Многообразие идей и методов в геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИСТИКА СОДЕРЖАНИЯ ПЕРВОЙ ТЕМЫ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ В 7 КЛАССЕ «ГЕОМЕТРИЯ. МНОГООБРАЗИЕ ИДЕЙ И МЕТОДОВ» ПОД АВТОРСТВОМ Н.М. РОГАНОВСКОГО, Е.Н. РОГАНОВСКОЙ, О.И. ТАВГЕНЬ

1.1 Аксиомы, определения и теоремы: кому и зачем они нужны

1.2 Аксиомы прямой и расстояния: что можно определить с их помощью

1.3 Аксиомы полуплоскости и луча: их возможности в построении геометрии. Проблема Жордана

1.4 Аксиомы измерения и откладывания углов: почему угол не может быть больше 180є

1.5 Смежные и вертикальные углы: «не совсем очевидное и не совсем вероятное»

1.6 Центральный угол окружности: почему центральный угол окружности может быть больше 180 є

1.7 Метод равных треугольников -- исторически первый геометрический метод

ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИХ ПРИЕМОВ ОЗНАКОМЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ С ДЕДУКТИВНЫМ ПОСТРОЕНИЕМ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



ВВЕДЕНИЕ

Современная школа призвана решать две тесно связанные друг с другом задачи: с одной стороны, обеспечить овладение учащимися твердо установленным и четко очерченным минимальным объемом знаний и умений, необходимых каждому члену нашего общества, с другой -- создать условия для дополнительного изучения школьного курса математики для тех, кто проявляет повышенный интерес и склонность к данному предмету. Бесспорно, что овладение практически любой современной профессией требует определенных знаний по математике. С математикой тесно связана и «компьютерная грамотность», широкое распространение которой стало неотъемлемой чертой нашего времени. Математические знания стали необходимой частью общей культуры. В школе математика является опорным предметом, обеспечивающим изучение на должном уровне как естественных, так и гуманитарных дисциплин. Необходимо отметить, что математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широкому спектру специальностей. Наиболее массовой и доступной формой дополнительного изучения математики являются факультативные занятия.

Ввиду существенного повышения роли факультативов, цель моей курсовой работы - раскрыть особенности содержания первой темы учебного пособия для факультативных занятий в 7 классе «Геометрия. Многообразие идей и методов» под авторством Н.М.Рогановского, Е.Н.Рогановской, О.И.Тавгень «Как строится геометрия: главная идея», а также изучить методические приемы и методы ознакомления учащихся с дедуктивным построением школьной геометрии.



ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИСТИКА СОДЕРЖАНИЯ ПЕРВОЙ ТЕМЫ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ В 7 КЛАССЕ «ГЕОМЕТРИЯ. МНОГООБРАЗИЕ ИДЕЙ И МЕТОДОВ» ПОД АВТОРСТВОМ Н.М. РОГАНОВСКОГО, Е.Н. РОГАНОВСКОЙ, О.И. ТАВГЕНЬ

1.1 Аксиомы, определения и теоремы: кому и зачем они нужны

Понятие аксиом вводится на примере игры «домино», которое показывает, что опираясь на небольшое число исходных правил игры, играющих роль аксиом этой игры, не нужно непосредственно выкладывать все домино и смотреть, какое из них окажется на правом конце.

В геометрии роль подобных правил игры играют аксиомы. Аксиомы надо воспринимать как некие правила игры, заданные изначально, причем правила такие, что одно не должно приводить к противоречию с другим правилом.

Автором вводится понятие «аксиомы»: «Аксиома -- это исходное предложение для построения теории. С помощью аксиом описываются первые свойства точек, прямых, полуплоскостей, лучей, меры угла, равных треугольников, параллельных прямых, площади фигуры».

Используя сформулированное понятие, учащимся предлагается из ряда предложений, с которыми они познакомились ранее, выбрать те, которые являются аксиомами. Таким образом на практическом примере учащиеся убеждаются в том, что аксиомы действительно описывают первые свойства.

