Тригранник Френе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тригранник Френе

Вступ

Актуальність теми. В наш час розвитку комп'ютерних технологій викреслювання будь-якої кривої, заданої аналітично, не є проблемою, однак це не означає, що задача побудови і дослідження траєкторних ліній та поверхонь є вичерпаною. тригранник френе довжина

Траєкторію точки можна побудувати, якщо відомий закон її руху.

Складнішою є обернена задача: знайти такий закон руху, щоб її задана точка описала потрібну траєкторію. Як пряму так і обернену задачі в деяких випадках досить ефективно можна розв'язувати із застосуванням супровідного тригранника Френе траєкторії однієї із точок. Теоретичні підходи такого способу розроблені професором Пилипакою С.Ф. [8;9] як для руху відрізка у площині, так і у просторі. Теоретичною базою даних досліджень були наступні роботи вчених: Лур'є А. І. [6], Вигодський М.Я. [3],Норден А.П. [7], Захарова Т.М. [4], Погорєлов А.В. [10], Рашевський П.К. [11]та ін.

У диференціальній геометрії особливе значення мають параметричні рівняння кривої у функції довжини власної дуги, що дають змогу завжди знайти натуральне рівняння кривої. Деякі підходи до конструювання кривих, що можуть бути описанні у такій формі, наводяться у науковій літературі. Однак множину кривих можна значно розширити, якщо точку рухати за певним законом у системі тригранника Френе. Утворена крива буде абсолютною траєкторією складного руху точки, який є сумою двох рухів: відносного в системі тригранника і переносного руху самого тригранника в заданій кривій.

Рух матеріальної точки по площині (гравітаційній поверхні, шорсткій площині та ін.) був предметом дослідження багатьох вчених зі світовим ім'ям починаючи від Галілея, Гюйгенса, Ньютона, Ейлера, Остроградського та ін.

Теорія складного руху матеріальної точки має завершену форму і навіть не потребує ніякого уточнення. Вона ґрунтується на тому, що рух точки досліджується одночасно по відношенню до нерухомої системи координат та такої, яка здійснює по відношенню до нерухомої відносний рух по заданому закону. Теоретична механіка, окрім того, оперує натуральним способом завдання руху точки, при якому швидкість і прискорення розглядаються в проекціях на орти супровідного тригранника Френе. Також тригранник Френе знайшов своє застосування в задачах кінематики і динаміки складного руху матеріальної точки. У праці пані Захарової нами розглянуто можливість конструювання кривих за допомогою супровідного тригранника Френе, за умовою руху точки в системі тригранника, що свідчить про формотворчі властивості запропонованого підходу та про перспективність розробок інших підходів на основі тригранника Френе. Однак, в наявній літературі не вдається знайти застосування тригранника Френе в якості рухомої системи координат, у якій здійснює відносний рух матеріальна точка.

Мета роботи: теоретично дослідити тригранник Френе, відповідно до мети визначені наступні завдання:

· розглянути основні теоретичні відомості з теорії кривих тривимірного евклідового простору

· обґрунтувати будову тригранника Френе; навести приклад застосування тригранника Френе.

Об'єктом роботи є тригранник Френе.

Предметом роботи є застосування тригранника Френе.

Поставлені у курсовій роботі задачі розв'язувались на основі методів аналітичної та диференціальної геометрії, супровідного тригранника Френе.

Основні теоретичні відомості з теорії кривих тривимірного евклідового простору

Нехай - тривимірний евклідів простір і G - зв'язна множина точок числової прямої (сегмент, напівcегмент, інтервал, відкрита або замкнута напівпряма, вся пряма). Векторною функцією (вектор - функцією ), заданою на множині G, називається відображення, при якому кожному значенню відповідає вектор простору .

Зафіксуємо в деякий декартовий базис розкладемо вектор по цьому базису

(t) = x(t) + y(t) + z(t) .

Скалярні функції x(t), y(t), z(t) називаються координатами векторної функції . Їхнє завдання рівносильне завданню векторної функції.

Постійний вектор називається границею векторної функції при , якщо для кожного е > 0 існує д > 0 таке, що для всіх , які задовольняють умові 0 < < d, виконується нерівність - | < е . Позначають: lim = .

Векторна функція називається неперервною в точці , якщо = lim . Якщо векторна функція неперервна в усіх точках множини G, то вона називається неперервною на цій множині.

Векторна функція називається диференційованою в точці , якщо при існує границя відношення

Ця границя називається похідною векторної функції в точці й позначається .

Очевидно, що для диференційованості функції в точці потрібна її неперервність у цій точці.

Якщо векторна функція диференційована в кожній точці множини G, то вона називається диференційованою на множині G .

