ознак.Але у працях I.М. Коваленка, О.К. Закусила та P. Jagers i T.Lindwallбуло запропоновано схеми розрiджування, з яких випливало, щопроцеси, що рiдшають, мають власну особливiсть. Ця особливiстьмiститься у правилах вилучення точок. Бiльше того, правило вилу-чення часто i визначає апроксимуючий процес.

У пунктах 3.4.2 _ 3.4.4 розглядаються застосування граничноїтеореми з пункту 3.4.1 до вiдомих схем процесiв, що рiдшають, аце привело до нових достатнiх умов апроксимацiї цих процесiв , щорiдшають, пуассоновими процесами.У пунктi 3.4.2 дослiджується потiк вимог у системi обслуговува-ння з одним приладом без черги G/GI/1/0, якi отримали вiдмовув обслуговуваннi. Тобто цi вимоги потрапили до зайнятої системиi в той самий момент залишають систему. Таким чином, потiк не-оброблених вимог є пiдпотоком потоку вимог, який породжуєтьсяпроцесом вiдновлення. Потiк необроблених вимог був об'єктом до-слiджень у багатьох працях. Завдяки оригiнальному поданню цьогопотоку через процес вдалося отримати новi результати. Пока-зано, наприклад, що iз цих результатiв випливає вiдомий результатЮ.К.Бєляєва стосовно апроксимацiї процесiв, що рiдшають, пуассо-новими процесами.

Також доведено, що за умов згаданої теореми Ю.К.Бєляєва має-мо рiвнiсть m = 1.

У роздiлi 4 аналiзуються математичнi моделi випадкових явищ,якi iстотно впливають на еволюцiю певних технологiчних процесiвта надiйнiсть споруд.У пiдроздiлi 4.1 дослiджується задача транспортування потокуводи у вiдкритих каналах. Проблема полягає в математичному мо-делюваннi хвильового розповсюдження води у каналi та у виборiнадiйного режиму транспортування води (це є метою) в умовах ви-падкових збурень, якi впливають на загальну масу води в каналi.Цю проблему вдається звести до певної динамiчної гри iз випадко-вими збуреннями. У пiдроздiлi 4.2 дослiджується розв'язок лiнiйноїалгебраїчної системи рiвнянь iз симетричною матрицею в умовахвипадкового збурення цiєї матрицi. Така задача виникає при вико-ристаннi методу скiнченних елементiв для моделювання надiйностiiнженерних споруд у статичному станi.

ВИСНОВКИ

В дисертацiї отримано такi новi результати: Для дифузiйних процесiв: 1) Для одновимiрних дифузiйних процесiв отримано алгоритмиповного розкладу ймовiрностi перебування у малих областях. 2) Доведено асимптотична незалежнiсть моменту виходу та стануу цей момент дифузiйного процесу iз малої областi. 3) Доведено новi достатнi та необхiднi умови про невихiд iз ймо-вiрнiстю одиниця дифузiйного процесу iз певної областi. Цi резуль-тати узагальнюють класичнi результати Д.Прато та є аналогами ре-зультатiв Ф.Хартмана про iнварiантнi множини для звичайних ди-ференцiальних рiвнянь.Для вiнерового процесу: 1) Для вiнерового процесу доведено повний розклад перебуванняу малих областях за мiнiмальних умов на гладкiсть меж. Основа ал-горитму розкладу є редукцiя цiєї проблеми до збуреної задачi Кошiу просторi послiдовностей. 2) Знайдено новi точнi формули перебування вiнерового процесуу симетричних областях. 3) Доведено принцип iнварiантностi стосовно перебування нормованими сумами випадкових стацiонарних величин у певнiй областiза слабших умов на коефiцiєнт перемiшування, нiж у вiдомiй працiС.А.Утєва. 4) Отримано новi результати про асимптоти ймовiрностi перебу-вання вiнерового процесу у областях, залежних вiд часу, на великомупромiжку часу. Для стрибкоподiбних процесiв: 1) Знайдено повний розклад ймовiрностi перебування процесуПуассона у криволiнiйнiй смузi, межi якої вiддаляються одна вiдодної. Зображення розкладу спiвпадає iз зображенням iз вiдомої пра-цiВ.С.Королюка та Д.В.Гусака, але обчислення складових асимпто-тики та метод доведення вiдрiзняються. 2) Знайдено точнi формули для перебування та числа перетинiвмаркованих процесiв у монотонно зростаючих та монотонно спада-ючих областях. 3) Встановлено нову граничну теорему для процесiв, що рiдша-ють. Як наслiдки з цiєї теореми знайдено новi достатнi умови набли-ження процесами вiдновлення процесiв,що рiдшають, у вiдомих ма-тематичних моделях певних явищ: потокiв вимог у системах обслуго-вування, моментiв збудження нейрона, моментiв конденсацiї точок. Для конкретних практичних систем: Знайдено новi достатнi умови перебування керованої динамiчноїсистеми у фiксований час у наперед заданiй множинi станiв за умовстохастичного збурення. Показано, що ймовiрнiсть руйнацiї будi-вельних споруд при стохастичних впливах у загальному випадку ви-значається у статичному випадку стохастичним степеневим рядом.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦI

1. Гасаненко В.А. Редеющие процессы // Укр. мат. журн. - 1983.- Т.35, N 1. - С. 27 - 30.

2. Гасаненко В.А. Моменты возбуждения нейрона // Вероятно-стные методы в биологии. - Киев: Ин-т математики, 1985.- С. 15 -18.

3. Гасаненко В.А. Вероятность пребывания винеровского процес-са в симметричных областях // Аналитические методы в теории на-дежности. - Киев: Ин-т математики, 1985. - С. 20 - 26.

4. Гасаненко В.А., Остапенко В.В. Надежность управления в ли-нейной дифференциальной игре с фиксированным временем окон-чания // Аналитические методы в теории надежности. - Киев: Ин-тматематики, 1985. - С. 27 - 31.

5. Гасаненко В.А. Винеровский процесс в узкой области // Асим-птотические методы в исследовании стохастических моделей. - Киев:Ин-т математики, Киев. - 1987. - С. 11 - 17.

6. Гасаненко В.А. Винеровский процесс в тонкой области // Укр.матем.журн. - 1988. - Т.40, N 2. - С.225 - 229.

7. Гасаненко В.А. Вероятность пребывания винеровского процес-са в криволинейной полосе // Докл. АН УССР. - 1989. - N 3. - С.5- 6.

8. Гасаненко В.А. Вероятность пребывания однородного процессаПуассона в трубчатой области // Докл. АН УССР. - 1989. - N 6. -С. 6 - 8.

9. Гасаненко В.А. Винеровский процесс в криволинейной полосе// Укр. матем. журн. - 1990. - Т.42, N 4. - С. 561 - 563.

10. Gasanenko V.A. Applications of thinning processes // AnnalesUniv. Sci. Budapest., Sect. Comp. - 1991. - N 11. - P. 35 - 51.

11. Гасаненко В.А. Скачкообразные процессы в узких областях// Аналитические вопросы стохастических систем. - Киев: Ин-т ма-тематики, 1992. - С. 4 - 9.

12. Гасаненко В.О. Малi вiдхилення розв'язкiв стохастичних ди-ференцiальних рiвнянь у трубчастих областях // Укр. матем. журн.- 1997. - Т.49, N 5. - С. 638 - 650.

13. Гасаненко В.О. Ймовiрнiсть перебування вiнерiвського проце-су у трубчастих областях на великому промiжку часу // Укр. матем.журн. - 1997. - Т.49, N 7.- C. 912 - 917.

14. Гасаненко В.О. Живучiсть розв'язкiв багатовимiрних стоха-стичних диференцiальних рiвнянь // Укр. матем. журн.- 1997.- Т.49,N 10.- C. 1316 - 1324.