Затем вводится понятие «определения»: «Определение -- это предложение, в котором сообщаются свойства некоторого понятия, позволяющие отличить это понятие от остальных». В определении дается название вводимому понятию. Обращаясь к тому же перечню предложений, учащиеся на практическом примере знакомятся с определениями.

Между определениями и аксиомами существует большое сходство. И те и другие описывают первые свойства изучаемых понятий. Неслучайно поэтому систему аксиом называют часто аксиоматическим определением исходных (первичных) понятий геометрии. Отличие аксиом от других определений состоит в том, что в аксиомах описываются самые первые свойства самых первых понятий.

Далеко не все свойства понятий формулируются в аксиомах и определениях. Большая часть их сообщается в виде теорем. «Теорема--это предложение, в котором сообщаются свойства понятия, не вошедшие в аксиомы и определения». В этой части темы учащиеся знакомятся со структурой теоремы.

Пример. Теорема: «Сумма смежных углов равна180?»:

Условие теоремы	Заключение теоремы
Даны смежные углы	Сумма этих углов равна 180є

Если аксиомы и определения не доказываются, то теоремы должны быть доказаны при помощи логических рассуждений. Доказательство представляет собой цепочку логических рассуждений. При доказательстве опираются на ранее известные аксиомы, определения и теоремы.

Также учащиеся знакомятся с понятием «обратная теорема», ее структурой и на примере они убеждаются, в том, что не всегда обратная теорема имеет место быть.

1.2 Аксиомы прямой и расстояния: что можно определить с их помощью

В последующем учащиеся знакомятся с группами аксиом. Первая группа аксиом - это аксиомы прямой и следствие из них.

1.1. Для каждой прямой существует сколько угодно точек, принадлежащих этой прямой, и сколько угодно точек, не принадлежащих ей

1.2. Через любые две различные точки можно провести прямую и только одну

Следствие. Если прямые а и b имеют более одной общей точки, то они совпадают.

Вторая группа аксиом (аксиомы расстояния):

2.1. Существует расстояние, равное единице.

2.2. Расстояние между двумя точками всегда находится единственным образом (при выбранной единице измерения).

2.3. Если точки А и В различны, то расстояние АВ положительно. Если две точки совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

2.4. Отношение двух расстояний остается всегда постоянным, оно не зависит от выбора единицы измерения.

Для того, чтобы ввести понятия, в частности понятия отрезка, равных отрезков, длины отрезка, окружность, хорда окружности и др., вводятся первая аксиома третьей группы (аксиома о трех точках прямой).

3.1. Одна из трех точек, принадлежащих некоторой прямой, обязательно лежит между двумя другими (рис. 1.3).

На основе сообщенных групп аксиом вводятся понятия:

Отрезком АВ называется множество точек, состоящее из точек А и В и всех точек X, лежащих между ними. Точки А и В называются концами отрезка, точка Х -- внутренней точкой отрезка (рис. 1.4).

Если расстояния АВ и CD равны, то отрезки АВ и CD называются равными.

Длиной отрезка АВ называется расстояние АВ.

Серединой отрезка АВ называется точка О, делящая отрезок АВ на два равных отрезка

Окружностью с центром O и радиусом R называется множество всех точек плоскости, удаленных от центра O на расстояние, равное R.



Рисунок Окружность

Радиусом окружности называют также любой отрезок, соединяющий центр с точкой окружности.

Хордой окружности называют отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.

Два отрезка называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку, которая является внутренней точкой каждого отрезка.

Четырехугольником ABCD называется фигура, состоящая из четырех отрезков AB, BC, CD и DA, из которых никакие два не пересекаются и не лежат на одной прямой.

Рисунок Четырехугольники

Вершинами четырехугольника называются точки A, B, C и D, сторонами четырехугольника -- отрезки AB, BC, CD и DA. Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон.

Аксиомы используются не только для построения определений понятий, с их помощью можно решать задачи.

Задача 1. (Решите без выполнения чертежа!)

