Графіки деяких чудових кривих

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА

Кафедра вищої математики

Курсова робота

З геометрії

На тему: «Графіки деяких чудових кривих»

Студентки 2 курсу 21 МІА групи

напряму підготовки „Математика”

спеціальності математика, інформатика та

адміністрування комп`ютерних систем

Гук Марії Андріївни

Київ - 2013

Вступ

Поняття функціональної залежності одне з найважливіших понять сучасної математики при дослідженні явищ та процесів природи, розв'язанні технічних задач тощо.

Серед різних способів подання функцій: аналітичного, табличного, словесного чи графічного найбільш поширеного значення набув графічний спосіб - іноді він становить єдино можливий спосіб подання функції.

Поняття лінії визначилося у свідомості людини в доісторичні часи. Траєкторія кинутого каменя, струмінь води, промені світла, обриси квітів і листя рослин, звивиста лінія берега річки і моря та інші явища природи приваблювали увагу наших предків і, спостережувані багаторазово, послужили основою для поступового встановлення поняття лінії.

Історичні пам'ятники глибокої давнини показують, що у всіх народів на відомій ступені їх розвитку малося поняття окружності, не кажучи вже про прямі лінії. Вживалися примітивні інструменти для побудови цих ліній і були спроби вимірювати площі, що обмежуються прямими і окружністю. Але лише з виникненням математики як науки стало розвиватися вчення про лінії, яка досягла в працях грецьких математиків високої досконалості.

1637 - одна з великих дат в історії математики - рік появи книги Рене Декарта «Геометрія», в якій були викладені основи методу координат. Відкриття цього методу для дослідження кривих було фактом першорядного значення.

В основі класифікації кривих лежить природа їхніх рівнянь - поділ рівнянь на алгебраїчні та трансцендентні. Однак завужимо, що природа рівняння кривої залежить не тільки від природи самої кривої, але і від тієї системи координат, до якої віднесена крива. Та сама крива в одній системі координат може виражатися алгебраїчним рівнянням, а в іншій - трансцендентним. Проте іноді досить змінити становище системи та рівняння кривої, що була алгебраїчною, стає трансцендентною.

Алгебраїчні криві в свою чергу ділять на криві різних порядків. Порядок кривої визначаеться найвищим степенем її рівняння.

Алгебраїчною кривою n-го порядку називається крива, рівняння якої, після звільнення його від дробів і радикалів, записується у декартовій системі координат у вигляді

Подамо деякі загальні теореми про алгебраїчні криві.

1. Порядок алгебраїчної кривої не залежить від положення цієї кривої щодо системи координат.

2. Дві незвідні алгебраїчні криві одна з яких має порядок m, а друга - n, перетинаються не більше ніж у mn точках.

3. Алгебраїчна крива n-го порядку визначається n(n+3)/2 точками.

4. Кожна крива n-го порядку, що проходить через n(n+3)/2-1 точок, проходить також ще через (n-1)(n-2)/2 точок площини, положення яких залежить від положення заданих точок.

5. Якщо на кожній прямій, що проходить через дану точку О, знайти точку Р так, щоб n/ОР=1/ОР₁+1/ОР₂+...+1/ОР_n, де Р₁,Р₂,...,Р_n - точки перетину прямої з кривою n-го порядку, то геометричне місце точок Р є пряма лінія.

Мета даної роботи полягає в дослідженні графіків деяких чудових кривих, на розгляд яких не вистачає часу, запланованого за програмою курсу.

Основними завданнями курсової роботи є наочно зобразити графіки деяких чудових кривих, показати основні рівняння кривих, а також дослідити деякі властивості та історію кривих.

1. Алгебраїчні криві II порядку

Алгебраїчною кривою другого порядку наз. крива Г, рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд: .(1)

Нехай в ПДСК задано рівняння другого порядку виду (1). Тоді існує декартова система координат, в якій це рівняння приймає один з наступних 9 канонічних видів: алгебраїчний еліпс конхоїд параболічний

(1)

У відповідності з цим існує сім класів ліній другого порядку :

еліпси

3)точки (пари уявних прямих, що перетинаються)

4) гіперболи

5) пари дійсних прямих, що перетинаються

6) параболи

7) пари паралельних прямих

9) прямі

Еліпс. Крива другого порядку, яка в деякій ПДСК задається рівнянням

, , (2)

при умові називається еліпсом, рівняння (2) - канонічним рівнянням еліпса, а відповідна ПДСК - канонічною.

Зауваження. Якщо a=b, то (2) задає коло.

1.1) Знак F₂ співпадає зі знаками A₁ і C_1.