15. Гасаненко В.О. Гранична теорема для рiдiючих процесiв iзперемiшуванням. I // Укр. матем. журн.- 1998.- Т. 50, N 4. - C. 471- 475.

16. Гасаненко В.О. Гранична теорема для рiдiючих процесiв iзперемiшуванням. II // Укр. матем. журн.- 1998.- Т. 50, N 5.- С. 603- 612.

17. Gasanenko V.A. The total expansions for small deviations of di-_usion proceses // Prague Stochastics' 98: Proceedings. - Vol. 1. - P.169 - 172.

18. Gasanenko V.A. The sums of stationary variables between twocurvelinear boundaries // Мат. студiї.- 1998. - Т. 9, N 2.- С. 211 - 218.

19. Гасаненко В.О. Про деякi точнi формули для ймовiрностейперебування вiнерiвського процесу // Укр. матем. журн. - 1999. - Т.51, N 6. - С. 842 - 846.

20. Гасаненко В.А. Полное асимптотическое разложение вероя-тности пребывания диффузионного процесса в тонких областях cподвижными границами // Укр. матем. журн. - 1999. - Т.51, N 9. -С. 1155 - 1164.

21. Gasanenko V.A. Normed Poisson process in one-sided curverlinearboundary domain // Theory Stoch. Processes. - 1999. - Vol.5(21),N 3-4. - P. 64 - 71.

22. Gasanenko V.A., Krytskyy V.B. Probabilistic approaches in assessmentsof strength reliability of NPP's concrete containment // ESS'2000, 12-th European Simulation Symposium, September 28-30,Hamburg, Germany. - 2000. - P. 577-581.

23. Gasanenko V.A. A total expansion functional of exit time froma small ball for di_usion process // Istat. Journ. Turkish Stat. Assoc. -2000. - Vol. 3, N 3. - P. 83 - 91.

24. Gasanenko V.A. Wiener process in fine domain and perturbedCauchy problem in the space of sequences // Theory Stoch. Processes.- 2000. - Vol.6(22), N 1-2. - P. 34 - 42.

25. Гасаненко В.А. К асимптотике вероятности пребывания пу-ассоновского процесса между двумя расходящимися нелинейнымиграницами // Укр. матем. журн. - 2001. - Т.53, N 1. - C. 14-22.

26. Gasanenko V.A. On asymptotic independence of the exit momentand position from a small domain for di_usion processes // CentralEuropean Journal of Mathematics. - 2003.- N 1. - P. 86 - 96.

27. Gasanenko V.A. On invariant sets for stochastic di_erential equations // Theory Stoch. Processes. - 2003.- Vol. 9(25), N 1-2.- P.60 - 64.

28. Гасаненко В.А. Приближенные формулы вычисления вероя-тности соблюдения уровневого режима в бьефах // Теоретические и прикладные вопросы автоматизации управления мелиоративнымисистемами. Сборник научных трудов, УкрНИИГиМ. - 1984. - С. 58- 64. 29. Гасаненко В.А., Кононенко Н.А., Остапенко В.Н., РойтманА.Б. Об управлении динамическими показателями надежности //Электронное моделирование. - 1990. - С. 71 - 73. 30. Гасаненко В.О. Про ймовiрнiсть руйнацiї // Друга мiжн. наук.- прак. конф. Вiдкритi еволюцiонуючi системи. 2003 р. Київ ВМУ-РОЛ - 2004.- Т. II. - C. 57 - 61.

АНОТАЦIЇ

процес дифузійний збурення стохастичний

Гасаненко В.О. "Дослiдження випадкових процесiв у трубчастих областях". - Рукопис. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-мате-матичних наук за спецiальнiстю 01.01.05 - теорiя ймовiрностей i ма-тематична статистика. - Iнститут математики НАН України, Київ,2006.