Астроном, наблюдая в телескоп три космических объекта Х, Y и Z, определил расстояния между ними в астрономических единицах (1а.е.»150000000км). Расположены ли эти объекты в данный момент наблюдения на одном отрезке, если ХY=3а.е.,YZ=4а.е., ХZ=5а.е.?

Дано: ХY = 3 а. е., YZ = 4 а. е., ХZ = 5 а. е.

Требуется: установить, расположены ли точки Х, Y и Z на одном отрезке.

Решение:

1) Для того чтобы космические объекты Х, Y и Z оказались расположенными на одном отрезке, необходимо, чтобы сумма двух меньших расстояний была равна большему расстоянию;

2) проверим, выполняется ли это требование: 3 а. е. + 4 а. е. ? 5 (а. е.);

3) значит, эти космические объекты не расположены на одном отрезке.

Ответ: космические объекты Х, Y и Z не лежат на одном отрезке.

Задача 2. Пусть даны те же самые космические объекты, что и в предыдущей задаче. Лежат ли эти космические объекты в момент наблюдения на одной прямой?

Вы, вероятно, уже догадались, какой ответ надо дать: данные объекты не лежат на одной прямой. Эта догадка правильная. А как провести ее доказательство?

Попытаемся это сделать. Посмотрим, к каким выводам можно прийти, допустив, что данные объекты лежат на одной прямой. Если по допущению они лежат на одной прямой, тогда по аксиоме 3.1 один из них лежит между двумя другими. Может ли, например, объект Х лежать между объектами Y и Z? Так как YX+XZ=3+5?4, т.е. YX+XZ ?YZ, то приходим к выводу: объект X не лежит между Y и Z.

Аналогично убеждаемся в том, что Y не лежит между X и Z и Z не лежит между X и Y. Получили противоречие с аксиомой 3.1.Оказалось, что из трех точек, принадлежащих прямой, никакая точка не лежит между двумя другими! Противоречие получено из-за того, что сделано неправильное допущение (данные объекты лежат на одной прямой). Значит, космические объекты не лежат на одной прямой. (Заметим, что при доказательстве использовался метод, который называется методом от противного).

1.3 Аксиомы полуплоскости и луча: их возможности в построении геометрии. Проблема Жордана

Перед тем, как ввести аксиомы полуплоскости и луча, рассматривается понятие о пересекающихся прямой и отрезке.

Выделяют два случая:

а) если точки А и В принадлежат различным частям плоскости, то отрезок АВ пересекает прямую а (рис 1.8);

б) если точки А и С принадлежат одной части плоскости, то отрезок АС не пересекает прямую а.

Рисунок Пересекающиеся прямая и плоскость

Эти части плоскости называются полуплоскостями.

Эти полуплоскости называются дополнительными. Они дополняют друг друга вместе с прямой а до плоскости. Прямая а называется границей каждой из дополнительных полуплоскостей.

Аксиома полуплоскости:

3.2. Прямая а разбивает все точки плоскости, не принадлежащие этой прямой, на две полуплоскости.

Аналогично, перед рассмотрением аксиомы луча, рассматривается прямая, на которой берут точку О

Эта точка делит все остальные точки прямой на части, такие что:

а) если точки А и В принадлежат различным частям прямой а, то

точка О лежит между точками А и В (рис 1.9);

б) если точки А и С принадлежат одной части прямой, то точка О не лежит между точками А и С (рис 1.9).

Эти части прямой называются лучами (полупрямыми). Эти лучи называются дополнительными. Они дополняют друг друга вместе с точкой О до прямой. Точка О называется началом (или вершиной) каждого из дополнительных лучей.

Аксиома луча

3.3. Точка О, принадлежащая прямой а, разбивает все остальные точки этой прямой на два луча (две полупрямые).

Аксиома откладывания отрезка

3.4.На луче от его начала можно отложить отрезок любой данной длины и только один.

Рисунок Отрезок и луч

1.4 Аксиомы измерения и откладывания углов: почему угол не может быть больше 180є

Вводятся определения угла и развернутого угла:

Углом называется фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. Лучи ОА и OВ -- стороны угла, точка О -- вершина угла.