рівняння уявного еліпса.

F₂=0.

.

Рівняння пари уявних прямих, що перетинаються в точці (0,0).

Нехай A₁ і C₁ різних знаків.

(3)

,

Гіпербола. Крива другого порядку, яка у деякій ПДСК задається рівнянням виду наз. гіперболою, рівняння (3) - канонічним рівнянням гіперболи, а відповідна ПДСК - канонічною.

F₂=0

пара дійсних прямих, які перетинаються.

Парабола. Крива другого порядку, яка у деякій ПДСК задається рівнянням виду

(4)

наз. параболою, рівняння (4)- канонічним рівнянням параболи, а відповідна система координат - канонічною.

Властивості:

1. Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.

2. Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.

3. Для параболи фокус знаходиться в точці (0,25; 0).

4. Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.

5. Парабола є антиподерою прямій.

6. Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.

7. При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.

8. Еволютою параболи є напівкубічна парабола.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Криві третього порядку

Перед розглядом кривих 3-го порядку подамо такі три твердження:

1. Якщо крива 3-го порядку має три точки перегину, то вони лежать на одній прямій.

2. У будь-якої кривої 3-го порядку, що не має подвійної точки, є принаймні одна точка перегину. Максимальне число точок перегину кривої 3-го порядку не більше дев'ти, із них дійсних може бути лише три.

3. Крива 3-го порядку не може мати більше однієї подвійної точки.

Розглянемо деякі криві третього порядку.

Декартів лист.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Декартів лист - плоска крива третього порядку, що задовольняє рівнянню в прямокутній системі x ³ + y ³ = 3a x y .

Параметр 3a визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшою хорді петлі.

Вперше рівняння кривої досліджував Рене Декарт в 1638 році, однак він побудував тільки петлю в першому координатному куті, де x і y приймають позитивні значення. Декарт вважав, що петля симетрично повторюється у всіх чотирьох координатних чвертях, у вигляді чотирьох пелюсток квітки. У той час ця крива називалася квіткою жасмину ( англ. jasmine flower , фр. fleur de jasmin ).

У сучасному вигляді цю криву вперше представив Х. Гюйгенс в 1692 р.

В прямокутній системі за визначенням:

В полярній системі :

.

Параметричне рівняння в прямокутній системі:

, Де .

Повернений Декартів лист

Размещено на http://www.allbest.ru/

Часто розглядають повернену на криву. Її рівняння виглядають так:

· У прямокутній системі:

,

Де

· Параметричне:

· У полярних координатах:

Строфоїд - це геометричне місце точок М₁ и М_2, які лежать на довільних променях, що лежать на довільних променях, що проходять через точку О для яких РМ₁=РМ₂=ОР (Р - довільна точка осі координат).

Вважають, що строфоїда вперше була розглянута французьским математиком Жилем Робервалем у 1645 році. Роберваль називав цю криву -- «птероїда» (від гр. рфеспн-- крило). Назву «строфоїда» було введено у 1849 році.

Рівняння в декартових координатах:

Рівняння в полярних координатах:

У параметричній формі:

(

Основні властивості строфоїда:

1. Строфоїда є подерою параболи щодо точки перетину осі параболи з її директрисою.

2. Геометричне місце точок перетину двох дотичних, проведених у спряжених точках М₁ і М₂ строфоїди, є цисоїдою Діокліда.

3. Інверсія строфо їди дає ту саму строфоїду, якщо полюс інверсії збігається з точкою А, а степінь інверсії дорівнює а².

4. Якщо із довільної точки М, що лежить на строфоїді, провести до неї дві дотичні, які дотикаються кривої в точках P і Q, то точки М, Р і Q лежатимуть на колі, що проходять через початок координат.\

Офіуріда

Офіуріда - це крива, яка може бути визначена як подера параболи щодо довільної точки на дотичній у вершині цієї параболи. ЇЇ рівняння х(х²+у²)=у(cy-bх). Якщо у рівнянні офіуріди b=0, то одержимо рівняння цисоїди. Офіуріда має в початку координат вузлову точку з дотичними у=0 і у=b/сх. Пряма х=с - асимптота офіуріди. Зауважимо, що пряма х=с - директриса параболи.

Цисоїда Діокла

Геометричне місце точок М, для яких ОМ=PQ, де Р - довільна точка початкового кола діаметром а, назівається цисоїдою Діокла (Діоклеса).

