Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517.9

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

АСИМПТОТИЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДІРІХЛЕ ТА НЕЙМАНА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ

01.01.02 - диференціальні рівняння

ХОМЧЕНКО ЛЮДМИЛА ВАСИЛІВНА

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович, доктор фізико-математичних наук, професор, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету.

Офіційні опоненти:

ЧЕРЕВКО Ігор Михайлович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри математичного моделювання, декан факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича;

САМУСЕНКО Петро Федорович, кандидат фізико-математичних наук, доцент, Національний педагогічний університет імені М.П. Драгоманова, доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Інститут математики, економіки і механіки Одеського національного університету імені І.І. Мечникова, кафедра оптимального керування та економічної кібернетики.

Захист відбудеться 27 березня 2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ - 22, проспект Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано 23 лютого 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Нелінійні диференціальні рівняння часто використовуються для математичного моделювання різноманітних явищ та процесів в природознавстві та техніці, біології та медицині, економіці, соціології та ін. Добре відомо, що такі рівняння є складним об'єктом для дослідження і тому значний інтерес становить розробка нових методів побудови аналітичних і наближених розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь та вивчення властивостей їх розв'язків. Асимптотичні методи є ефективними методами побудови наближених розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь, що містять малий (або великий) параметр.

При вивченні різноманітних явищ та процесів техніки, біології, хімії, медицини, економіки виникає необхідність дослідження нелінійних диференціальних рівнянь, які містять малий параметр при старшій похідній, - так званих сингулярно збурених диференціальних рівнянь. Різні аспекти теорії таких рівнянь досліджувались в працях відомих російських вчених (А.М. Тихонов, А.Б. Васильєва, В.Ф. Бутузов, С.О. Ломов, Є.Ф. Міщенко, М.Х. Розов, Ю.С. Колєсов, А.Ю. Колєсов та ін.), завдяки яким теорія сингулярно збурених диференціальних рівнянь інтенсивно розвивалась як в теоретичних, так і в прикладних аспектах.

Сингулярно збурені диференціальні рівняння математично описують ті явища та процеси, яким властива швидка зміна величин за порівняно короткий проміжок часу. Але багатьом фізичним процесам і явищам властива також миттєва зміна деяких їх характеристик, яку можна описувати за допомогою так званих умов імпульсної дії - цим питанням присвячена теорія імпульсних систем.

Безумовний пріоритет дослідження імпульсних систем належить представникам Київської школи з нелінійної механіки. Різні аспекти імпульсних систем детально досліджувались в працях Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, А.А. Асланяна, М.У. Ахметова, О.А. Бойчука, А.Ю. Лучки, Д.І. Мартинюка, М.Й. Ронто, В.Г. Самойленка, В.І. Ткаченка, С.І. Трофимчука, І.М. Черевка, О.С. Чернікової та багатьох ін. Зокрема, в працях В.Г. Самойленка та Ю.І. Каплун вивчались питання про побудову асимптотичних розв'язків та встановлення асимптотичних оцінок для наближених (асимптотичних) розв'язків сингулярно збурених звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.

В той же самий час залишилось не розглянутим питання про побудову асимптотичних розв'язків крайових задач для сингулярно збурених диференціальних рівнянь з частинними похідними з імпульсною дією, що з огляду на широке застосування диференціальних рівнянь з частинними похідними при математичному моделюванні має важливе як теоретичне, так і практичне значення для багатьох галузей науки та техніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках теми НДР 01 БФ 038-03 "Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ" (номер держреєстрації 0104U003264). Особистий внесок дисертанта в рамках даної теми полягає в проведенні досліджень та побудові асимптотичних розв'язків для задач Діріхле та Неймана сингулярно збуреного диференціального рівняння теплопровідності з умовами імпульсної дії.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження за даною темою є побудова асимптотичних розв'язків крайових задач Діріхле та Неймана для сингулярно збурених нелінійних диференціальних рівнянь параболічного типу з умовами імпульсної дії у фіксовані моменти часу та обґрунтування асимптотики.