Рисунок Угол

Развернутым углом называется угол АОВ, стороны ОА и OВ которого образуют прямую.

Рисунок Развернутый угол

Теперь могут быть сформулированы аксиомы измерения угла и откладывания угла.

Аксиомы измерения угла:

4.1. Каждому углу соответствует определенная положительная градусная мера.

Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами

Развернутый угол равен 180є.

Аксиома откладывания угла:

4.2. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить (построить) угол, имеющий заданную градусную меру, и притом только один.

После введения аксиом, приводится первое их применение:

Прямым углом называется угол, равный 90є.

Острым углом называется угол, меньший 90 є.

Тупым углом называется угол, больший 90 є, но меньший 180 є.

Равными углами называются два угла, имеющие одинаковую градусную меру

Перпендикулярными прямыми называются две прямые, которые пересекаются под углом 90 є (под прямым углом)

Пользуясь понятиями углов можно ввести определение геометрических фигур:

Прямоугольником называется четырехугольник, все углы которого прямые

Рисунок Прямоугольник

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны

Рисунок Квадрат

С помощью квадратов образуются многие другие геометрические фигуры. Из квадратов можно образовывать и пространственные фигуры (фигуры, которые не лежат в одной плоскости). Примером такой фигуры служит куб.

Кубом называется шестигранник, гранями которого являются квадраты.



Рисунок Куб

На основании аксиомы о сумме градусных мер углов доказывается, что угол не может быть больше 180є. Действительно, пусть угол АОВ -- данный угол.

Рисунок Угол, который не больше 180є

Продолжим сторону ОА и рассмотрим три угла: АОВ, ВОС и АОС. Считается, что любой луч ОВ проходит между сторонами развернутого луча АОС. Тогда по аксиоме о сумме градусных мер углов имеем:

?АОВ + ?ВОС = ?АОС = 180є.

Если ?АОВ +?ВОС = 180є, то ?АОВ < 180є.

После введения теоретического материала приводятся задачи с решениями на его закрепления.

1.5 Смежные и вертикальные углы: «не совсем очевидное и не совсем вероятное»

Подводя к теоремам о сумме смежных углов и вертикальных углах, вводятся понятия:

Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного являются дополнительными лучами к сторонам другого.

Теоремы: аксиома полуплоскость угол треугольник

1. Сумма смежных углов равна 180є.

2. Вертикальные углы равны.

Доказательства этих теорем считаются одними из первых доказательств, которые появились в математике. Они предложены древнегреческим математиком Фалесом и относятся к VI в. до н. э

Следствия:

1. Угол между биссектрисами двух смежных углов -- прямой.

2. Биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

1.6 Центральный угол окружности: почему центральный угол окружности может быть больше 180 є

Две точки окружности разбивают ее на две части, называемые дугами окружности. С помощью угловых градусов вводятся дуговые градусы, служащие для измерения дуг окружности. Если угол, образованный двумя лучами, проведенными из центра окружности, равен 1є, то отсекаемая им дуга окружности называется дуговым градусом.

Заметим, что дуга окружности может быть больше 180 дуговых градусов. Полагают, что дуга всей окружности равна 360 дуговым градусам. Если из двух дуг, дополняющих друг друга до окружности, одна равна б дуговым градусам, то другая равна 360 - б дуговым градусам.

Две дуги одной окружности называются равными, если они имеют одну и ту же дуговую градусную меру.

Угол АОВ вместе с дугой, на которую он опирается, называется центральным углом окружности.

1.7 Метод равных треугольников -- исторически первый геометрический метод

Очень важное место в геометрии занимает метод равных треугольников. В данном пособии раскрывается суть этого метода.

Метод равных треугольников

Метод равных треугольников применяется при доказательстве признаков равенства треугольников. В качестве аксиомы принимается признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (Признак указывает условия, при выполнении которых треугольники будут равными).

Аксиома о равенстве треугольников (1-й признак равенства треугольников): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны.

Теорема 3 (2-й признак равенства треугольников):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то такие треугольники равны.