Утворити цисоїду дуже легко. Візьмім коло з діаметром ОА=2а і дотичну до неї АQ. Через точку О проведімо промінь ОQ і на ньому відкладемо відрізок ОМ=QР. Побудована таким чином точка М належить циклоїді.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рівняння у декартовій системі:

у²=х³ /(а-х)

Рівняння у полярній системі:

Параметричне рівняння кривої:

х=а/(t²+1)

y=a/t(t²+1)

Зауважимо,що ГМТ, симетричних початку координат щодо дотичної до параболи, можна розглядати як траєкторію вершини іншої параболи, однакової з даною, що котиться по даній параболі. Звідси випливає інший спосіб утворення цисоїди як траєкторії вершини параболи, яка без ковзання котиться на іншій такій самій параболі.

Трисектриса Маклорена

Трисектриса маклорена - це крива, що визначається як подера параболи щодо такої точки осі, яка віддалена від директриси на відстань цієї директриси від фокуса.

Рівняння в декартовій системі координат:

(х-3а)(х²+у²)-4а³=0

Рівняння полярній системі:

Верзієра Аньєзі

На відрізку ОС=а як на діаметрі побудуємо коло. Продовжимо пів хорду BD до точки М, що визначається із пропорції BМ: BD=ОС:О B. Геометричне місце точок М і є верзієра.

Рівняння кривої у декартовій системі:

у=а³/(а²+х²)

Параметричне рівняння кривої:

x=t

y=a³/(а²+t²)

Крива симетрична щодо щодо осі ординат. Асимптота у=0 - вісь абсцис. У точці С верзієра та коло мають спільну дотичну, яка паралельна осі абсцис.

Дослідження верзієри зв'язане у математичній літературі з іменем Марії Аньєзі (1718-1799 рр.). Іноді цю криву називають локоном Аньєзі.

3. Криві четвертого та вищих порядків

Криві 4-го порядку легко кваліфікувати. Враховуючи природу та число особливих точок кривої:

1. криві, що не мають особливих точок;

2. криві з однією подвійною точкою;

3. еліптичні криві - криві з двома подвійними точками;

4. раціональні криві - криві з трьома подвійними точками або з однією трикратною.

Раціональні криві 4-го порядку можна отримати за допомогою квадратичного перетворення кривої 2-го порядку. Якщо перетворювана крива 2-го порядку, наприклад коло, перетинає яку-небудь сторону координатного трикутника у двох точках, то відповідна крива 4-го порядку матиме у протилежній вершині цього трикутника дві дотичні і . отже, вузлову точку. Якщо вказані дві точки збігаються в одну, то відповідні їм дотичні теж збігаються, і крива 4-го порядку матиме точку звороту у вершині трикутника.

Еліптичні криві 4-го порядку, як і раціональні, можуть бути отримані за допомогою квадратичного перетворення кривих 3-го порядку, які не мають подвійних точок і проходять через дві вершини координатного трикутника.

Біциркулярні криві 4-го порядку характеризуються тим. Що дві їх подвійні точки збігаються з циклічними точками площини.

До чудових біциркулярних кривих 4-го порядку належать Паскалів равлик, кардіоїда, еліптична і гіперболічна лемніскати Бута, лемніската Бернулі та ін. До біцеркулярних кривих 4-го порядку загального типу (не раціональних) належать такі чудові криві: овали Декарта, овали Кассіні, криві Персея та ін.

Конхоїда

Конхоїдою даної кривої називається крива, яку можна одержати при збільшені чи зменшенні радіуса- вектора кожної точки даної кривої на сталий відрізок l. Якщо рівняння кривої в полярних координатах , то рівняння її конхоїди

Конхоїда Нікомеда

- конхоїда прямої лінії, тобто геометричне місце точок М, для яких ОМ=ОР1 («+» -для зовнішньої вітки, «-» - для внутрішньої).

Рівняння в декартовій системі координат:

(х-а)²(х²+у²)- l²х²=0

Рівняння у полярних координатах:

У параметричній формі:

x=a+ l cos

y=a tg + l sin

Перше дослідження конхоїда приписується Нікомеду (3 ст. до н.е.), який застосував її для розв'язання задачі про трисекцію кута. В історії математики конхоїда цікава ще й тим, що саме на ній Декарт демонстрував свій спосіб побудови нормалей та дотичних до кривих.

Паскалів равлик

Паскалів равлик можна визначити як конхоїду, базисом якої є коло. Він є алгебраїчною лінією 4-го порядку, форма якої залежить від параметрів l та r.

Рівняння кривої у прямокутній системі координат:

( х²+у²-ах)²= l²(х²+у²)

У параметричній системі координат:

х= acos² + l cos

y= a sin cos + l sin

Рівняння у полярній системі:

( l - діаметр круга)

Зауважимо, що равлик Паскаля можна розглядати і як подеру кола щодо довільно вибраної точки площини.