Дисертацiя присвячена дослiдженню функцiоналiв перебуваннявипадкових процесiв в областях, залежних вiд часу. В роботi отри-мано повнi розклади функцiоналiв перебування для областей, якiзвужуються або розширюються. Доведено асимптотики перебуван-ня вiнерового процесу в областях, залежних вiд часу, на великомупромiжку часу. Для дифузiйних процесiв отримано новi результатищодо iнварiантних областей. Доведено принцип Донскера-Прохороваiнварiантностi вiдносно криволiнiйних смуг для наростаючих сум,побудованих за допомогою стацiонарної послiдовностi випадковихвеличин з перемiшуванням. Для вiнерового процесу знайдено новiточнi формули ймовiрностей перебування у областях, залежних вiдчасу, а також _ точнi формули для ймовiрностi перебування марко-ваними процесами у монотонних по часу областях.В роботi розглянутi граничнi теореми для процесiв, що рiдша-ють. Доведено нову граничну теорему про наближення процесiв, щорiдшають, процесами вiдновлення. Ця теорема є базовою для доведе-ння нових граничних теорем для вже вiдомих моделей процесiв, щорiдшають, iз бiологiї, масового обслуговування, теорiї лiчильникiвтощо. Окремо розглянуто двi конкретнi прикладнi проблеми надiйностi функцiонування систем iз стохастичними збуреннями, якi зводятьсядо оригiнальних задач перебування певних випадкових процесiв внормативних областях. Перша стосується надiйностi керування ди-намiчною системою в умовах стохастичних збурень. Друга - обчи-сленню ймовiрностi руйнацiї будiвельної споруди. Ключовi слова: дифузiйний процес з поглинанням, асимптоти-чний розклад, нормований процес Пуассона, параболiчнi та елiпти-чнi крайовi задачi, живучiсть дифузiйних процесiв, маркований про-цес; процеси, що рiдшають.

Гасаненко В.А. "Исследования случайных процессов в труб-чатых областях". - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностейи математическая статистика. - Институт математики НАН Украи-ны, Киев, 2006.