Рисунок Второй признак равенства треугольников

Доказательство данной теоремы проводится методом от противного. Этот метод каждый раз начинается с отрицания того, что нужно доказать.

Прежде чем ввести третий признак равенства треугольников, учащиеся знакомимся с равнобедренным треугольником и одним его свойством.

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого хотя бы две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми, а третья сторона -- основанием.

Теорема 4(Об углах при основании равнобедренного треугольника):

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3-й признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.

Рисунок Третий признак равенства треугольников

Метод равных треугольников широко используется при решении задач. Важным является то, что этот метод можно использовать без связи с аксиомой параллельности.

Задача. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство:

1) Пусть треугольник АВС -- равнобедренный, AB =BC, АА1 и CC1--медианы, проведенные к боковым сторонам (рис 1.27).

Требуется доказать, что АА1= СС1. Рассмотрим медианы АА1и CC1как стороны треугольников АА1C и CC1A;

2) так как AC -- общая сторона этих треугольников,

?АCА1=?CАC1(по свойству углов равнобедренного треугольника) и CA1= АC1(как половины равных сторон CB и AB), то ?ACA1= ?CAC1 (по 1-му признаку равенства треугольников);

3) если ?ACA1= ?CAC1, то AA1= CC1. Это и требовалось доказать.

Как видно, решение данной задачи вообще не опирается на понятие параллельности прямых.



ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИХ ПРИЕМОВ ОЗНАКОМЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ С ДЕДУКТИВНЫМ ПОСТРОЕНИЕМ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В школе более или менее дедуктивно, опираясь на аксиомы, строится геометрия. Но, к сожалению, при дедуктивном построении науки, прежде чтобы добраться до действительно содержательных и заранее не очевидных утверждений, приходится довольно долго возиться с различными простыми фактами вроде того, что диаметр делит круг пополам или углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Как известно, сущность дедуктивного метода изложения геометрии заключается в том, что из некоторых первоначальных понятий и свойств с помощью определений и доказательств выводится содержание геометрии. Такая логическая система связей между понятиями и математическими предложениями представляет собой высокую степень абстракции, поэтому в чистом виде дедуктивный метод для учащихся средней школы не приемлем. Вместе с тем справедливость многих положений геометрии можно не только доказать, но и «непосредственно увидеть» при рассмотрении чертежей и моделей. Непосредственные аналоги многих фигур находятся в окружающей нас обстановке и могут быть практически использованы для формирования чётких наглядных представлений об изучаемых объектах и отношениях между ними. Поэтому в школьном курсе, логические рассуждения следует разумно сбалансировать с наглядными представлениями учащихся.

В преподавании школьного курса геометрии нельзя не учитывать целый ряд психологических факторов, которые обычно называют возрастными особенностями учащихся. Необходимость считаться с этими особенностями даёт учителю право сделать некоторые упрощения в изложении геометрии, не нарушая логики. Часть геометрических положений учитель может не доказывать, ввиду их наглядной очевидности. Некоторые понятия он может вводить на интуитивном уровне с опорой на личный опыт учащихся. Наглядный подход позволяет рассматривать аксиомы как хорошо знакомые учащимся свойства фигур, видимые из рисунка. В некоторых случаях при доказательстве теорем учитель может допустить ссылки на чертёж как наглядный образ.

В аксиоматике, принятой в учебниках основными объектами являются точки и прямые. Основные отношения следующие: «лежать на» (или «проходить через») для точки и прямой, «лежать между» для трёх точек на прямой. Основные понятия и свойства выбраны с таким расчетом, чтобы в дальнейшем развитии теории новые формулировки и доказательства были по возможности проще и соответствовали возрастным особенностям учащихся.