Об'єктом дослідження є сингулярно збурені нелінійні диференціальні рівняння теплопровідності зі змінними коефіцієнтами, крайовими умовами Діріхле та Неймана та умовами імпульсної дії у фіксовані моменти часу.

Предметом дослідження є вивчення асимптотичних розв'язків сингулярно збурених диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Методи дослідження. В даній дисертації використано методи якісної теорії диференціальних рівнянь, асимптотичні методи, метод Люстерника-Вішика побудови асимптотичних розв'язків для сингулярно збурених диференціальних рівнянь з частинними похідними, метод послідовних наближень для обґрунтування асимптотики.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну дисертації і виносяться на захист, стосуються розробки алгоритмів побудови асимптотичних розв'язків крайових задач Діріхле та Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності зі змінними коефіцієнтами та імпульсною дією, та теорем про оцінку різниці між точним та наближеним розв'язками названих задач.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають перш за все теоретичний характер. В той же самий час вони можуть знайти застосування при вивченні тих явищ та процесів фізики, хімії, біології, медицини, економіки, які описуються математичними моделями на основі сингулярно збурених диференціальних рівнянь параболічного типу при наявності умов імпульсної дії.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати дисертаційної роботи отримані дисертантом особисто. В спільних з науковим керівником наукових статтях доктору фізико-математичних наук, професору Самойленку В.Г. належить постановка задач та обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Стаття [1]виконана при рівній участі кожного із співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на Десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004), Міжнародній науковій конференції "Обчислювальна та прикладна математика" (Київ, 2004), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2004), Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених, присвяченій 60-річчю Великої Перемоги, "Шевченківська весна" (Київ, 2005), засіданнях наукового семінару кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2004, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в статтях [1-5] у наукових фахових виданнях та збірниках тез конференцій [6-9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів з 7 параграфів, списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 130 сторінок, основний зміст роботи викладено на 117 сторінках, список використаних джерел містить 111 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Самойленку Валерію Григоровичу за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність розглянутих в дисертації задач, розкрито суть, мету роботи, вказано наукову новизну проведених досліджень та практичне значення отриманих результатів, коротко викладено зміст роботи за розділами.

У першому розділі подано огляд наукових праць з тематики досліджень дисертації, визначено наукові питання та проблеми, які мають важливе значення для розвитку досліджень з теорії диференціальних рівнянь та їх застосувань, вказано, чому саме потрібно досліджувати сингулярно збурені диференціальні рівняння з частинними похідними та імпульсною дією.

У другому розділі розглянуто задачу про побудову асимптотичного розв'язку крайової задачі Діріхле для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності зі змінними коефіцієнтами:

(1)

з початковою умовою:

(2)

крайовими умовами

(3)

та умовами імпульсної дії у фіксовані моменти часу:

(4)

Припускається, що для деякого та справджуються такі припущення: асимптотичне диференціальне діріхле імпульсна

П 2.1. функції , , , , - нескінченно диференційовні щодо своїх змінних.

П 2.2. рівняння має нескінченно диференційований розв'язок визначений для такий, що

П 2.3. виконується умова узгодженості

Асимптотичний розв'язок задачі (1)- (4) шукається у вигляді асимптотичного ряду:

(5)

(6)

- регулярна частина асимптотики,

(7)

- сингулярна частина асимптотики.

- функції, що складають сингулярну частину асимптотики (7), записуються у вигляді таких асимптотичних рядів:

(8)

де функції , визначено для , ;

(9)

де функції , визначено для , ;

(10)

де функції , визначено для , ;

(11)

де функції , , визначено для , .

Функції в (8)- (11) називаються примежевими функціями. Інші функції сингулярної частини асимптотики (7) записуються у вигляді:

(12)

де функції , визначено для , ;

(13)

де функції , визначено для , ;

(14)

де функції , , визначено для , ;

(15)

де функції , , визначено для , і називаються кутовими функціями.