Нехай векторні функції і скалярна функція ц(t) диференційовані в точці, тоді в цій точці диференційовані функції і мають місце рівності:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

5.

Якщо векторна функція має на множині G постійний модуль, то в кожній точці цієї множини вектор ортогональний похідній , яка обчислюється в цій точці.

Нехай скалярна функція диференційована в точці S, а векторна функція диференційована в точці t . Тоді складна

диференційована в точці

.

Параметризованою кривою, заданою на зв'язній множині називається неперервне відображення, при якому кожному значенню відповідає деяка точка простору . Змінна t називається параметром кривої. Образ множини I при відображенні г називається носієм кривої.

Зазначене у визначенні параметризованої відображення g є неперервною векторною функцією . У зв'язку із цим рівняння

називають векторним рівнянням кривої, а рівняння

-

параметричними рівняннями кривої. Говорять також, що крива задана за допомогою векторної функції r (t) і пишуть

.

Будемо користуватися записом

,

маючи на увазі, що

точка M кривої є образом при відображенні . Крива г, задана за допомогою векторної функції називається гладкою кривою класу , де якщо векторна функція має неперервні похідні до порядку включно. Гладка крива класу називається регулярною в точці , якщо . Вектор називається вектором швидкості кривої у точці . Точка параметризованої кривої, у якій вектор швидкості нульовий, називається особливою точкою кривої, всі інші точки кривої називаються неособливими або звичайними.

Заміна параметра на кривій за законом

називається припустимою, якщо функція в проміжку має неперервну похідну , що у всіх точках

Для обчислення довжини

використовується формула:

Параметризація кривої за допомогою довжини дуги, що відлічується від деякої точки кривої, називається природною або натуральною параметризацією.

Теорема 1. Параметризація кривої є природною тоді й тільки тоді, коли вектор швидкості кривої задовольняє умові .

Доведення. Нехай

Тоді

В іншу сторону. Нехай , й нехай

(якщо це не так, можна зробити заміну параметра).

Виберемо 0 за початок відліку, тоді

,

тобто параметр t є

довжиною дуги кривої. Теорема доведена.

Щоб знайти натуральну параметризацію кривої, заданої векторним рівнянням , необхідно

1. Знайти за формулою

;

2. Виразити через ;

3. Підставити у векторне рівняння кривої .

Криву в можна визначити як множину точок, координати

яких задовольняють системі рівнянь

де F (х, y, z), Ф(х, y, z) - скалярні функції змінних х, y, z . Оскільки кожне рівняння системи задає в просторі поверхню, то крива є перетином поверхонь. Будемо називати такий спосіб завдання кривої неявним.

Вектор називається градієнтом функції F (х, y, z) . Точка M неявно заданої кривої буде неособливою, якщо в ній вектор . Ця умова рівносильна наступній Нехай - фіксована точка регулярної кривої, M довільна точка цієї кривої. Граничне положення січної при прагненні точки M по кривій до точки називають дотичною прямою даної кривої у точці . Площина, що проходить через точку кривої

перпендикулярно її дотичній прямій у цій точці, називається нормальною площиною кривої в даній точці.

Нехай - регулярна крива й точка

належить цій кривій.

Вектор

є напрямним вектором дотичної прямої у точці та нормальним вектором нормальної площини, канонічні рівняння яких мають вигляд

відповідно.

Для неявно заданої кривої в її неособливій точці

рівняння дотичної прямої та нормальної площини

мають вигляд

,

відповідно, де б, в,г - координати вектора

Стичною площиною просторової кривої в даній її точці називається граничне положення, до якого прагне січна площина (), за умови, що точки й прагнуть по кривій до точки .

Нехай дана гладка класу крива . Точка

= називається бірегулярною точкою цієї кривої, якщо в ній виконана умова . У противному випадку точка M 0 називається точкою розпрямлення.

Усяка крива в будь-якій своїй бірегулярній точці = має стичну площину, нормальним вектором якої є вектор .

Головною нормаллю кривої в точці M називається пряма, що є перетином стичної і нормальної площин кривої у цій точці. Пряма, що проходить через точку M й перпендикулярна стичній площині, називається бінормаллю кривої в точці M. Площина, яка містить в собі дотичну пряму і бінормаль, називається спрямною площиною кривої.

Фігура, що складається із трьох прямих (дотичної, головної нормалі й бінормалі) і трьох площин (нормальної, стичної й спрямної), називається тригранником Френе.

Теоретичне та схематичне обґрунтування тригранника Френе. Приклад.



Отже, що таке тригранник Френе? Тригранник Френе - це природна рухома система в тривимірному просторі, що виникає на C3-гладкій кривій.

Елементами тригранника Френе називають три взаємно перпендикулярних вектори , , і площини, що їх містять.