Аксиомы или свойства, которым удовлетворяют основные понятия, можно разбить на пять групп: I группа - аксиомы принадлежности, II - аксиомы порядка, III - аксиомы измерения, IV - аксиома откладывания, V - параллельности. По существу все эти свойства необходимы для строгого обоснования курса геометрии. Пользуясь свойствами I и II группы, вводятся простейшие фигуры: отрезок, луч, угол, треугольник. При этом ряд утверждений об отрезках и углах принимаются на интуитивном уровне. В самом деле, учащимся кажется совершенно очевидным, что каждая точка отрезка разбивает его на два отрезка, а каждый внутренний луч угла разбивает его на два угла. Для отработки таких понятий, как отрезок, луч, угол, в учебниках имеются практические задания и упражнения.

Дедуктивное построение школьного курса геометрии существенно отличается от дедуктивного построения научного курса геометрии, хотя в том и другом случае аксиоматическая основа подбирается с таким расчётом, чтобы получилась стройная математическая теория. При научном обосновании геометрии выбор предложений в качестве аксиом является в какой-то степени условным и несущественным. Действительно, одно и то - же предложение в одной системе может быть аксиомой, в другой - теоремой. Иначе обстоит дело со школьным курсом геометрии. Прежде всего, в качестве аксиом следует принять такие предложения, которые являются очевидными для восприятия учащихся соответствующего возраста. Кроме того, аксиомы подобраны с таким расчетом, чтобы в дальнейшем изложении теории можно было сочетать логическую строгость с доступностью, оптимально используя наглядные представления учащихся.

В школьном курсе геометрии практически невозможно полностью выполнить требование, чтобы каждое геометрическое утверждение было доказано. Простейшие геометрические факты представляются учащимся непосредственно очевидными, и доказательство их в начале курса вызовет не только недоумение, но и отобьёт желание изучать геометрию дальше. Многим учителям математики хорошо известно, как трудно убедить семиклассника доказывать тот факт, который ему кажется очевидным, а длинные и громоздкие доказательства - непонятными и искусственными. Поэтому целый ряд утверждений, особенно те, которые интуитивно не вызывают сомнений и наглядно очевидны, принимаются без доказательства.

Выбор системы аксиом, положенной в основу школьного курса геометрии, в какой-то степени предопределяет введение определяемых понятий. Здесь очень важно, чтобы понятия, вводимые по определению, были приемлемы для естественного восприятия учащихся и соответствовали их наглядным представлениям. Например, объяснять какой угол является меньшим по отношению к другому можно двояко:

1. «Если от данной полупрямой в одну сторону отложить два угла, то меньшим будет считаться тот угол, который является частью другого».

2. «Из двух углов меньшим является тот, который имеет меньшую градусную меру».

Какой же из этих путей лучше воспринимается учащимися? На мой взгляд, второй путь для школьников более приемлем, как для логического обоснования понятий «больше - меньше», так и для усвоения материала. Известно, что основные свойства простейших геометрических фигур школьного курса геометрии являются отражением свойств реальных объектов и отношений между ними. Одновременно они представляют собой обобщение свойств геометрических фигур. Например, утверждение о том, что через две точки можно провести единственную прямую, выражает определённое свойство реальных предметов, характеризуя в тоже время прямую, как реальный объект.

Поэтому при изучении первых разделов геометрии преподавание предмета необходимо строить таким образом, чтобы исходные утверждения геометрии выступали не столько как основа строго логического построения курса, сколько как свойства реального пространства, которые устанавливаются опытным путём. Например, при изложении первых глав на основании опыта и непосредственного созерцания формулируется утверждение о существовании и единственности прямой, проходящей через две данные точки, которое известно учащимся из курса начальной школы. При этом полезно вначале опытным путём, на основании построений выяснить, сколько прямых можно провести через одну данную точку, потом - через две.

С педагогической точки зрения представления о свойствах простейших геометрических фигур, возникающих на основе практического опыта, существенно проще. Учащиеся воспринимают их легче, чем геометрические утверждения, высказанные без опоры на наглядные образы. Индуктивный метод можно считать исходной опорой и средством для получения более убедительный логических выводов. Убедительность логических выводов следует сочетать с эмоциональным воздействием. Чувственные впечатления часто оказываются более сильными в эмоциональном плане, чем услышанное объяснение учителя.