Члени регулярної частини асимптотики (6) визначаються з системи співвідношень:

(16)

(17)

де функції рекурентно залежать від

Вважається, що система (16), (17) має розв'язок , , такий, що , для всіх ,

Побудова сингулярної частини асимптотичного розкладу (7) на проміжку проводиться з урахуванням початкової умови (2) та крайових умов (3). Примежеві функції визначаються як розв'язки задач Коші:

(18)

(19)

(20)

(21)

де рекурентно залежать від

Лема 2.2. Нехай виконуються умови:

мають місце припущення П 2.1, П 2.2, П 2.3;

для всіх

функція що є розв'язком задачі (18), (19), задовольняє для деяких додатнiх сталих , нерівність:

похідна

Тоді при кожному натуральному числі задача Коші (20), (21), має розв'язок для якого

Більш того, існують такі додатні сталі , що для функції , справджується нерівність:

Примежеві функції визначаються як розв'язки крайових задач вигляду:

(22)

(23)

(24)

(25)

де рекурентно залежать від

Для примежевих функцій має місце властивість, аналогічна встановленій в лемі 2.2 для функцій , .

Лема 2.3. Нехай виконуються умови:

мають місце припущення П 2.1, П 2.2, П 2.3;

для всіх

існують такі додатні сталі та , що функція яка є розв'язком задачі (22), (23), задовольняє співвідношення

похідна для всіх та

Тоді при кожному натуральному існує розв'язок крайової задачі (24), (25), для якого для довільного додатного числа існують такі додатні сталі , , що функція задовольняє нерівність:

Примежеві функції визначаються як розв'язки крайових задач вигляду (26)-(29), де рекурентно залежать від

Лема 2.4. Нехай виконуються умови:

1. Мають місце припущення П 2.1, П 2.2, П 2.3;

2. для всіх ;

3. Існують такі додатні сталі та , що функція яка є розв'язком задачі (26), (27), задовольняє нерівність:

4. похідна для всіх

Тоді при кожному натуральному існує розв'язок крайової задачі (28), (29), для якого для довільного додатного числа існують такі додатні сталі , , що функція задовольняє нерівність:

Кутові функції визначаються як розв'язок задачі:

(30)

(31)

(32)

(33)

де рекурентно залежать від

Лема 2.5. Нехай виконуються умови:

1. Справедливі умови леми 2.2 та леми 2.3;

2. Існують такі додатні сталі та , що функція яка є розв'язком задачі (30), (31), задовольняє нерівність:

3. похідна для всіх

Тоді при кожному натуральному існує розв'язок крайової задачі (32), (33), для якого існують такі додатні сталі , , що має місце нерівність:

Кутові функції визначаються як розв'язок задачі (34)-(37), де рекурентно залежать від

Лема 2.6. Нехай виконуються умови:

1. Справедливі умови леми 2.2 та леми 2.4;

2. Існують такі додатні сталі та , що функція яка є розв'язком задачі (34), (35), задовольняє нерівність:

3. похідна .

Тоді при кожному натуральному існує розв'язок крайової задачі (36), (37), для якого для деяких додатних сталих , має місце нерівність:

Побудова асимптотичного розв'язку задачі на інтервалі , проводиться із врахуванням умов імпульсної дії (4). Функції , визначаються як розв'язки задач Коші:

(38)

(39)

(40)

(41)

де рекурентно залежать від

Лема 2.7. Нехай виконуються умови:

1. Мають місце припущення П 2.1, П 2.2, П 2.3;

2. для всіх

3. Функція що є розв'язком задачі (38), (39), задовольняє співвідношення

для деяких додатнiх сталих ,

4. Похідна

5. Похідна для всіх .