- вектор дотичної;

- вектор бінормалі;

- вектор головної нормалі;

(1) - спрямна площина;

(2) - стична площина;

(3) - нормальна площина.

1) Рівняння дотичної

,

де () = z? (); 5f? (); ??? ();

2) Рівняння нормальної площини

???()(?? ? ) + ???()(?? ? ) + ???()(?? ? ) = 0

3) Рівняння бінормалі

,

де = (х?? ; у?? ; ????), і = Ч

4) Рівняння стичної площини

????(?? ? + ???? (?? ? + ???? (?? ? = 0

5) Рівняння головної нормалі

де = (х?? ; у?? ; ????) і = ?? ' Ч ??

6) Рівняння спрямної площини

???? (?? ? + ???? (?? ? + ???? (?? ? = 0.

З заданою просторовою кривою задано багато геометричних об'єктів, вивчення яких становить великий інтерес. Дослідження цих об'єктів надзвичайно полегшується, якщо віднести їх до системи координат, яку ми назвемо натуральною: в ній а координатні вісі приймаються ребра супроводжуючого тріедра. Але тоді недостатньо знати, які змінюються координати вивчає мого об'єкта; необхідно ще врахувати, що змінюється система координат, тобто її основні орти , , . Тому у дослідження входять похідні цих векторів. Ці похідні самі можуть бути віднесенні до супроводжуючого тріедра. Тому важливо знати вирази похідних від векторів , , . Ці вирази даються формулами, знайденими (у координатній формі) французьким математиком Френе.

Приклад:



Висновки

Вступ містить загальну характеристику курсової роботи. В ньому розкрито сутність обраного напрямку курсової роботи, сформульовано мету та задачі, поставлені задачі розв'язувались на основі методів аналітичної та диференціальної геометрії, супровідного тригранника траєкторних ліній та формул Френе.

У першому розділі розглянути основні теоретичні відомості з теорії кривих тривимірного евклідового простору.

У другому розділі ми теоретично та схематично обґрунтували тригранник Ферне, та навели приклад використання тригранника Ферне.

Застосування супровідного тригранника плоскої кривої за рухому систему координат, по відношенню до якої здійснюється відносний рух точки є цілком можливим при дослідженнях складного руху матеріальної точки по площині. При цьому, значно спрощується знаходження абсолютного прискорення точки у складному русі в проекціях на орти тригранника, куди автоматично закладаються всі три його складові. Що наприклад, використовується у розв'язуванні задач динаміки матеріальної точки в рухомій системі тригранника Френе.

Список використаних джерел

1. Бутенін Н.В., Лунц Я.К., Меркин Д.Р. Курс теоретичної механіки. У двох томах - Т. 1: Статика і кінематика. - 4-е изд., виправлене - М: Наука, 1985. - 240 с.

2. Величко І.Г., Гургєнідзе М.О., Стєганцева П.Г. Диференціальна геометрія кривих та поверхонь: Навчально-методичний посібник до ГИТТЛ, 1950.

3. Вигодський М.Я. "Диференціальна геометрія" Гостехиздат, М.--Л., 1949, стор 511

4. Захарова Т.М. Конструювання плоских кривих, що описуються рівняннями у функції довжини дуги, за допомогою супровідного тригранника вихідної кривої/ Т.М. Захарова// Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. - Вип.4. Прикл. Геометрія та інж. Графіка. - Том 53. - Мелітополь: ТДАТУ, 2012. - С. 57-65.

5. Лойцянский Л.Р., Лур'є А.В. Курс теоретичної механіки. У двох томах - Т. 1: Статика і кінематика. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 379 с.

6. Лур'є А.В. Аналітична механіка. - М.: ФМ, 1961. - 823 с. математичного факультету. - Запоріжжя: ЗНУ, 2009. -76с.

7. Норден А.П. "Диференціальна геометрія"

8. Пилипака С.Ф. Дослідження руху матеріальної частинки по горизонтальному диска, який обертається навколо вертикальної осі, за допомогою рухомого натурального тригранника і формули Френе // Механізація та електрифікація сільського господарства. Міжвідомчий тематичний науковий збірник. - Глеваха, 2005. - Вип. 89. - С. 49-60.

9. Пилипака С.Ф. Кінематична інтерпретація руху супровідних тригранників Френе і Дарбу через внутрішні параметри кривих // Науковий вісник Національного аграрного університету. - К: НАУ, 1998. - Вип.4. - С. 143-146.

10. Погорєлов А.В. Диференціальна геометрія (6-е видання). М.: Наука, 1974.

11. Рашевський П.К. Курс диференціальної геометрії (3-е видання). М.-Л.: сільську. наук, 1960. - 283 с.

Размещено на Allbest.ru

...