Целесообразно определенное разграничение методического аппарата и математического материала. Это разграничение может быть достигнуто изложением их в виде двух параллельных колонок, применением специальных сигналов-символов и т.д. Систематизация методического аппарата может проводиться по психологическим признакам. И этой связи в нем полезно выделить мотивационную часть (содержащую мотивацию изучения данного учебного материала), ориентировочную часть (иллюстративный, справочный материал, шрифтовые выделения, сигналы-символы, общие схемы решения задач, доказательств теорем и т. д.), исполнительную часть (фрагмент теории, система задач), контрольную часть (задания и вопросы для промежуточного и заключительного самоконтроля).

Важнейшей составной частью методического аппарата учебника является неформальный стиль изложения учебных текстов. Методический аппарат при этом органически слит с математическим материалом.

Стиль изложения при этом больше ориентирован на интерактивное общение с учащимися. На форму изложения учебного материала влияет и такой фактор, как уровень логической строгости изложения. В дидактическом отношении строгость оправдана, если она доступна учащимся. Необходимо иметь в виду, что часто причиной затруднений учащихся служит именно нечеткое изложение учебного материала. Методика использования учебника должна быть адекватной его научно-методическим особенностям, направленной на максимальное развитие замыслов автора. Воспроизведение учителем текста учебника может оказаться недостаточным и привести к формальным знаниям учащихся.

Остановимся на некоторых приемах использования учебника.

· Необходимо иметь в виду, что подготовка к доказательству некоторых теорем ведется в процессе решения ряда задач и упражнений. Целенаправленное решение таких задач облегчает восприятие сложного доказательства.

· Иногда учебный текст начинается не с готовой формулы или формулировки теоремы, а с постановки соответствующей проблемы-задания.

· В курсе геометрии 7 класса встречаются достаточно сложные доказательства. Учитывая, что опыт в проведении таких доказательств у учащихся отсутствует, целесообразно при их изучении пользоваться не проблемным, а репродуктивным методом (сочетая его с элементами других методов, в том числе с проблемным). На этом этапе обучения важно, чтобы учащиеся видели образцы проведения доказательств самим учителем, учились на них и постепенно осознавали смысл и назначение доказательств. Обходить же стороной трудные доказательства, опускать их вряд ли целесообразно: можно создать видимость сиюминутного благополучия, но стратегические возможности постепенного овладения сложными доказательствами будут упущены навсегда.

· В некоторых случаях текст учебника предполагает более подробное (детальное) изложение его содержания на уроке. Примеры свернутого изложения доказательств в учебнике не являются единичными, к этим доказательствам особенно надо подходить тщательно, обеспечивая наглядность и сознательность усвоения.

· Правильное использование учебника предполагает знание образовательных целей изучения каждой отдельной его темы. Учителю необходимо знать, какие темы в данном учебнике имеют наибольшую образовательную ценность (и планировать при их изучении не только усвоение знаний, но и приобретение соответствующих навыков), а какие - меньшую образовательную ценность.

