Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів

8. Курченко O.O. Збіжність F-варіації гауссового випадкового поля// Теор. ймов. та матем. статистика. - 1999. - Вип. 60. - C. 98 - 108.

9. Курченко O.O. Функціональна центральна гранична теорема для бакстерівських сум дробового броунівського руху// Теор. ймов. та матем. статистика. - 1999. - Вип. 61. - C. 86 - 90.

10. Kozachenko Yu.V., Kurchenko O.O. An estimate for the multiparameter FBM// Theory of Stochastic Processes. - 1999. - Vol. 5 (21), No 3 - 4. - P. 113 - 119.

11. Курченко O.O. Центральна гранична теорема для бакстерівських сум гауссівських випадкових полів// Доп. НАН України - 2000. - № 3. - C. 19 - 23.

12. Козаченко Ю. В., Курченко O.O. Оцінювання параметрів гауссівських однорідних випадкових полів// УМЖ. - 2000. - Том 52, № 8. - C. 1082 - 1088.

13. Курченко O.O. Збіжність у просторі однієї послідовності випадкових полів// Теор. ймов. та матем. статистика. - 2001. - Вип. 64. - C. 82 - 91.

14. Kurchenko O.O. Estimation for the function of a time deformation in the mode of the stationary reduction// Theory of Stochastic Processes. - 2001. - Vol. 7 (23). - P. 231 - 235.

15. Курченко O.O. Принцип інваріантності у схемі серій для нелінійних функцій від гауссових випадкових величин// Доп. НАН України. - 2002. - № 1. - C. 43 - 47.

16. Курченко O.O. Одна сильно консистентна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху // Теор. ймов. та матем. статистика. - 2002. - Вип. 67. C. 45 - 54.

17. Kurchenko O.O. Confidency intervals and rate of convergency for the estimates of Hurst parameter of the FBM// Theory of Stochastic Process. - 2002, Vol. 8 (24). - P. 242 - 249.

18. Курченко O.O. Одна оцінка параметра пам'яті стаціонарної гауссівської випадкової послідовності// Вісник Київського університету ім. Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2003. - Вип. 9 -10. - C. 53 - 56.

19. Курченко O.O. Збіжність бакстерівських сум для випадкових полів на жорданових множинах// Вісник Київського університету, Серія: фізико-математичні науки. - 2002 - Вип. 5. - C. 83 - 89.

20. Курченко О.О., Наумов М.Є. Одна сильно консистентна оцінка параметра ARIMA(0,D,0) процесу // Вісник Київського університету ім. Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2005. - Вип. 13. - C. 38 - 40.

21. Курченко O.O. Предел интегральных сумм типа Леви-Бакстера // Тезисы Четвертой Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. - Том 2. - Вильнюс: - 1985. - С. 89 - 90.

22. Курченко О.О. Одна гранична теорема для гауссівського випадкового поля // П'ята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 1996. - С. 225.

23. Курченко О.О. Одна версія теореми Бакстера для гауссівського випадкового поля // Шоста Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 1997. - С. 239.

24. Курченко О.О. Границі для простих приростів гауссового випадкового поля // Сьома Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 1998. - С. 258.

25. Курченко О.О. Одна непараметрична оцінка в моделі стаціонарної звідності // Восьма Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. -2000. - С. 447.

26. Курченко О.О. Одна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху // Conf. Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics. Abstracts. - Kyiv. - 2001. - C. 39 - 40.

27. Курченко О.О. Теореми Леві-Бакстера і оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху // Дев'ята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. -2002. - С. 435.

28. Курченко О.О. Одна оцінка параметра пам'яті стаціонарної гауссівської випадкової послідовності // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 2004. - С. 608.

29. Курченко О.О., Наумов М.Є. Одна сильно консистентна оцінка параметра ARIMA(0,d,0) процесу // Conf. Functional Methods in Appr. Th., Operator Th., Stoch. Analysis and Statistics II dedicated to the memory of A. Ya. Dorogovtsev (1935 - 2004) Abstracts. - Kyiv. - 2004. - C. 72.