Тоді для кожного натурального функція що є розв'язком задачі Коші (40), (41), задовольняє співвідношення

Більш того, існують такі додатні сталі , що справджується нерівність:

Крайові умови для функції визначаються з умови узгодженості для кутових та примежевих функцій в точці , а для функції - з умови узгодженості для кутових та примежевих функцій в точці .

Кутові функції , визначаються як розв'язки задач вигляду (42)-(47)

де рекурентно залежать від

Лема 2.8. Нехай виконуються умови:

1. Справедливі умови леми 2.3 та леми 2.7;

2. Функція що є розв'язком задачі (42)- (44), задовольняє співвідношення:

для деяких додатнiх сталих ,

3. Похідна для всіх

4. Похідна для всіх

Тоді для кожного натурального існує розв'язок задачі (45)- (47), для якого існують такі додатні сталі , що справджується нерівність:

Аналогічно, кутові функції , визначаються як розв'язки мішаної крайової задачі (48)-(53), де функції , можна визначити з умов імпульсної дії (4) аналогічно до описаного вище.

Лема 2.9. Нехай виконуються умови:

1. Справедливі умови леми 2.4 та леми 2.7;

2. Функція що є розв'язком задачі (48)- (50), задовольняє співвідношення:

для деяких додатнiх сталих ,

3. Похідна для всіх

4. Похідна для всіх , для довільного

Тоді для кожного натурального існує розв'язок задачі (51)- (53), для якого існують такі додатні сталі , що справджується нерівність:

На підставі лем 2.2-2.9 доведено теорему.

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови лем 2.2-2.9. Тоді ряд (5)- (7) є асимптотичним рядом для розв'язку задачі (1)- (4) для де - довільне додатне число, тобто для довільного та довільної замкненої лінійно зв'язної множини справедлива асимптотична оцінка вигляду:

де функція визначена згідно формули (54).

У другому розділі також розв'язано задачу про поширення тепла в прямокутній тонкій однорідній пластинці, що знаходиться під дією деяких джерел тепла, які здатні в наперед визначені (фіксовані) моменти часу "миттєво" змінити температуру пластинки в кожній її точці на задану величину, яка залежить від координат точки, і при цьому вважається, що початковий розподіл температури в пластинці є відомим, а в контурі пластинки підтримується задана температура.

У третьому розділі дисертації розглянуто задачу про побудову асимптотичного розв'язку крайової задачі Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності зі змінними коефіцієнтами (1), початковою умовою (2), умовами імпульсної дії у фіксовані моменти часу (4) та однорідними крайовими умовами Неймана:

(55)

Вважаємо, що розв'язок задачі (1), (2), (55), (4) існує та є неперервним зліва при , , справджується припущення та припущення:

рівняння має розв'язок такий, що

виконується умова узгодженості .

Асимптотичний розв'язок задачі (1), (2), (55), (4) будується у вигляді асимптотичного ряду (5)- (7). Аналогічно описаному вище регулярна частина асимптотики (6) визначається з системи співвідношень (16), (17). Надалі вважаємо, що виконується припущення:

Побудова сингулярної частини асимптотичного розкладу (7) на проміжку проводиться з урахуванням початкової умови (2) та крайових умов (55). Примежеві функції визначаються як розв'язки задач Коші (18)- (21) і для них доведено лему 3.1, що аналогічна лемі 2.2 у випадку задачі Діріхле (1)- (4).

Примежеві функції , визначаються:

у випадку - як розв'язок рівняння (22) з крайовими умовами (56)

у випадку - як розв'язки рівняння (24) з крайовими умовами (56);

у випадку - як розв'язки рівняння (24) з крайовими умовами (57).

В якості розв'язків задач (22), (56) та (24), (56) беруться функції , Показано (Лема 3.2), що при виконанні припущень , , та умови для всіх , розв'язок , , крайової задачі (24), (57) існує і для довільного додатного числа існують такі додатні сталі , , що функції задовольняють нерівності:

Примежеві функції , визначаються:

у випадку - як розв'язок рівняння (26) з крайовою умовою (58)

у випадку - як розв'язки рівняння (28) з крайовими умовами (58);

у випадку - як розв'язки рівняння (28) з крайовими умовами (59).