В диссертации рассматриваются традиционные проблемы, свя-занные с нахождением случайных процессов в областях, зависимыхот времени. Исследования проводились в направлении как отыскания точныхформул, так и установления асимптотических разложений матема-тических ожиданий заданных функционалов пребывания. Асимпто-тические разложения для данного класса проблем связаны с рассмо-трением следующих ситуаций: область пребывания либо расширяе-тся, либо сужается в фазовом пространстве или же рассматриваетсяпребывание на расширяющемся отрезке времени. Исследованием таких задач занимались В.С.Королюк, А.В.Ско-роход, А.А.Боровков, С.В.Нагаев, Г.М.Сытая, Н.И.Портенко, А.А.Дороговцев, А.А.Могульский, А.А.Новиков, М.А.Лифшиц,L.A. Shepp, P.Salminen, D.Siegmund, O. Zeitoni и многие другие.В диссертации были получены полные разложения вероятностейпребывания диффузионным процесом в сужающихся, и пуассонов-ским процессом в расширяющихся криволинейных областях.Для малых областей были установлены асимптотическая незави-симость момента выхода из области и значения в этот момент ди-фузионного процесса. Эти результаты обобщают и продолжают ис-следования M. Liao и H. Keisuke, которые рассматривали подобныефункционалы для малых шаров.Найдены новые необходимые и достаточные условия о невыходес вероятностью единица диффузионного процесса из заданной огра-ниченной области. Одна часть этих результатов обобщает резуль-таты G.Prato, а другая _ это доказательство аналогов результатовF.Hartman об инвариантных множествах обычных дифференциаль-ных уравнений. Подход к доказательству инвариантности относи-тельно замкнутых множеств основан на применении теорем аппро-ксимации Ikeda-Nakao-Yamato-Kunita. Исследованию таких задач наоснове вероятностных подходов посвящены работы Г.Л. Кулинича иИл.И.Гихмана. Для винеровского процесса получены точные формулы вероятно-стей пребывания в симметрических областях. Такого рода формулыдоказывались в работах L.Shepp и А.В. Скорохода. В диссертациипредложен подход, основанный на анализе параболического урав-нения в областях, зависящих от времени. Комбинируя метод заме-ны меры и указанный анализ, находим точные и грубые асимптоти-ки пребывания винеровским процессом в криволинейной области набольшом промежутке времени. Редукция уравнения теплопроводно-сти в криволинейной области к задаче Коши в пространстве после-довательностей позволило получить полное разложение вероятностипребывания винеровским процессом в узкой области при минималь-ных ограничениях на гладкость границ. Справедливость принцип инвариантности Донскера-Прохоровадля случайных ломанных, построенных по суммам стационарно свя-занных случайных величин, доказывается для криволинейных полоспри условиях на коэффициент перемешивания более слабых, чем визвестной работе С.А. Утева. Метод доказательства основан на мо-дификации метода Колмогорова-Боровкова, предложенной для слу-чайных величин. Для маркированных процессов найдены точные формулы для ве-роятностей пребывания и для функций распределений числа пере-сечений границ за заданное время. Области пребывания рассматри-ваются двух типов: монотонно расширяющиеся и монотонно сужаю-щиеся. Отдельно исследованы редеющие процессы. Редеющие процессыв приложениях часто интепретируются как динамическое взаимо-действие случайного процесса с фиксированной областью (например,последовательное попадание в область или выход из нее). A.Renyaбыла предложена математическая модель редеющих процессов, длякоторой получены многочисленные теоретические результаты. Ис-следованиями в этом направлении занимались Б.В.Гнеденко,И.Н.Коваленко, Ю.Л.Беляев, О.Л.Закусило и многие другие. В дис-сертации установлена новая предельная теорема для редеющих про-цессов с перемешиванием. Основываясь на этой теореме для реде-ющих процессов из известных практических задач, получены болееслабые достаточные условия их аппроксимации процессами восста-новления. Рассмотрены две конкретные практические проблемы: надежно-стный анализ динамической системы управления при условиях слу-чайных возмущений и расчет вероятности разрушения строитель-ной конструкции при условиях статичной нагрузки и вероятностно-го характера изменения физических параметров самой конструкции.Основная сложность в решении этих задач - построение случайныхпроцессов или случайных величин для функционалов пребывания. Ключевые слова: диффузионный процесс с поглощением, асим-птотическое разложение, нормированный процесс Пуассона, парабо-лические и эллиптические граничные задачи, живучесть диффузи-онных процессов, маркированный процес, редеющие процесcы.

Gasanenko V.A. "Investigation of random processes into tube domains".- Manuscript. Doctor of Science Thesis, the speciality Probability Theory andMathematical Statistics - 01.01.05. Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2006.

The dissertation is devoted to the investigation of functional of stayof random processes into domains which depend on the time. The totaleхpansion of stay's functional is obtained for narrowing and expandingdomains. The new results are obtained with respect to invariant sets fordiffsion processes. It is proved the Doncker-Prohorov's invariant principlewith respect to curverline strips for increasing sums which areconstructed by stationary sequence of random values with intermixing.The new exact formulas for sojurn probabilities of Wiener processare proved for domains which depend on the time. It is obtained theasymptotic of sojurn probabilities of Wiener process into such domainsfor large time. The new exact formulas of sojurn probabilities for time-depended domains are obtained for Wiener process. The exact formulasof sojurn probabilities of marked processes into monotone on time domains are obtained too. The limit theorems for raring processes are considered in the dissertation.It is proved new limit theorem about the approximation ofraring processes by a renewall processes. This theorem is basic for proofsof limit theorems for the certain models of raring processes from biology,queueing theory, theory of indicators. Separately it is considered two concrete practice problems of reliabilityof functioning of systems with stochastic perturbation. Theseproblems reduced to the original stay's problems of the random processes.The first problem researches the reliability of control of dynamical systemin conditions of stochastic perturbations. The second problem researchesof method of compution of ruin's probability of a building construction.Key words: di_usion process with absorbtion, asymptotical expansion,normed Poisson process, parabolic and elliptic boundary value problems,viability of di_usion processes, marked processes, raring processes.Размещено на Allbest.ru