30. Курченко О.О. Оцінювання функції заміни часу для процесу дробового броунівського руху // International conference Modern problems and new trends in probability theory. Abstracts I. - Chernivtsi. - 2005. - C. 138.

31. Kurchenko O.O. The limit of integral sums for a vector valued Gaussian random field // Proc. of the Second Ukrainian - Hungrian Conference. - Mukachevo. - 1995. - P. 128 - 130.

32. Kurchenko O.O. Convergence of the F-variation for Gaussian Random Fields // Abstracts of the Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics. - Kyiv. - 1999. - P. 85.

33. Kurchenko O.O. Central limit theorem for the quadratic variation of the Gaussian random field // Abstracts of communications. XX International Seminar on Stability Problems for Stoch. Models. - Lublin - Naleczow. - 1999. - P. 102.

34. Kurchenko O.O. Functional central limit theorem for Baxter sums of Gaussian random fields // The International Conference “Stochastic Analysis and its Applications”. Abstracts of Communications. - Lviv. - 2001. - P. 42.

35. Kurchenko O.O. Estimates of Hurst parameter of the FBM // International Gnedenko Conference. Abstracts. - Kyiv. - 2002. - P. 92.

Анотація

Курченко О.О. Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню умов збіжності бакстерівських сум випадкових процесів і полів та застосуванням для оцінювання параметрів кореляційних функцій. Знайдені умови збіжності у середньому квадратичному і з імовірністю одиниця до детермінованої сталої бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів загального виду гауссових випадкових полів. Встановлені умови збіжності з імовірністю одиниця до детермінованої сталої послідовності білінійних форм від приростів загального виду гауссового векторного випадкового поля. Досліджена збіжність у середньому квадратичному інтегральних сум для випадкових функцій бакстерівського типу. Визначений стохастичний інтеграл з диференціалом по векторному випадковому процесу бакстерівського типу. Встановлена функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода функцій багатьох змінних для нормованих сум нелінійних функцій від приростів випадкових процесів і полів. Отримана сильно конзистентна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху, а також побудовані інтервали надійності для цього параметра та доведені твердження про швидкість збіжності із імовірністю одиниця. Для певного класу гауссових однорідних випадкових полів на основі бакстерівських статистик побудовані конзистентні оцінки параметрів кореляційних функцій та знайдені еліпсоїди надійності.

Ключові слова: теорема Леві-Бакстера, гауссове випадкове поле, функціональна центральна гранична теорема, простір Скорохода, конзистентна оцінка, інтервал надійності.

Аннотация

Курченко А.А. Предельные теоремы для бакстеровских сумм случайных функций и их применения для оценок параметров. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Получены достаточные условия сходимости в среднем квадратическом и почти наверное к положительной детерминированной постоянной последовательности бакстеровских сумм для нелинейных функций от приращений гауссовских случайных полей определенного класса. Условия сходимости сформулированы в терминах корреляционных функций случайных полей, ранга Эрмита нелинейной функции и порядка приращения. Привлечение приращений старших порядков позволило расширить семейство случайных функций, для которых имеет место сходимость последовательности бакстеровских сумм к детерминированной постоянной. Исследован также случай квадратов приращений для совместно строго субгауссовских случайных полей. Получена теорема бакстеровского типа для квадратов приращений вообще говоря негауссовских случайных полей, заданных на измеримых по Жордану подмножествах эвклидового пространства . Установлены достаточные условия сходимости почти наверное к детерминированной положительной постоянной последовательности билинейных форм от приращений векторного гауссовского случайного поля. При этом ослаблены условия на скорость стремления к нулю последовательности мелкостей разбиений: при определенных условиях бесконечная малость последовательности где последовательность мелкостей разбиений, размерность параметрического пространства, является достаточной для сходимости с вероятностью единица последовательности бакстеровских сумм.