В якості розв'язків задач (26), (58) та (28), (58) беруться функції . Показано (Лема 3.3), що при виконанні припущень , , та умови для всіх , розв'язок , , крайової задачі (28), (59) існує і для довільного додатного числа існують такі додатні сталі , , що функції задовольняють нерівності:

Кутові функції визначаються як розв'язки:

у випадку - рівняння (30) з умовою Коші (60)

у випадку - рівнянь (32) з умовою Коші (60);

у випадку - рівнянь (32) з умовою Коші (61)

де рекурентно залежать від

В якості розв'язку задач (30), (60) та (32), (60) беруться функції при . Показано (Лема 3.4), що при виконанні припущень , , та умови для всіх , розв'язки , , крайових задач (32), (61) існують і для довільного додатного числа існують такі додатні сталі , , що функції задовольняють нерівності:

Кутові функції визначаються як розв'язки:

у випадку - рівняння (34) з крайовою умовою (62)

у випадку - рівняння (36) з крайовою умовою (62);

у випадку - рівняння (36) з крайовою умовою (63),

де рекурентно залежать від

В якості розв'язків крайових задач (34), (62) та (36), (62) беруться функції функції , . Показано (Лема 3.5), що при виконанні припущень , , та умов , для всіх , розв'язки , крайових задач (36), (63) існують і для них існують такі додатні сталі , , , що справджуються нерівності:

Побудова асимптотичного розв'язку на інтервалі , проводиться з урахуванням умов імпульсної дії. Функції , можна визначити як розв'язки задач Коші (38), (39) та (40), (41). Доведено лему.

Лема 3.6. Нехай виконуються умови:

1. Мають місце припущення , ,

2. для всіх

3. Функція , що є розв'язком задачі (38), (39), задовольняє співвідношення

для деяких додатних сталих ,

4. Похідна для всіх для довільного

5. Похідна для деякого та всіх для довільного

Тоді при кожному натуральному числі задача Коші (40), (41) має розв'язок для якого Більш того, існують такі додатні сталі , що справджується нерівність:

Кутові функції , , визначаються як розв'язки:

у випадку - рівняння (42) з початковою умовою (43) та крайовою умовою (64);

у випадку - рівняння (45) з початковою умовою (46) та крайовою умовою (64);

у випадку - рівняння (45) з початковою умовою (46) та крайовою умовою (65);

де рекурентно залежать від .

В якості розв'язків задач (42), (43), (64) та (45), (46), (64) беруться функції , . Крайові умови для функції , визначаються з умови узгодженості для кутових та примежевих функцій в точці , а крайові умови для функції , , - з умови узгодженості для кутових та примежевих функцій в точці , . Показано, що при виконанні умов леми 3.6 і умови , , існують розв'язки , , мішаних крайових задач (45), (46), (65), для якого існують такі додатні сталі , , , що справджується нерівність:

Кутові функції , визначаються як розв'язки

у випадку - рівняння (48) з початковою умовою (49) та крайовою умовою (66);

у випадку - рівняння (51) з початковою умовою (52) та крайовою умовою (66);

у випадку - рівняння (51) з початковою умовою (52) та крайовою умовою (67);

де функції , , можна знайти з умов імпульсної дії (4).

В якості розв'язків задач (48), (49), (66) та (51), (52), (66) беруться функції , . Показано (Лема 3.8), що при виконанні умов леми 3.6 і умови , , існують розв'язки , , мішаних крайових задач (51), (52), (67), для яких існують такі додатні сталі , , що справджуються нерівності:

Як підсумок лем 3.1-3.8, встановлено аналогічну Теоремі 2.1 Теорему 3.1 про те, ряд (5)-(7) є асимптотичним рядом для розв'язку задачі (1), (2), (55), (4), коли , де T - довільне додатне число, тобто для довільного та довільної замкненої лінійно зв'язної множини справедлива асимптотична оцінка вигляду:

де функція визначена згідно формули (54).