В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение геометрии. Постоянно приходится следить за тем, чтобы не использовать что-нибудь совершенно ясное, но ещё не доказанное нами. В течение большого периода предпринимались усилия для разработки сравнительно простой, легко обозримой аксиоматики и строгого логического построения геометрии. Последнее достижение в этом направлении - учебники А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна. Но их считают очень трудными и "заумными". Мне кажется, что в общеобразовательной школе дать последовательное чисто дедуктивное построение геометрии не возможно. Приведем пример тщетных попыток придать изложению геометрии строго дедуктивный характер - это вавилонское доказательство теоремы Пифагора. Так как в нём используются площади, то при строго последовательном изложении предмета его надо отложить до того времени, когда будут изучаться площади. В самой же теореме речь идёт о длинах отрезков, и хорошо бы привести её в соответствующем месте, задолго до площадей. Кроме того, возникают сложности и с самими площадями. Так как площадь не является первичным понятием, фигурирующим в аксиомах; значит, надо дать определение площади, а это опять не так-то просто. Наибольшие сложности связаны с площадью криволинейной фигуры. Для доказательства теоремы Пифагора нам нужны только многоугольники, у нас ведь там были четыре треугольника и два квадрата. С ними дело обстоит лучше. Для доказательства необходимо знать, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей. Но кто сказал, что это так? Интуитивная уверенность имеет отношение не столько к геометрии, сколько к физике. Представим себе фигуру, сделанную из однородного материала, тогда её площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества, то есть её массе. Далее, при разделении тела на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что всё состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса. Но давайте задумаемся, на какое количество экспериментальных физических фактов опирается это рассуждение. А это уже не геометрия. Впрочем, есть один геометрический момент, который тоже нуждается в разъяснении. Это связано с тем, что масса куска однородного материала пропорциональна его объёму; значит, надо знать, что объём "листа", имеющего форму данной фигуры, пропорционален её площади. Это уже относится к стереометрии и является утверждением и о площадях, и об объёмах! Таким образом, сколь бы ни была обоснована опытом уверенность, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, в геометрии надо это доказывать. В начале века существовали учебники, в которых всё это делалось аккуратно. Сложного здесь ничего нет, но требуется время, которого в общеобразовательной школе нет.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, исследуя содержания первой темы: «Как строится геометрия: главная идея» учебного пособия для факультативных занятий в 7 классе, можно сказать, что в учебный текст включены не только формулировки тех или иных аксиом, но и пояснения: зачем они нужны, что можно определить, доказать с их помощью, какой шаг вперед в построении геометрии они позволяют сделать. Такой методический подход проявляется уже в названиях параграфов: «Аксиомы, определения и теоремы: кому и зачем они нужны», «Аксиомы прямой и расстояния. Что можно определить с их помощью?», «Аксиомы полуплоскости и луча: их возможности в построении геометрии», «Аксиомы измерения и откладывания углов. Почему угол не может быть больше 180°?» и т. д. Особое внимание уделено аксиоме параллельных прямых. При изложении учебного материала внимание учащихся обращается на то, используется или не используется в нем аксиома параллельных. Эти и другие приемы позволяют сделать акцент не на заучивании готовой теории, а на процессе ее построения. Определяется своего рода раздел между различными частями геометрии, которым служит аксиома параллельных прямых. Достаточно выпукло представлены методы школьной геометрии: методы синтетической геометрии (метод равных треугольников, метод геометрического места точек в задачах на построение, использование свойств различных видов треугольников, параллельных и перпендикулярных прямых и т. д.). Применение учащимися математических методов облегчается своевременным ознакомлением их со схемами и признаками методов. Как правило, это делается в начале темы. Доказательства структурированы таким образом, чтобы в них наглядно было видно применение каждого математического метода. Стимулированию интереса служит включение (главным образом на уровне задач) таких вопросов, как теорема Жордана, условия принадлежности точки внутренней или внешней области многоугольника.

Во второй главе курсовой работы были рассмотрены методические приемы дедуктивного построения геометрии. В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение геометрии. С одной стороны, совершенно ясно, что при решении вопроса о дозировке наглядного в преподавании геометрии нельзя игнорировать психологические факторы. Пренебрежение ими лишает педагогов возможности правильно проанализировать процесс восприятия и воздействовать на него. С другой стороны, чрезмерное увлечение экспериментальными наглядными методами может привести к поверхностным знаниям и не способствовать развитию потребности в логическом обосновании свойств геометрических фигур. Поэтому в этом вопросе, как и везде нужно иметь чувство меры.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Рогановский, Н. М. Геометрия. 7 класс. Многообразие идей и методов : пособие для учащихся общеобразоват. учреждений с белорус. и рус. яз. обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н. Рогановская, О. И. Тавгень. -- Минск : Аверсэв, 2011. -- 239 с. : ил. -- (Факультативные занятия).

2. Рогановский, Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч. / Н.М. Рогановский, Е.Н. Рогановская. - Могилев: УО «МГУ им. А.А. Кулешова», 2011. -- Ч. 2: Специальные основы методики преподавания математики (частные методики). - 388 е.: ил.

Размещено на Allbest.ru

...