Исследована сходимость в среднем квадратическом интегральных сумм непрерывного в среднем порядка четыре случайного поля по приращениям векторного случайного поля бакстеровского типа. Доказано, что предел в среднем квадратическом таких интегральных сумм - стохастический интеграл вида где непрерывное в среднем порядка четыре на случайное поле, непрерывная на функция, определяемая векторным случайным полем бакстеровского типа. При помощи неравенства для нормы в пространстве Орлича центрированной квадратичной формы гауссовских случайных величин, исследована сходимость в пространстве Орлича к детерминированной постоянной бакстеровских сумм векторного гауссовского случайного поля. Результат о сходимости интегральных сумм применен для определения стохастического интеграла вида с дифференциалом по векторному случайному процессу бакстеровского типа. Доказана формула Ито для такого интеграла. Исследована зависимость предела интегральных сумм от правила выбора промежуточных точек. Определен симметрический стохастический интеграл относительно случайного процесса бакстеровского типа и получен аналог формулы Ито для такого интеграла.

Получена функциональная центральная предельная теорема в пространстве Скорохода функций многих переменных для последовательности ступенчатых случайных полей, построенных при помощи нормированных сумм нелинейных функций и мультииндексной последовательности серий случайных величин, которые в каждой серии имеют совместное гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием. Условия сформулированы в терминах корреляционных матриц серий случайных гауссовских величин и коэффициентов разложения нелинейной функции по многочленам Чебышева-Эрмита. Доказана функциональная центральная предельная теорема в пространстве Скорохода функций без разрывов второго рода для последовательности нормированных случайных процессов, построенных при помощи нелинейной функции от приращений дробного броуновского движения. Оказалось, что для приращений второго порядка и выше, условия этой теоремы выполнены для всех значений параметра Хюрста . Получена также функциональная центральная предельная теорема в пространстве Скорохода для последовательности ступенчатых случайных полей, построенных при помощи бакстеровских сумм гауссовских случайных полей с однородными приращениями.

Результаты о сходимости последовательности бакстеровских сумм применены для оценивания параметров корреляционных функций гауссовских случайных процессов и полей. Построены области надежности для оцениваемых параметров. В частности, получена сильно консистентная оценка параметра Хюрста дробного броуновского движения, а также построены интервалы надежности для этого параметра и доказано утверждение о скорости сходимости с вероятностью единица. Для определенного класса однородных случайных полей, при помощи бакстеровских статистик построены консистентные оценки параметров корреляционных функций и найдены эллипсоиды надежности. В рамках определенной модели, построена асвимптотически несмещенная сильно консистентная оценка параметра памяти гауссовской стационарной случайной последовательности. Найден интервал надежности и оценена скорость сходимости с вероятностью единица. Построена непараметрическая оценка функции замены времени для стационарного гауссовского случайного процесса с нулевым средним и известной корреляционной функцией.

Ключевые слова: теорема Леви-Бакстера, гауссовское случайное поле, функциональная центральная предельная теорема, пространство Скорохода, консистентная оценка, интервал надежности.

Summary

Kurchenko O.O. Limit theorems for Baxter sums of the random functions and their application for estimation of the parameters. Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of doctor of sciences of physics and mathematics, speciality 01.01.05 - Theory of Probability and Mathematical Statistics. - Kyiv Taras Schevchenko National Universsity. Kyiv, 2006.

The dissertation focuses on research of the conditions for the convergence of Baxter sums of the random processes fields and appllication for the estimation of the parameters of the correlation functions. The conditions of the convergence in mean square and almost surely to the determinate constant of Baxter sums for nonlinear functions of the general increments of the Gaussian random fields are obtained. The conditions of the convergence almost surely to the determinate constant of the sequence of the bilinear forms of the general increments of the Gaussian vector random field are established. The convergence in mean square of the integral sums for the random functions of Baxter type is examined. The stochastic integral with differential on the vector random process of the Baxter type is defined. The functional central limit theorem in the Skorokhod space of the functions of several variables is proved. The consistent estimate of the Hurst parameter of the fractional Brownian motion is obtained, as well as the confidence region for this parameter is constructed and the statement on the rate of the convergence almost surely is proved. The consistent estimates of the parameters of the correlation functions of the several type of the Gaussian homogeneous random fields are constructed as well as the confiedence ellipsoids are determined.

Key words: Levy-Baxter theorem, Gaussian random field, functional central limit theorem, Skorokhod space, consistent estimate, confidence interval.

Размещено на Allbest.ru