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі дано вирішення задачі про побудову асимптотичних розв'язків крайових задач Діріхле та Неймана для сингулярно збурених диференціальних рівнянь з частинними похідними параболічного типу з імпульсною дією. На основі методу Вішика-Люстерника розроблено алгоритми побудови асимптотичних розв'язків крайової задачі Діріхле та крайової задачі Неймана для сингулярно збуреного рівняння параболічного типу зі змінними коефіцієнтами та умовами імпульсної дії, дано обґрунтування побудованої асимптотики - доведено теорему про порядок, з яким побудований асимптотичний розв'язок задовольняє вихідну задачу. Результати дисертаційної роботи мають перш за все теоретичний характер. В той же самий час результати дисертації можуть знайти застосування при дослідженні тих явищ та процесів, які описуються математичними моделями на основі сингулярно збурених нелінійних диференціальних рівнянь параболічного типу при наявності умов імпульсної дії.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Єлгондиєв К.К., Пільтяй М.М., Хомченко Л.В. Поширення тепла в прямокутній пластинці з імпульсним впливом // Вісник Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Сер.: фізико-математичні науки. - 2003. - Вип. 1. - С. 69-72.

2. Самойленко В.Г., Хомченко Л.В. Крайова задача Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Журн. обч. та прикл. мат. - 2004. - № 1 (90). - С. 99-104.

3. Хомченко Л.В. Сингулярно збурене рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Вісник Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2004. - Вип. 12. - С. 101-105.

4. Самойленко В.Г., Хомченко Л.В. Крайова задача Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Нелінійні коливання. - 2005. - Т. 8, №1. - С. 89-123.

5. Самойленко В.Г., Хомченко Л.В. Крайова задача Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Доповіді НАН України. - 2005. - №5. - С. 32-38.

6. Хомченко Л.В. Сингулярно збурене рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Десята міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Матеріали конференції. 13-15 травня 2004 р., Київ. - 2004. - С. 272.

7. Самойленко В., Хомченко Л. Асимптотичні розв'язки задачі Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Тези доп. Міжн. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька. 27 вересня - 1 жовтня 2004 р., м. Дрогобич. - Львів. 2004. - С. 192.

8. Хомченко Л.В. Крайова задача Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Журн. обч. та прикл. мат. - 2005. - № 2 (91). - С. 135.

9. Хомченко Л.В. Асимптотичні розв'язки задачі Неймана для сингулярно збуреного рівняння теплопровідності з імпульсною дією // Шевченківська весна: Матеріали Міжн. науково-практичної конф. студентів, аспірантів та молодих вчених, присвяченої 60-річчю Великої Перемоги / За заг. ред. проф. О.К. Закусила. У 3-х част. - Ч.3. Природничі, технічні та економічні науки. - К: Логос, 2005. - С. 263-265.

АНОТАЦІЯ

Хомченко Л.В. Асимптотичні розв'язки крайових задач Діріхле та Неймана для сингулярно збурених рівнянь параболічного типу з імпульсною дією. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена вирішенню задачі про побудову асимптотичних розв'язків крайових задач Діріхле та Неймана для сингулярно збурених диференціальних рівнянь з частинними похідними параболічного типу зі змінними коефіцієнтами та умовами імпульсної дії у фіксовані моменти часу. На основі методу Вішика-Люстерника розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв'язків згаданих крайових задач. Дано обґрунтування побудованої асимптотики - доведено теореми про порядок, з яким побудовані асимптотичні розв'язки задовольняють вихідні задачі. Для визначення в явному вигляді асимптотичних розв'язків сформульовані відповідні задачі Коші, крайові та мішані задачі, доведено леми про властивості примежевих і кутових функцій.