Паскалів равлик також належить до числа трисектрис - кривих, що дозволяють здійснювати трисекцію кута. Велике застосування має Паскалів равлик у техніці ( наприклад, у механізмі для піняття та опускання семафора, для викреслення профілю ексцентрика при дослідженні гармонічних коливань та ін.).

Циклоїдальні криві

Один із способів кінематичного утворення кривих такий: деяка крива котиться без ковзання по іншій, при цьому яка-небудь точка, незмінно пов'язана з першою кривою, буде описувати нову лінію. Серед кривих, утворених таким способом, виділяють криві, що є траєкторіями точки, незмінно пов'язаної з колом, яке котиться без ковзання по іншому. Одержані при цьому лінії називають циклоїдальними.

Циклоїдальні криві можуть бути як алгебраїчними, так і трансцендентними. Важливіші з них алгебраїчні. Розглянемо деякі приклади таких кривих.

Епіциклоїди

Епіциклоїда - крива, що її описує точка кола, яке котиться без ковзання по іншому колі ззовні.

Виділимо деякі основні властивості епіциклоїди:

1. епіциклоїда з раціональним m є алгебраїчною кривою;

2. дотична в довільній точці епіциклоїди проходить через точку твірного кута, діаметрально протилежну точці дотику його з нерухомим кругом, а нормаль - через точку дотику цих кругів;

3. еволюта епіциклоїди являє собою епіциклоїду, подібну даній з коефіцієнтом подібності k=1/(1+2 m) та повернену щодо даної кривої на кут mр;

4. епіциклоїда є ката каустикою кола;

5. подера епіциклоїди щодо центру нерухомого круга є «трояндою».

У параметричній формі рівняння епіциклоїди має вигляд:

де R - радіус нерухомого кола; r - радіус рухомого кола.

Гіпоциклоїди

Гіпоциклоїда - крива, що її описує точка кола, яке котиться без ковзання по іншому всередині нього.

Рівняння гіпоциклоїди, координати вершин і точок звороту, формули для довжини дуги, площі і радіуса кривини - ті ж самі, що і для епіциклоїди із зміною «+» на «-»; число точок звороту таке, як в епіциклоїди.

Рівняння у параметричній формі:

=СМ (для подовженної , для вкороченої ).

Розглянені вище епіциклоїди та гіперциклоїди є окремими випадками циклоїдальних кривих

4. Трансцендентні криві

Трансцендентні криві - це криві, рівняння яких у декартовій системі координат не є алгебраїчними.

Зауважимо, що трансцендентна крива може мати пунктирну вітку, яка складається із скінченого числа ізольованих точок.

Особливою властивістю трансцендентних кривих є те що для деяких з них довжина дуги, яка відкладається від будь-якої точки кривої до її асимптотичної точки, є скінченна величина, для інших ця довжина безмежно велика.

Д.Лоріа намітив загальну класифікацію кривих:

1. криві, у яких точки дотику прямих, проведених з будь-якої точки площини, лежать на алгебраїчній кривій, називаються кривими першого класу (паналгебраїчнимим кривими);

2. криві, точки яких лежать на паналгебраїчній кривій, наз. кривими другого класу;

3. криві, у яких ці точки лежать на кривих другого класу, називаються кривими третього класу і т.д.

Розглянемо деякі важливі трансцендентні криві.

Архімедова спіраль

Архімедова спіраль - крива, яку описує точка, що рухається із сталою швидкістю у вздовж променя, який обертається навколо полюса О із сталою кутовою швидкістю.

Рівняння в полярній системі координат:

с=ац,

де а - коефіцієнт пропорційності.

Перейдемо до декартової системі координат, отримаємо:

Узагальненням спіралі Архімеда є крива с=ац+l , що є конхоїдою Архімедової спіралі, її називають неоїдою.

Відкриття архімедової спіралі приписують Конону Самоському (Паппі), але детально вивчав її таки Архімед.

Архімедова спіраль знаходить широке застосування в техніці, зокрема у кулачкових механізмах, в конструкції прядильної машини та ін..

Алгебраїчні спіралі

Алгебраїчні спіралі - лінії, полярні рівняння f(с,ц)=0 яких є алгебраїчними щодо с і ц. Найпростішим прикладом алгебраїчної спіралі є Архімедова спіраль.

Гіперболічна спіраль с=а/ ц.

Крива складається з двох віток, які симетрично розміщеніі щодо перпендикуляра до полярної осі (в полюсі).