Результати дисертації мають теоретичний характер. В той же самий час вони можуть знайти застосування при дослідженні тих явищ та процесів в фізиці, хімії, біології, медицині, економіці, яким властива миттєва зміна деяких їх характеристик, і математичні моделі яких описуються за допомогою сингулярно збурених нелінійних диференціальних рівнянь параболічного типу та умов імпульсної дії.

Ключові слова: задача Діріхле, задача Неймана, рівняння параболічного типу, сингулярно збурені диференціальні рівняння, імпульсна дія, асимптотичні розв'язки, примежеві та кутові функції.

АННОТАЦИЯ

Хомченко Л.В. Асимптотические решения краевых задач Дирихле и Неймана для сингулярно возмущенных уравнений параболического типа с импульсным воздействием. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена решению задачи о построении асимптотических решений краевых задач Дирихле и Неймана для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа с переменными коэффициентами и условиями импульсного воздействия в фиксированные моменты времени. На основании метода Вишика-Люстерника разработан алгоритм построения асимптотического решения краевой задачи Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами и условиями импульсного воздействия, дано обоснование построенной асимптотики - доказана теорема о точности, с которой построенное асимптотическое решение удовлетворяет исходную задачу. Разработан алгоритм построения асимптотического решения краевой задачи Неймана для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами и условиями импульсного воздействия, дано обоснование построенной асимптотики - доказана теорема о разности между точным и построенным приближенным решениями. Для построения в явном виде асимптотических решений указанных задач определяются пограничные и угловые функции, для построения которых формулируются соответствующие задачи Коши, краевые и смешанные задачи. Доказаны леммы об определении и свойствах пограничных и угловых функций.

Решена задача о распространении тепла в прямоугольной однородной пластине, находящейся под воздействием некоторых источников тепла, которые могут в наперед определенные моменты времени "мгновенно" изменять температуру пластины в каждой ее точке на заданную величину, зависящую от координат точки.

Результаты диссертационной работы имеют прежде всего теоретический характер. В то же самое время полученные результаты диссертации могут найти применение при исследовании тех явлений и процессов физики, химии, биологии, медицины, экономики, которым свойственно мгновенное изменение некоторых их характеристик, и математические модели которых описываются сингулярно возмущенными нелинейными дифференциальными уравнениями параболического типа с переменными коэффициентами и содержат условия импульсного воздействия в фиксированные моменты времени.

Ключевые слова: краевая задача Дирихле, краевая задача Неймана, уравнения параболического типа, сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, импульсное воздействие, асимптотическое решение, пограничные и угловые функции.

ABSTRACT

Khomchenko L.V. Asymptotical solutions to the Dirichlet and Neumann boundary value problems for singularly perturbed parabolic type partial differential equations with impulses. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate degree of Physical and Mathematical Sciences by the specialty 01.01.02 - Differential Equations. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv 2005.

The thesis is devoted to solving the problem on constructing asymptotical solutions to Dirichlet and Neumann boundary value problems for singularly perturbed parabolic equations with variable coefficients and impulses at fixed moments of time. The algorithm of constructing asymptotical solutions of the problems mentioned above is developed on the base of Vishyk-Lusternik approach. The ground of the algorithm is given and corresponding theorems on estimation of difference between exact and approximated solutions is proved. To construct asymptotical solutions in exact form we formulate corresponding Cauchy problems and boundary value problems for boundary and angular functions, later we prove solvability of these problems and obtain lemmas on properties of boundary and angular functions from which the asymptotical solutions consist of.

The results of the thesis have first of all theoretical value. At the same time, they can be applied within the research of different phenomenon and processes of physics, chemistry, biology, medicine, economics, etc, that can be characterized by quick change of some characteristics and mathematical description of which is given by singularly perturbed nonlinear parabolic differential equations with variable coefficients and contain impulsive effects conditions at fixed moments.

Keywords: Dirichlet and Neumann boundary value problems, parabolic equations, singular differential equations, impulses, asymptotical solutions, boundary and angular functions.

Размещено на Allbest.ru

...