Стереометрично гіперболічна спіраль може бути означена як проекція на площину хОу гвинтової ліній з точки, що лежить на осі циліндра, який містить цю гвинтову лінію.

Порівнюючи рівняння спіралі Архімеда і гіперболічної спіралі, зауважимо, що кожну із них можна одержати із іншої за допомогою перетворення інверсії щодо полюса.

Конхоїда гіперболічної спіралі

Ця крива є найближчим узагальненням гіперболічної спіралі, рівняння якої с=а/ц+l, l=0, асимптота у=а.

При зростанні ц від 0 до +? с>l, тобто крива, закручуючись проти ходу годинникової стрілки, асимптотично наближається до кола с=l. При змінні ц від 0 до -? с змінюється від -?, при ц= l/а с=0, після чого відкладається у протилежному напрямку. Тому друга вітка кривої перетне саму себе і далі асимптотично наблизиться до того ж кола, що і перша, але вже із внутрішньої сторони.

Спіраль Галілея с=ац²-l (l?0)

Загальне рівняння цієї кривої

Це рівняння за допомогою повороту полярної осі можна звести до вигляду с=ац²-l.

Крива симетрична щодо полярної осі, має подвійну точку в полюсі з дотичними,які утворюють кути з полярною віссю.

Спіраль Галілея відома в математиці з XVII ст. у зв'язку з необхідністю визначення форми лінії, по якій повинна рухатись точка, що вільно падає в області екватора (без початкової швидкості).

Спіраль Ферма с=а

Крива має центральну симетрію, складається із двох віток, одна з яких відповідає додатнім значення с, друга - від'ємним. Вітки виходять із полюса, який є точкою перегину. Обидві вітки роблять нескінченне число обертів навколо полюса, прямуючи до нескінченності.

Характерна особливість цієї спіралі те, що у міру віддалення від полюса відстань між вітками необмежено зменшується ( в архімедової спіралі ця відстань залишається сталою, в логарифмічної спіралі - необмежено зростає).

Параболічна спіраль с=а+ l (l?0)

Ця спіраль є конхоїдою спіралі Ферма Крива має дві вітки с=а+ l і с=-а+ l . Друга із цих віток утворює сама з собою та з першою віткою незліченне число подвійних точок. Крива має одну точку перегину.

В історії математики ця крива чудова тим, що на ній саме ілюстрував Я.Бернуллі застосування лейбницького методу розрахунку нескінченно малих до дослідження властивостей кривих.

Висновки

У даній роботі були розглянуті деякі чудові криві, а саме алгебраїчні та трансцендентні. Відповідно з алгебраїчних розглянуто криві другого, третього, четвертого та вищих порядків. Були з'ясовані властивості деяких кривих, їх рівняння та історія походження.

При дослідженні було з'ясовано, що ці криві знайшли широке застосування не лише в математиці, а й в науці, техніці, архітектурі, мистецтві, побуті, їх елементи та просторові аналоги зустрічаються в рослинному та тваринному світі. Наприклад, еліпс використовують в архітектурі, гіперболу - у військовій справі, лемніскату Бернуллі - як перехідну криву в трамвайних лініях, на застосуванні оптичної властивості параболи ґрунтується робота параболічних сонячних електростанцій та рефлекторних телескопів, кардіоїду та спіраль Архімеда застосовують в техніці, логарифмічна спіраль знайшла своє використання в мистецтві.

Розглянули рівняння кривих в параметричній формі, в декартовій та полярній системі координат.

Також були зображенні графіки деяких чудових кривих, а саме спіраль Ферма, Декартів лист, цисоїда Діокліда, строфоїд, конхоїд, Паскалів равлик, циклоїдальні криві та інші.

Список використаної літератури

1. Ф.Клейн, Лекции о развитии математики в 19 столетии.- М.-Л., 1937.

2. Декартів лист / / Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона : В 86 томах (82 т. і 4 доп.) - СПб. , 1890-1907.

3. Р.Уокер, Алгебраические кривые.- М., 1951

4. Вірченко Н. О., Ляшко І. І. Графіки функцій - К. : Наук. думка, 1996. - 582 c.

5. В.П.Вельмин, кривые 3-го порядка.- Киев, 1911.

6. Шунда Н.М. Функції та їх графіки.- К.:Рад. Школа, 1983.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. - М.: ГИФМЛ, 1960.-293с

8. Ершов Л. В. Построение графиков функций : кн. для учителя - М. : Просвещение, 1984. - 80 с.

Размещено на Allbest.ru

...